2024年天津市红桥区高考数学一模试卷及答案解析

2024年天津市红桥区高考数学一模试卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.(5分)已知全集。={-2,-1,0,1,2,3,4},集合A={-2,0,1,2},B={-1,

0,2,3},则AUCuB=()

A.{4}B.{-2,0,1,2,4}

C.{0,2}D.{-2,1}

2.（5分）已知a,万CR,则“4/是“/24＞庐024”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.（5分）设a=logo.50.6,6=0.25心,C=0.6/6,则〃，人c的大小关系是（）

A.b>a>cB.c>b>aC.b>c>aD.c>a>b

21

4.（5分）已知函数f。）=-----^一4,则f（光）的图象大致为（）

（工一2）

5.（5分）已知logam=2,10gMz=3,则log加n=（）

1156

A.-B.—C.一D.—

6565

6.（5分）已知某正六棱柱的所有棱长均为2,则该正六棱柱的外接球的表面积为（）

A.6nB.8nC.16nD.20n

7.（5分）已知直线〉=丘与圆C：（x+2）2+/=3相切，交曲线尸=2度（p>o）于点p,

若|OP|=8,。是坐标原点，则以尸为圆心，以p为半径的圆与圆C的位置关系为（）

A.相交B.内含C.外离D.外切

8.（5分）某中学有学生近600人，要求学生在每天上午7：30之前进校，现有一个调查小

组调查某天7：00〜7：30进校人数的情况，得到如下表格（其中纵坐标y表示第x-1

分钟至第x分钟到校人数，l〈xW30,xGN*,如当x=9时，纵坐标y=4表示在7：08~

7：09这一分钟内进校的人数为4人）.根据调查所得数据，甲同学得到的回归方程是y

=3.6%-27（图中的实线表示），乙同学得到的回归方程是尸0.826°攻（图中的虚线表

A.7：00—7：30内，每分钟的进校人数y与相应时间x呈正相关

B.乙同学的回归方程拟合效果更好

C.该校超过半数的学生都选择在规定到校时间的前5分钟内进校

D.根据甲同学得到的回归方程可知该校当天7：09〜7：10这一分钟内的进校人数一定

是9人

7T

9.（5分）将函数/（外的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移g个单位，得到函数

g（%）=sin（2%+@）（0V0V刍的部分图象（如图所示）.对于Vxi,b],且

若g（xi）=g（X2）,都有g（%i+上）=孚成立，则下列结论中不正确的是（）

A.g(%)=sin(2x+9)

77"、

B./(x)=sin(4%—3)

C.g(x)在。争上单调递增

A.TTQ^7T

D.函数/(x)在［0,-2~\的零点为xi,X2,…，%，则％i+2%2+2%3+…+2xn_-£+xn=

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。

10.(5分)i是虚数单位，复数=吆=.

11.(5分)已知二项式(2x+卷/，则其展开式中含x2的项的系数为.

12.(5分)已知双曲线*2一1=1与抛物线y2=8x的一个交点为A,尸为抛物线的焦点，

若依川=5,则双曲线的渐近线方程为.

13.(5分)甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计赢2局者胜，分出胜负

3

即停止比赛.已知甲每局赢的概率为g,每局比赛的结果相互独立.本次比赛到第3局才

分出胜负的概率为，本次比赛甲获胜的概率

为.

14.(5分)如图，在平行四边形ABC。中，ZABC=E为CD的中点，P为线段AE上

->-»O->

一点,且满足BP=mBA+jBC,则m=；若口ABC。的面积为2亚

―»

则|BP|的最小值为.

15.(5分)已知函数/(x)=["°出(》一1)1，1C有四个实数根xi,必比3,型且

l(x-4)2,x>3

11

X1<X2<X3<X4,则一(X3+X4)XIH---的取值范围是_______________________.

4%2

三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.(14分)在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，已知acos(B-看)=bs讥力

(1)求角B的大小；

(2)若a=2,c=3,求sin(2A-的值.

17.(15分)如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABC。是边长为1的正方形，PO_L底面

ABCD,与平面ABCD所成角为45°,E,尸分别是PC,中点.

(I)求证：OE〃平面PFB；

(II)求平面PFB与平面EDB夹角的正弦值.

18.(15分)已知S"为数列｛。〃｝的前"项和，且满足Sa=2a“+r其中r€R,且rWO.

