2024年高考数学 函数的概念与性质（解析版）

函数的概念与性质

目录一览

2023真题展现

考向一函数的奇偶性

考向二函数单调性

考向三指数函数与对数函数大小比较

真题考查解读

近年真题对比

考向一.函数的最值及其几何意义

考向二.函数奇偶性

考向三抽象函数及其应用

考点四指数函数与对数函数大小比较

命题规律解密

名校模拟探源

十三种题型60题

易错易混速记/二级结论速记

2。23年真题展现

考向一函数的奇偶性

1.(2023•新高考n•第4题)若F(x)=(x+a)1%%十1为偶函数,则H=()

1

A.-1B.0C.-D.1

【答案】B

解：由当•AO,得x>[或广

2x4-122

由fQx)是偶函数，

・••广(-x)=(x),

得(-x+a)力矢=(x+a)In/言

口口/\12%+1/\1/2x—1、1/、[2x-l/、12x—1

即(-x+a)In---=(-In(--)一1=(.x-a)In--=(田H)In-—,

2x—12x+12x+1Zx+1

••x~3,9-a'='a,

得a=0.

考向二函数单调性

2.(2023•新高考I•第4题)设函数/(x)=2、a-G在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是()

A.(-8,-2]B.[-2,0)C.(0,2]D.[2,+°°)

【答案】D.

解：设t=x(x-a)=x2-ax,对称轴为了=包，抛物线开口向上，

2

,・)=2,是/的增函数，

，要使/(x)在区间(0,1)单调递减，

贝卜=/-"在区间(0,1)单调递减，

即至21,即心2,

2

故实数a的取值范围是[2,+8).

考向三指数函数与对数函数大小比较

3.(2023•新高考I•第10题)(多选)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义

声压级4=20Xlg^,其中常数00(”>0)是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级：

声源与声源的距离/加声压级/力

燃油汽车1060〜90

混合动力汽车1050〜60

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10加处测得实际声压分别为小，P2,P3,则（）

A.pi2p2B.p2>10P3C.p3=lOOpoD.piWlOO22

【答案】ACD

Pi9

解：由题意得，60^20/g-<90,lOOOpo^i<105p0,

p25

50W20%W60,10个0与2〈100卯0，

,P3

20篇；=40,23=100”，

可得Pi》P2,4正确；

22《1切3=1000”），3错误;

,3=10卯0,c正确;

95

PTWlO2j9o~100X102y2Q^100/?2,piWlOOp2，。正确.

¥

真题考查解读

m-£

【命题意图】

考查函数的性质：对称性、周期性、单调性，考查化归与转化思想，考查逻辑推导与计算素养.

【考查要点】

函数的图象与性质是高考常考查的热点之一.考查函数的定义域、值域、图象，函数的对称性、周期性、

单调性.

【得分要点】

一.函数奇偶性的性质与判断

（1）如果函数/（X）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个X,都有/（-X）=-/（》），那么函数

f（X）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0,0）对称.

（2）如果函数/'（X）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x,都有/（-x）=/（x）,那么函数了

（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称.

函数的单调性

判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵

循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法.

单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“U”联

结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结.

设任意为，^2G［a,6］且再王/2，那么

①f（x］）f（X］）（x）在［a,6］上是增函数；

xl-x2

f（X）-f（x）

———---—J-＜在［a,6］上是减函数.

xl-x2

②（为-兹）"（xi）-f（质）］＞O=f（x）在［a,6］上是增函数；

（西-兹）［/（JTI）-f（x2）］＜0oF（x）在［a,右］上是减函数.

函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间.

三、指对塞函数的大小比较

方法一：运用函数的单调性比较

1.对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f（）外衣”比较大小；

2.有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数单调性对称性，以用于比较大小.

方法二：因为幕指对函数的特殊性，往往比较大小，可以借助于临界值0与1（或者-1）比较大小.

