2024年3月八年级下学期第一次月考数学试卷

2024年3月八年级下学期第一次月考数学试卷

一.选择题（共30分）

L假如信;是二次根式，那么实数x应满意的条件是（）

A.xN2B.xW2C.x>2D.x<2

2.在^ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简J（af+c）2-2Ic-a-b|的结果

为（）

A.3a+b-cB.-a-3b+3cC.a+3b-cD.2a

3.若m,n为随意实数，则下列各式成立的是（）

A-a"n产m+nB.值q=m+nC.而工+反优了文丽产

4.下列各式正确的是（）

A-V（-3）2=3B-（-74）2=16C-V9=±3D.-J噌>=得

5.下列计算正确的是（）

A-V2+V3=V5B.372~A/2=3C.V2XV3=V6D.712^73=4

6.下列计算正确的是（）

A-辰B,导需=1C,亨=2D.怎号后号与

7.如图所示，在数轴上点A所表示的数为a,则a的值为（）

8.在^ABC中，ZA：ZB：ZC=1：1：2,则下列说法错误的是（）

A.ZC=90°B.a2=b2-c2C.c2=2a2D.a=b

9.如图，在^ABC中，CE平分NACB,CF平分NACD,且EF〃BC交AC于M,

若CM=3,则CE2+CF2的值为（）

A

A.36B.9C.6D.18

10.已知X、y为正数且JQ+（3-y2）2=0,假如以X,y的长为直角边作一个

直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）

A.5B.25C.7D.15

二.填空题（共20分）

11.如图，在4ABC中，AB=AC=5,P是BC边上除点B、C外的随意一点，则

AP2+PB»PC=.

12.如图，由四个直角边分别为3和4的全等直角三角形拼成的"赵爽弦图"，其

中大正方形的面积为一.

13.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=12cm,BC=6cm,一条线段PQ=AB,P,

Q两点分别在线段AC和AC的垂线AX上移动，则当AP=时，才能使4ABC

14.如图，在RtAABC中，ZC=90",AB的垂直平分线交BC于点E,AB=5,AC=3,

则aACE的周长为

15.将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm,高8cm的圆柱形水杯中，如

图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hem,则h的取值范围是.

三.解答题（共70分）

16.已知：y=Vx-2017-V2017-X-2024,求x+y的平方根.

17.计算：372-2748-4,JL+3V12.

18.计算：

（1）76X73+718^79-^1

（2）（3+&）2-（V5+1）（加-1）.

19.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫

格点，以格点为顶点按下列要求画图：

20.如图，某公司实行开业一周年庆典时，打算在公司门口长13米、高5米的

台阶上铺设红地毯.已知台阶的宽为4米，请你算一算共需购买多少平方米的红

21.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点叫做格

A

(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形;

(2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、加、任;

(3)如图3,A、B、C是小正方形的顶点，求NABC.

22.如图，已知如ZxABC中,ZC=90°,ZA=60",AC=3cm,AB=6cm.点P在线

段AC上以lcm/s的速度由点C向点A运动，同时，点Q在线段AB上以2cm/s

由点A向点B运动，设运动时间为t(s).

(1)当t=l时，推断△APQ的形态(可干脆写出结论);

(2)是否存在时刻t,使△APQ与△CQP全等？若存在，恳求出t的值，并加以

证明；若不存在，请说明理由;

(3)若点P、Q以原来的运动速度分别从点C、A动身，都顺时针沿^ABC三边

运动，则经过几秒后(结果可带根号)，点P与点Q第一次在哪一边上相遇？并

D、M分别是边AC、

CE、AE的中点，以BC、CD为边长分别作正方形BCGF和CDHN,连结FM、FH、

MH.

（1）求4ACE的面积；

（2）摸索究△FMH是否是等腰直角三角形？并对结论赐予证明;

（3）当NGCN=30。时，求△FMH的面积.

