立体几何（理）知识点与大题16道（基础题）（解析版）-2021年高考数学大题分类提升

立体几何（理）知识点与大题16道专练（基础题）（解析

版）

平面基本性质即三条公理

公理1公理2公理3

图形

语言

如果一条直线上的两点在过不在一条直线上的三点，有如果两个不重合的平面有一个公

文字

一个平面内，那么这条直线且只有一个平面.共点，那么它们有且只有一条过该

语言

在此平面内.点的公共直线.

符号Aee1]4,2,。不共线二

,/ua

语言AeeajA8,C确定平面a

作用判断线在面内确定一个平面证明多点共线

公理2的三条推论：

推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；

推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面；

推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.

二.直线与直线的位置关系

一共面直线：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；

平行直线：同一平面内，没有公共点；

、异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。（既不平行，也不相交）

三.直线与平面的位置关系有三种情况：

在平面内一一有无数个公共点.符号aUa

相交一一有且只有一个公共点符号ana-A

平行一一没有公共点符号a〃a

说明：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aCa来表示

1.直线和平面平行的判定

（1）定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；

（2）判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

a(Zcc

简记为：线线平行，则线面平行。符号:bua>=>a//a

allb

2.直线和平面平行的性质定理：

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

\--------a«

简记为：线面平行，则线线平行.上―符号:5b

aP=b

3.直线与平面垂直

⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平

面垂直。

⑵判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

简记为：线线垂直，则线面垂直.

符号:根,〃ua

OCmn=A>=>lLa

/J_m,/_L〃

4.直线与平面垂直

性质I:垂直于同一个平面的两条直线平行。

a.La

符号:b

bl.a

性质II：垂直于同一直线的两平面平行

aLI

,符号:na

BLl

推论：如果两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.

符号语言：a/7b,a_La,=>bXa

四.平面与平面的位置关系：

平行一一没有公共点：符号a〃B

相交---有一条公共直线：符号aCB=a

1.平面与平面平行的判定

(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；

(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

aua,bua

简记为：线面平行，则面面平行.4-----------/符号：a-b^ALa/3

aP，b\/3

2.平面与平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它

们的交线平行。

合声.0°

简记为：面面平行，则线线平行.*广一符号：«V=b

P、y=b,

补充：平行于同一平面的两平面平行；夹在两平行平面间的平行线段相等；

两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行；

3.平面与平面垂直的判定

⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

⑵判定定理：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。.

简记为：线面面垂直，则面面垂直.符号:}=>a_1_夕

/uaj

面面垂直的判定定理

推论：如果一个平面平行于另一个平面的一条垂线，则这个平面与另一个平面垂直。

4.平面与平面垂直的性质定理：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂

直于另一个平面。

简记为：面面垂直，则线面垂直.

面面垂直的性质定理

证明线线平行的方法

①三角形中位线②平行四边形③线面平行的性质④平行线的传递性

⑤面面平行的性质⑥垂直于同一平面的两直线平行；

证明线线垂直的方法

①定义：两条直线所成的角为90°；（特别是证明异面直线垂直）；②线面垂直的性质

③利用勾股定理证明两相交直线垂直；

④利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直；

五：三种成角

1.异面直线成角

步骤：1、平移，转化为相交直线所成角；2、找锐角（或直角）作为夹角；3、求解

注意：取值范围：（0,90，］.

2.线面成角：斜线与它在平面上的射影成的角，取值范围：（0\901

如图：PA是平面。的一条斜线，A为斜足，0为垂足，0A叫斜线PA在平面。上

射影，NPAO为线面角。

3.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形

如图：在二面角&-/-4中，0棱上一点，OAca,OBu仇

且041Z,OB±I,则/AO3为二面角a-//的平面角。

取值范围：（O',18（f）

向量法解立体几何

1、直线的方向向量和平面的法向量

（1）.直线的方向向量：若A、B是直线/上的任意两点，则A3为直线’的一个方向向

量；与A3平行的任意非零向量也是直线’的方向向量.

⑵.平面的法向量：若向量及所在直线垂直于平面则称这个向量垂直于平面

记作",a‘如果"」a,那么向量〃叫做平面a的法向量.