方法三：寻找中间变量是属于难点，可以适当的总结积累规律

1.估算要比较大小的两个值所在的大致区间

2.可以对区间使用二分法（或者利用指对转化）寻找合适的中间值

方法四：作差法、作商法

1.一般情况下，作差或者做商，可处理底数不一样的的对数比大小

2.作差或者做商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧和方法解

方法五：利用对数运算分离常数比大小

这是对数值所独有的技巧，类似于分式型的分离常数，借助此法可以把较复杂的数据，转化为某一单调区

间，或者某种具有单调性的形式，以利于比较大小

方法六：构造函数

学习和积累”构造函数比大小"，要先从此处入手，通过这个函数，学习观察，归纳，总结"同构"规律，还

要进一步总结"异构"规律，为后续积累更复杂的"构造函数”能力做训练.

构造函数，.观察总结"同构"规律，许多时候，三个数比较大小，可能某一个数会被刻意的隐藏了“同构"规

律，所以可以优先从结构最接近的两个数规律.

方法七：放缩法

1、对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数

2、指数和累函数结合来放缩。

3、利用均值不等式等不等关系放缩

方法八："数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数(主要是整数多一

些)，那么可以以该"整数"为变量，构造四舍五入函数关系，2021年全国卷乙卷第12题即是此思维.

『近年真题对比』

考向一.函数的最值及其几何意义

1.(2021•新高考I)函数f(x)=|2x-1|-2阮r的最小值为

【答案】1

【解答】解：法一、函数f(x)=|2x-1|-2/内的定义域为(0,+8).

当OVx釐时，f(x)=|2x-1|-21nx=-2x+l-21nx.

限2

此时函数/'(x)在(0,会上为减函数,

当■时，f(x)=|2x-1|-1lnx=1x-1-llnx,

则，(x)=2上=2(x-1),

XX

当xe(X1)时，/G)<o,f(x)单调递减，

2

当在(1,+8)时，f(%)>o,f(%)单调递增，

,：f(x)在(0,+8)上是连续函数，

...当XC(0,1)时，f3单调递减，当xe(1,+8)时，/(X)单调递增.

.,.当x=l时/(x)取得最小值为/(1)=2X1-1-2Znl=l.

故答案为：1.

法二、令g(x)=|2x-1|,h(x)=2lnx,

分别作出两函数的图象如图：

由图可知，/(x)泞(1)=1,

则数/(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为1.

考向二.函数奇偶性

2.(2021•新高考II)写出一个同时具有下列性质①②③的函数/(x)：.

①/■(肛肛)=/(无1)/(必)；②当xe(0,+8)时，f(x)>0；③f(x)是奇函数.

【答案】/(x)=/..

解/'(X)=x2时，f(X]乂2)=(X[X?)2=X1(X1)f(X?)；当在(。，+°°时，

2x>0；f(x)=2x是奇函数.

故答案为：

另解：基函数/(x)=K(a>0)即可满足条件①和②；偶函数即可满足条件③，

综上所述，取/(x)=x2即可.

3.(2021•新高考I)已知函数/(x)=x3(a-2x-2-是偶函数，贝|a=.

【答案】1

解：函数/(x)=x3(a*2J-2-x)是偶函数，

y=xi为R上的奇函数，

故y=a・2x-2r也为R上的奇函数，

所以弘=0=。・2。-2°=。-1=0,

所以a=l.

法二：因为函数/(x)=/Qa'2x-2-x)是偶函数，

所以/(-x)=/(x),

即--((z«2*x-2x)=x3(。.2工-2-工)，

即/(。・2》-2一工)+/(°・2-X-2X)=0,

即(a-1)(2x+2-x)x3=0,

所以a—1.

4.(2021•新高考H)已知函数/(x)的定义域为R(/(x)不恒为0),/(x+2)为偶函数，/(2x+l)为

奇函数，贝I()

A./(--1)=0B./(-1)=0C.f(2)=0D.f(4)=0

2

【答案】B

【解答】解：•••函数，(日2)为偶函数，

：.f(2+x)=f(2-x),

V/(2x+l)为奇函数，

：.f(1-2x)=-f(2x+l),

用x替换上式中2x+l,得/(2-无)=-/(x),

：.f(2+x)=-f(x),f(4+x)=-f(2+x)=f(x),即/(x)=f(x+4),

故函数/(x)是以4为周期的周期函数，

V/(2x+l)为奇函数，

：.f(1-2x)=-/(2尤+1),即/(2x+l)H/(-2x+l)=0,

用x替换上式中2x+l,可得，f(x)+/(2-x)=0,

'.f(x)关于(1,0)对称，

又■⑴=o,

：.f(-1)=-f(2+1)=-/(i)=o.