(I)求数列｛◎｝的通项公式；

(II)设加=(—1尸+1金，若对任意的吒N*,都有：£台11比VmV£翌1bi，求实数

m的取值范围.

X2V2.1

19.(15分)已知椭圆C：—+——1(a>6>0)过点(2,0),且椭圆C的离心率为一.

a2b22

(I)求椭圆C的方程；

(II)若动点尸在直线》=-1上，过尸作直线交椭圆C于Af,N两点，且P为线段

中点，再过P作直线/LMN.证明：直线/恒过定点，并求出该定点的坐标.

20.(16分)已知函数/(%)=竺"的图象在(1,/(1))处的切线经过点(2,e).

(1)求。的值及函数/(x)的单调区间；

(2)若关于尤的不等式〃仇天」九久+/+«_1)久_2,0在区间Q,+<X3)上恒成立，求

正实数）的取值范围.

2024年天津市红桥区高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.（5分）已知全集。={-2,-1,0,1,2,3,4},集合A={-2,0,1,2},B=[-1,

0,2,3},则AUCuB=（）

A.{4}B.{-2,0,1,2,4}

C.[0,2}D.{-2,1}

【答案】B

【分析】由题意先求出CuB={-2,1,4},再求并集可得结果.

【解答】解：因为。={-2,-1,0,1,2,3,4},8={-1,0,2,3）,所以CuB={-

2,1,4},

因为A={-2,0,1,2},所以AUCuB={-2,0,1,2,4）.

故选：B.

【点评】本题主要考查并集和补集，属于基础题.

2.（5分）已知a,bER,则%>〃'是"/°24>庐）24”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】根据已知条件，结合特殊值法，即可求解.

【解答】解：令a=2,b=-3,满足a>b,但/。24<62024,故充分性不成立，

（-2）2024>]2024，但一2<1,必要性不成立，

故“a>b”是“$024>y024”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

【点评】本题主要考查曷函数的性质，属于基础题.

3.（5分）设a=logo.50.6,b=0.25'03,c=0.6°6,则a,b,c的大小关系是（）

A.b>a>cB.c>b>aC.b>c>aD.c>a>b

【答案】c

【分析】利用幕函数、指数函数、对数函数的单调性，结合特殊值判定即可.

【解答】解：因为y=k»go.5x在(0,+°°)上单调递减，

所以logo.51<logo.50.6<logo,50.5,即0<a<l.

因为y=x°-6在(0,+8)上单调递增，又0.25<3=0.5/6=20.6,0.6­°-6=(|)06,

又2%>1,所以2。-6>(1严>1。.6,故b>c>l,所以6>c>a.

故选：C.

【点评】本题主要考查数值大小的比较，属于基础题.

4.(5分)已知函数〃无)=£一2--4,则/(x)的图象大致为()

(%-2)

B.qV

y*；

0\X

C.:

【答案】A

【分析】根据题意，利用特殊值,函数的对称性对选项一一判断、排除，即可得出答案.

【解答】解：根据题意，函数/"(%)=-~2-4,

(%-2)

|0-2|1

因为f(0)=fp—4=P五—4V0,故C错误；

(0-2)*4

p|—x+4-2|p|-x+2|p\:x-2\

又因为/(%+4)=24~24二八24=/(x),

(-x+4-2)Z(-%+2)Z(x--，)

故函数/(x)的图象关于x=2对称，故3错误；

=土斗—4趋近正无穷，故。

当兀趋近2时，亦-21趋近1,(元-2)2趋近0,所以/(%)

(x-2)2

错误.

故选：A.

【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数值的计算，属于基础题.

5.(5分)已知abWl,\ogam=2,logz?m=3,则log㈤n=(【)

【答案】D

【分析】利用换底公式及对数运算法则即可求解.

【解答】解：因为loga%=2,logw?j=3

所以Zogma=4,logmb=

所以Zogmti+logmb=石，

^logmab=-7,

所以/o%即=f.

故选：D.

【点评】本题考查对数的运算，属于中档题.

6.（5分）已知某正六棱柱的所有棱长均为2,则该正六棱柱的外接球的表面积为（）

A.6nB.8nC.16TTD.20n

【答案】D

【分析】确定正六棱柱的外接球球心为上下底面中心连线的中点，计算半径可得到表面

积.