24.如图，在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=20,BC=15,点D为AC边上的动点,

点D从点C动身，沿边CA往A运动，当运动点A时停止，若设点D运动的时间

为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度.

（1）当t=2时，CD=—,AD=—；（请干脆写出答案）

（2）当1=—时，ACBD是直角三角形；（请干脆写出答案）

（3）求当t为何值时，4CBD是等腰三角形？并说明理由.

CDA

参考答案与试题解析

一.选择题

L(2024秋•商水县期中)假如在£是二次根式，那么实数x应满意的条件是

()

A.x>2B.xW2C.x>2D.x<2

【分析】依据二次根式定义和分式有意义可得2-x<0,再解即可.

【解答】解：由题意得：2-x<0,

解得：x>2,

故选：C.

【点评】此题主要考查了二次根式定义，关键是驾驭二次根式的被开方数是非负

数，分式分母不为零.

2.(2024秋•昌平区期中)在4ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简/Q-b+c)&

-2|c-a-b|的结果为()

A.3a+b-cB.-a-3b+3cC.a+3b-cD.2a

【分析】首先依据三角形的三边关系得到根号内或肯定值内的式子的符号，再依

据二次根式或肯定值的性质化简.

【解答】解：：a、b、c为三角形的三边，

.,.a+c>b,a+b>c,

即a-b+c>0,c-a-b<0；

***V(a~b+c)2-2|c-a-b|=(a-b+c)+2(c-a-b)=-a-3b+3c.

故选B.

【点评】本题主要考查二次根式的化简方法与运用：a>0时，#a；a<0时,

^=-a；a=0时，4=0.

肯定值的性质：负数的肯定值等于它的相反数；正数的肯定值等于它本身；。的

肯定值是0.

3.（2024秋•黄浦区期中）若m,n为随意实数，则下列各式成立的是（）

A-产m+nB.^+^2=m+nC.后=后+4口.也近）"=（"n）?

【分析】依据二次根式的性质把各个选项进行化简，推断即可.

【解答】解：而了=lm+n1,A错误；

Im|+1n|,B错误；

c错误;

，（gn产（m+n）2,D正确，

故选：D.

【点评】本题考查的是二次根式的化简，驾驭二次根式的性质：//=忆1是解题

的关键.

4.（2024春•都匀市校级期中）下列各式正确的是（）

A-7（-3）2=3B,（-V4）2=16C-百=±3口.圣=*

a(a>0)

【分析】依据二次根式，靛=0(a=0)进行化简.

-a(a<0)

【解答】解：A：因为正示=疗=3,所以选项A正确；

B：因为（-爪）2=（一2）2=4,所以选项B错误；

C：因为石=3,所以选项C错误；

D：-中被开方数为负数，故无意义，所以D选项错误；

故：选A

【点评】本题考查了二次根式的化简问题，解题的关键是要理解算术平方根的意

义、使二次根式有意义的条件等学问要点.

5.（2024春•北流市期中）下列计算正确的是（)

A.舟舟^B.372-V2=3C.V2XV3=V6D./+正=4

【分析】分别利用二次根式加减运算法则以及乘除运算法则化简推断得出即可.

【解答】解：A、&+近无法计算，故此选项错误；

B、3y-&=2&，故此选项错误；

C、&X«=加，故此选项正确；

D、、/正+«=y=2，故此选项错误；

故选：C.

【点评】此题主要考查了二次根式的加减以及乘除运算，正确驾驭运算法则是解

题关键.

6.（2024秋•浦东新区期中）下列计算正确的是（）

A.泥3=2B,导得1C,华=2D.怎号岳春入

【分析】依据二次根式加减法法则即可解答.

【解答】解：A、逐和泥，不能合并同类项，故错误；

B、源+需=华+隼，故错误；

c、1=2=1,故错误；

22

D、、房+工伤="伤，故正确.

33

故选：D.

【点评】本题考查了二次根式加减法，娴熟驾驭法则是关键.