⑶.平面的法向量的求法（待定系数法）：

①建立适当的坐标系.

②设平面a的法向量为n=（x,y,z）.

③求出平面内两个不共线向量的坐标〃二（%,生,生）,=（Z?i，Z?2，/?3）,

n-a=0

④根据法向量定义建立方程组（.一.

n-b=0

⑤解方程组，取其中一组解，即得平面a的法向量.

2、用向量方法判定空间中的平行关系

⑴线线平行。设直线的方向向量分别是。、〃，则要证明4〃，2,只需证明〃〃方，

即a=kb(kGR).

⑵线面平行。设直线/的方向向量是〃，平面a的法向量是“，则要证明/〃。，只需

证明〃_L〃，即〃•〃二().

⑶面面平行。若平面a的法向量为〃，平面p的法向量为v,要证a//p,只需证〃//

V,即证"=

3、用向量方法判定空间的垂直关系

⑴线线垂直。设直线/“A的方向向量分别是。、匕，则要证明/1，。，只需证明。，匕，

即。力=0.

⑵线面垂直

①(法一)设直线/的方向向量是a,平面a的法向量是M,则要证明/_La,只需

证明。〃M,即。=XM.

②(法二)设直线/的方向向量是a,平面a内的两个相交向量分别为m、“，若

a-m=0,

a-n=Q

⑶面面垂直。若平面a的法向量为a,平面夕的法向量为"，要证。_L〃，只需证

u1.V,即证M"=0.

4、利用向量求空间角

⑴求异面直线所成的角

已知a,6为两异面直线，A,C与B,D分别是上的任意两点，a,6所成的角为

ACBD

则COS0=----------ri----------.

AC\\BD

⑵求直线和平面所成的角

求法：设直线/的方向向量为a,平面a的法向量为a,直线与平面所成的角为。，a

与“的夹角为°,则。为0的余角或。的补角

a-u

的余角.即有：sin3=|cos=

tz||w

⑶求二面角

二面角的平面角是指在二面角a-1-p的棱上任取一点0,分别在两个半平面内

作射线AO±I,BO±I,则NAQB为二面角a-l-(3的平面角.

求法：设二面角。-，的两个半平面的法向量分别为加、“，再设加、〃的夹角为

9，二面角。一/一，的平面角为。，则二面角。为相、”的夹角0或其补角万一0.

根据具体图形确定。是锐角或是钝角：

m-nm-n

如果。是锐角，贝！!cos。=|cosM=―n—即9=arccos

m\\nm|

m-nmn

如果。是钝角，贝!]cos8=—|cOS9|=----H—即。=arccos-

m\\nm|n

\7

5、利用法向量求空间距离

⑴点Q到直线/距离

若Q为直线/外的一点，P在直线/上，。为直线/的方向向量，b=PQ,则点Q到直

线/距离为h=

⑵点A到平面a的距离

若点尸为平面a外一点，点M为平面a内任一点，平面a的法向量为〃，则P到平

面a的距离就等于MP在法向量〃方向上的投影的绝对值.

II/\I।n-MP\n-MP\

即d=\MP\COS(n,MP)=\MP\--n-----=--―-

11x711n^MPn

⑷两平行平面a,尸之间的距离

利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即

\n-MP\

d=J____L

HI-

⑸异面直线间的距离

设向量〃与两异面直线。力都垂直，MGa,Peb,则两异面直线a,b间的距离d就是

\n-MP\

MP在向量〃方向上投影的绝对值。即〃=

\n\

1.如图，在三棱锥A—BCD中，A6c是等边三角形,/&4。=/38=90°,点2是

AC的中点，连接BP,DP.

(1)证明:平面ACDJ_平面

(2)若BD=底，且二面角A-BD-C为120°，求直线AD与平面5C。所成角的正弦

值.

【答案】(D见解析(2)YZ

2

【分析】

(1)由‘ABC是等边三角形,/a4。=/38=90°,得人。=。。.再证明

PD±AC,PB±AC,从而和证明AC，平面PBD，故平面ACD±平面3DP得证.

