2024年高考数学：特殊平行四边形的综合问题（重点突围）(教师版)

高考复习材料

特殊平行四边形的综合问题

.【中考考向导航】

目录

【直击中考】...................................................................................1

【考向一特殊平行四边形中的折叠问题】.....................................................1

【考向二特殊平行四边形中旋转问题】.......................................................7

【考向三特殊平行四边形中定值问题】......................................................13

【考向四特殊平行四边形最小值问题】.....................................................19

【考向五特殊平行四边形中点四边形问题】.................................................25

【考向六特殊平行四边形中的动态问题】...................................................33

a;1

《一角【直击中考】

【考向一特殊平行四边形中的折叠问题】

例题：（2022秋•甘肃兰州•九年级统考期中）将矩形纸片/BCD沿AD折叠得到△BCD,C'D与4B交于点

E,若Nl=35。，则N2的度数为（）

*-------------'

A.15°B.20°C.25°D.30°

【答案】B

【分析】根据矩形的性质，可得乙4瓦?=/1=35。，ZABC=90°,进而求得乙D8C=55。，根据折叠可得

ZDBC=NDBC=55°,最后根据Z2=ZDBC-ZABD进行计算即可.

【详解】解：••・四边形/BCD是矩形，

CD//AB,ZABC=90°,

：.ZABD=Z1=35°,

ZDBC=ZABC-NABD=55°,

由折叠可得ZDBC=ZDBC=55°,

.-.Z2=ZDBC-ZDBA=55°-35°=20°,

故选：B.

【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线性质，折叠性质，角的有关计算等知识，解题的关键是求出

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和/DA4的度数.

【变式训练】

1.（2022秋•九年级课时练习）如图，把菱形/BCD沿折叠，使B点落在上的E点处，若48=70。,

则NEOC的大小为（）.

A.15°B.20°C.30°D.25°

【答案】A

【分析】根据菱形的性质，已知菱形的对角相等，故推出乙4DC=/B=70。，从而得出瓦)=又因

为AD//BC,故ZDAE=ZAEB,ZADE=ZAED,易得解.

【详解】解：根据菱形的对角相等得N/DC=N3=70。.

AD=AB=AE,

NAED=/ADE.

根据折叠得ZAEB=/B=70°.

VAD//BC,

NDAE=NAEB=70°,

ZADE=ZAED=(180°-ZD/E)+2=55°.

:.ZEDC=10°-55°=15°.

故选：A.

【点睛】此题要熟练运用菱形的性质得到有关角和边之间的关系.在计算的过程中，综合运用了等边对等

角、三角形的内角和定理以及平行线的性质.注意：折叠的过程中，重合的边和重合的角相等.

2.（2021•云南红河・统考一模）如图，菱形/BCD的周长为8厘米，Z£>=120o,点M为48的中点，点N

是边/。上任一点，把/Z沿直线折叠，点/落在图中的点£处，当AN=________厘米时，YBCE是

直角三角形.

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【分析】根据菱形23CD的周长为8厘米可得菱形的边长为2厘米，根据翻折的性质可得=

根据题意分两种情况进行讨论：①当/班C=90。时，根据菱形的性质可得//"=120。，ZA=60°,从而

得到=30。，ZMNA=90°,根据直角三角形的性质求得/N的值；②当NBEC=90。时，点£

落在菱形对角线NC上，根据点M为48的中点，为折痕，此时于点£,可得点N为/。的中

点，从而得到NN的值.

【详解】解：,•・菱形的周长为8厘米，

■■.AB=BC=CD=AD=2厘米，

•.•点M为的中点，

•••AM=BM=\厘米.

由翻折可知EM=AM=BM,

:./MBE=NMEB.

①当NE2C=90。时，ZD=120。，

■.ZABC=120°,ZA=60°,

ZMBE=ZMEB=30°,

ZBME=120°,

ZAMN=ZEMN=30°,

ZMNA=90°,=1厘米；

22

②当NBEC=90。时，点E在以“为圆心，为半径的圆上，也在以3C为直径的圆上，根据菱形/BCD

的特点，可知点E落在菱形对角线4C上，

•・•点加为的中点，AW为折痕，此时BDL/C于点E,

.•.点N为的中点，NN=；ND=1厘米.

当/"=；或1厘米时，V8CE是直角三角形.

【点睛】本题考查了菱形的性质，翻折变换，直角三角形的性质.解题关键是熟练掌握各个知识点.

