2024年河南省中考数学训练模拟题（含解析）

2024河南中考数学训练模拟题

一、单选题（每小题3分，共30分）

1.下列各数中比-3小的数是（）

A.（一2『B.-（-2）C.-ID.-|-4|

2.党的二十大报告指出，我国经济实力实现历史性跃升，国内生产总值从五十四万亿元增长到一百一十四万

亿元，我国经济总量占世界经济的比重达百分之十八点五，提高七点二个百分点，稳居世界第二位，其中114

万亿用科学计数法表示为（）

A.114xl012B.1.14X1011C.1.14xl014D.11.4x10"

3.某几何体的主视图、左视图和俯视图分别如下图所示，则该几何体的体积为（）

D.12万

4.由若干个小立方块所搭成的几何体的主视图、左视图如下图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）

L&JLB

a-B-c-EuD-

X2

5.解分式方程上；="+2去分母变形正确的是（）

x-33-x

A.x=2—2（x—3）B.—x——2+2（3—x）

C.x=2—2（3—x）D.x=—2+2（%—3）

6.八年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：80分，85分，95分，95分，95分，100分，则该同学这6

次成绩的众数和中位数分别是（）

A.95分，95分B.95分，90分C.90分，95分D.95分，85分

7.一元二次方程Y一*+2=0的根的情况是（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

8.已知四边形的对角线相交于点。，下列条件中，不能判定四边形是A8CD平行四边形的是

1

A.ZADB=ZCBD,ABIICDB.ZADB=NCBD,NDAB=/BCD

C./DAB=/BCD,AB=CDD.ZABD=ZCDB,OA=OC

9.有三张正面分别写有数字1,2,-3的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽

取两张，记录卡片上的数字，则记录的两个数字乘积是正数的概率是（）

1512

A.—B.-C.-D.-

3923

10.小学我们就知道：四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形A8CD的边长A3

在无轴上，A3的中点是坐标原点。，固定点A1,把正方形沿箭头方向推，使点C落在y轴正半轴上点C'处,

则点。的对应点"的坐标为（）

<——推

A.（-2百,4）B.（T,2）C.（―4,2A/5）D.4,\/3j

11.如图，将半径为2,圆心角为120。的扇形。绕点A逆时针旋转60。，点O,B的对应点分别为O',B',

连接88',则图中阴影部分的面积是（）

A

A.2^--B.4^--C.2省-至D,4^-—

3333

二、填空题（每小题3分，共15分）

12.计算：（指+0）（6-力/.

fx-2>0

13.不等式组：「（川）用-1的解集是

2

14.若M（T,%）、刈-2,必）、"（2,%）三点都在反比例函数丫=：化＞0）的图像上，则%、％、%的大小关

系为（用〈号连接）.

15.如图1,在正方形ABCD的边BC上有一点E,连接AE,点、P从正方形的顶点A出发，沿AfDfC以lcm/s

的速度匀速运动到点C,图2是点尸运动时，VAPE的面积Men?）随时间x（s）变化的函数图像，当x=6时，y

的值为_______

三、解答题（本大题共8小题，满分75分）

16.（8分）先化简，再求值：yx-[-2（x-|y2）-（-l-x+^-y2）-x]-y2,其中x=-：,y=y.

/3232,

17.（9分）勤俭节约一直是中华民族的传统美德，某中学校团委准备以“勤俭节约”为主题开展一次演讲比赛,

为此先对同学们每月零花钱的数额进行一些了解，随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两

个尚不完整的统计图表.

组别分组（单位：元）人数

A0<x<304

B30<x<60a

C60<x<90b

D90<x<1208

E120<x<1502

根据以上图表，解答下列问题:

（1）填空：这次调查的同学共有人，a+b=,m=；

（2）求扇形统计图中扇形B的圆心角的度数；

（3）该校共有1200名学生，请估计每月零花钱的数额在60女＜90范围的人数.

3

调查结果扇盼克计图

18.（9分）如图，在三角形ABC中，NA4c=30。，以A3为直径的圆。经过点C,过点C作圆。的切线交A3

延长线于点P,点。是圆上一点，点C是劣弧3£）的中点，弦AB的延长线交切线PC于点E,

⑴判断。8于的数量关系并证明；

（2）若AE=3,求圆。的半径.

19.（9分）如图，已知是圆。的直径，点C是圆。上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点。，直线

DC与AB的延长线相交于点尸，弦CE平分NACB,交A2于点尸，连接BE

（1）求证：AC平分NAAB；

（2）求证：APCF是等腰三角形；

（3）若AF=6,EF=2&求圆。的半径长.