(2)作CELBD,垂足为E连接AE.由RtAABr>£Rt「.Cfi£),证得

AE，8£>,AE=CE,结合二面角A—BD—C为120。,可得

AB=2,AE=冬8,ED=—・建立空间直角坐标系，求出点的坐标则

33

D0,4>0,A—#>0,1,向量AD=,即平面3co的一个法向量

\7\7\

,.em-ADII

m=(0,0,1)，运用公式cos〈/n,AD)=­和sin^=cos(m,A。〉,即可得出直线

AD11

AD与平面BCD所成角的正弦值.

【详解】

解：(1)证明:因为&ABC是等边三角形,=ZBCD=90°.

所以RtABD=Rt。£>,可得42)=。0.

因为点尸是AC的中点，则PD±AC.PB±AC,

因为P£>尸5=P,2Ou平面PBD,P5u平面PBD,

所以AC，平面PBD，因为ACu平面ACD,

所以平面ACD±平面BDP.

(2)如图，作CELBD,垂足为E连接AE.

因为Rt.ABDgRt.CBD,

所以AE，BD,AE=CE,NAEC为二面角A-BD-C的平面角.

由已知二面角A-BD-C为120°，知ZAEC=120°.

在等腰三角形AEC中，由余弦定理可得AC=mAE.

因为.ABC是等边三角形，则AC=A5,所以AB=^3AE.

11厂

在RtAABD中，有一AD,得5。=y/3AD,

22

因为3。=#,所以A£>=JL

又=Afi?+")2,所以9=2.

则AE=,ED=—.

33

以E为坐标原点,以向量EC,E£>的方向分别为％轴,丁轴的正方向,

以过点E垂直于平面BCD的直线为z轴,建立空间直角坐标系E-xyz,

则jo?,。],/—《,0,1],向量血/咚,£—1,

I3JI3JI33J

平面5CD的一个法向量为根=(0,0,1),

设直线AD与平面BCD所成的角为夕

/An\加AD—1A/2亚

则C°S<m，皿==百=一三sin'=|cos<m,AD>|='

所以直线AD与平面5CD所成角的正弦值为正.

2

【点睛】

本题考查面面垂直的证明和线面所成角的大小，考查空间想象力和是数形结合的能力，属

于基础题.

2.如图，在四棱锥尸-A3CD中，底面ABC。为菱形，NZMB=60。，侧棱底

面ABC。，PD=CD,点E为PC的中点，作交PB于点F.

(1)求证：PA平面

(2)求证：PC±DF；

(3)求二面角3-PC-。的余弦值.

【答案】(1)见解析(2)见解析(3)立

7

【分析】

(1)连接AC交3D于。，连接EO,根据中位线定理证明E。/PA,即可证得PA平

面BDE.

(2)先证FC，平面EFD.又"JDFu平面EFD，则PC-LDF.

(3)建立空间直角坐标系，列出各点的坐标表示，求出平面尸5C的法向量为

n=(羽y,z)，又因DH±平面PCD所以DH为平面PCD的一条法向量，利用余弦公

式求解即可得出二面角3-尸。-。的余弦值.

【详解】

解：(1)证明:连接AC交助于。，连接EO.

因为E,。分别为。。,4。的中点,所以£0为"。1的中位线

•••EO尸/心又石^匚平面吕少?以仁平面班见,，尸41平面班)£

（2）在AP5C中,PD=CD,点E为PC的中点,

PC1DE,EF1PC

：.\EFryDE=E，则PC,平面EFD.

ER,DEu平面ERD

又,/DFu平面EFD厕PC±DF.

（3）取AB中点”，连接£）〃.

依题意可得AA5D为等边三角形,，DH^AB,DHYCD

又因为尸。,底面ABCD.QH,COu平面ABCD

建立以。为坐标原点，如图所示坐标系,则有:

D（0,0,0）,A（2,0,0）,H（V3,0,0）,B（A/3,1,0）,C（0,2,0）,P（0,0,2）,£（0,1,1）

PC=（0,2,-2）,BC=（Al,0上设平面PBC的法向量为“=（x,%z）,

x=l

2y-2z-0

则《<y=y/3,：.〃=指）

-y/3x+y=0

z=G

vDH±平面尸CO,所以DH为平面PCD的一条法向量，且DH=(6,0,0)

【点睛】

本题考查直线与平面平行判定定理的应用，直线与平面垂直的判定定理的应用，求二面角

的余弦值，熟练掌握定理是证明的关键.