【解答】解：正六棱柱的所有棱长均为2,故正六棱柱的外接球球心为上下底面中心连线

的中点，

故”=]5+22=5,表面积为5=47标=2071.

故选：D.

【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运

算求解能力，属基础题.

7.（5分）已知直线、=丘与圆C：（尤+2）?+/=3相切，交曲线尸=2*（p>0）于点尸，

若|OP|=8,。是坐标原点，则以尸为圆心，以p为半径的圆与圆C的位置关系为（）

A.相交B.内含C.外离D.外切

【答案】C

【分析】根据点到直线的距离求得k,再联立直线与抛物线方程得点尸坐标及圆方程，

再考虑圆心距即可.

【解答】解：圆C：（x+2）2+丫2=3的圆心为（-2,0）,半径为百，

由直线和圆相切可得」鼻=、/§,解得k=±V3,

结合抛物线的对称性，只需考虑k=b的情形,

所以|0P|=J（第2+（空）2=冬=8,解得P=6,

此时点P（4,4V3）,圆P的方程为（x-4）2+（y-4V3）2=36,

因为圆C和圆P的圆心距d=］（—2-4）2+（0-4次¥=2VH>V3+6,

所以两圆外离.同理当上=一旧时，两圆也外离.

故选：C.

【点评】本题考查圆的方程和直线与圆、圆与圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，

属于中档题.

8.（5分）某中学有学生近600人，要求学生在每天上午7：30之前进校，现有一个调查小

组调查某天7：00〜7：30进校人数的情况，得到如下表格（其中纵坐标y表示第x-1

分钟至第x分钟到校人数，1WXW30,x€N*,如当x=9时，纵坐标y=4表示在7：08〜

7：09这一分钟内进校的人数为4人）.根据调查所得数据，甲同学得到的回归方程是y

=3.6%-27（图中的实线表示），乙同学得到的回归方程是y=0.82e°J6x（图中的虚线表

示），则下列结论中错误的是（）

X1591519212427282930

Y13441121366694101106

yk

120-

90

A.7：00~7：30内，每分钟的进校人数y与相应时间x呈正相关

B.乙同学的回归方程拟合效果更好

C.该校超过半数的学生都选择在规定到校时间的前5分钟内进校

D.根据甲同学得到的回归方程可知该校当天7：09〜7：10这一分钟内的进校人数一定

是9人

【答案】D

【分析】对于A,根据散点图判断；对于8,由图象结合函数的图象特征判断；对于C,

由回归方程得到的只能是估计值判断；对于D根据统计表判断.

【解答】解：对于A,根据散点图知，7：00~7：30内，每分钟的进校人数y与相应时

间x呈正相关，故A正确；

对于8,由图知，曲线y=0.82e°⑸的拟合效果更好，故乙同学的回归方程拟合效果更好，

故8正确；

对于C,全校学生近600人，从表格中的数据知，7：26~7：30进校的人数超过300,

故C正确，

对于D,表格中并未给出对应的值，而由甲的回归方程得到的只能是估计值，不一定就

是实际值，故。错误.

故选：D.

【点评】本题主要考查线性回归方程，属于中档题.

7T

9.（5分）将函数/（x）的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移1个单位，得到函数

g（%）=+?）（0V?V*）的部分图象（如图所示）.对于x2E[a,勿，且知力必

若g（xi）=g（元2）,都有g（%i+犯）=竽成立，则下列结论中不正确的是（）

A.g(%)=sin(2x+

TT

B./(%)=s讥(4%—可)

