常用逻辑用语(解析版)-2022年高一数学寒假作业精讲精练(新人教A版2019)

2022年高一数学寒假作业精讲精练（新人教A版）

常用逻辑用语

考点及要求

考点:命题，全称量词命题与存在量词命题的否定、充分条件，必要条件.

1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.

2.能正确使用存在量词对全称命题进行否定；能正确使用全称量词对特称命题进行否定.

3.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件是结论成立的部分条件:充分条件成立的命题就是真命题,理解充要条件的意义，理

解数学定义与充要条件的关系.

知识梳理

1.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若pnq,则p是4的充分条件，4是p的

必要条件

p是q的充分不必要条件p=q且qNp

p是q的必要不充分条件p声q且qnp

p是q的充要条件p=q

〃是q的既不充分也不必要条件pAq且q/p

2.全称量词与存在量词

⑴全称量词:短语”所有的“、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词,用符号"V”表示.

⑵存在量词:短语“存在一个”，“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词,用符号T”表示.

3.全称命题和特称命题（命题p的否定记为「p,读作“非p”.

全称命题特称命题

结构对M中的任意一个x,有p（x）成立存在M中的一个％。，使p（%。）

成立

简记

VxEM,p(x)3%oeM,p(x0)

否定

3x0EM,-ip(x0)VxGM,-ip(x)

微点提醒

1.区别A是B的充分不必要条件(4=B且BK4),与A的充分不必要条件是B(B=4且4KB)两者的不同.

2.A是B的充分不必要条件0rB是的充分不必要条件.

3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.

强化训练

1.命题：v%ez,2xez的否定为()

A.VxeZ,2xgZB.GZ,2%gZC.VxgZ,2xgZD.3xGZ,2xeZ

【答案】B

【解析】

命题：v%ez,2xez为全称量词命题，其否定为&ez,2久cz；

故选：B

2.“a=1”是“函数f(x)=lg(V^Ti-ax)为奇函数”的()

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

由函数/1(%)=3"乂2+1一ax)为奇函数,即/'(-K)=-f(x)，BP/(-x)+/(%)=0,

可得lg(Vx2+1+ax)+lg(Vx2+1—ax)=lg(x2+1—a2%2)=0,

所以％2一a2/=o,可得a=±l,

所以“a=1”是“函数f(x)=1g(乃E-ax)为奇函数”的充分不必要条件.

故选：A.

3.已知命题p：x2+x-2>0,命题q：x-1>0,贝！Jp是q的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

因为命题p：x>1或x<-2,命题q：x>1,

所以p是q的必要不充分条件，

故选：B

4.设a>0且a41,贝『'函数f(x)=/在R上是减函数”是“函数。(K)=(2-a)x在R上是增函数”的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充分必要条件D.非充分必要条件

【答案】A

【解析】

若函数y(x)=在R上是减函数，则0<a<l,

若函数g(X)=(2-a)x在R上是增函数，贝！)2-a>0,又a>0且a41,所以0<a<2且a71,

因为集合(0,1)真包含于集合(0,l)U(l,2)

所以“函数”支)=a，在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x在R上是增函数”的充分非必要条件.

故选：A

5.命题"久£[1,2],3x2-a>0”为真命题的一个充分不必要条件是()

A.a<2B.a>2C.a<3D.a<4

【答案】A

【解析】

若“Vxe[1,2],3x2-a>0为真命题,得a<3/对于％e[1,2]恒成立，

2

只需a<(3x)min=3,

所以a<2是命题“VxG[1,2],3/-a20为真命题的一个充分不必要条件，

故选：A.

6.2021年1月初，中国多地出现散发病例甚至局部聚集性疫情，在此背景下，各地陆续发出“春节期间非

必要不返乡”的倡议，鼓励企事业单位职工就地过年.某市针对非本市户籍并在本市缴纳社保，且春节期间在

本市过年的外来务工人员，每人发放1000元疫情专项补贴.小张是该市的一名务工人员，则“他在该市过年”

是“他可领取1000元疫情专项补贴”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

只有非本市户籍并在本市缴纳社保的外来务工人员就地过年，才可领取1000元疫情专项补贴，小张是该市

的一名务工人员，但他可能是本市户籍或非本市户籍但在本市未缴纳社保，所以“他在该市过年”是“他可领取

1000元疫情专项补贴”的必要不充分条件.

故选：B.

7.若a,b€R,则“a<6”是“Ina<Inb”的()条件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

【答案】B

【解析】

因函数y=Inx在(0,+8)上单调递增，则Ina<Inb<=>0<a<b

而a,beR,当a<6时，a,b可能是负数或者是0,即Ina或Inb可能没有意义，

所以"a<6"是"Ina<Inb”的必要不充分条件.

