2025版高考数学一轮总复习考点突破第8章平面解析几何第9讲圆锥曲线-最值范围问题考点1最值问题

最值问题[解析](1)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1＝0，,y2＝2px，))得，y2－4py＋2p＝0，∴yA＋yB＝4p，yAyB＝2p，∴|AB|＝eq\r(xA－xB2＋yA－yB2)＝eq\r(5)|yA－yB|＝eq\r(5)×eq\r(yA＋yB2－4yAyB)＝4eq\r(15)，即2p2－p－6＝0，因为p>0，解得p＝2.(2)因为F(1,0)，显然直线MN的斜率不可能为零，设直线MN：x＝my＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x＝my＋n，))可得，y2－4my－4n＝0，∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n，Δ＝16m2＋16n>0⇒m2＋n>0，∵eq\o(FM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝0，∴(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，即(my1＋n－1)(my2＋n－1)＋y1y2＝0，亦即(m2＋1)y1y2＋m(n－1)(y1＋y2)＋(n－1)2＝0，将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入得，4m2＝n2－6n＋1,4(m2＋n)＝(n－1)2>0，所以n≠1，且n2－6n＋1≥0，解得n≥3＋2eq\r(2)或n≤3－2eq\r(2).设点F到直线MN的距离为d，所以d＝eq\f(|n－1|,\r(1＋m2))，|MN|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋m2)|y1－y2|＝eq\r(1＋m2)eq\r(16m2＋16n)＝eq\r(1＋m2)eq\r(4n2－6n＋1＋16n)＝2eq\r(1＋m2)|n－1|，所以△MFN的面积S＝eq\f(1,2)×|MN|×d＝eq\f(1,2)×eq\f(|n－1|,\r(1＋m2))×2eq\r(1＋m2)|n－1|＝(n－1)2，而n≥3＋2eq\r(2)或n≤3－2eq\r(2)，所以当n＝3－2eq\r(2)时，△MFN的面积Smin＝(2－2eq\r(2))2＝12－8eq\r(2).[解析](1)解法一：设H(x，y)为椭圆上任一点，则|PH|＝eq\r(x2＋y－12)＝eq\r(－11\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,11)))2＋\f(144,11))≤eq\f(12\r(11),11)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当y＝－\f(1,11)时取等号))∴|PH|的最大值为eq\f(12\r(11),11).解法二：设Q(2eq\r(3)cosθ，sinθ)是椭圆上任意一点，P(0,1)，则|PQ|2＝12cos2θ＋(1－sinθ)2＝13－11sin2θ－2sinθ＝－11eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθ＋\f(1,11)))2＋eq\f(144,11)≤eq\f(144,11)，当且仅当sinθ＝－eq\f(1,11)时取等号，故|PQ|的最大值是eq\f(12\r(11),11).(2)设直线AB：y＝kx＋eq\f(1,2)，直线AB方程与椭圆eq\f(x2,12)＋y2＝1联立，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k2＋\f(1,12)))x2＋kx－eq\f(3,4)＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(k,k2＋\f(1,12))，,x1x2＝－\f(3,4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k2＋\f(1,12))))，))因为直线PA：y＝eq\f(y1－1,x1)x＋1与直线y＝－eq\f(1,2)x＋3交于C，则xC＝eq\f(4x1,x1＋2y1－2)＝eq\f(4x1,2k＋1x1－1)，同理可得，xD＝eq\f(4x2,x2＋2y2－2)＝eq\f(4x2,2k＋1x2－1).则|CD|＝eq\r(1＋\f(1,4))|xC－xD|＝eq\f(\r(5),2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4x1,2k＋1x1－1)－\f(4x2,2k＋1x2－1)))＝2eq\r(5)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x1－x2,[2k＋1x1－1][2k＋1x2－1])))＝2eq\r(5)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x1－x2,2k＋12x1x2－2k＋1x1＋x2＋1)))＝eq\f(3\r(5),2)·eq\f(\r(16k2＋1),|3k＋1|)＝eq\f(6\r(5),5)·eq\f(\r(16k2＋1)\r(\f(9,16)＋1),|3k＋1|)≥eq\f(6\r(5),5)×eq\f(\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k×\f(3,4)＋1×1))2),|3k＋1|)＝eq\f(6\r(5),5)，当且仅当k＝eq\f(3,16)时取等号，故|CD|的最小值为eq\f(6\r(5),5).名师点拨：处理圆锥曲线最值问题的求解方法1．几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．2．代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．