考向三抽象函数及其应用

5.(2022•新高考H)已知函数/(x)的定义域为R,且/(工力)+f(x-y)=/(x)/(y),/(I)=1,

22

则£f(k)=()

k=l

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

解：令y=l,则/(x+1)4/(x-1)=f(x),即/(x+1)=f(x)-/(x-1),

：.f(x+2)=/(x+l)-f(x),f(x+3)=/(x+2)-f(x+1),

：.f(x+3)=-f(x),则/(x+6)=-f(x+3)=f(x),

：.f(x)的周期为6,

令x=l,y=0得/(I)=/(1)X/(0),解得/(0)=2,

又/(x+1)=/(x)-/(x-1),

：.f(2)=/(1)-f(0)=-1,

f(3)=/(2)⑴=-2,

/■⑷=/(3)-/(2)=-1,

/(5)=f(4)-/(3)=1,

/⑹=/(5)-/(4)=2,

6

•••£f(k)=1-121+1+2=0,

k=l

22

£f(k)=3X0+f(19)+f(20)+f(21)+f(22)=/⑴+f⑵+f⑶+f(4)=-3.

k=l

考向四指数函数与对数函数大小比较

6.(2022•新高考I)设a=0.1e°i,6=工c=-勿0.9,则()

9

A.a<b<cB.c〈b〈aC.D.a〈c〈b

【答案】C

解：构造函数/(x)=lnx+—,x>0,

x

则/(x)=工一x>0,

T2

AX

当/(x)=0时，x=\,

OVxVl时，f(x)<0,/(x)单调递减；

x>l时，/(x)>0,f(x)单调递增，

：.f(X)在X=1处取最小值/(I)=1,

(x>0且xWl),

x

：.ln0.9>l-1=-A,；.-/HO.9<A,：.c<b；

0.999

v-/no.9=z«12.>i-A.=A.,

910109

.•.O.leol<X：.a<b；

9

设g(x)—xe^+ln(1-x)(0<x<l),

mr|./、/、1_(x2-l)ex+l

x

则g'(x)=(X+l)e^?-------------，

X-lX-l

令h(x)=e^(x2-1)+1,h'(x)=e^(x2+2x-1),

当0<又<加-1时，h'(x)<0,函数"(x)单调递减,

当加-l〈x<l时，h'(x)>0,函数人(X)单调递增,

,：h(0)=0,；.当时，h(x)<0,

当0<x<&-1时，g'(x)>0,g(x)=xec+ln(1-x)单调递增，

：.g(0.1)>g(0)=0,/.O,le0^-ln0.9,：.a>c,

7.(2021•新高考II)已知q=log52,b=log83,c=—f则下列判断正确的是()

2

A.c〈b〈aB.b〈a〈cC.a〈c〈bD.a〈b〈c

【答案】C

22

［解答］解：V10§52<log55loggS^loggS卷，

•\a<c<b,

命题规律解密

从近三年的新高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择

题、填空题。主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，预测2024高考仍将以函数的单调性,

奇偶性、幕指对函数比较大小为主要考点,重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力.

名校模拟探源

一.函数的单调性及单调区间（共3小题）

1.（2023•海淀区校级三模）下列函数中，在区间（-8,0）上是减函数的是（）

X

A.y=x3B.y=（y）~

C.y=log[（-x）D.y—x~1

~2

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于4y=/,是幕函数，在R上为增函数，不符合题意；

对于8,了=（1）r=23是指数函数，在R上为增函数，不符合题意；

2

对于C,由复合函数单调性的判断方法，y=log]（-X）在区间（-8,0）上是递增，不符合题意；

~2

对于。，夕=x7=工，是反比例函数，在区间（-8,0）上是减函数，符合题意.

X

故选：D.