20.（9分）如图，小明所在的数学兴趣小组用自制的测倾器在学校教学大楼前的广场上点。处测得楼顶A的

仰角为45。，大楼顶端悬挂了一幅励志条幅AB,小明他们后退3.5m到点C处，测得条幅底端B的仰角为32。，

若已知条幅长5m,测倾器EC=FD=1.60m,试求大楼的高度AH.

（参考数据sin32。=0.53,cos32°=0.85,tan320=0.62,结果精确到0.1m）

4

21.（10分）自新冠肺炎疫情出现以来，市场上各类防疫产品热销.某医药公司每日销售某种防疫产品，销售

量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系关于销售单价、日销售量、日销售利润的几组对应值如

下表：

销售单价x/元8595105115

日销售量W个21015090m

日销售利润卬/元1050n22501050

［注：日销售利润=日销售量X（销售单价-成本单价）］

⑴求y关于X的函数解析式（不要求写X的取值范围）.

⑵根据以上信息填空：

该产品的成本单价是兀；机的值是；w的值是；

⑶该公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本.预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）

中的关系.若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3600元的销售目标，该产品的成本单价应不超

过多少元？

22.（10分）阅读下面内容，并完成相应的问题：

定义：在三角形中，如果一边上存在一点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点与该边所对顶点

连线长度的平方，则称这个点为三角形该边的“中项点”.

如图1,“8C中，点。是BC边上一点，连接A。，若A£>2=Br>.CD,则称点。是AABC中BC边上的“中项点”.

⑴等腰直角三角形斜边上的"中项点"的个数有个.

5

(2)如图2,AABC的顶点是4义3网格图的格点，请仅用直尺画出斜边A8边上的"中项点"，并用字母表示.

⑶如图3,"BC是：。的内接三角形，。是BC上一点，OD±AD.

求证：点。是AABC中BC边上的"中项点”；

证明：延长AD交：。于点E,连接04、OE、CE,

在AA0E中，OA=OE,ODLAD

AD=ED,

........(将后面证明过程补充完整)

23.(23分)在平面直角坐标系xOy中，矩形ABC。的顶点A、C分别在y轴、无轴正半轴上，点P在上,

PA=1,A0=2.经过原点的抛物线y=〃*-x+〃的对称轴是直线x=2.

(1)求出该抛物线的解析式.

(2)如图1,将一块两直角边足够长的三角板的直角顶点放在尸点处，两直角边恰好分别经过点。和C.现

在利用图2进行如下探究：

①将三角板从图1中的位置开始，绕点P顺时针旋转，两直角边分别交OC于点E、F,当点E和点A

重合时停止旋转.请你观察、猜想，在这个过程中，三PE的值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发

PF

生变化，求出受pp的值.

PF

②设(1)中的抛物线与无轴的另一个交点为。，顶点为在①的旋转过程中，是否存在点R使ADM尸

为等腰三角形？若不存在，请说明理由.

参考答案：

1.D

【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法.根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0;②负数都

小于0;③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可.

【详解】解：(-2)2=4,-U，-(-2)=2,

6

-4<-3<-l<2<4

.•.比-3小的数是：+4；

故选：D.

2.C

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为0X10",其中1<忖<10,w为整数，据此判断即可.

【详解】解：114万亿=114000000000000=1.14x10",

故选：C.

【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为。X1O”，其中14忖<10,确定a与”的

值是解题的关键.

3.A

【分析】根据三视图可以判断该几何体为倒放的圆柱，圆柱的底面半径为L高为3,据此求得其体积即可.

【详解】解：根据三视图可以判断该几何体为圆柱，圆柱的底面半径为1,高为3,

故体积为：nr2h=nxlx3=3n,

故选A.

【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是了解圆柱的三视图并清楚其体积的计算方法.

4.A

【详解】本题考查的是三视图的知识

从主视图看，原来的几何体有三列，从左视图看，原来的几何体有两行，判断四个选项是否符合这个条件即可.

从左视图看，原来的几何体有两行，A选项有三行，不可能是A；而B、C、D都有可能，故选A.

5.B

【分析】根据等式的基本性质解决此题.

【详解】解：-X^=42+2

X-jJ-X

去分母，得x=-2+2(x-3).

故选：B.

【点睛】本题主要考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解决本题的关键.

6.A

【详解】这组数据中95出现了3次，次数最多，为众数；中位数为第3和第4两个数的平均数为95,

故选A.