C.g(尤)在g等上单调递增

AyrQ^77

-

D.函数/(x)在［0，-g］的零点为xi,12,…，物,则％i+2第2+2%3+…+2%n_］+%n=］2

【答案】C

【分析】根据题意可得g(x)在区间3,切上的对称轴为x=%结合g(0)=9(/+

刀2)=孚，可得隼的大小，从而可得g(x)解析式，即可判断A；由函数图象的平移变

换可得了(无)的解析式，即可判断B；由正弦函数的单调性即可判断C；由正弦函数的性

质计算即可判断D

【解答】解：对于A,由题意可知函数g(x)=sin(2x+0)(0V*)的图象在区间团，

6］上的对称轴为直线x=

又g(%i+x2)=冬所以g(0)=g(xi+x2)=亭,

所以sin(p=孚,

又因为oqv今所以隼=条

故9(%)—sin(2x+9故A正确；

对于5,9(工)=sin(2;r+专)向右平移g个单位长度得到函数尸s讥(2支-号)的图象，

再将其横坐标缩短为原来的］得到了(/=s^(4x-刍的图象，故5正确；

对于Cf令-2+2/CTT42%~2+2内^，左EZ,

得一Y2+kn<%<^2k£Z,

当k=\时，—<x<彳］，所以g(%)在［碧，上单调递增，

而［兀，竽］Z［碧，,故C错误；

对于D,令t—4x—'则tE\—亨,5TT］,

函数尸sin/在［一5，5兀］上有6个零点〃，⑵…，6

贝!J九+，2=m也+，3=3m/3+14=5m/4+"=7n，/5+%=9m

故，1+2,2+2/3+2/4+215+%6

TT_

=4(xi+2X2+2X3+2X4+2X5+X6)-lOxw=25TC,

857r

所以尤I+2X2+2X3+2X4+2无5+x6=万万，故D正确.

故选：C.

【点评】本题主要考查函数y=Asin（3x+<p）的图象变换，正弦函数的图象与性质，考

查运算求解能力，属于中档题.

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。

4+2i

10.（5分）i是虚数单位，复数一r=1+37.

1-t

【答案】l+3z.

【分析】由已知结合复数的四则运算进行化简即可求解.

4+2i(4+2i)(l+i)2+6i

【解答】解:=l+3z.

1-i-2

故答案为：1+3/.

【点评】本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题.

11.（5分）已知二项式（2x+备）6,则其展开式中含/的项的系数为4320

【答案】4320.

【分析】求出展开式的通项公式，然后令x的指数为2,由此即可求解.

6r

【解答】解:二项式的展开式的通项公式为吟+1=CK2x）6-r（展）r=Cl-26T,3^^,

r=0,1,…，6,

4,

令6-@7=2,解得r=3,

则X2的系数为雷•23-33=4320.

故答案为：4320.

【点评】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题.

12.（5分）已知双曲线/—[=1与抛物线/="的一个交点为4尸为抛物线的焦点，

若履川=5,则双曲线的渐近线方程为y=+V3x.

【答案】y=±V3x.

【分析】由抛物线的焦半径公式求得尸点坐标后，代入双曲线方程得参数加值，然后可

得渐近线方程.

【解答】解：设A（xo,yo）,则％o+2=5,%。=3,%=8%0=24,

又A在双曲线上，所以9—岩=1,772=3,

m

双曲线方程为%2—号=La=1,b=V3,

所以渐近线方程为y=±V3x.

故答案为：y=±V3x.

【点评】本题考查了双曲线的性质，属于基础题.

13.（5分）甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计赢2局者胜，分出胜负

3

即停止比赛.已知甲每局赢的概率为？每局比赛的结果相互独立.本次比赛到第3局才

1281

分出胜负的概率为—,本次比赛甲获胜的概率为—.

25T25

【答案】见试题解答内容

【分析】利用古典概型、排列组合，能求出结果.

【解答】解：到第3局才分出胜负，则前两局甲、乙各赢一局，其概率为废x|x|=||.

若甲获胜，分2种情况：

339

①甲连赢2局，其概率为gxg=痛，

②前两局甲、乙各赢一局，第三局甲赢，其概率为6x|x|x|=患.

故甲获胜的概率为/+——=——.

M林士d1281

故答案为：石；石？

【点评】本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

14.（5分）如图，在平行四边形A2C。中，ZABC=E为C。的中点，P为线段AE上

一点，且满足BP=mB4+，C,则片E；若nABC。的面积为2百，则|BP|的最小值为

4V3

亍.

245/3

【答案】rV

【分析】利用平面向量基本定理以及线性运算，结合向量相等，求出机的值，利用平行

-7-7

四边形的面积，求出|BC||£M|=4,由模的运算性质以及基本不等式求解最值即可.

—>—>TT1TT

【解答】解:BP=BA+AP=BA+kAE=BA+k(DE-DA)=(1-+kBC,

1TT—2T

所以(1+kBC=mBA+^BC,

11一5k=mn-»2To-*

则j1,所以机=(，所以BP=(B4+(BC,

因为nABCD的面积为2禽,

所以反向|•瞪=2百,

—»—»

则|BC||B4|=4,

-»44T8♦一2

出

田川

22灰

----2

所以|BP|=9993•\BC\++4>1•V2X4+4=

、|BC|2

473

丁，

当且仅当|BC|=2时取等号，

->4A/3

则出P|的最小值为丁.