若幕函数/（X）的图象过点（冬，1）,则函数g（x）=f的递减区间

2.（2023•扬中市校级模拟）

为（

A.(0,2)B.(-8,0)和(2,+8)

C.(-2,0)D.(-8,o)U(2,+8)

【解答】解：设暴函数/(x)=x%它的图象过点(华，1),

C^~)a=JL,a=2；

22

'.f(x)=/；

令g'(x)<0,即x(2-x)<0,解得：x>2或x<0,

故g(x)在递减区间是(-8,0)和(2,+8),

故选：B.

3.（2023•浦东新区校级三模）定义在区间［1,+8）上的函数/（无）的图像是一条连续不断的曲线，/（x）

在区间［2左-1,2网上严格增，在区间［2左，2左+1］上严格减，人为正整数.给出下列四个结论：

①若丁（2左）｝为严格增数列，则/（x）存在最大值；

②若丁（2左+1）｝为严格增数列，则/（x）存在最小值；

②若/（2左）/（2H1）>0,且/（2左）存在最小值，则/（x）|存在最小值；

①若/（2左）/（2K1）<0,且/（2左）-/（2H1）存在最大值，则/（x）|存在最大值.

其中所有错误结论的序号有.

【解答】解：对于①，由条件知，函数/（无）在区间［2左-1,2月上单调递增，

在区间［2匕2左+1上单调递减，k=l,2,那么在区间［2左-1,2k+l］,函数的最大值是/（2左），

若数列｛/（2左）｝为递增数列，则函数/（x）不存在最大值，所以①错误；

对于②，由条件知，函数［G）在区间［2人-1,2网上单调递增，在区间［2匕2科1］上单调递减，

若｛/'（2/+。）｝为递增数列，那么在区间［2人-1,2上+1］的最小值是7（2左-1）,且/（2左+。）为递增数列,

所以函数/（x）在区间［1,+8）的最小值是/（I）,所以②正确；

',、1

f（2k）=2k-k-

对于③，若/（2左）/（2右4）>0,取，，髭N*,

f（2k+l）福

则/（2左）H/（2K1）=2k,存在最小值，

但此时|/（龙）|的最小值是8（2人+1）尸工的最小值，函数单调递减，无最小值，所以③错误;

k

f(2k)=23

2

对于④，若/（2左）/（2左+1）<0,取，,则/(2左)-/<2R1)=2恒成立,

f(2k+l)

2K

则[(2左)-f(2^+1)有最大值，但l/(x)I的最大值是-(2后)1=2-々的最大值，

2k

函数单调递增，无最大值，所以④错误.

故答案为：①③④.

二.函数单调性的性质与判断(共6小题)

4.(2023•西城区校级三模)在下列四个函数中，在定义域内单调递增的有()

A.f(x)=tanxB.f(x)=|x|C.f(x)=2XD.f(x)=x2

【解答】解/：根据正切函数的性质可知，y=tanx在定义域(-^_+kK,方-+k兀)(蛇Z)上单调，

不符合题意；

B：f(x)=恸在定义域R上不单调，不符合题意；

C：根据指数函数的性质可知，/G)=2》在R上单调递增，符合题意；

。：根据二次函数的性质；于3=/在定义域R上不单调，不符合题意.

故选：C.

5.(2023•龙华区校级模拟)已知函数/(x)是(0,+8)上的单调函数，且/(/(x)-x-log2x)=5,

则/(x)在[1,8]上的值域为()

A.[2,10]B.[3,10]C.[2,13]D.[3,13]

【解答】解：由题意设/(x)-x-log2X=m,则/(x)=x+log2x+m,且/(%)=5,

所以"z+log2/M+加=5,即log2〃?=5-2/〃，解得机=2,

所以/(x)=x+log2x+2,x£[l,8],

因为函数>=Y，y=log2X都为单调递增函数，所以函数/(x)在[1,8]上单调递增，

则当x=l时，f(x)附加=1+0+2=3,当x=8时，f(x)=8+3+2=13,

所以函数/(x)的值域为[3,13],

故选：D.

6.(2023•西宁模拟)已知函数f(x)=[1。*/'X>1,对任意xi》X2，都有三史虫>0成

ax-2,x<1xi-x2

立，则。的取值范围是()

A.(0,1)B.(1,2]C.(0,1]D.(1,2)

【解答】解：因为对任意xiWx2,都有1>o成立,

xl-x2

所以函数f(x)在定义域内单调递增,

卜>1

因为f(x)=「°居产X>1,所以，a〉°

ax-2,x<llogl>a-2

La

解得1VQW2,故4,C,。错误.