3.（2022・安徽合肥•校考二模）如图，在菱形48CD中，//=120。，AB=2,点£是边48上一点，以DE

为对称轴将VD4E折叠得到VDGE,再折叠2E使8E落在直线EG上，点8的对应点为点7/,折痕为E尸且

交BC于点、F.

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(1)NDEF=；

(2)若点E是4B的中点，则。尸的长为

【答案】90。##90度y

【分析】(1)由翻折可得N4ED=ZDEG,2BEF=NHEF,则NDEG+AHEF=ZAED+NBEF,根据

ZDEG+ZHEF+ZAED+ZBEF=180°,可得NDEG+NHEF=90。,即/D£F=90°.

(2)根据题意可得点G与点〃重合，且点。，G,尸三点在同一条直线上.过点。作。交8c的

延长线于点由乙4二120。，AB=2,可得NOCM=60。，CD=2,则C"=L。。=1,。河=立，

22

由翻折可得=_FG,AD=DG=2,设BF=x,则A/F=2—x+1=3—x,DF=2+x,由勾股定理可得

(2+X)2=(3-X)2+(A/3)2,解得X=：,,进而可得出答案.

【详解】解：(1)由翻折可得ZAED=NDEG,NBEF=NHEF,

/.ZDEG+/HEF=ZAED+ZBEF,

・.・ZDEG+ZHEF+ZAED+4BEF=180。，

/DEG+/HEF=90。,

即NDEF=90。.

故答案为：90°.

(2),•,四边形/3C。为菱形，

/.AD//BC,

ZA+ZB=180°f

由翻折可得/E=EG,BE=EH,ZA=ZEGD,ZB=AEHF,

,・♦点石是48的中点，

AE=BE,

EG=EH,

即点G与点H重合.

ZEGD+4EHF=//+N8=180°,

点。，G,尸三点在同一条直线上.

过点。作DW1_8C,交BC的延长线于点

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■.■ZA=120°,AB=2,

ZDCM=60°,CD=2,

[A

:.CM=-CD=1,DM=^CD=^3,

22

由翻折可得=AD=DG=2,

设BF=x,

贝！]MF=2-x+l=3-x,DF=2+x,

由勾股定理可得（2+x>=（3-xy+（6）2,

4

解得x，

DF=—.

5

14

故答案为：—.

【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关

键.

4.（2023春•江苏•八年级专题练习）如图1,在正方形/BCD中，点E为8C上一点，连接DE,把VDEC

⑴求证：ZEDG=45°.

⑵如图2,E为的中点，连接3尸.

①求证：BF//DE；②若正方形边长为6,求线段4G的长.

【答案】⑴证明见解析；

⑵①证明见解析，②线段/G的长为2

【分析】11）由正方形的性质可得。C=D4.乙4=/8=/。=乙4。。=90。，由折叠的性质得出/。尸£=/。,

DC=DF,/1=/2,再求出=DA=DF,然后由“血”证明RtADGA=RtADGF,由全等

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三角形对应角相等得出/3=/4,得出/2+/3=45°即可；

(2)①由折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=5E,NDEF=NDEC,再由三角形的外角性质得出

Z5=ZDEC,然后利用同位角相等，两直线平行证明即可；

②设4G=x,表示出G77、BG,根据点E是的中点求出5E、EF,从而得到GE的长度，再利用勾股

定理列出方程求解即可；

【详解】(1)证明：如图1：•••四边形NBCO是正方形，

图1

DC=DA.ZA=NB=NC=ZADC=90°,

•••KDEC沿DE折叠得到ADEF,

ZDFE=ZC,DC=DF,Z1=Z2,

:.ZDFG=ZA=90°,DA=DF,

在RtZ\OG/和RtAZJGF中，

[OG=DG

[DA=DF'

RtVOGN0RtVOGWHL),

Z3=Z4,

ZEDG=Z3+Z2=-ZADF+-NFDC,

22

=；(/ADF+/FDC),

=-x90°,

2

=45°；

(2)证明：如图2所示：

vADEC沿DE折叠得到ADEF,E为BC的中点,

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CE=EF=BE,ADEF=NDEC,

Z5=Z6,

;NFEC=N5+N6,

NDEF+ZDEC=25+N6,

2Z5=2ZDEC,

即Z5=/DEC,

.­.BF〃DE；

②解：设NG=x,则GP=x,BG=6-x,

・•,正方形边长为6,E为BC的中点，

:.CE=EF=BE=-x6=3,

2

:.GE=EF+GF=3+x,

在RtZXGBE中，根据勾股定理得：(6-xy+32=(3+4，

解得：x=2,

即线段NG的长为2.

