2024年高考数学二轮复习突破过关检测6 解析几何（附答案）

过关检测六解析几何

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

22

1.(2023•广东韶关模拟)椭圆2+匕=1的长轴长为6,则该椭圆的离心率为()

5m

AB.fC粤口驾

粤3366

2.(2023•广东深圳中学模拟)若圆(/a)2+(y-3)2=20上有四个点到直线2x-y+l=0的距离为

通，则实数。的取值范围是()

A/13、..17、—/1317、

A.(-oo,-)U(zy,+oo)B.(—,y)

3737

C.(-8《)吗+8)D岐9

3.已知双曲线谆-，=l(a＞0力＞0)的一条渐近线被圆好+广10丁=0截得的线段长等于

8,则双曲线C的管心率为()

A.孚B]C.3D.|

4.(2023・湖南长沙一中模拟)已知A(-3,0),3(3,0),C(0,3),一束光线从点网-1,0)出发经AC反

射后，再经3c上点D反射,落到点E(l,0)上，则点D的坐标为()

A41,|5)B.(3|,|3)

C.(l,2)D.(2,l)

5.已知抛物线/=8x的焦点为£经过点P(l,l)的直线I与该曲线交于A,B两点，且点尸恰

好为A3的中点，则|A川+|3川=()

A.4B.6C.8D.12

6.(2022.全国甲，文11)已知椭圆C:马+4=13＞。＞0)的离心率为111加分别为C的左、

右顶点,3为C的上顶点.若西・阿=-1,则C的方程为()

A.^+g=lB.〈+q=l

lo1698

C.^+^=lD.?+y2=l

322

7.已知圆Ci：(x+2)2+y2=i,C2：(x-2)2+y2=49,动圆C满足与G外切且与。2内切，若M为Ci

上的动点，且丽•互不0,则|两|的最小值为()

A.V2B.V3C.2D.V5

8.瑞士著名数学家欧拉在17世纪证明了定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一条直

线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABGABnACna

点3(-1,3),点C(4,-2),且其“欧拉线”与圆M:(*a)2+(y-a+3)2=户相切测圆M上的点到直线

x-y+3=0的距离的最小值为()

A.2V2B.3V2C.4V2D.6

二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知抛物线C:y2=4x的焦点为R准线为/,过点F的直线与抛物线交于两点

。(★/。，。(应”工点「在/上的射影为。^^)

AJPQI的最小值为4

B.已知曲线C上的两点S,T到点R的距离之和为10,则线段ST的中点的横坐标是4

C.设"(0,1),则归必+|勿1|三直

D.过”(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条

10.已知椭圆的左、右焦点分别是人匹，左、右顶点分别是4,A2,点尸是椭

圆上异于4^2的任意一点，则下列说法正确的是（）

A.|PFI|+|PF2|=5

B.直线PAi与直线PA2的斜率之积为T

C.存在点P满足/人尸八=90°,

D.若AF1PF2的面积为4病,则点P的横坐标为上而

11.（2022.新高考〃,10）已知。为坐标原点，过抛物线。:>2=2后防>0）的焦点R的直线与C

交于A,B两点，点A在第一象限，点”30）,若|4月=|同|,则（）

A.直线AB的斜率为2①

B.\OB\=\OF\

C.|AB|>4|OF|

D.ZOAM+ZOBM<180°

12.（2023・湖南长沙模拟）已知双曲线谆—，=1（。>0力>0）的左、右焦点分别为人方2,过

人作斜率为上的直线与双曲线的右支交于A乃两点（A在第一象限）,|43|=|3八|,尸为线段

A3的中点，。为坐标原点，则下列说法正确的是（）

A.|AFI|=2|AF2|

B.双曲线C的离心率为2

的面积为字

D.直线OP的斜率为?

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.（2022.全国甲，文14）设点航在直线2%+广1=0上,点（3,0）和（0,1）均在0"上厕。加的方

程为.

14.圆锥曲线有丰富的光学性质，从椭圆焦点发出的光线，经过椭圆反射后,反射光线经过

另一个焦点;从抛物线焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物

线的对称轴.已知椭圆婚+胃=13>。>0）过点（3,1）.由点P（2,l）发出的平行于x轴的光

线经过抛物线Ci：y2=16；k射到椭圆C上后,反射光线经点（-4,0）,则椭圆C的方程

为.

22

15.（2023•广东茂名一模）已知直线x=2m与双曲线一金=1（m>°，">°）交于人石两点

（A在3的上方）,A为BD的中点，过点A作直线与y猛菱疝交于点E若XBDE的内心到

y轴的距离不小于|打则双曲线C的离心率的取值范围是.