故选：B.

7.（2023•景德镇模拟）已知定义域为R的函数/（x）的图象是连续不断的曲线，对任意实数冽，〃均满足

ex1f(1-x),x<C1

(m)+e2mf(H-m)=emf(")，且当x>0时，f(x)>0.若g(x)=<

f(x-l),

则下列判断正确的是（）

A.g(1)>g(0)B.g(3)<g(-1)C.g(2)<g(-1)D.g(3)>g(-2)

【解答】解：已知对任意实数m,n均满足enf(m)+e2fnf(〃-m)=emf(〃)，

可得f(m)+f(n-m)—f(n)

emen-men

不妨设h(x)上共，

e

因为当x>0时，/(x)>0,

所以h(x)>0,

满足〃(机)+h(n-m)=h("),

当n>m时，h(w-m)>0；

所以h(TM)<h(〃)，

即h(x)在R上单调递增，

_ex-1f(1-x)»x<1

又g（X）

ef(x-l),

_(h(1-x),x<1

即g(x)

h(x-l)>x>l

所以函数g（x）的图象关于X=1对称，且g（X）在（1,+8）上递增,

则g(1)<g(0),故选项/错误；g(3)=g(-1),故选项B错误；

g(2)<g(-1),故选项C正确；g(3)<g(-2),故选项。错误.

故选：C.

8.(2023•驻马店二模)已知/(x)是定义域为R的单调递增的函数，VweN,f(n)eN,且/(/("))=

3",则/(28)=.

【解答】解：因为V〃6N,/(„)6N,且/(7•(〃))=3"，所以，/(/(0))=0,

因为/(0)GN,若/(0)=0,则/■(/(()))=/(0)=0,合乎题意，

若［(0)21,则/(7(0))2/(1)>/(0)>1,这与/(/(0))=0矛盾，故/(0)=0,

所以，/(1)>/(0)=0,因为/(I)GN,则/(I)21,

因为/(/(I))=3,若/(I)=1,则/(/(I))=/(1)=1,这与/(/(I))=3矛盾，

若/'(1)=2,则/(/(I))=/(2)=3>/(1),合乎题意，

若/⑴23,则/(/(I))》/(3)>/(1)23,即/(/(I))>3,矛盾，故/(I)=2.

因为/(7(2))—f(3)—6,所以/(7(3))—f(6)—9,

所以，6=/(3)</(4)</(5)</(6)=9,于是/(4)=7,f(5)=8.

因为f（4））=/(7)=12,所以/(/(7))(12)=21,

因为）=/(9)=18,18=/(9)</(10)</(11)</(12)=21,

所以/(10)=19,/(11)=20.

因为)=/(18)=27,/(/(10))=/(19)=30,

所以)=/(27)=54,/(/(19))=/(30)=57,

所以，54=/(27)</(28)</(29)</(30)=57,所以/(28)=55,f(29)=56.

故答案为：55.