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、

翻折变换的性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键.

【考向二特殊平行四边形中旋转问题】

例题：(2021秋•陕西渭南•九年级统考阶段练习)如图，四边形A8CD是矩形，以点3为旋转中心，顺时针

旋转矩形得到矩形G8E尸，点A,D,C的对应点分别为点G,产，E,点。恰好在尸G的延长线

上.

⑴求证：△8D4也△BDG：

(2)若40=2,求的长.

【答案】⑴见解析

(2)4

【分析】(1)由旋转矩形Z3CD可得/8=BG,ZA=NBGF=NDGB=90。,再根据斜边为公共边，利用

"血"可证得结论；

(2)由可知DG=2。，由旋转矩形/BCD可知G尸=4。，即可求得。尸的长度.

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【详解】(1)证明：•.•旋转矩形A8CD得到矩形G8EF,

AB=BG,NN=ZBGF=ZDGB=90°,

在RtVBDA和RtABDG中,

BD=BD,BA=BG.

RtABDA^RtABDG(HL).

(2)解：由之RtZ\5DG可得。G=4D=2,

•••旋转矩形ABCD得到矩形GBEF,

GF=AD=2,

:.DF=DG+GF=4.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质、矩形的性质、解题关键是证明之RtZ\2DG,利用矩形和旋

转性质求解.

【变式训练】

1.(2022秋・广东广州•九年级广州市第一一三中学校考期中)如图，将矩形/BCD绕点/顺时针旋转90。后,

得到矩形A8'C力'，如果CZ)=2D4=2,那么CC'=.

Cir--------\B

\D'C

【答案】屈

【分析】连接CC,先根据矩形的性质和勾股定理求出/C,然后根据旋转的性质和勾股定理求出CC即

可.

【详解】解：连接CC',

♦.•矩形/8C。，CD=2DA=2,

NCDA=90°,AD=\,

■■AC=AD2+CD2=V5，

•••将矩形ABCD绕点/顺时针旋转90°后，得到矩形AB'C'D,

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••.AC=AC=#,NC4C'=90。，

•1•CC'=yjAC2+AC'2=Vio-

故答案为：Vio.

【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，掌握矩形的性质，旋转的性质，勾股定

理是解题的关键.

2.（2022秋•天津河北•九年级天津二中校考期末）在平面直角坐标系中，四边形NO8C是矩形，点。（0,0）,

点力（3,0）,点8（0,4）.以点4为中心，顺时针旋转矩形/O8C,得到矩形4DE尸，点O,B,C的对应点

分别为。，E,F,记旋转角为a（0°<a<90。）.

图1图2图3

⑴如图1,当a=30。时，求点。的坐标；

⑵如图2,当点E落在/C的延长线上时，求点。的坐标；

⑶当点。落在线段OC上时，直接写出点E的坐标.

【答案】⑴］一高

（2）

⑶（6,4）

【分析】（1）过点。作。轴于G,由旋转的性质得出4D=/O=3,a=ZOAD=30°,DE=OB=4,

由直角三角形的性质得出。G=44D=3,4G=6DG=¥，得出OG=O/-/G=g8,即可得出点。

2222

的坐标为|——；

（2）过点。作DGJLx轴于G,,DHLAE于H,则则GN=D〃，中=DG,由勾股定理得出/£=10,由

123939

面积法求出不，得出由勾股定理得出，即可得出点。的坐标为

OG=y,DG=w5,5

（3）连接/E,作EG_Lx轴于G,由旋转的性质得：NDAE=NAOC,AD=AO,

由等腰三角形的性质得出=得出=证出NE〃OC,由平行线的性质的

ZGAE=ZAOD,证出ZD/E=NG/£,证明V/EG三V/即，得出/G=NO=3,EG=ED=4,得出

OG=6,即可得出答案.

