微积分试题及答案

一、选择题（每题2分）

1、设/（x）定义域为（1,2）,则/（Igx）的定义域为()

A、(0,Ig2)B、(0,Ig2]C、(10,100)D、(1,2)

X2-x

2、x=-1是函数/(%)=的（）

国『1）

A、跳跃间断点B、可去间断点C、无穷间断点D、不是间断点

山叵等于（）

3、试求lim

xf0x

A、B、0C、1D、co

4

4、若上+二=1,求y等于()

%y

A、B、Zc、2D、3

2y-x2x-y2x-y

5、曲线y=二的渐近线条数为（）

1—X

A、0B、1C、2D、3

6、下列函数中，那个不是映射（）

A、y2-x(xe7?+,yeR~)B、y2=—犬+1

c、y-x2D、y=Inx(%>0)

二、填空题（每题2分）

1、y=/的反函数为

2、、设/（x）=lim”巫，则/（x）的间断点为

XT8nx+1

3、已知常数a、b,lim丘但巴=5,则此函数的最大值为__________

%川l-x

4、已知直线y=6九-左是丁=3炉的切线，则k=

5、求曲线xlny+y-2x=l,在点（1,1）的法线方程是

三、判断题（每题2分）

r2

1、函数y下是有界函数（）

1+X

2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件（）

3、若lim2=oo,就说用是比"低阶的无穷小（）

a

4、可导函数的极值点未必是它的驻点（）

5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点()

四、计算题（每题6分）

iJ

1、求函数y的导数

2、已矢叮(x)=xarctanx——ln(l+x2)求出

3、已知炉-2町+_/=6,确定y是%的函数，求y"

.生，.tan%-sinx

4、求hm--------------

%sin-%

5、计算hn京访

1

6、计算lim(cosx)，

x->0+

五、应用题

1、设某企业在生产一种商品X件时的总收益为R（x）=100x-x2,总成本函数为

C（X）=200+50X+X2,问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润

最大的情况下，总税额最大（8分）

2、描绘函数丁=/+工的图形（12分）

X

六'证明题（每题6分）

1、用极限的定义证明：设limf（x）=A,则lim/（-）=A

xf+00o+X

2、证明方程xe'=l在区间（0,1）内有且仅有一个实数

一、选择题

1\C2、C3、A4\B5\D6、B

二、填空题

1vx=02、a=6,b=-73、184、35、x+y-2=0

三、判断题

1xV2、X3\J4、X5\X

四、计算题

1、

.1

,sin—

V=(%xy

sin—Inx

x)'

sin-Inx]]11

%cos—(----)InxH——sin—

xxxx

=J(—4c°sLn%+Li/)

XXXX

2、

dy=f'{x}dx

/112x、7

=(arctanx+x---------r-----------------)dx

1+x221+x2

=arctanxdx

3、

解:

2x-2y-2xy'+3j2/-0

,2x-3y

/.y=------------T

2x-3y2

〃—(2-3/)(2x—3俨(2x-2y)(2—6R)

y

(2x-3/

4、

解:

x2

•当%—0时，%tanxsinx,l-cosx~2

12

%一%

tanx(l-cos%)2

原式二lim=lvim---

x—>0xsin2xx->。]2

5、

解:

令x=t6

dx=6z5

原式=[-——丁二

J(1+产"3

#2

=6(-----

J1+产

产+1—1

=41+产

=6j(lJ

=67一6arctant+C

=6y[x—6arctany[x+C

6、

解:

1

原=limed

lim-J-Incosx

—ex->o+x.

其中：

lim上Incos

X—o+X，

Incosx

=lim

X一o+

、

-----1----(,—sm•x)

=limcosx

X一o+2x

f.—tanx1

=lim-------------

2x2

i

原式=e2

五、应用题

1、解：设每件商品征收的货物税为a,利润为L(x)

L(x)=R(x)—C(x)-ax

—lOOx—%2—(200+50x+%2)—ax

-—2x?+(50—ci)x—200

Z/(x)=—4x+50—a

令L'(x)=0,得x=笆二此时L(x)取得最大值

4

税收Tw=a(50—公

4

r=1(50-2a)

令7=0得a=25T〃=」<0

2

.•.当a=25时，T取得最大值

2、

解:

。=（一8,0）。（0,+8）间断点为九=0

y=2x-二

X

令旷=0则x=上

次

Z=2+4

令y〃=0则x=-1

1(自+⑹

X(-00,-1)(-1,0)

-10W

y———X—0+

y”+0—X+++

拐无定

y极值点Z

点义

渐进线：

limy=8「.y无水平渐近线

X-00.

limy=0x=0是y的铅直渐近线

x-^0

lim—=，丁=oo/.y无斜渐近线

a0°xx

六'证明题

证明：

lim/(x)=A

x—>00

V^>0,3M>0

当％〉M时，有,(%)—A|<£

>0,贝U当0<%〈工时，有工〉M

MMx

■■/(-)-A<£