16.已知抛物线Z:—=4y的焦点为R圆F:x2+（y-l）2=4与抛物线Z在第一象限的交点为

直线与抛物线Z的交点为A,直线/与圆R在第一象限的交点为

3,则m=周长的取值范围为.

四、解答题:本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知点展,0）,直线/:x=3,动点尸到点R与到直线/的距离相等.

⑴求动点P的轨迹C的方程；’

（2）过轨迹C上一点"（3,四）作圆（x-2）2+〉2=i的两条切线，分别与轨迹C交于异于“点

的A乃两点，求以酣

2“2

18.(12分)已知椭圆av+%=l(a>">0)的左、右焦点分别为人典离心率为日过点八且

斜率不为0的直线与椭圆交于A,B两点,△EAR2的周长为4+2V3.

⑴求椭圆C的方程；

⑵设0为坐标原点，求+9］的取值范围.

丫2

19.(12分)已知椭圆P:^+y2=l的右顶点为A,点M(xo,yo)是椭圆P上异于A的一点,MN,

无轴于点N,B是MN的中点，过动点Mxo,yo)的直线/:xox+4yoy=4与直线AB交于点C.

⑴当xo1时，求证:直线I与椭圆P只有一个公共点；

(2)求证:点C在定直线上运动.

20.（12分）（2023•山东日照一模）已知抛物线的焦点为F,E为C上的动

点,EQ垂直于动直线y=/（/<0）,垂足为。，当△EQR为等边三角形时，其面积为4V3.

（1）求C的方程.

（2）设0为原点，过点E的直线I与C相切，且与椭圆《+。=1交于A,B两点，直线OQ与

A3交于点M,试问:是否存在/，使得以必=|3必?若存在，求/的值;若不存在,请说明理由.

21.（12分）（2022.新高考/,21）已知点A（2,l）在双曲线厚-痣=1他>1）上，直线/交C于

P,Q两点，直线AP,AQ的斜率之和为0.,

⑴求/的斜率；_

⑵若tanNP4Q=2vx求△P4Q的面积.

22.（12分）（2023•山东潍坊一模）已知椭圆塔+，=1伍9>0）的焦距为2旧,离心率为今

直线/:y=©x+l）（左>0）与E交于不同的两点M,N.

（1）求E的方程；

（2）设点P（l,0）,直线与E分别交于点C,D.

①判断直线CD是否过定点?若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.

②记直线CD,的倾斜角分别为a/,当a/取得最大值时，求直线CD的方程.

过关检测六解析几何

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

22

1.B解析因为椭圆£+\=1的长轴长为6,所以椭圆的焦点在y轴上，且机=32=9,所以

椭圆的离心率为=|.

2.D解析因为圆的方程为。-4+(广3)2=20,所以圆心为(a,3),半径为2遍.又因为圆(x-

a)2+(j-3)2=20上有四个点到直线2x-y+l=Q的距离为遮，所以圆心到直线2x-y+l=Q的距

离区所以等<遮即|2a-2|<5,解得

3.D解析双曲线"一弃=1(<2>0力>0)的渐近线方程为即ay±bx=0.

圆的方程N+V-lOyR可化为/+什-5)2=25,则圆心为(0,5),半径为5,

圆心到渐近线的距离为蒜，由弦长公式可得8=2以与，

yJa2+b2\az+bz

化简可得/二技片,.：。2=。2+/=孩。2,则g=£—|­

4.C解析根主入射光线与反，光线的关系,为别作出RE关于ACBC的对称点G,H,连

接GH,交3c于。，则点。即为所求,如图.

由题意知,AC所在直线方程为产x+3风-1,0),设G(x,y),

金=叁+3

则2y2'解得x=3,y=2,即G(-3,2).

3=j，

由3c所在直线方程为y=-x+3,E(l,0),同理可得”(3,2),

所以直线GH的方程为产2.

联立R二j*，解得x=l,y=2,即0(1,2).

5.B解析抛物线y2=8x中,=4,其焦点网2,0),准线方程x=-2,过点A,B,P作准线的垂线,

垂足分别为MN,R(图略).

由抛物线定义可知,以川+|3川=|4〃|+|5朗.

而P恰好为A3的中点，故PR是梯形A3N航的中位线，故|AM|+|3N|=2|PR|,

又故|PH|=l+'3,

所以|AR|+|3N=2x3=6.