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【详解】(1)解：过点。作。G，x轴于G,如图所示:

•.•点4(3,0),点8(0,4),

AO=3,OB=4,

•••以点A为中心，顺时针旋转矩形得到矩形/£>£尸,

/.AD=AO=3,cc=Z.OAD—30°,DE=OB=4,

134A

在及△NOG中，DG=—AD=—,AG=y/3DG=—,

222

6-373

■-OG=OA-AG

2

•・•点。的坐标为［”2口；

(2)过点。作。GJ_x轴于G,,DH上AE于H,如图所示:

则G/=OH,g

:DE=OB=4,ZADE=ZAOB=90°,

AE=^AD~+DE2=A/32+42=5，

•.--AEDH=-ADDE,

22

c”ADDE3x412

DH=-----------=------=—,

AE55

.­.OG=OA-GA=OA-DH=3-^-=^,DG=AD2-AG2=j?一=J?一等=总=|

•••点力的坐标为匡｝

(3)连接NE,作EG_Lx轴于G,如图所示:

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由旋转的性质得：/DAE=NAOC,AD=AO,

NAOC=/ADO,

:"DAE=ZADO,

AE〃OC,

ZGAE=ZAOD,

・•.ZDAE=ZGAE,

在△/EG和△4ED中，

ZAGE=ZADE=90°

<ZGAE=NDAE,

AE=AE

：.MAEG^MAED(AAS)f

AG=AD=3,EG=ED=4,

OG=OA+AG=3+3=6,

二点£的坐标为(6,4).

【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性

质、旋转变换的性质、含30。角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线，属

于中考压轴题.

3.(2022秋・山西吕梁•九年级统考期中)综合与实践

【情境呈现】如图1,将两个正方形纸片N5CD和NEFG放置在一起.若固定正方形/3CZ),将正方形NEFG

绕着点/旋转.

⑴【数学思考】如图1,当点E在48边上，点G在/。边上时，线段3E与。G的数量关系是，位置

关系是.

⑵如图2,是将正方形/环G绕着点/逆时针旋转a度得到的，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，

请证明；若不成立，请说明理由.

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(3)【拓展探究】如图3,若点。，E,G在同一条直线上，旦AB=2AE=2亚,求线段8E的长度(直接写

出答案).

【答案】(1)8E=OG,BE1DG

(2)(1)中的结论成立，证明见解析；

(3)1+77

【分析】(1)由正方形性质可以得到BE与DG相等且垂直；

(2)由SAS可证△/BE1@△4DG,可得BE=DG,Z.ABE=AADG,由余角的性质可证BEDG；

(3)由(2)问结论连接加，表示出V8DE三边即可利用勾股定理列方程解题.

【详解】(1)••・四边形/BCD和/EFG均为正方形，

BE1DG,AB=AD,AG=AE,

：.AB-AE=AD-AG,

即BE=DG,

・••BE与DG的数量关系是相等；位置关系是垂直

故答案为：相等；垂直

(2)(1)中结论成立，理由如下：

设BE交40于O,DG于N,

••・四边形ABCD和AEFG均为正方形，

AE=AG,AB=AD,ABAD=ZEAG=90°,

：.ZBAE=ZDAG,

在V4BE和△4DG中，

AB=AD

<ZBAE=ZDAG,

AE=AG

■■■/\ABE^/\ADG(SAS),

BE=DG,NABE=NADG,

・；NABE+NAOB=9Q°,

ZADG+ZAOB=ZADG+ADON=90°,

ZDNO=90°,

：.BE1DG-,

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(3)连接2D,

■■AB=1AE=272,

•••AE=6，

，EG=4^AE=2,BD=GAB=4,

由(2)可得：NBED=90。,BE=DG,

.•.在RtABED中,ED=DG-EG=BE-EG=BE-2,

则。£2+3打2=8。2,

.-.(BE-2)2+BE2=42

解方程得：BE=±y/7+l,

BE=y/l+1,

即线段BE的长度为V7+1.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质,旋转的性质等知识，灵

活运用这些性质进行推理是本题的关键.

【考向三特殊平行四边形中定值问题】

例题：（2022秋•山东枣庄•九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，AB=3,4。=4,M是4D上异

于A和。的任意一点，且MEJ.NC于E,MF1BD于'F,则儿小+儿3为.

【分析】根据矩形的性质，AB=3,AD=4,可求出矩形的面积，的长,由此可知△NOD的面积,

根据S^oLS”0M+S^D0M=1OA幽E+1OD配F,即可求解.

【详解】解：如图所示，设NC与8。相交于点。，连接。河，

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2222

AC=BD=ylAB+BC=>/3+4=5>S^ABCD=AB^C=3x4=12,

；・SAMD=；S矩形s=；x12=3,04=OD=；/C=；x5=g,

■.■ME1AC,MF±BD,

SAAOD=+S/\DOM=]OA^dE+—ODgWF,

S^=-OAgME+-ODgMF=-OA^ME+MF)=-x-x(ME+MF)=3,

AOD22222

.-.ME+MF=^-,

12

故答案为：—.