3.如图，直四棱柱ABCD-A向GOi的底面是菱形，44=4,AB=2,ZBAD=60°,E,

M,N分别是3GBBi,40的中点.

(1)证明：MN〃平面CiOE；

(2)求AM与平面4M。所成角的正弦值.

【答案】(1)见解析(2)叵

5

【分析】

要证线面平行，先证线线平行

建系，利用法向量求解。

【详解】

(1)连接ME,BC

VM,E分别为5出,2C的中点

ME=-B.C

21

又：A^B^AB=CD

•••AQCBi是平行四边形

•*-4。=4。

ND=ME

.♦.NDEM是平行四边形

J.NM//DE

又平面C\DE

〃平面CiDE

(2)由题意得DE与BC垂直，所以DE与AD垂直：以。为原点，DA,DE,DDi三边

分别为％,%Z轴，建立空间坐标系。-孙z

贝IJA(2,0,0),Ai(2,0,4),M(1,百，2)

设平面A\MD的法向量为n=(尤,y,z)

n-D\=0

则《

n-DM=0

2%+4z=0

%+Sy+2z=0

解得〃=(2,0,—1)

又AM=(-l,币,2)

V10

•*.AM与平面AiMD所成角的正弦值

r

【点睛】

要证线面平行，可证线线平行或面面平行。

求线面所成角得正弦值，可用几何法做出线面角，再求正弦值；或者建立空间直角坐标

系，利用法向量求解。

4.如图所示,已知点P在正方体ABCD-A，B，O»的对角线BDr±,ZPDA=60°.

⑴求DP与C。所成角的大小.

⑵求DP与平面AADD所成角的大小.

【答案】⑴45°.(2)30°.

【分析】

(1)以D为原点,DA,DC,DD分别为x轴,y轴,z轴正方向建立空间直角坐标系，连接

BD,BD.在平面BBDD中，延长DP交BD于H.设DH=(m,m,l)(m>0),由

<。"，。4>=6。°,利用坐标运算可得111，进而可得cos〈£)H，CC'>，从而得解；

(2)平面AADD的一个法向量是。。=(0,1,0),由cose。〃，。。〉即可得解.

【详解】

⑴如图所示,

以D为原点,DA,DC,DD，分别为x轴,y轴,z轴正方向建立空间直角坐标系，

设DA=1.则9=(1,0,0),eg=(0,0,1).连接BD,BD.在平面BBDD中，延长DP交BD

于H.

设DH=(m,m,l)(m>0),

由已知，D4>=60。,由DH^DA=\DAWDH\cos<DH-D4>,可得2m=J2m?+1.

解得m=注，

2

「(叵V2。

所以£>〃=〒，7-，1•

I22)

....-x0+—xO+lxl百

因为cos<DH，CC'>=22_________=v2

72x1—2

所以，co>=45。,即DP与CC所成的角为45°.

(2)平面AADD的一个法向量是DC=(0,1,0),

中4—x0+—xl+lxO1

因为cos<DH，DC>=22_________=

1x72—2

所以,DC>=60。,可得DP与平面AADD所成的角为30°.

【点睛】

本题主要考查了利用空间向量处理线线角和二面角，属于基础题.

5.如图，四棱锥S-ABCE)中，一是正三角形，四边形ABC。是菱形，点E是3S

的中点.

D

/

(I)求证：SDH平面ACE；

(ID若平面ABS，平面ABC。，ZABC=120°,求直线AC与平面ADS所成

角的正弦值.

【答案】(D证明见解析；(ID好.

5

【分析】

(I)连接BD交AC于点F,再连接EF,利用EF是三角形DBS的中位线，判断出DS

平行EF,再利用线面平行的判定得证；

(II)取AB的中点为O,利用己知条件证明DO、SO、BO两两垂直，然后建立空间直

角坐标系，求出平面ADC的法向量，再利用线面角的公式求出直线AC与平面AOS所

成角的正弦值.