故选：B

8.下列四个结论中正确的个数是()

(1)设x<0,则比有最小值时4；

X

(2)若/(久+1)为R上的偶函数，则/(久)的图象关于x=1对称；

(3)命题“mnGN,2n>1000”的否定为:“VnGN,2n<1000；)

(4)命题“已知久,R,若久+y=3,贝h=2且y=1”是真命题.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

(1)''x<0,—X>0,—>0,4+x=x+-=—(—X+—,

-XxX\-xj

(-x)+(£)22J(r)j)=4,当且仅当x=—2时取等号，

.,.—<-4,/.(1)错；

X

(2)•..函数丫=〃％+1)为偶函数，...函数丫=〃％+1)的图象关于、轴对称,

Vy=/(x+1)的图象是由y=/Xx)的图象向左平移一个单位得到的，

函数y=f(x)的图象关于x=l对称.(2)对.

(3)由命题的否定可判断正确；

(4)令x=4,y=-l,满足x+y=3与％=2且y=1矛盾，(4)错.

正确个数为两个.

故选：B

9.下列说法中，错误的是()

A."x,y中至少有一个小于零”是“x+y<0”的充要条件

B.已知a,b€R,则“a2+炉=0，，是“口=。且6=0”的充要条件

C.“ab丰0”是“a丰0或b*0”的充要条件

D.若集合A是全集U的子集，则x《QAQ久64

【答案】AC

【解析】

对于A,当x=3,丫=一2时，满足x,y中至少有一个小于零，但无法推出x+y<0,A说法错误；

对于B,若a2+炉=0,则a=6=0；若a=6=0,则a2+炉=。，即“口2+产=0，，是“口=。且。=°”的

充要条件，B说法正确；

对于C,当&=0,6=1时，满足a羊0或b力0,但此时ab=0,即无法推出abK0,C说法错误；

对于D,若集合4是全集U的子集，贝U(Cu4)U4=U,即命题“xCCM”与"64”是等价命题，D说法正确.

故选：AC

10.下列选项中，p是q的充要条件的是()

A.p：xy>0,q：x>0,y>0

B.p：A\JB=A,q：BQA

C.p：三角形是等腰三角形，q：三角形存在两角相等

D.p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分

【答案】BC

【解析】

对于A：由xy>0,得x>0,y>0或x<0,y<0,故P不是q的充要条件，故A错误；

对于B：由au8=a,则Baa,若BU4则au8=a,故P是q的充要条件，故B正确；

对于C:三角形是等腰三角形Q三角形存在两角相等，故P是q的充要条件，故C正确；

对于D：四边形的对角线互相垂直且平分Q四边形为菱形，故P不是q的充要条件，故D错误；

故选：BC

11.下列命题中，是真命题的是（）

A.a>1且6>1是ab>1的充分条件B.“久〉|”是1<2"的充分不必要条件

C.命题“Vx<1,%2<1”的否定是叼久>1,x2>rD.a+b=0的充要条件是蓝=-1

【答案】AB

【解析】

对于A,当a>1,b>l时，ab>1,充分性成立，A正确；

对于B,当x>之时，0<（<2,充分性成立；当（<2时，x>［或x<0,必要性不成立，贝（%>会是l<2"

的充分不必要条件，B正确；

对于C,由全称命题的否定知原命题的否定为：3%<1,x2>1,C错误；

对于D,当a=0,b=0时，a+b=0,此时蓝无意义，充分性不成立，D错误.

故选：AB.

12.下列所给的各组p、q中，p是q的必要条件是（）

A.p：△ABC中，Z-BAC>Z.ABC,q：△ABC中，BC>AC；

B.p：a2<1,q：a<2；

C.p：-<1,q：b<a；

a

D.p：m<1,q-.关于x的方程+2x+1=0有两个实数解.

【答案】AD

【解析】

对于A,因为在三角形中大边对大角，小边对小角，反之也成立，所以当ABAC>N4BC时，有BC>4C,

当BC>4C时，有NB4C>乙4BC,所以°是q的充要条件；

对于B,由a?<1,得—1<a<1,则a<2一定成立，而当a<2时，如a=—2,a?<1不成立，所以p

是q的充分不必要条件；

对于C,由色<1可知，当a>0时，6<a；当a<0时，b>a；而当b<a时，若a>0,贝哈<1,若a<0,则

aa

5>1,所以p是q的既不充分也不必要条件；

对于D,当m=0时，关于x的方程+2%+1=。只有一个实根，若关于x的方程m/+2%+1=0有

两个实数解时，则｛:得小<1且小力°，所以P是4的必要不充分条件；

故选：AD

13.已知TxeR,使得2/+a%+|w0”是假命题，则实数的。取值范围为.

【答案】(-2,2)

【解析】

6R,使得2/+ax+|<0”是假命题，

命题R,使2产+ax+1>0”是真命题，

判别式△=a2-4x2x|<0,

—2VCL<2.

故答案为：(-2,2).

14.若命题p是“对所有正数x,均有久>/+2；则「p是.

【答案】3%>0,使得％<X2+2

【解析】

解：根据全称命题的否定为特称命题得命题0：“对所有正数x,均有%>/+2”的否定「「是：存在正数》,

使得x<%2+2.