7.D

7

【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，根据题中的一元二次方程计算出

A=(-l)2-4xlx4=-15<0,即可得到答案，熟记一元二次方程根的情况与判别式的关系是解决问题的关键.

【详解】解:VX2-X+2=0,

A=(-l)2-4xlx4=-15<0,

，一元二次方程X2-X+2=0没有实数根，

故选：D.

8.C

【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可.

【详解】A、-：ZADB=ZCBD,

ADIIBC,

ABIICD,

二四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；

B、,/ZADB=ZCBD,

ADIIBC,

ZDAB=ZBCD,

/.ZBAD+ZABC=ZADC+ZBCD=180°,

/.ZABC=ZADC,

二.四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；

C、ZDAB=ZBCD,AB=CD不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；

D、ZABD=ZCDB,ZAOB=ZCOD,OA=OC,

△AOB合△COD(AAS),

OB=OC,

二四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；

故选：C.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.(2)

8

两组对边分别相等的四边形是平行四边形.（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.（4）两组对角分

别相等的四边形是平行四边形.（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形.

9.A

【分析】画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符号条件的结果数，然后利用概率公式即可得出答案.

【详解】根据题意画图如下：

开始

I2-3

AAA

2-31-312

由树状图知，共有6种等可能结果，其中两个数字乘积是正数的有2种

则记录的两个数字乘积是正数的概率是2:=：1

63

故选A.

【点睛】本题考查了列表法或者画树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能得结果，适合于

两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.熟

练掌握概率=所求情况数与总情况数之比.

10.C

【分析】根据题意可知3C=BC'=4,C£»=CD=4,根据勾股定理可求得OC'求解即可.

【详解】根据题意可知3c=BC'=4,CD=C'D'=4.

在RtZXOBC中

OC'=S/BC'2-OB2="2-22=2A/3.

所以，点M的坐标为（T26）.

故选：c.

【点睛】本题主要考查勾股定理，坐标与图形，掌握勾股定理是关键.

11.C

【分析】连接。O',BO',根据旋转的性质得到N。4。，=60。，推出△是等边三角形，得至!u400=60。，推

出△。。方是等边三角形，得到N472=120。，得到NOEB=N。89=30。，根据图形的面积公式即可得到结论.

【详解】解：连接。O',BO',

9

.•・将半径为2,圆心角为120。的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°,

Z040'=60°,

△040’是等边三角形，

NAOO'=60°,OO'=OA,

・•・点O,中。0上，

•••ZA05=120°,

Z0'0厌60°,

△005是等边三角形，

/.ZAOfB=120o

•「ZAO'3'=120°,

/.Z3'。'5=120°,

/.ZO'B'B=NO'3B'=30°,

「•图中阴影部分的面积二SJ，06-QS扇形OOB-S^OOB）

内殁*RS

=2若-也

3

故选：C.

【点睛】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关

键.

12.1

【分析】本题考查了二次根式混合运算，平方差公式，掌握（G）2=a（a20）、（。+6）（。-6）="一62是解题的

关键.

【详解】解：（6+夜）（世-夜）

10

=3-2

故答案为：1.

13.2<x<3

【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤，以

及写出不等式组解集的口诀"同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到".

【详解】解：5（X+1）⑸-1②,

由①可得：x>2,

由②可得：x<3,

原不等式组的解集为2<xW3.

14.必<%<为

【分析】根据反比例函数的增减性解答即可.

【详解】解：

•••反比例函数图像的两个分支在第一三象限，且在每个象限内y随工的增大而减小，

又•.■“（<%）、阳-2,%）反比例函数〉=3%>0）的图像上的两点，且-4<-2<0,

%<%<°，

8（2,%）在反比例函数/=勺％>0）的图像上，且2>0,

•••%>°，

%、上、力的大小关系为％<%<%.

故答案为：当<%<%.

k

【点睛】本题考查利用反比例函数的增减性比较函数值的大小.反比例函数>=△（4NO）的增减性：当4>0时,

X

反比例函数图像的两个分支在第一三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小；当上<o时，反比例函数图

像的两个分支在第二四象限，且在每个象限内y随尤的增大而增大.掌握反比例函数的增减性质是解题的关键.

15.7

【分析】①当点尸在点。时，设正方形的边长为a,y=^ABxAD=^axa=S,解得。=4；②当点尸在点C时，

y=|EPxAB=1x£Px4=6,解得EP=3,即EC=3,BE=L③当x=6时，y=S正方形一（5w+S后3+S.），

11

即可求解.