【点睛】本题主要考查矩形的性质，等面积法求高，掌握矩形的性质，三角形的等面积法求高是解题的关

键.

【变式训练】

1.(2023秋•吉林长春•八年级长春外国语学校校考期末)如图，菱形N3C。的周长为20,面积为24,尸是

对角线AD上一点，分别作尸点到直线NB、的垂线段尸£、PF,则PE+P尸等于

【分析】首先利用菱形的性质得出NB=4D=5,Sy皿=12,进而利用三角形面积求法得出答案.

••・菱形/BCD的周长为20,

/.AB=AD=5,

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S菱形/3C。=ABD，

^\/ABD——X24=12,

而^^ABD~4PB~^^^APD，PE-LAB,PF_LAD,

：,--PEAB+--PFAD=\2,

22

・・.5PE+5PF=24,

24

.-.PE+PF=—f

24

故答案为：—

【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形的对边分别平行，四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，并且

分别平分两组内角.也考查了三角形的面积公式.

2.Q022春•四川成都•九年级成都市第二十中学校校考阶段练习)如图，已知点尸是菱形N3CD的对角线/C

延长线上一点，过点P分别作AD,DC延长线的垂线，垂足分别为点£,尸.若/48C=120。，AB=2,贝|

尸£-尸尸的值为.

【分析】设NC交80于0,根据已知可得/C=2G，而尸E-正=gNP-gcP=；(/P-CP)=；/C,即

可得到答案.

【详解】设NC交8。于。，如图：

ZABC=120°,AB=1,

：.ABAD=ZBCD=60°,ADAC=ZDCA=30°,AD=AB=2,BDVAC,

R-'OD=kAD=^0A3

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:.AC=2OA=2y[3,

RtMAPE,^DAC=30°,PE=-AP,

2

心△CP/中，ZPCF=ZDCA=30°,PF=gcP,

・・・依一小=卜尸丁。尸1（/尸一。尸）=95

:.PE-PF=6,

故答案为：V3.

【点睛】本题考查菱形的性质及应用解题的关键是求出心把2所转化为

3.（2022・全国•八年级专题练习）如图，己知四边形28CD为正方形，/5=50，点E为对角线/C上一动

点，连接。E,过点£作£尸，。E交8c于点尸，以。E、E尸为邻边作矩形。MG,连接CG.

⑴求证：矩形DMG是正方形；

⑵探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.

【答案】⑴见解析

⑵是定值，CE+CG=10

【分析】（1）作出辅助线，得到£M=£N,然后再判断尸=得到VDEN三VFEM,则有

DE=EF,即可判断矩形DEFG为正方形；

（2）由四边形/BCD为正方形，四边形DEFG是正方形可知AD=C〃，DE=DG,故可得

MADEWCDG,得到/E=CG,即可判断CE+CG=10,为定值.

【详解】（1）解：如图所示，过E作EWJ_BC于M点，过£作EN_LCD于N点，

BMFCH

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••・四边形/BCD为正方形，

/BCD=90°,

♦:EM1BC,EN1CD,

ZEMF=ZENC=/END=90°,

/MEN=90°,

・•・四边形。EFG为矩形，

NFED=90。,

:./MEN-/FEN=/FED-NFEN,BPZMEF=ZNED,

£是正方形ABCD对角线的点，

/.EN=EM,

在VD£N和△田/中，

ZEMF=ZEND

<EM=EN,

ZMEF=ZNED

:VDEN出FEM(ASA),

ED=EF,

...矩形。£FG为正方形.

(2)CE+CG的值为定值，

•••矩形。跖G为正方形，

:.DE=DG,ZEDG=90°,

••・四边形是正方形，

AD=DC,ZADC=90°,

ZEDG-ZEDC=/ADC-ZEDC,即/ADE=ZCDG,

在V4D£和VCDG中，

AD=DC

</ADE=ZCDG,

DE=DG

.MADE^/CDG(SAS),

AE=CG,

:.CE+CG=CE+AE=AC=y/2AB=lQ，

CE+CG=10.

【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，矩形的性质，关键是结合图形得出三角形全等.

4.(2022春•四川德阳•八年级统考期末)已知，如图，矩形/5CD中，40=3,DC=4,菱形EFG/Z的三个

顶点E,G,〃分别在矩形ABCO的边/瓦CD,DA±,4H=1,连接CF.