6.B解析由题意知21(口0)血3,0)网0力),

则•瓦号=(-。,-6>(&,-。)=-次+/=-1,①

39a2a2

即b2=la2.@

联立壶，解得次=9,"=8.故选B.

7.B解析易知圆Ci的圆心Ci(-2,0),圆G的半径为n=l.0C2的圆心。2(2,0),半径为

r2=7.|CiC2|=4<|n-r2|,

所以圆。内含于圆C2.

设圆c的半径为民则m号1，

故|CCI|+|CC2|=8>|CC2|=4,

故圆心C的轨迹为椭圆，且该椭圆的焦点为C1,C2.

22

设该椭圆的方程为篇+31(〃9>0),焦距为2c(c>0),

则2〃二8,可得。=4;由2c=4,可得c=2;Z?=Va2-c2=2A/3,

22

所以点C的轨迹方程为3+3=1.

1612

由石标•瓦瓦=0,得且|的|=1,

由椭圆的几何性质可得|鬲|min=a-C=2,故|前|min=j|前篇nLL=卮

8.A解析因为在AABC中A3=AC=4,所以3c边上的高线、垂直平分线和中线合一,

A

DJ

则其“欧拉线”为"5。边的垂直平分线AD.

因为点5(-1,3),点C(4,-2),

所以琥，)

因为直线3c的斜率为要=-1,所以3c的垂直平分线的斜率为1.

-1-4

所以3c的垂直平分线方程为即x-y-l=0.

因为"欧拉线"与圆〃:(%-。)2+(广4+3)2=/相切，

所以圆心3a-3)到“欧拉线”的距离为生嘤=厂，可得片鱼.因为圆心3a-3)到直线%-

y+3=0的距离为喈虫=3a,所以圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值为

V2

3V2-V2=2V2.

二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.ABC解析由题意知(=1,抛物线的焦点网1,0),准线方程为x=-l.

对于A,当PQLx轴时,|PQ|取得最小值，最小值为22=4,所以A正确；

对于B,曲线C上的两点S,T到点尸的距离之和为10,所以点S,T的横坐标之和为10-

2=8,则线段ST的中点横坐标为4,所以B正确；

对于C,设M(Q,l),^]\PM\+\PPi\=\PM\+\PF\三\FM\=42,当且仅当M,P,F三点共线时取等

号，所以C正确；

对于D,当直线过点”(0,1)且与X轴平行时,直线与抛物线有且只有一个公共点.过点

”(0,1)且与抛物线相切的直线有两条，此时直线与抛物线有且只有一个公共点，所以过点

”(0,1)与抛物线有且只有一个公共点的直线有3条，所以D错误.

10.BD解析由题意得。=5力=2遮,0=遮尸1(-述,0)F2(芯,0),4(-5,0)4(5,0),短轴一个顶

点B2(0,2V5),|PFi|+|PF2|=2a=10,A错误;

设PQ)砥+学1,户20(1一勺，

人】•kpA2=京x己=段=20(1-，)x露二，B正确；

因为tanNO32R2='=*=工<1,所以0°</。32g<45°,从而//山2g=2/

\OB2\2V52

。比仍<90°,而P是椭圆上任一点，当P是短轴端点时NBPR2最大，因此不存在点尸满

足NBPR2=90°,C错误；

SAPF#2=[RIR21M=遥防|=4年阱1=4,则黄+|^=1,%P=±V5,D正确.

、乙ZZbZU

p

11.ACD解析选项A,由题意知，点A在线段板的垂直平分线上，则%，所以

24

选项B,由斜率为2乃可得直线AB的方程为x=V^y+*联立抛物线方程得产盍啖22=0,

设B（XB,ys）,

2

则5+”=臣，则*=-率,代入抛物线方程得（-率）=2b码解得XB=*

.'.\OB\2=xj+另=9+等=普力故选项B错误；

选项C,|AB|=：/?+：+p=||p>2p=4|QF],故选项C正确；

选项D,由选项A,B知A0P净）吃黑p）,

4Z33

所以瓦？-与）•（§,-与）=--p2=-%2<o,所以ZAOB为钝角.

423344

又麻厢=（金净）.（筝号）=%2=豺<0,

所以NAMB为钝角.0°'

所以NQ4M+NO3M<180°.

故选项D正确.

故选ACD.

12.AD解析如图所示.