【详解】解：①当点尸在点。时，设正方形的边长为。，y=gaxa=8,解得”=4；

②当点尸在点C时，y=yEPxAB=|xEPx4=6,解得砂=3,即EC=3,BE=1；

③当x=6时，如图所示：

此时，PD=6-4=2,PC=4-PD=2,

当尤=6时,V=S正方物5cB—(5As*+S,ECP+S.AFO)=4x4—3x(4xl+2x3+4x2)=7.

【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求

解.

16.-1.

【分析】先去括号，再合并同类项，最后代入x=-g,y=1•即可求解.

【详解】原式=31》+2尤一14丁一5|1+：1/+》一/

=x-2y2,

当x=_g,y=g时，原式=_!_2X[=-L

2224

【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握去括号的法则.

17.(1)50,36,52；(2)72°；(3)864.

【分析】(1)根据A组的频数是4,对应的百分比是8%,据此求得调查的总人数，利用百分比的意义求得a,

然后求得a的值，m的值；

(2)利用360。乘以对应的比例即可求解；

(3)利用总人数1200乘以对应的比例即可求解.

【详解】解：(1)1.被调查的同学共有4+8%=50人，

a=50x20%=10,b=50-(4+10+8+2)=26,

26

则a+b=36,m%=-xl00%=52%,即m=52,

故答案为50、36、52；

12

（2）扇形统计图中扇形B的圆心角的度数为360。、20%=72。；

（3）估计每月零花钱的数额在60<x<90范围的人数为1200x型箸=864人.

【点睛】本题考查扇形统计图，观察统计表、扇形统计图获得有效信息是解题关键，扇形统计图直接反映部分

占总体的百分比大小.

18.=见解析

⑵。的半径为2

【分析】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是

解题的关键.

（1）连接0C,根据切线的性质的NOCP=90。，根据含30。角的直角三角形的性质证明即可；

（2）首先推导出NACE=60。，ZCAD=ZBAC=30°,进而得到/石=90。，在Rt.ACE中，利用勾股定理解

答即可.

【详解】（1）解：OB=BP,理由如下：

过点C作圆。的切线交AB延长线于点P,

/.OC1PC,

/.ZOCP=90°,

以A3为直径的圆。经过点C,

:.ZACB=90°,

ZR4C=30。，OC=OA=OB,

.\ZABC=ZPOC=60°f

OC=-PO,

2

:.OB=-PO,

2

:.OB=PB-

13

(2)解：由(1)可知，NOCE=90。,ZACO=30°,

:.ZACE=60°,

点C是劣弧的中点，

CD=CB，

ZCAD=ZBAC=30°,

:.ZE=90°,

在RtACE中，设CE=x,贝!J：AC=2x,

由勾股定理，得：/+32=(2x>,

解得：玉=-&(不合题意，舍去)，*2=-百，

AC=2,x=2-v/3,

在直角三角形3c4中，同理可求AB=4,

。的半径为2.

19.(1)证明见解析；⑵证明见解析；(3)圆。的半径为厂=4.

【分析】(1)根据切线的性质得OCJ_DP,而AD_LDP,则肯定判断。CIIAD,根据平行线的性质得NDAC=ZOCA,

加上NOAC=ZOCA,所以NOAC=ZDAC,即可求证.

(2)根据圆周角定理由AB为圆0的直径得NACB=90°,则NBCE=45。，再利用圆周角定理得NBOE=2ZBCE=90°,

则NOFE+ZOEF=90°,易得NCFP+ZOEF=90",再根据切线的性质得到NOCF+ZPCF=90°,而NOCF=ZOEF,根

据等角的余角相等得到NPCF=ZCFP,于是可判断△PCF是等腰三角形；

(3)连结0E.由AB为0的直径，得到NACB=90。，根据角平分线的定义得到NBCE=45。，设圆0的半径为r,

则OF=6-r,根据勾股定理列方程即可得到结论.

【详解】⑴证明：「PD为圆。的切线，

OCLDP,

'：AD±DP,

..OC//AD,

：.ZDAC=ZOCA,

-：OA=OC

ZOAC=ZOCA,

：.NOAC=NDAC,

AC平分NIMB；

14

(2)证明：•.・A3是圆。的直径,

ZACB=90°,

CE平分NZACB,

：.ZBCE=45°,

ZBOE=2ZBCE=9Q°,

：.ZOFE+ZOEF^90°,

而N0FE=NCFP,

ZCFP+ZOEF=90°,

OCA.PD,

NOCP=90°,即/OB+/PC尸=90°,

而Z.OCF=NOEF,

ZPCF=ZCFP,

APCF是等腰三角形；

⑶

连结OE,

AB是圆。的直径，

ZACfi=90°,

•••CE平分NZACB,

：.ZBCE=45°,

：.Z.BOE=90°,即OE_LAB,

设圆。的半径为明则。/=6-r,

在RtAEOP中,

OE2+OF2=EF2,

15

解得4=4,4=2,

当钎4时,O户=6—r=2（符合题意）,

当4=2时,OR=6-r=4（不合题意,舍去）,

.圆。的半径为r=4.