故答案为：3%>0,使得比W/+2.

15.下列四个结论：①“2=。”是“血=6”的充分不必要条件；②在NWC中，+"2=Be?”是“AZBC为

直角三角形”的充要条件;③若a,bER,则“a?+炉力0”是“a,b全不为0”的充要条件；④若a,bGR^a2+

匕2大0”是“a,6不全为0”的充要条件.其中正确命题的序号是.

【答案】①④

【解析】

当4=0时，Aa=0>当4益=0时，2=0或2=0，①正确；

当△力BC中乙8=5，则AC?=+4^2,故②错误；

取a=0,b=1得到a?+b20,故③错误；

若a^+b?彳0,则a,b不全为0,若a,6不全为0,则0^+炉于0,故④正确；

故答案为：①④.

2222

16.在复数范围内,给出下面3个命题：①|a+b\=a+2ab+b；②已知z1、z2>z3eC,若（z2一zx）+

2

（Z3-Zx）=0,则Z］=Z2=Z3；③z是纯虚数=z+2=0.其中所有假命题的序号为.

【答案】①②③

【解析】

①：等号的左边是非负实数，而右边不一定是非负实数，如a=l,b=i,假命题.

②：取Zi=0,z2-l,Z3=i,贝！|（Z2-Z1）2+（Z3-Z1）2=0,但Z］、Z2、Z3互不相等，假命题.

③：当z=0时满足z+2=0,但Z不是纯虚数，所以z+2=0推不出Z是纯虚数，假命题.

故答案为：①②③

17.已知p:VxeR,a/—ax+1>0恒成立，q:eR,/+%+a=0.如果p,q中有且仅有一个为真命题，

求实数a的取值范围.

【答案】（—8,0）1）（?4）

【解析】

若p为真命题，当a=0时，可得1>0恒成立，满足题意；

当a7。时，则代屋2一4”0,解得。<。<4,

・•・当p为真命题，实数a的取值范围是［0,4）.

若q为真命题，则有4=I2-4a>0,解得a<%

・••当q为真命题，实数a的取值范围是（-8,勺.

p,q中有且仅有一个为真命题，

・•・当p为真命题，q为假命题时，实数。的取值范围是［0,4）13（］,+8）=（［,4）;

当p为假命题，q为真命题时，实数a的取值范围是（-8,0）.

综上，当p,q中有且仅有一个为真命题时，实数a的取值范围是（-8,0）UG，4）.

18.已知集合M={%1（%+3）（久—5）<0},yV={%|—m<x<m}.

（1）若“XGM”是％eN”的充分条件，求实数m的取值范围；

（2）当山》0时，若“xe是“xeN”的必要条件，求实数小的取值范围.

【答案】

(1)[5,+oo)

(2)[0,3]

【解析】

(1)可得M={x|(x+3)(%-5)<0}={x|-3<x<5]

若“xeM”是“xeN”的充分条件,则McN,

所以{靠1—3,解得小》5,所以实数小的取值范围为[5,+8)；

(2)若“xeM”是“xeN”的必要条件,则NcM,

m>0

因为血》0,所以NH0,贝1」一瓶》一3,解得04血《3,

,m<5

综上所述，实数小的取值范围为[0,3].

19.将下列命题改写成“若a,则/J”的形式，并判断“an邛是否成立.

(1)直角三角形的外心在斜边上；

(2)有理数是实数；

(3)面积相等的两个三角形全等.

【答案】

(1)若一个三角形是直角三角形，则该三角形的外心在斜边上.an£成立

(2)若一个数是有理数，则这个数是实数.a今£成立

(3)若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等.an£不成立

【解析】

(1)命题改写成：若一个三角形是直角三角形，则该三角形的外心在斜边上.

由直角三角形的外心是斜边的中点，可知a=£成立.

(2)命题改写成：若一个数是有理数，则这个数是实数.

实数由有理数和无理数构成，即QUR,可知a00成立.

(3)命题改写成：若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等.

因为两个面积相等的三角形，则面积的2倍也相等，也就是底乘高相等；但是一个数可以有许多不同的因

数，所以说这两个三角形的对应边、对应高不一定相等，故面积相等的两个三角形不一定全等，可知an。

不成立.

20.已知命题p："V-1<x41,不等式/一刀-爪<0成立”是真命题.

U)求实数ni的取值范围；

(2)若q:-4<zn-a<4是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

【答案】

(1)(2,+8);

(2)［6,+oo).

【解析】

(1)由题意命题p："V-14x4L不等式/-万一爪<o成立”是真命题.

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m>x—x在-1<%<1恒成立，即m>(%—x)max,x£［—1,1］；

因为/—x—(x--)2—所以—:《/一x42,即?n>2,

所以实数m的取值范围是(2,+8)；

(2)由p得，设2=>2},由q得，设8={m|a—4<m<a+4},

因为q:-4<m-a<4是p的充分不必要条件；

所以q=>p,但p推不出q,B