对于A选项，因为|AB|=|8尸11,所以|A尸2|=I-18尸2|=|8尸1卜|8尸2|=2a,

由双曲线的定义可得|AF1|-|AF21=IA刈-2a=2a,所以|AFi|=4。=21AW|,故A正确；

对于B选项油题意知直线AB的斜率为夕,设直线AB的倾斜角为火则a为锐角且tan

近,联立［,仙2a+北2a_i解得cosa当,

ISillCl十CUbCt—_L,4

cosa>0,

则cosNAF2尸i=cos（兀-a）=-cosa=--,

4

.出『+用6|2.-丘|2_4a2+4c2-16a2_V2

在AAF1F2中,由余弦定理得cosZAF2F1='

2|巾忸尸21

即2，+企〃06〃2=0,两边同时除以/得2e2+V2e-6=Q,

解得e=&或e=-等（舍去），故B错误；

对于C选项，因为cosNAR2K=-玄，所以NAR2R1为钝角，

4_________

22

所以sinXAFiFil-cosZ-AF2F1=J1-(-^-)=

所以SAAF,&=-|AF2|-|FiF2|sinZAFFi=ix2tzx2cx—=2aX企ax—=位次，故c错误;

【222244

丫1+丫2n

对于D选项，设人⑴刈以必》),则P(汽这，中)，可得kop==^~=左手，

因为c=&d所以b=y/c2-a2-a.

由提一，得至1_&1=0

性或=1。2b25

ka2'b2~

所以锣=2.3kop4=1,所以kl

Xj-%2%1-%2比l+%2a7

所以直线OP的斜率为祭故D正确.

故选AD.

三、填空题沐题共4小题海小题5分洪20分.

13.(x-l)2+(y+l)2=5解析(方法1)设A(3,0),3(0,1),则线段A3的垂直平分线方程为广

[=3卜(),即j=3x-4.

由除+手上。解啸2,

即圆心M的坐标为(1,-1).

设OM的半径为小则^=(3-1)2+12=5.

故所求。〃的方程为(x-l)2+(y+l)2=5.

(方法2)设圆心M(Q』-2Q),OM的半径为八贝1]r2=(^-3)2+(1-2a)2=(a-0)2+(l-2a-1)2,

整理可得-10Q+10=0,即a-\.

则圆心故所求的方程为01)2+0+1)2=5.

22

14鼻+-=1解析由题设知,抛物线G:y2=16x的焦点为(4,0),

由点P(2,l)发出的平行于x轴的光线经过抛物线Ci反射后必过点(4,0),再经过椭圆C反

射经过(-4,0),

可知(4,0),(-4,0)为椭圆C的两个焦点，

故c=4,而(3,1)在椭圆C上,

盘+2=1,可得[=詈即椭圆°的方程为[+[=1.

由

,a2-b2—16,力N—2,182

15.(1,等]解析因为A在3的上方，且这两点都在C上,

所以A(2m,y/3n),B(2m,-y/3n),

所以|A3|=2百〃.

因为A是线段3。的中点,轴，

所以£4,3D,|ED|=|E3|,

所以ABDE的内心G在线段E4上.

因为DG平分NADE,所以在AADE中，器=兽,

_\DE\\GE\

设|EG|=d，所以I之辰==网4=网】

J(2m)2+(2V3n)2""

因为G至1Jy轴的距离不小于|也,

所以|/nWd<2/n,

所以,■

(2m)2+(2V3n)2

=

Xt9第_t

/+(y-1)2=4,解得『=；+"^7所以B(Z,1+74^).

{%>0,y>0,y~一'

由抛物线的定义，知AR=AC,

△E4B的周长=K4+RB+A3=AC+A3+3R=3C+2=V^+4.

因为史(0,2),所以网于+4@(4,6).

四'解答题:本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.解(1)设点P(x,y),根据题意得=k+

化简得动点p的轨迹c的方程为/=1%.

⑵：加⑶鱼),(x-2)2+y2=i,.：x=3即圆的一条切线5A(3,-&).

设过”的另一条切线斜率为匕灯0,则切线方程为广夜=网+3),又设3(xi,yi).

fy-V2=fc(x-3)5222V2

由方程组V=|阳付广-藐丁+盂-2=o,

:‘直线为广鱼=攵(+3),其与圆相切,

.|2fc-0-3fc+V2|T，•:T

Vfc2+1

.：yi=y.：B满足y2=|x,.:端,y).

.•・荏=(T，竽存匚字

(2a+2c=4+2V3,

18.解⑴由题意得\_四

解得『=2故庐=4-3=1.

lc=V3,

2

所以椭圆C的方程为号+>2=1.

4

(2)因为尸2(遮,0),所以设直线A5的方程为x=my+43,A(xi,yi),B(x2,y2).