【详解】

(I)证明：连接BD角AC于点F,再连接EF.

因为四边形ABCD是菱形，所以点F是BD的中点，

又因为点E是的中点，所以EF是三角形DBS的中位线，

所以DS平行EF,

又因为EFu平面ACE,SD<Z平面ACE

所以50〃平面ACE

(II)因为四边形ABCD是菱形，ZABC=120°,所以NABD=工NA3C=60

2

又AB=AD,所以三角形ABD为正三角形.

取AB的中点O,连接SO,则DOLAB

因为平面ABS_L平面ABCD,平面「平面ABCZ)=AB

所以DO,平面ABS,又因为三角形ABS为正三角形

则以O为坐标原点建立坐标系

A

设AB=2a,则A(O,-tz,O),S(6a,0,0),0(0,0,岛),C(0,2〃,QQ)

AD=(0,a9A/^Q),AS=(A/3^,a,0),AC=(0,3a,y/3a)

设平面ADS的一个法向量为力=(x,yz)

AD-n=0y+A/3Z=0

则〈0<l

AS-n=0[V3x+=0

取X=l,则>=一6"=1

所以£=(LL"1)

设直线AC与平面ADS所成角为。

则sin3=|cos/AC,n}\=।=g

1\71|AC|.|7I|5

【点睛】

本题主要考查了线面平行的判定定理以及运用空间向量去解决立体几何的问题，如

何建系和求法向量是解题的关键，属于中档题.

6.已知。4,08,。。两两垂直,。4=。7=3,。8=2,加为08的中点，点N在AC

(II)若点P在线段上，设拓=九当时，求实数2的值.

【答案】(I)|脑斗=n(II)2=|

【分析】

（I）建立空间直角坐标系，写出M,N的坐标，从而可得MN的长;

（II）利用垂直，向量数量积为0,求出X的值.

【详解】

（I）由题意，以OA,OB,OC分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系,

0(0,0,0),A(3,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3)

由于M为06的中点，点N在AC上，可得“（0,1,0）,N。,0,2）

\MN\=y/6

BP

（II）设P（o,y,z）—=4,且点尸在线段上

PC

，尸。心舍

BP=APC

.APLMNAP-MN=0

c264八，5

1+21+23

【点睛】

本题主要考查空间向量的应用，利用空间向量求解线段的长度，利用空间向量解决空间

的垂直问题.

7.如图，已知矩形所在平面外一点P,上4,平面ABC。，E、尸分别是AB、

PC的中点.

求证：（1）共面;

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【分析】

（1）以A为原点,46为％轴,AD为丁轴，AP为z轴,建立空间直角坐标系A-孙z,

设45=2。,6。=2/7,9=2。，求出后歹=(0,b,c),AP=(0,0,2c),AD=(0,

2b,0),从而Eb=gAP+gA£),由此能证明所,AP,A。共面.

(2)求出C£>=(—2a,0,0),E尸=(0,b,c),由CDE尸=0,能证明CDLEF.

【详解】

证明：。)如图，以A为原点，AB为x轴，为y轴，A尸为z轴，

建立空间直角坐标系A-孙z,

设AB=2a,BC=2b,PA=2c,

则A(0,0,0),B(2a,0,0),C(2a,2b,0),

D(0,2b,0),P(0,0,2c),

E为AB的中点，尸为PC的中点，

E(a,0,0),F(a,b,c),

=(0,b,c),=(0,0,2c),=(0,2b,0),

11

:.EF=-AP+-AD

22

ARAD共面.

(2),CD=(-2a,0,0),EF=(0,b,c),

CDEF=(-2a,0,bc)=

CD±EF：.CDLEF.

【点睛】

本题考查三个向量共面的证明，考查两直线垂直的证明，是基础题.

8.如图，直棱柱ABC—A与G的底面△ABC中，CA=CB=1,NACB=90°,

棱A4=2,如图，以C为原点，分别以C4,C3,CG为羽yz轴建立空间直角坐标系.

(1)求平面的法向量；

(2)求直线AC与平面4耳C夹角的正弦值.