7.（2024春•南陵县期中）如图所示,在数轴上点A所表示的数为a,则a的值

为（）

D.-i+Vs

【分析】点A在以。为圆心，OB长为半径的圆上，所以在直角ABOC中，依据

勾股定理求得圆0的半径OA=OB=J^，然后由实数与数轴的关系可以求得a的值.

【解答】解：如图，点A在以。为圆心，OB长为半径的圆上.

：在直角△BOC中，OC=2,BC=1,则依据勾股定理知OB=、阮%3=而韦1=遂,

/.OA=OB=-/5»

a=-1--^5.

故选A.

【点评】本题考查了勾股定理、实数与数轴.找出OA=OB是解题的关键.

8.（2024秋•雨城区校级期中）在^ABC中，ZA：ZB：ZC=1：1：2,则下列

说法错误的是（）

A.ZC=90°B.a2=b2-c2C.c2=2a2D.a=b

【分析】首先依据^ABC角度之间的比，可求出各角的度数.NC为90度.依

据勾股定理可分别推断出各项的真假.

【解答】解：由NA：ZB：ZC=1：1：2；得：ZA=ZB=45°,ZC=90°；所以A

正确.

由勾股定理可得：c2=a2+b2,所以B错误.

因为NA=NB=45°,则a=b,c2=a2+b2=2a2.所以C、D正确.

故选B.

【点评】本题考点：三角形的性质和勾股定理的应用.首先可依据各角度之间的

比值得出各角的度数.度数相等的两个角他们所对应的边长度也相等.结合勾股

定理即可得出B选项错误.

9.（2024秋•盐城期中）如图，在^ABC中，CE平分NACB,CF平分NACD,且

EF〃BC交AC于M,若CM=3,则CE2+CF2的值为（）

A

E/刈

BCD

A.36B.9C.6D.18

【分析】依据角平分线的定义、外角定理推知NECF=90。，然后在直角三角形ECF

中利用勾股定理求CE2+CF2的值即可.

【解答】解：：CE平分NACB,CF平分NACD,

AZACE=1ZACB,ZACF=1ZACD,即NECF=L（ZACB+ZACD）=90°,

222

又：EF〃BC,CE平分NACB,CF平分NACD,

NECB=NMEC=NECM,ZDCF=ZCFM=ZMCF,

；.CM=EM=MF=3,EF=6,

由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=36,

故选A.

【点评】本题考查的是勾股定理，直角三角形的性质及平行线的性质，以及角平

分线的定义，证明出4ECF是直角三角形是解决本题的关键.

10.（2024秋•元宝区校级期中）已知x、y为正数且标（3-y2）2=0,假如

以x,y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长

的正方形的面积为（）

A.5B.25C.7D.15

【分析】本题可依据"两个非负数相加和为0,则这两个非负数的值均为0"解出X、

y的值，然后运用勾股定理求出斜边的长.斜边长的平方即为正方形的面积.

【解答】解：依题意得：x2-4=0,y2-3=0,

**.x=2,y=V3（舍负取正），

斜边长=有，

所以正方形的面积=（V7）2=7.

故选C.

【点评】本题综合考查了勾股定理与非负数，解这类题的关键是利用直角三角形,

用勾股定理来寻求未知系数的等量关系.

二.填空题

11.(2024春•高安市期中)如图，在^ABC中，AB=AC=5,P是BC边上除点B、

C外的随意一点，则AP2+PB・PC=25.

【分析】首先过点A作ADLBC于D,可得NADP=NADB=90。，又由AB=AC,依

据三线合一的性质，可得BD=CD,由勾股定理可得PA2=PD2+AD2,AD2+BD2=AB2,

然后由AP2+PB«PC=AP2+(BD+PD)(CD-PD),即可求得答案.

【解答】解：过点A作ADLBC于D,

VAB=AC=5,ZADP=ZADB=90",

.\BD=CD,PA2=PD2+AD2,AD2+BD2=AB2,

.*.AP2+PB»PC=AP2+(BD+PD)(CD-PD)=AP2+(BD+PD)(BD-PD)=AP2+BD2-

PD2=AP2-PD2+BD2=AD2+BD2=AB2=25.