♦+3=i

由，4'消去工得⑺2+44+2右瓶y-l=0,

x=my+V3,

,2V3m

,1乃一；诉’

一{丝=-高.

又。力+。8=(%1+孙丁1+丁2)=(加yi+加”+275》+丁2),所以|。力+OB\

22

(m%+my2+2V3)+(为+y2)

72

8g37n2+48

+产22

,m2+z\m2+4.(m+4)'

3

令t—e(0斗所以受驾=当学簪=苧=36»+3/.

m2+4\4」(m2+4)2(m2+4)2A.

t2

因为二次函数产36P+3/在怎(0用上单调递增，所以7=36户+3/©(0,3],

因此\OA+6(0,2遮](当m=0时取得最大值),

所以|U1+加|6(0,2百].

19.证明⑴不妨设yo>O,当xo=g时，由£■+走=1得yo=g

所以直线/的方程为|x+4x24,即产-**"

'_35V，

y--~x+-■>

84解得

由x24

彳+f=1,

故直线/与椭圆P:点坐标为d

所以直线/与椭圆P只有一个公共点.

yp

因为泗>0,所以次先,所以直线AB的方程为产f(x-2),即y=-^-(x-2),

%o-，Z[X0-Z)

(Xox+4y0y=4,

联立|v_yo(x2)得(哈+2%-2xo)x=4xo-8+4%.

(7—2(久0-2)1-〃

又因为多+正=1,所以正=1-§,

因此卜］+2(1-?)-2&k=4%0-8+4(1_*),即：(元0-2)2%=-(%0-2)2,

所以％=-2,所以点。在定直线x=-2上运动.

20.解⑴:AEQb为等边三角形时，其面积为4V3,

•••卜|EQ『s吗=4劣,解得|EQ|=4.

根据|ER|=|EQ|和抛物线的定义可知，。落在准线上，即y=t=y

设准线和y轴交点为H,易证NHFQ=*

.".\FQ\cos^=2=\FH\=p,

.：C的方程为x2=4y.

（2）假设存在方使得|,|=|3必,则航为线段A3的中点.

设E（xo,子）（x（#O）,依题意得Q（xo,力则koQ=—.

4x0

由丁=.可得

4Z

.:切线/的斜率为fo=|xo.

设4（矶8）,3（%2,>2）,线段A5的中点M（第，左卢）.

（五十城=12222

由2+/=；可得手+号=0，

I42-

.（%1+%2）（久广汽2）+（以+丫2）（%，2）=0

42一，

整理可得也且・也与=±

%广%2久1+%22

即ki・koM=%.^co-koM=-^

•*»koM=-——.

久0

又koQ=koM--,

XO

•:当t=-l,koQ=koM=--,

XO

此时。,〃,。三点共线，满足〃为A3的中点.

综上，存在。使得=且t=-l.

21.斛⑴•点A（2,l）在双曲线C-———l（tz>l）J1,..——二厂1,解付a—2.

azaz-lazaz-l

v2

•:双曲线的标准方程为万-V=l.

易知直线I的斜率存在.设直线I的方程为尸丘+私点尸（孙丁1）,。（九2,丁2）,

由y=kx；工得(L2FW-4座-2(序+i)=o,

..八4km-2(m2+l)

^J>O,X1+X2=__,X1X2=_.

设直线AP^AQ的斜率分别为人转,近0,则k0,

~*1-2比2-2

••(y1-1)(^2-2)+(y2-1)(xi-2)=0,

•:(Axi+m-1)(%2-2)+(te+m-1)(xi-2)=0,

整理，得2kxiX2+(m-1-2^)(xi+%2)-4(m-1)=0,

・：2Z(-2加_22)+4而O-1-2Q-4O-1)(1-2^)=0,

即23+化(阴+1)+机-1=0,(左+1)(2左+m-1)=0.

或加=1-2匕把m=l-2k代入y二日+加,得y=日+1-2左=%(x-2)+l,此时直线PQ过点

A(2,l),舍去,,"二-1,即直线/的斜率为-1.

(2)由(1)知，直线/的方程为y二-%+加,%1+%2=4帆,XI%2=2扇+2,则好+%2~12m2-4,

21+2222

r.\PQ\=y/l+k-](久X2)-4X1X2=V2-V16m-8m-8=4Vm-l,AA(2,l)到直线I

的距离4=叫型=等.

r.^PAQ的面积S^AQ=ld-\PQ\=V2\3-m\yJm2-l.

由tanNPAQ=2V^