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备用图

⑴当点G在边DC上运动时；探究：点尸到边。C的距离万M是否为定值？如果是，请求出这个值；如果

不是，请说明理由.

(2)当。G为何值时，^FCG的面积最小，并求出这个最小值.

【答案】(1)点尸到边DC的距离是定值，定值为1

(2)当DG=而时，AFCG的面积最小值为2-1至

【分析】(1)连接GE,根据N8//CD得到乙1EG=NMGE,/汨〃G厂得到"/EG="GE之后证明

AAHE=AMFG即可得到结论；

(2)由题易知S.cG=gwCG=〈CG,要使aFCG的面积有最小值则需CG最小，于是。G应最大，在

而A4E8中，根据勾股定理可得/ffi的最大值，即用的最大值，在放A£>G〃中，根据勾股定理可求DG的

最大值，进而求得CG最小值，进而得到答案.

(1)

解：点P到边DC的距离是定值.

理由：连接GE

■.■AB//CD,

:.UEG=^MGE

■.-HE//GF,

:.乙HEG—FGE

■■■^AEG-ZJ{EG=AMGE-^FGE,即

在和ZWFG中，4=4=90。，HE=FG,

:AAHE34MFG,

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:.FM=HA=\,

即无论菱形EFG”如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值1.

（2）

解：由题易知：S^FCG=-FM-CG=^-CG,

22

要使△尸CG的面积有最小值，

则需CG最小，所以。G应最大，

在必△D77G中，当8G最大时，0G最大，

在小A4E//中，AE<AB=4,

■■HE2=AH2+AE1<\+\6=\r1,

■■HG2=HE2<\y,

■-DG2+DH2=DG2+4<11,

■■DG<y/13,

当。G=VH时，GC=4-而，

二WRU的最小值=gGC=2_；JT5,

即当。G=加时，△尸CG的面积最小值为2而.

【点睛】本题主要考查平行线的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质，菱形的性质，矩形的性质,

掌握定理与性质是解题的关键.

【考向四特殊平行四边形最小值问题】

例题：（2022秋•重庆沙坪坝•八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末）如图，E为正方形/BCD边4D上一点,

AE=1,DE=3,尸为对角线AD上一个动点，则P/+PE的最小值为（）

A.5B.4&C.2屈D.10

【答案】A

【分析】连接EC交2D于P点，根据'两点之间线段最短"，可知尸4+PE的最小值即为线段EC的长，求出EC

的长即可.

【详解】连接EC,交3D于P点

•.•四边形/BCD为正方形

高考复习材料

■■A点和C点关于2。对称

:.PA=PC

:.PA+PE=PC+PE=EC

根据"两点之间线段最短"，可知PA+PE的最小值即为线段EC的长.

•••AE=1,DE=3

AD=4

DC=4

:.CE=y/DE2+CD2=>/32+42=5

.■.PA+PE的最小值为5

故选：A

【点睛】本题主要考查了正方形的性质和两点之间线段最短，这是一个将军饮马模型.熟练掌握正方形的性

质并且能够识别出将军饮马模型是解题的关键.

【变式训练】

1.（2022秋,江西新余•九年级新余四中校考阶段练习）如图，矩形/BCD中，/8=8,8c=14,M,N

分别是直线8C,48上的两个动点，AE=2,沿EM翻折形成△尸,连接NF,ND,则

ZW+NF的最小值为（）

A.14B.16C.18D.20

【答案】C

【分析】如图作点。关于8C的对称点。*连接ND'，ED',由DN=ND\推出DN+NF=ND'+NF,又

斯=瓦4=2是定值，即可推出当E、F、N、共线时，DN+N尸定值最小，最小值=瓦/-斯.

【详解】解：如图作点。关于8C的对称点。口连接76，ED'.

高考复习材料

rn

-：DE=n,DD'=16,

ED'=7122+162=20.，

QDN=ND',

:.DN+NF^ND'+NF,

（W=E/=2是定值，

:.当E、F、N、。共线时，NF+MT定值最小，最小值=20-2=18,

.,.ON+NF的最小值为18,

故选：C.

【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之

间线段最短解决最短问题，属于中考常考题型.

2.（2022秋•吉林长春•八年级校考期末）如图，Rt2\4BC中，ZACB=90。,NB=30。,BC=Z6点、D

为边4B上一个动点,作DEL2C、DF1AC,垂足为E、F,连接则E/长度的最小值为.