故答案为25.

【点评】本题考查了勾股定理与等腰三角形的性质的正确及敏捷运用.留意得到

AP2+PB«PC=AP2+(BD+PD)(CD-PD)是解此题的关键.

12.(2024春•文安县期中)如图，由四个直角边分别为3和4的全等直角三角

形拼成的"赵爽弦图"，其中大正方形的面积为25.

【分析】依据题意干脆利用勾股定理得出大正方形的边长，求出面积即可.

【解答】解：由题意可得：大正方形的边长为：行不=5，

故大正方形的面积为：25.

故答案为：25.

【点评】此题主要考查了勾股定理，正确得出大正方形的边长是解题关键.

13.（2024秋•扶沟县期中）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=12cm,BC=6cm,

一条线段PQ=AB,P,Q两点分别在线段AC和AC的垂线AX上移动，则当AP=

6cm或12cm时,才能使△ABC和△APQ全等.

【分析】本题要分状况探讨：①RtaAPQ0RtaCBA,此时AP=BC=5cm,可据此

求出P点的位置；

②Rt^QAP之RtaBCA,止匕时AP=AC,P、C重合.

【解答】解：：PQ=AB,

•••依据三角形全等的判定方法HL可知，

①当P运动到AP=BC时，4ABCmZXQPA,即AP=BC=6cm；

②当P运动到与C点重合时，△QAP咨4BCA,即AP=AC=12cm；

故答案为：6cm或12cm.

【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形

全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL.由于本题没有说明全等三角形的对应

边和对应角，因此要分类探讨，以免漏解.

14.（2024秋•姜堰区期中）如图，在RtaABC中，NC=90。，AB的垂直平分线交

BC于点E,AB=5,AC=3,则^ACE的周长为」

【分析】先依据勾股定理求出BC的长，再由线段垂直平分线的性质即可得出结

论.

【解答】解：.在RgABC中,ZC=90°,AB=5,AC=3,

BC=VAB2-AC2=752-32=4-

VAB的垂直平分线交BC于点E,

，AE=BE,

.♦.△ACE的周长=AC+BC=3+4=7.

故答案为：7.

【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长

的平方之和肯定等于斜边长的平方是解答此题的关键.

15.（2024春•固始县期中）将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm,高8cm

的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hem,则h的取值范

围是7cmWhW]6cm.

【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子

的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长.然后分别利用已知条件依据

勾股定理即可求出h的取值范围.

【解答】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，

Ah=24-8=16cm；

当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短,

在RgABD中，AD=15,BD=8,

*',AB=7AD2+BD2=17.

止匕时h=24-17=7cm,

所以h的取值范围是7cmWhWl6cm.

故答案为：7cmWhWl6cm.

【点评】本题考查了勾股定理的应用，求出h的值最大值与最小值是解题关键.

三.解答题

16.（2024秋•简阳市期末）已知：y=Vx-2017-V2017-X-2024,求x+y的平方

根.

【分析】依据被开方数大于等于0列式求出x的值,再求出y的值,然后求出x+y,

再依据平方根的定义解答.

【解答】解：Vy=Vx-2017-V2017-X-2024,

Ax-2024N0且2024-x20,

.•.x22024且xW2024,

，x=2024,

y=-2024,

.\x+y=2024-2024=1,

/.x+y的平方根是±1.

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，平方根的定义，二次根式中的被开

方数必需是非负数，否则二次根式无意义.

17.（2024春•固镇县期末）计算：372-2748-4,E+3V12.

【分析】先进行二次根式的化简，再进行同类二次根式的合并即可.

【解答】解：原式=3«--加+6«

=2/-2/3.

【点评】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键在于娴熟驾驭二次根式

的化简和同类二次根式的合并.