_24V3

故答案为：•

33

【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用,向量数量积的应用以及向量模的求解,

利用基本不等式求解最值的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题.

15.(5分)已知函数/(x)=1)1，1—3有四个实数根xi,X2,尤3,无4且

l(x—4)2,X>3

11109

X1<X2<X3<X4,则一(X3+X4)XIH——的取值范围是(一，一)

4%23T~

【答案】弓发

【分析】根据题意，作出分段函数的图象,讨论根的范围,得进而求出衿+向

■+静取值范围.

【解答】解：由分段函数知：

1〈尤W2时，f(x)G(一8,0］且递减;

2c尤W3时，f(x)G［0,1］且递增；

3VxV4时，f(x)G(0,1)且递减；

%24时，f(x)E[0,+8)且递增；

(x)的图象如下：f(%)=4有四个实数根XI,X2,X3,X4且％1Vx2Vx3Vx4,

由图知：OVaVl时，/（x）=〃有四个实数根，且1VxiV2<X2V3VX3〈4VX4V5,又

X3+X4=8,

由对数函数的性质：（XI-1）（X2-1）=X\X2-（X1+X2）+1=1,

可得一二］一，

%2X1

・••令一（X3+X4）XI+—=2xi+—=2x1——+1=/,且一<X1<2,

4%2x2X12

1331

由g（x）=2x一一+1在（一，2）上单增，可知g（-）<2x一一+l〈g（2）,

%22%

一109

所以T7VtV亍

3乙

i109

故答案为：（1，

32

【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，是函数图象和性质的综合应用，难度中

档.

三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（14分）在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，已知acos（B-卷）=bsin力

（1）求角B的大小；

(2)若a=2,c=3,求sin(2A-B)的值.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换，即可求得B的值；

（2）利用余弦定理和三角恒等变换，即可求得sin（2A-B）的值.

【解答】解：⑴△ABC中，acos(B-f)=bsinA,

由sinAcos(B—7T)=sinBsinA,

6

TT

cos(5—Z)=sinB,

o

7T71

cosBcos-+sin8sin-=sinB,

66

V3i

-cosB—3sin8=0,

22

7T

/.COS(B+-7-)=0,

o

又BW(0,n),

解得B=~

(2)ZvlBC中，a=2,c=3,B=J,

由余弦定理得b=y/a2+c2—laccosB=夕，

由bsinA=acos(B—^),得sinA=g

...2

•cicf••cosA=ypj1

/.sin2A=2sinAcosA=

1

cos2A=2cos2A-1=

./c”n、，c”r>A-r>4\/^114^34^

..sin(2A-B)=sin2Acos8-cos2AsinB=X5一亍X丁=万才.

/Z/Z14

【点评】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，是中档题.

17.(15分)如图，在四棱锥尸-ABC。中，底面ABC。是边长为1的正方形，底面

ABCD,尸2与平面ABCD所成角为45°,E,B分别是PC,中点.

(I)求证：ZJE〃平面PFB-,

(II)求平面PFB与平面EDB夹角的正弦值.

p

l/F'-'7/

AB

【答案】（I）证明过程见解答;

【分析】（I）以。为坐标原点，DA.DC、。尸所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立

空间直角系，利用向量法能证明OE〃平面PEB;

（II）求出平面尸尸2的法向量和平面EDB的法向量，利用向量法能求出平面PEB与平

面EDB夹角的正弦值.

【解答】解：（I）证明：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PD

_L底面ABCD,

尸8与平面ABC。所成角为45°,E,尸分别是尸C,A。中点，

：.PD=BD=V2,

以D为坐标原点，DA.DC、。尸所在直线分别为无轴，y轴，z轴，建立空间直角系，

1

则D(0,0,0),E(0,

2

1L

F(-,0,0),B(1,1,0),P(0,0,V2),

2

T1_>

BF=(-1,-1,0),BP=(-1,-1,V2),

设平面尸尸3的法向量为n=（x,y,z）,

JT]

.gp=--X—y=oT/2

贝I」，n.-2，取y=l,得九=(-2,1,一2A)，

n-BP=-x—yV2z=0

-->

,：DE-n=0,DEC平面PFB,

.♦.OE〃平面PFB；

(II)平面尸FB的法向量为£=(-2,1,—5)，

—»