【分析】解直角三角形求出NC和48,证明四边形C9E是矩形，根据矩形的性质得出CD=E尸，当

（力，/8时，CD有最小值，此时E产有最小值，根据三角形的面积公式求出长即可.

【详解】解：•・•//C8=90。，48=30。，BC=2道,

AB=2AC,

根据勾股定理可得，AB2=AC2+BC2,

即（2/°）2=/02+（2国，

解得：AC=2,AC=-2（舍去）,

.-.AB=2AC=4,

连接CD,如图所示：

高考复习材料

■：DF1AC,ZACB=90°,DE1BC,

ZDFC=NFCE=ZDEC=90°,

••・四边形CFDE是矩形，

：.EF=CD,

当CD，时，CZ＞最小，此时E尸有最小值，

•••SyACB=；4C*BC=gABxCD,

„„AC'x.BC2x2石r-

CD=-----------=----------=V3,

AB4

・•.E尸长度的最小值是G，

故答案为：行.

【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，作出辅

助线，证明CD=E厂是解此题的关键.

3.（2022秋•重庆大渡口•九年级校考期末）如图，在矩形/BCD中，AB=\,AD=2,点£在边4D上，点

尸在边BC上，且/E=CF,连接CE,DF,则CE+D尸的最小值为.

【答案】20

【分析】先连接BE,将CE+DF转4匕为CE+BE,再利用将军饮马解决问题即可.

【详解】解：如图，连接BE,

•••四边形/BCD是矩形，

:.AB=CD,NBAE=NDCF=90°,

■■■AE=CF,

；.LABE咨ACDF,

BE=DF,

**.CE+DF=CE+BE,

如图，作点3关于A点的对称点夕，连接C夕,

高考复习材料

CB'即为CE+5E的最小值,

,•*AB=1,AD=2，

；.BB'=2,BC=2,

CB'=ylBB'2+BC2=2y/2，

・•.CE+D尸的最小值为2逝,

故答案为：2亚.

【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、将军饮马问题、全等三角形的判定与性质等内容，综合性较强,

将CE+DF转化为CE+BE是解题的关键.

4.（2022秋•陕西汉中•九年级校考期中）如图，在正方形ZBCD中，/8=12,E为BC边上一点,CE=7.

尸为对角线5D上一动点（不与点B、。重合），过点尸分别作FM_L8C于点Af、FN工CD于点、N,连接

EF、MN,则所+ACV的最小值为.

【分析】连接CF、AF,由四边形C7VFM为矩形，得CF=MN,由正方形的对称性得/尸=W,即知

EF+MN^EF+AF,故当跖+MN最小时，斯+/斤最小，此时A、F、E共线，+的最小值即

为/E的长，由N3=12,CE=1,可得4E=jAB2+BE2=13,从而跖+MN的最小值为13.

如图:

QFM±BC,FN1CD,ZBCD=90°,

高考复习材料

四边形CNFN为矩形，

:.CF=MN,

•••四边形/BCD是正方形，

•••由正方形的对称性可得/尸=CF,

:.MN=AF,

:.EF+MN=EF+AF,

当所+MN最小时，斯+/尸最小，此时A、F、E共线，£尸+〃乂的最小值即为/E的长，如图:

■：AB=n,CE=7,

:.BE=BC-CE=AB-CE=5,

AE=^AB~+BE2=V122+52=13，

二.EF+跖V的最小值为13,

故答案为：13.

【点睛】本题考查正方形中的动点问题，解题的关键是把求跖+九亚的最小值问题转化成求NE的长.

5.（2022春•江西赣州•八年级统考期末）如图所示，在菱形NBCD中，AB=6,4BAD=120。,点£,厂分别在

菱形的边3C,CD上滑动，满足NE/尸=60。，连接£尸，且E,尸不与8,C,。重合.

⑴求证：不论E,尸在BC,CD上如何滑动，总有2E=CG

（2）当点E,F在BC,CD上滑动时，分别探讨四边形NEC斤的面积和斯的周长是否发生变化？如果不

变，求出这个定值；如果变化，求出最小值.

【答案】⑴见解析

⑵四边形/ECF的面积不变，面积等于9公；△CM的周长发生变化，最小值为6+36；理由见解析

【分析】（1）先根据菱形的性质求出N8/C=ND4C=；/B/D=60。，然后根据等式的性质可得41=N3,再求证

AABC、A4c。为等边三角形，得乙4=60。，/C=4B进而求证ZUBEmAJCF,即可求得3E=CF；

高考复习材料

（2）根据ZUBEmZUCF可得SAABE=SAACF,故根据S幽遨/ECF=S/EC+S/C尸=S41EC+S/5E=S/8C

即可解题；由"垂线段最短"可知：当正三角形NE尸的边NE与8c垂直时，边4E最短.A4E尸的周长会随

着/E的变化而变化，求出当NE最短时，△CM的周长即可.