9.（2023•杨浦区校级三模）已知函数f（x）=3、-，设厮（，=1、2、3）为实数，Mxi+x2+x3=0,给出

1+3X

下列结论：①若修•工2.%3>0,则f(Xi)+f(xj+f(X、)<去②若•%2•%3<。，则

1Z32

f（X［）+f（X2）+f（X3）-则（

A.①正确，②错误B.①错误，②正确

C.①②都正确D.①②都错误

【解答】解：令函数g（x）=f（x）［=^—--=■3-1.=1-^-

21+3X22（1+3*）21+3X

可得函数g（X）为单调递增函数，

™“，in（2）

所以函数g（x）为奇函数，图象关于点（0,0）对称，如图（1）所示，

①中，因为工1+工2+%3=0，且%1%2,3>0，则％3=~（%1+%2），不妨设Xi<0,工2<0，、3>。，

f（X+X）

则点/（X1+X2,/（X1+X2））,此时直线CM的方程为y=-------iX，

xl+x2

g“〈史”X]，g（、2）〈史詈4

可得则

xl+x2xl+x2

zs,g（X1+X2）,g（X[+X2）

g⑶）+g（X2）<FTX「x/x2*2=g区+*2），

可得g（%1）+g（%2）~g（修+工2）〈°，又由g（%3）=g[一（X1+X2）]—"g（X1+X2）

所以g（Xl）+g（%2）+g（%3）<0，即f（X1）A+f（X2）-^~+f（X?）A<0，

即f（X]）+f（X2）+f（叼）所以①正确；

②中，若XyX2'X^<0,不妨设Xi-X2,X3>0,则X1=-（X2+X3），不妨设%1<0,工2>0，％3>。，

f（X+X）

则点2（右+叼，/（M+4）），此时直线08的方程为了=--------^-x，

X2+X3

-、S（X9+Xq）、g（X9+Xo）

可侍g（x2）>----------X2'g（x?）>-----------X3>

zX2+X3zJx2+x3J

rt-g（X9+Xq）g（XQ+XQ）

d:

则g⑶）+g（X3）>----三~~-X2----------X3=g（X2+X3），

++

40X2X34X2X3o乙J

可得g（X2）+g（%3）-g（X2+X3）>0,

又由g（%1）=g[-（X2+X3）]=-g（X2+X3），

所以g（Xl）+g（%2）+g（%3）>。，

即f（X]）A+f（X2）-^-+f（X3）A>0，

即f（X]）+f（X2）+f（X?）所以②正确.

故选：C.

三.复合函数的单调性（共4小题）

10.（2023•绍兴二模）下列函数在区间（0,2）上单调递增的是（）

A.y=（x-2）~B.v=―C.y=sin（x-2）D.y—cos（x-2）

x-2

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于4y=（x-2）2,是开口向上的二次函数，其对称轴为x=2,在区间（0,2）上单调递减，不符

合题意；

对于2,>=」_,在区间（0,2）上为减函数，不符合题意；

x-2

对于C,设f=x-2,贝i]y=sinf,由于0<x<2,则-2<t<0,y=cosf在区间（-2,0）先减后增，贝！1y

=sin（x-2）在区间（0,2）不是增函数，不符合题意；

对于。，设f=x-2,则》=35/，由于0Vx<2,则-2<f<0,y=cost在区间（-2,0）上为增函数,

则了=85（X-2）在区间（0,2）上单调递增，符合题意.

故选：D.

（多选）n.（2023•渝中区校级模拟）若f（x）=e-x二（x€R>其中e为自然对数的底数，则下列命题

正确的是（）

A./（x）在（0,+8）上单调递增

B.f（x）在（0,+8）上单调递减

C.f（x）的图象关于直线x=0对称

D./（x）的图象关于点（0,0）中心对称

【解答】解：/（-X）=y（x）,则/•（丁）是偶函数，图象关于y轴即x=0对称，C项正确，。项错误:

设“nl-x2,其在（0,+8）上单调减，y=e"在"6R上单调增，

则函数f（x）=e1-X'（x€R）,在（°，+8）上单调减，B项正确，A错误.

故选：BC.

3

12.（2023•济宁一模）若函数/（x）=loga（ax-x）（a>0且aWl）在区间（0,I）内单调递增，则a

的取值范围是（）

A.[3,+8)B.(1,3]C.(0,y)D.[y,1)

【解答】解：令-g(x)=ax-x3,则g1(x)=a-3x2,

当a>l时，y=log*为增函数，且函数/（x）在区间（0,1）内单调递增，

\>1

所以，明4°,解得心3,

伶1

此时g（x）在（0,1）上递增，则g（x）>g（0）=0恒成立，

当0<a<l时，y=log小为减函数，且函数f（x）在区间（0,1）内单调递增,

所以,有<°，无解,

0<a<1

综上所述，。的取值范围是［3,+8）.

故选：A.

13.(2023•安康一模)已知函数f(x)=log2(ax2+4x+5>

(1)若/(I)=3,求函数/(x)的单调区间；

(2)是否存在实数0,使函数/(x)的最小值为0?若存在，求出。的值；若不存在，请说明理由.