【答案】(1)(-2,-2,1)；(2)j.

【分析】

(1)v=(%,%,Zo)为平面A1B1C的法向量，则

解方程组即得平面的法向量;

V-C41=AO+2ZO=O,VCB1=yo+2zo=O.A^C

(2)利用向量法求直线AC与平面A与C夹角的正弦值.

【详解】

(1)由题意可知C(o,o,o),A(1,0,2),4(0,1,2)

故MunoaxcBinco/a)

设v=(无0，%*0)为平面AB1C的法向量，

则v・C^=%+2z0=O,v・CB]=y0+2z0=0

即卜——,令Z0=1,贝Ijv=(-2,-2,1)

[为=-2z°

(2)设直线AC与平面44c夹角为。，而C4=(l,0,0),

所以直线AC与平面44c夹角的正弦值

\CA-v\|(1,0,0)-(-2,-2,1)|2

sin0==

|C4||v|1XV22+22+123

【点睛】

(1)本题主要考查直线和平面所成角的求法，考查法向量的求法，意在考查学生对该

知识的掌握水平和分析推理能力.（2）直线和平面所成的角的求法方法一：（几何法）

找告作（定义法）T证（定义）-指“求（解三角形），其关键是找到直线在平面内的射影

I/4Z?•YII

作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法）sin。=「一其中A3是

\AB\\n\

直线/的方向向量，〃是平面的法向量，戊是直线和平面所成的角.

9.如图，四棱锥尸-A6CD中，为正三角形，ABC。为正方形，平面？

平面ABC。，E、R分别为AC、BP中点.

（1）证明：斯//平面PC。；

（2）求直线8尸与平面PAC所成角的正弦值.

【答案】⑴见解析;⑵叵.

7

【分析】

分析：（1）要证线面平行，只需在面内找一线与已知线平行即可，连接5。，根据中位

线即可得EFV/P。即可求证；（2）求线面角则可直接建立空间直角坐标系，写出线向

量和面的法向量，然后根据向量夹角公式求解即可.

详解：

（1）连接BD,

：ABCD是正方形，E是AC的中点，是的中点，

F是BP的中点、，；•EF//PD,

：Eba平面PCD,。£＞匚平面。5。，,跖//平面尸。。.

（2）建立如图所示空间直角坐标系O-孙z,设A5=2,

则5（0,1,0）,P（Ao,O）,4（0,—1,0）,C（0,l,2）,

BP=（A-l,0）,AP=（A/3,1,0）,AC=（0,2,2）,

设平面PAC的法向量H=（羽y,z）

取y=-y/3得n=0,_6,6),

设BP与平面PAC所成角为。，

点睛：考查立体几何的线面平行证明，线面角的求法，对定理的熟悉和常规方法要做到

熟练是解题关键.属于中档题.

10.如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABC。是矩形，〃是24的中点，平

面ABC。，且PD=C£）=4,AD=2.

（1）求AP与平面CMB所成角的正弦.

（2）求二面角M—C5—尸的余弦值.

4

【答案】（1）j.

43函

乙）--------

10

【解析】

分析：（1）直接建立空间直角坐标系，然后求出面的法向量和已知线的向量，再结合向

量的夹角公式求解即可；（2）先分别得出两个面的法向量，然后根据向量交角公式求解

即可.

详解：

（1）是矩形，

ADVCD,

又：平面ABC。，

:•PD上AD,PD1CD,即PD,AD，CD两两垂直，

•••以。为原点，DA，DC,OP分别为了轴，V轴，z轴建立如图空间直角坐标系,

由PD=CD=4,AD=2,得A（2,0,0）,B（2,4,0）,C（0,4,0）,£＞（0,0,0）,

P（0,0,4）,M（1,0,2）,

则AP=(—2,0,4),BC=(-2,0,0),MB=(1,4,-2),

设平面CAffi的一个法向量为4=（再,wzj,

BC%=0—2x=0

t，令％=1,得芯=°，Z]=2,

MB•〃1=0X+4yi—2zi=0

**•4=(0,1,2),

84

2亚.后一飞，

4

故AP与平面CMB所成角的正弦值为y.