18.(2024秋•李沧区期末)计算：

(1)加X后任电

(2)(3+^/^)2--1).

【分析】(1)先计算二次根式的乘法和除法，再合并可得；

(2)先计算完全平方和平方差，再去括号、合并可得.

【解答】解：(1)原式=3&+&+返=史0；

22

(2)原式=9+6加+5-(5-1)

=9+6掂+5-5+1

=10+6%而.

【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，二次根式的混合运算应留意以下几

占-

八、、♦

①与有理数的混合运算一样，运算依次先乘方再乘除，最终加减，有括号的先算

括号里面的.②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式"，多个不同类的二次

根式的和可以看作“多项式”.

19.(2024秋•安陆市期末)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,

每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图：

(1)在图中画一条线段MN,使MN=JIV；

(2)在图中画一个三边长均为无理数，且各边都不相等的直角^DEF.

①②

【分析】（1）依据勾股定理，则只需构造一个以1和4为直角边的直角三角形,

则斜边MN即为JF；

（2）依据正方形的性质，则只需构造两条分别是血和2y的对角线，即得到一

个三边长均为无理数的直角三角形.

【点评】此题综合考查了勾股定理、直角三角形的性质和正方形的性质.

20.（2024秋•唐河县期末）如图，某公司实行开业一周年庆典时，打算在公司

门口长13米、高5米的台阶上铺设红地毯.已知台阶的宽为4米，请你算一算

共需购买多少平方米的红地毯.

【分析】首先可利用勾股定理解图中直角三角形得台阶的地面长度为12米，则

通过视察梯子可知需买红地毯的总长度为12+5=17米.

【解答】解：依题意图中直角三角形始终角边为5米，斜边为13米，依据勾股

定理另始终角边长：4132-52=12米,则需购买红地毯的长为12+5=17米，红地

毯的宽则是台阶的宽4米，所以面积是：17X4=68平方米.

答：共需购买68平方米的红地毯.

【点评】本题考查正确运用勾股定理.擅长视察题目的信息是解题以及学好数学

的关键.

21.(2024秋•绍兴校级期末)如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,

(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；

(2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、疾、V13；

(3)如图3,A、B、C是小正方形的顶点，求NABC.

【分析】(1)面积为5的正方形的边长为泥，画出正方形即可；

(2)以直角边为1和2构造斜边为浜，再以2和3为直角边构造斜边为/正就

得到三角形三边长分别为2、脏、V13；

(3)连接AC,利用勾股定理的逆定理证明4ACB为直角三角形即可得到NABC

的度数.

图3

由勾股定理得：AC=BC=泥，AB=V10,

VAC2+BC2=AB2=10,

••.△ABC为等腰直角三角形

AZABC=45°.

【点评】本题考查了勾股定理的学问，解答本题的关键是依据正方形的性质求出

边长，在格点三角形中利用勾股定理.

22.（2024秋•内江期末）如图，已知RtaABC中,ZC=90",ZA=60",AC=3cm,

AB=6cm.点P在线段AC上以lcm/s的速度由点C向点A运动，同时，点Q在

线段AB上以2cm/s由点A向点B运动，设运动时间为t（s）.

（1）当t=l时，推断△APQ的形态（可干脆写出结论）；

（2）是否存在时刻t,使△APQ与△CQP全等？若存在，恳求出t的值，并加以

证明；若不存在，请说明理由；

（3）若点P、Q以原来的运动速度分别从点C、A动身，都顺时针沿AABC三边

运动，则经过几秒后（结果可带根号），点P与点Q第一次在哪一边上相遇？并

求出在这条边的什么位置.

【分析】（1）分别求出AP、AQ的长，依据等边三角形的判定推出即可；

（2）依据全等的条件和已知分别求出AP、CP、AQ、CQ的长，依据全等三角形

的判定推出即可；

（3）依据勾股定理求出BC,依据已知得出方程2t-t=AB+BC,求出t的值即可.