（1）解：（1）如图，连接/C,,•・四边形/BCD为菱形，^BAD=nO°,

；ZBAC=H4C=L/BAD=60°,AB=BC=AD=CD,­：/.EAF=60°,.•zl+NE/C=60。，N3+ZE4c=60。，.-.zl=z3,

2

•；AB=BC=AD=CD,NR4C=〃MC=6O。，.•.△A8C和A4CZ>为等边三角形，山以它。。，4C=AB,:.在A4BE

21=Z3

和2MC厂中，\AB=AC,.-.AABE^AACFCASA).：.BE=CF-,

NB=N4

（2）解:四边形NECF的面积不变，的周长发生变化.理由如下：由（1）得A48E三A4CR则

S^ABE^S^ACF,AE=AF,故S四边/AECFuS^AEC+SyCFuS^AEC+S^ABEuS^ABC,是定值，作4HlBC于H

22

点，则8〃=3,Seg„AECF=SAABC=^BC-AH=^BC-^AB-BH=9A/3,■,-AE=AF,4E4F=6Q°,：.AAEF是

等边三角形，：-EF=AE,.•.△CEF的周长=CE+CF+EF=CE+BE+EF=BC+EF=BC+4E,由“垂线段最短”可知：当

正三角形4E尸的边/£与8c垂直时，边4E最短.故A4EF的周长会随着4E的变化而变化，且当4E最

短时，△（7£户的周长会最小，最小值为6+，加一族=6+34.

【点睛】本题考查了菱形的性质；三角形全等的判定与性质；垂线段的性质等，综合性较强，正确添加辅

助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

【考向五特殊平行四边形中点四边形问题】

例题：（2022春•安徽合肥・八年级校考期中）如图，E、F、G、”分别是四边形/BCD四条边的中点，顺

次连接E、F、G、b得四边形EFG",连接/C、BD,下列命题不正确的是（）

A.当四边形/BCD是矩形时，四边形EFG”是菱形

B.当四边形/BCD是菱形时，四边形EFG”是矩形

高考复习材料

C.当四边形/BCD满足NB4D=42c=90。时，四边形EFGX是菱形

D.当四边形Z8C。满足=C8=CD时，四边形斯GH是矩形

【答案】C

【分析】先证四边形EFG4是平行四边形；再根据选项条件结合矩形、菱形的判定定理进行判断即可.

【详解】解：•・•£,厂分别是45,2C的中点，

:.EF//AC,EF=-AC,

2

■：H,G分别是NO,CD的中点，

:.HG//AC,HG=-AC,

2

:.HG//EF,HG=EF,

四边形EFG#是平行四边形；

■-F,G分别是BC,CO的中点，E、，分别是N2、4D中点，

:.FG=-BD=EH,FGUBDHEH,

2

当四边形23。是矩形时，BD=AC,

HG=EF=FG=EH,

四边形EFG8是菱形，故/正确，不符合题意；

当四边形48CD是菱形时，AC1BD,

■：HG//AC,FG//BD,

ZHGF=90°,

四边形EFG”是菱形，故2正确，不符合题意；

当四边形/BCD满足NB4O=NN8C=90。时，不能证明四边形用G”是菱形，故C错误，符合题意；

当四边形/BCD满足=CB=CZ＞时，

AB=AD,CB=CD,

.•./C是8。的垂直平分线，即/Cl2。

■：EF/1AC/IEF,FGUBDHEH

:.乙HEF=KEFG=LDGH=LGHE=9Q°

••・四边形EFG”是矩形，故。正确，不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了中点四边形，灵活利用矩形、菱形的判定定理是解答本题的关键

【变式训练】

1.（2022春•北京西城•八年级校考期中）四边形43。的对角线/C,BD交于点O,点M,N,P,。分

别为边48,BC,CD,的中点.有下列四个推断：

①对于任意四边形/BCD,四边形ACVP。都是平行四边形；

高考复习材料

②若四边形/BCD是平行四边形，则M尸与N。交于点。；

③若四边形NBCD是矩形，则四边形MVPQ也是矩形；

④若四边形MVP。是正方形，则四边形/B