(2)由(1)可得PC=(O,4,T),

设平面尸的一个法向量为%=（x2,j2,z2）,

BC-«=0—2X=0

则《2?，即《'2仆，令％=1，得马=°，Z2=1,

[A4%—4z2=0

PCn2=0

./\33加

故二面角M-CB-P的余弦值为之叵.

10

点睛：考查空间立体几何的线面角，二面角问题，一般直接建立坐标系，结合向量夹角

公式求解即可，但要注意坐标的正确性，坐标错则结果必错，务必细心，属于中档题.

11.已知棱长为2的正方体ABC。-A4G。，点M、N分别是4耳和的中点,

建立如图所示的空间直角坐标系.

(1)写出图中M、N的坐标；

⑵求直线AM与NC所成角的余弦值.

2

【答案】(DM(2,1,2),N(2,2,1).(2)y.

【分析】

⑴根据正方体的棱长，直接写出坐标；

(2)利用向量夹角公式能求出直线AM与CN所成的角的余弦值.

【详解】

(1)由于正方体ABC。—4耳的棱长为2.

由题意知A(2,0,0),B(2,2,0),：.M(2,1,2),

C(0,2,0),：.N(2,2,1).

(2)由(1)可知AM=(0,1,2),CN=(2,0,1),

设直线AM与CN所成的角为0,

22

则COS0=|cos<AM,CN>1=1逐币1=--

2

直线AM与CN所成的角的余弦值是二.

【点睛】

本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查了空间向量法的应用，是基础题.

12.在直三棱柱ABC-AiBiG中，AB1AC,AB=AC=2,AiA=4,点D是BC的中点;

(I)求异面直线AiB,AG所成角的余弦值；

(II)求直线ABi与平面CiAD所成角的正弦值.

【答案】(I)-(II)

515

【详解】

试题分析：(D以屈，菽，AA1为x,y,z轴建立空间直角坐标系A-xyz,可得A[B

和记的坐标，可得cos＜不，记》，可得答案；

(II)由(D知，ApB=(2,0,-4),7D=(1，1，0)，设平面CiAD的法向量为：=

(x,y,z),由｛可得3(1,-1,3)，设直线ABi与平面CiAD所成的角

n-AD=02

为0,则sin0=|cos＜函，n＞l=—＞进而可得答案.

15

解：(I)以至，AC，AA[为X,y,z轴建立空间直角坐标系A-xyz,

则可得B(2,0,0),Ai(0,0,4),Ci(0,2,4),D(1,1,0),

AApB=(2,0,-4),苗=(0,2,4),

,•-164

/.cos<A,B,ACi>=/xz/=-v

11V20xV205

.••异面直线A1B,AC1所成角的余弦值为：&

5

(ID由(I)知，不二(2,0,-4),而二(1,1,0),

设平面CiAD的法向量为；=(x,y,z),

n-AC=0(2V+4Z=0.i

则可得｛，即k，取X=1可得『(1,-1,当，

设直线ABi与平面CiAD所成的角为仇则sinO=|cosVAB[,7>1=&近

15

直线ABi与平面CiAD所成角的正弦值为：3近

考点：异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角.

13.如图，在棱长为a的正方体ABCD-AiBiCiDi中，E、F、G分别是CB、CD,CCi

的中点.

(1)求直线4C与平面ABCD所成角的正弦的值；

(2)求证：平面ABiDi〃平面EFG；

(3)求证：平面AA1CJ_面EFG.

1

Cl

【答案】(1)走；(2)见解析；(3)见解析.

3

【解析】

试题分析：(1)因为一平面ABCD,所以为4c与平面ABCD所成角，

然后解三角形求出此角即可.

(2)证明面面平行根据判定定理只须证明平面平面ABiDi内两条相交直线和

。一B分别平行于平面EFG即可.在证明线面平行时又转化为证明线线平行.

(3)易证：BD,平面AAiC,再证明EF//BD,因而可证出平面AAiCL面EFG.