【点睛】考查切线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等，综合性比较强，难度较大.

20.该大楼高度为52.1m

【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考

题型.

过点尸作FGLAH于点G,设BG=x（m）,在氏AFG中和RjBEG中，表示出AF,3E列等式即可求解；

【详解】过点P作于点G,

依题意得：AB=5m,ZAFG=45°,CO=3.5m,NAEG=32°,EC=FD=1.60m

设BG=x(m),则AG=(5+无)=bG,

在RfAFG中，AF=V2(5+x),

在及BEG中,—=sin32°,

BE

:.BE=~X

sin32°

又AF=BE,

&5+x)=",

sin32°

解得：兀=45.5,

QGH=EC=FD=1.60mf

:.AH=AG+GH

=5+45.5+1.6,

=52.1(m);

16

答：综上所述，该大楼高度为52.1m.

21.(l)y=-6x+720；

(2)80,30,2250；

⑶该产品的成本单价应不超过70元

【分析】(1)用待定系数法可得y=-6x+720；

(2)根据销售单价，日销售量，日销售利润之间的关系列式计算即可;

(3)由总利润=每件的利润x日销售量列方程即可解得答案.

【详解】(1)解：(1)设y关于x的函数解析式为1=区+8(ZwO).

85%+6=210

由题意,

95左+6=150

k=-6

解得

0=720

y关于x的函数解析式为y=-6%+720.

(2)解:由表格可知，该产品的成本单价是85-翳=85-5=80(元),

吁工^=30,

115-80

n=150?(9580)=2250,

故答案为：80,30,2250；

(3)设该产品的成本单价为〃元,

由题意，得(-6x90+720)x(90-。)23600,

解得aW70.

答：该产品的成本单价应不超过70元.

【点睛】本题考查一次函数及一元一次不等式的应用，解题的关键是仔细理解题意，能正确列出函数关系式和

不等式解决问题.

22.(1)1

(2)作图见解析

⑶见解析

【分析】(1)过等腰直角三角形ABC顶点A作设。为"中项点”,BD=x,BE=y,根据等腰直角

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三角形的性质可求出AE=3E=CE=y,DE=y-x,CD^2y-x,即可利用勾股定理求出=丁+(,一4,

根据"中项点”定义求出A》=x(2y-x),BP/+(y-x)2=x(2y-x),得出了=兀从而可知。点与E点重合,

即等腰直角三角形斜边上的"中项点”的个数有1个.

⑵根据直角三角形斜边中线的性质即可得出斜边48上的"中项点"为斜边AB的中点，即可解答;

(3)由圆周角定理可知/氏4£>=/及力，易证VBAD:NECD,得出丝="，从而得出丝=也，即

CDDECDAD

AD2=BDCD,即证明点。是及钻。中BC边上的〃中项点〃.

【详解】(1)解：过等腰直角三角形A3。顶点A作当。为〃中项点〃时，如图,

设5。=%,BE=y,

;ABC为等腰直角三角形，AELBC,

：.AE=BE=CE=y,

DE=y-x,CD=2y-x

,在RfAADE中，AD2=AE-+DE2，即AD?=尸+(,-尤)2,

又,。为"中项点"，即AD'BD.Q),BPAD-=x(2y-x),

y1+{y-x)2=x(2y-x),

整理，得：彳=儿

BD=BE,即。点与E点重合，

此时。为8C中点，即等腰直角三角形斜边上的"中项点”的个数有1个.

故答案为：1;

(2)如图，取A8中点。，连接CD则斜边AB边上的"中项点"为D

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（3）延长交：。于点£,连接。4、OE、CE,

在AAOE中，OA=OE,OD±AD

:AD=ED.

-/ZBAD=ZECD,ZADB=/CDE,

：.NBAD\7ECD,

ADBD

CD~DE

AD_BD

即AD2=BDCD,

~CD~^D

「•点。是△ABC中3C边上的〃中项点〃.

【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，圆周角定理以及相似三角

形的判定和性质.理解题意，掌握“中项点〃的定义是解题关键.

1

23.（1）y=-x29-x

4

（2）①的值不变，！1=1；②存在点尸（?，0）或尸