【解答】解：⑴⑴=3,."+9=23,即。=-i,f(x)=10g2(,x2+4x+5),

由--+4工+5>0,x2-4x-5—(x-5)(x+1)<0,

解得.•.函数/(x)的定义域为(7,5),

•函数t=-/+4x+5在(-1,2)上单调递增，在(2,5)上单调递减，

又,.,y=log2t在(0,+°°)上为增函数，

函数/(x)的单调递增区间为(-1,2),单调递减区间为(2,5).

(2)设存在实数a,使函数/(x)的最小值为0,h(尤)=a/+4x+5,

•.•函数/(x)的最小值为0,...函数%(x)的最小值为1,所以。>0①，且20V16=]②,

联立①②解得：a=l,

...存在实数a=l,使函数/(x)的最小值为0.

四.函数的最值及其几何意义(共9小题)

14.(2023•兴庆区校级模拟)已知实数x,>满足2/-5加-了=0,〃?/，则/*2+y2_2mx+2my+2m2的

最小值为()

【解答]解：Vx2+y2-2mx+2iny+2m2=7(x-m)2+(y+m)2表示动点尸(％，V)到定点(冽，一

m)的距离，

又因为(m,-m)在直线x+y=0上，

求y=2/-5阮v(x>0)与直线x+y=0平行的切线，该切线与直线x+y=0间的距离即为

V+y^-2mx+2iny+2m^的取小值•

由歹=2/-5历x求导得，yr=4x-

2

令-<y=-i1,?6BP尸F4Vx----------1,BP4X+X-5=0,

解得X=1(负值舍去)，

所以切点(1,2),

又切点(1,2)到直线无切=0的距离d=

V22

所以动点P(X,y)到定点(如-m)的最小距离为现%,

2

所以Yx2+y2-21nx+2iry+21rl2的最小值为考2,

故选：B.

15.(2023•郑州模拟)已知函数［(x)=a(3-x)+借的图象过点(0,1)与(3,卷)，则函数/⑴

在区间［1,4］上的最大值为()

A.3B.7C.5.D.8

2345

'3a=l二1

【解答】解:由题意可得，3b、9，解得

R7,b=3

“-X)亮=】

-3V1

二+3(X+1)-3X=」T3=-x2-2x-l+9=-x2-2x+8=Yx+4)(x-2)

3(x+1)23(x+l)23(x+l)23(x+l)23(x+l)2

当xe［l,2)时，f(x)>0,当尤e(2,4］时，f(x)<0,

：.f(x)在［1,2)上单调递增，在(2,4］上单调递减，

f«)皿=£⑵=1-1"将=孑

故选：B.

16.(2023•芦溪县校级一模)关于“函数/(x)=_2'•二2一的最大、最小值与数列册=一2n-2_的最大、

nX+11r-nn+l1r-

最小项”，下列说法正确的是()

A.函数/(x)无最大、最小值,数列｛念｝有最大、最小项

B.函数/(%)无最大、最小值，数列｛劭｝无最大、最小项

C.函数/G)有最大、最小值，数列｛劭｝有最大、最小项

D.函数/G)有最大、最小值，数列｛念｝无最大、最小项

nX_151111

2仁2—工2乂-2—1一22—12

【解答】解：函数/G)(11

2X+1-1522*322*有22、考

乙乙乙

11

9

令g(x)=1+-------—

15

2

由2》-」互#0,解得x#log2」互，所以函数的定义域为｛x|xWlog,」互｝,

222

因为2'-为_>-型且义_力0,所以一e(-8,-2)u(0,+8),

222x_1515

?“2

11

则---G(-8,-JJL)U(0,+8),

9X,1515

乙2

则g(x)e(-8,_生)u(1,+8),所以函数/(x)无最大、最小值;

又•在（-8,0）,（0,+8）上单调递减，了=28-」立在定义域上单调递增,

x2

所以/（X）在（-8,log2」互），（log2」立，+8）上单调递减，

22

且当X>log2」^时，f（x）>0,

2

因为2<log2为■<log28=3,

2

2n-2

对于数列an

2n+1-15

则。1=0>。2=-2，的=6>。4>。5>…>0，且时。“>0,

7

所以数列｛即｝有最小项。2=-2,有最大项的=6.