(1)：C平面ABCD=C,在正方体ABCD-A1B1C1D1

一平面

H1ABCD

，AC为a；C在平面ABCD的射影

•••一,C4为4c与平面ABCD所成角......2分

正方体的棱长为a

；.AC=0a，AC=y[ja

sinAlCA=^=—.............4分

"AC3

(2)在正方体ABCD-AiBiCQi

连接BD,DD\〃BB，DDX=BB

33：为平行四边形

.••D：曷〃03「E,F分别为BC,CD的中点

.,.EF〃BD，EF〃D8；................3分

：EF二平面GEF,D8二平面GEF

平面GEF...............7分

1J

同理.45〃平面GEF：D：B/.地=为

平面AB1D1〃平面EFG....................9分

（3）在正方体ABCD-AiBiGDi二儿3一平面ABCD

•.•EFZ：平面ABCD

•••4*-EF................10分

：ABCD为正方形

.\AC1BD

：EF〃BD

AACIEF..............11分

蚪中威G'=H

...EFJ_平面AAiC

：EF：平面EFG

二平面AAiC_L面EFG.....................12分.

考点：斜线与平面所成的角，线面垂直，面面垂直，面面平行的判定.

点评：斜线与平面所成的角就是斜线与它在这个平面内的射影所成的角，因而关键是找

到它在这个平面内的射影.面面垂直（平行）证明要转化为证明线面垂直（平行）再转

化为线线垂直（平行）.

14.如图1,ZACB=45,BC=3,过动点A作垂足O在线段5c上且

异于点连接沿AD将△折起，使/B£>C=90（如图2所示）.

图1图2

（1）当3。的长为多少时，三棱锥A—BCD的体积最大；

（2）当三棱锥A—BCD的体积最大时，设点E,〃分别为棱BC,AC的中点，试

在棱CD上确定一点N,使得EN工BM,并求EN与平面所成角的大小.

【答案】(1)5D=1时,三棱锥A—BCD的体积最大.(2)当DN=工时，

2

EN±BM.EN与平面BMN所成角的大小0=60.

【详解】

【分析】

试题分析：(1)设3D=x(0<x<3),则CD=3—又NACfi=45，所以

AO=CD=3-%.由此易将三棱锥A-BCD的体积表示为x的函数，通过求函数的最

值的方法可求得它的最大值.

(2)沿将△ABD折起后，。4。氏。。两两互相垂直，故可以。为原点，建立空

间直角坐标系D-孙z,利用空间向量即可找到点N的位置，并求得EN与平面

所成角的大小.

试题解析：(1)解法1：在如图1所示的△ABC中，设3D=x(0<x<3),则CD=3—x.

由AD_LBC,ZACB=45知，△ADC为等腰直角三角形，所以AD=CD=3—%.

由折起前ADJ-BC知，折起后(如图2),ADLDC,AD1BD,且DC=D,

所以AD_L平面5cD.又NBDC=90，所以S.c。=5①>。7)=5式3—x).于是

匕.BCD=gSMCD=g(3-X)・gx(3-x)=g2x(3-x)(3-x)

/1~2x+(3-x)+(3-x)~32

<——------------------------=——，

n\_3J3

当且仅当2%=3-%,即％=1时，等号成立，

故当元=1,即氏0=1时,三棱锥A—5co的体积最大.

,1111q9

解法2：同解法1,得匕jgco=7A^,SABCD=彳(3-冗)，；71(3—%)=：(%—6元+9元).

3326

^/W=-U3-6X2+9X),由r(x)=』(x—l)(x—3)=0,且0<x<3,解得x=l.

62

当xw(0,1)时，f'{x}>0；当xe(l,3)时，f\x)<0.

所以当x=l时，FW取得最大值.

故当应>=1时,三棱锥A-BCD的体积最大.

(2)以。为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系。-孙z.

M

C

由(1)知，当三棱锥A—5CD的体积最大时，BD=1,AD=CD=2.

于是可得。(0,0,0),5(1,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2),M(0,1,1),E(-,l,0),

2

且.

—.1

设N(0,40),则EN=(—5"—1,0).因为E7V,砒f等价于EM5M=0,即

(--,2-1,0)-(-1,1,1)=-+2-1=0,故X=N(0,-,0).

2222

所以当DN=」(即N是CD的靠近点。的一个四等分点)时