【解答】解：（1）ZXAPQ是等边三角形，

理由是：

AP=3-1X1=2,AQ=2X1=2,

VZA=60",

...△APQ是等边三角形；

(2)存在t,使△APQ和△CPQ全等,

:在RQACB中，AB=6,AC=3,

J

AZB=30°,ZA=60°,

理由如下：

当t=1.5,此时AP=PC时,

Vt=1.5s,

AP=CP=1.5cm,

*/AQ=3cm,

AAQ=AC.

又・.・NA=60°,

••.△ACQ是等边三角形，

，AQ=CQ,

在△APQ和△CPQ中

'AQ=CQ

，AP=CP

PQ=PQ

.,.△APQ^ACPQ；

即存在时间t,使△APQ和△CPQ全等，时间t=1.5；

（3）在RSABC中，BC=VAB2-AC2=V62-32=V27;

由题意得：2t-t=AB+BC,

即t=6+后，

点P运动的路程是（6+V27）cm,

V3+6<6+A/27<'3+6+A/^V，

・•.第一次相遇在BC边上，

又（9+折）-（6+V27）=3,

经过（6+V27）秒点p与点Q第一次在边BC上距C点3cm处相遇.

【点评】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定的

应用，题目是一道综合性比较强的题目，有肯定的难度.

23.（2024春•公安县期末）如图，在等腰4ACE中，已知CA=CE=2,AE=2c,点

B、D、M分别是边AC、CE、AE的中点，以BC、CD为边长分别作正方形BCGF

和CDHN,连结FM、FH、MH.

（1）求4ACE的面积；

（2）摸索究△FMH是否是等腰直角三角形？并对结论赐予证明;

（3）当NGCN=30。时，求△FMH的面积.

【分析】（1）连结CM,在RTAACM中，利用勾股定理求出CM的长即可求出△

ACE的面积；

（2）△FMH是等腰直角三角形，连结BM,DM,首先证明四边形四边形BCDM

是边长工的菱形，设NA=a,则NBMA=NDME=NE=NA=a,NMDC=2a.利用三

角形的内角和证明NFMH=180。-ZAMH-ZCMH=180°-（a+6）=90°即可；

（3）作AHMD的边MD上的高HQ,则由勾股定理有求出DQ的长，再利用三

角形的面积公式即可求出AFIVIH的面积.

【解答】解：（1）连结CM,

CA=CE=2,M分别是边AE的中点，

ACMXAE....（1分）

在RT4ACM中，翅斗皿女，

由勾股定理得，CM=VAC2-AM2=74-c2,

ASAACE=1AE»CM=C^4_C2....（2分）

（2）^FIVIH是等腰直角三角形.…（3分）

证明：连结BM,DM.VCA=CE=2,

点B、D、M分别是边AC、CE、AE的中点，，BC=CD=BM=DM=1....（4分）

・•.四边形BCDM是边长为1的菱形，

AZCBM=ZCDM.

ZCBM+ZFBC=ZCDM+ZHDC,即NFBM=NHDM,

.♦.△FBM之△MDH....（4分）

.♦.FM=MH,且NFMB=NHMD（设大小为6）.

又设NA=a,则NBMA=NDME=NE=NA=a,ZMDC=2a.

在△MDH中，DM=DH=1,

AZDHM=ZDMH=6,

由三角形内角和定理可有：I.NDHM+NDMH+NMDH=180。，

得：e+e+2a+90°=180°,

.,.a+0=45"....（5分）

AZFMH=180°-ZAMH-ZCMH=180°-2（a+0）=90°.

•••△FMH是等腰直角三角形.…（6分）

（3）在等腰4ACE中，ZACE=180°-2a,

又当NGCN=30°时，ZACE=360°-ZGCN=180°-30°=150°

从而有：180。-2a=150。，又a+6=45°,得6=30。，a=15°....（7分）

如图，作^HMD的边MD上的高HQ,则由勾股定理有：