DB=(1,1,0),

设平面EZ阳的法向量为益=(〃，b,c),

,\m-DB=a+b=0-V2

则(TT]'取〃=1，得TH=(1,-L---),

Im-DE=/+勺c=02

设平面PFB与平面EDB夹角为0,

—>—>

则cos0=卫吗

\m\-\n\居一后

27_V330

平面PFB与平面EDB夹角的正弦值为singV1-cos0=1-=~55~'

【点评】本题考查线面平行的判定与性质、二面角正弦值等基础知识，考查运算求解能

力，是中档题.

18.(15分)已知曲为数列｛飙｝的前"项和，且满足S〃=2即+r其中rCR,且r=0.

(I)求数列｛丽｝的通项公式;

(II)设“=(-1严中，若对任意的灰N*,都有：鹉仇＜沅＜第1瓦，求实数

机的取值范围.

n

【答案】(I)an=-r-2-\

(II)(-1,2).

【分析】(I)根据所与S”的关系求解即可;

(II)易得bn=(―1y+1+(—2尸，再分别求得£徨Jbj,£篙瓦,利用数列的增减

性即可得解.

【解答】解：(I)由Sn—2an+r,

当〃=1时，〃i=Si=2〃i+r,所以〃1=--#0；

当〃?2时，Cln=Sn~Sn-1=2dn--1，

所以=2cin-19

所以数列｛斯｝是以2为公比的等比数歹U,

n-1

所以%1=-Y-2；

1

(II)由(I)得％=飞^")=r(i-2■，

则%=(-1严*(-l)n+1(l-2n)=(-l)n+1+(―2)n.

故对/瓦*+历+…+/T=1+吗闺==上”，

洛瓦*+匕2+…+加=。+汽辛沪=土享*

而皆方1瓦=-(-2广+1=二要随〃的增大而减小，

所以(£"ibt)max==^=-l,

本与仇=一(-2)；+1-2=2^-2随〃的增大而增大，

1

所以(£c盟1d)加的9V=4"~—47=2,

因为对任意的〃CN*,都有字笠1瓦〈比<2设1瓦,

所以-1〈机<2,即实数机的取值范围为(-1,2).

【点评】本题考查数列通项公式的求法以及数列的求和，数列的增减性，考查运算求解

能力，属于中档题.

x2y2、1

19.(15分)已知椭圆C：—+—=1(<7>6>0)过点(2,0),且椭圆C的离心率为一.

azbz2

(I)求椭圆C的方程；

(II)若动点尸在直线》=-1上，过尸作直线交椭圆C于M,N两点，且P为线段MN

中点，再过尸作直线证明：直线/恒过定点，并求出该定点的坐标.

【答案】见试题解答内容

【分析】(I)点(2,0)在椭圆上，将其代入椭圆方程，又因为c=解方程组得到a,

b,由此能求出椭圆方程.

(II)点尸在直线x=-l上，则可得尸(-1,*),当直线MN的斜率存在时设斜率为

k,得到直线MN中点，根据点尸的横坐标解得比由/LMN可得直线/的斜率及其含参

数*的方程，分析得直线是否恒过定点，注意还要讨论直线MN的斜率不存在的情况.

【解答】(I)解：•••点(2,0)在椭圆上，

4o

.•・W+T7=1,解得〃2=4,

azb乙

_1cl

•.•椭圆C的离心率为二，，一=

2a2

a2-b21

---弓-=二,解得庐?=3,

az4

x2y2

；・椭圆C的方程为了+--1-

43

（II）证明：设尸（-1,yo）,y（）E（―a，引，

①当直线MN的斜率存在时,

设直线MN的方程为y-泗=左(x+1),M(xi,yi),N(x2,y2),

由仔+妥】

ly-y0=k(x-1)

22222

彳导：(34-4k)%+(8ky0+8k)%+(4y0+8ky0+4k—12)0,

2

.._8kyo+8k

••X-i+Xo-59

3+4/c'

2

•:P为MN中点、,...久1+久2=_1,即_8%+?

一2,

23+4〃

.3

・・kMN=(yo。。)•

/J_LMN,'•ki——斐•,

.,.直线I的方程为y—yo=—袈（％+1），

即旷=