2024年山西省晋中市昔阳县中考一模数学试题(含答案)

姓名准考证号

2024年九年级模拟数学试题（卷）

注意事项：

1.本试卷共6页，满分120分。考试时间120分钟。

2.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷相应的位置上。

3.答卷全部在答题卡上完成，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷选择题（共30分）

一、选择题（在每小题的四个选项中，只有一项最符合题意，请选出并在答题卡上将该项涂黑。

本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1.已知关于x的一元二次方程（加―l）f+2x+l=0有两个不相等的实数根，则根的取值范围是（）

A.m<—2B.m>2

C.加<2且根wlD.根>—2且根wl

2.从正面、左面、上面观察某个立体图形，得到如图所示的平面图形，那么这个立体图形是（）

〃

认

正

而三

后而

从上面看

A.（6,-1）B.（-6,-1）

C.（2,3）

4.平移抛物线y=（x+3）2-4使其经过原点，则下列操作不正确的是（）

A.向右平移1个单位长度B.向右平移5个单位长度

C.向下平移5个单位长度D.向上平移4个单位长度

5.如图，把ZkABC绕C点顺时针旋转35。，得到△A'3'C,A5'交AC于点。，若NAOC=90°,则NA

1

的度数（）

6.如图，点。是ZVRC内切圆的圆心，已知NA5C=50°,ZACB=80°,则ZBOC的度数是（）

7.如图，AA5C和△4片。1是以点。为位似中心的位似图形，点A在线段。4]上，若。4:A4=1:2,则

△A5C和△A3]G的周长之比为（）

A.1:2B.2:1C.1:3D.3:1

8.如图，一艘轮船航行至。点时，测得某灯塔A位于它的北偏东40°方向，且它与灯塔A相距13海里，继

续沿正东方向航行，航行至点8处时，测得灯塔A恰好在它的正北方向，则的距离可表示为（）

1313

A.13cos400海里B.13sin400海里C.—―海里D.―=一海里

sin50°cos50°

9.电影《热辣滚烫》于春节档上映，首周累计票房约3.5亿元，第三周累计票房约6.8亿元.若每周累计票

2

房的增长率相同，设增长率为X,根据题意可列方程为（）

A.3.5x2=6.8B.3.5（l+x）=6・8

C.3.5（l+x）2=6.8D.3.5（1—=6.8

10.黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，其原

理是：如图，将正方形A3CD的底边3C取中点E,以E为圆心，线段£史为半径作圆，其与底边的延

长线交于点尸，这样就把正方形A3CD延伸为矩形A3R7,称其为黄金矩形.若C尸=4a,则A5的长为

A.B.2）aC.+D.（2*\/^+2）a

第II卷非选择题（共90分）

二、填空题。（共5个小题，每题3分，共15分）

1L请写出一个开口向下，经过原点的二次函数的表达式.

12.一段公路路面的坡度为，=1:2.4,如果某人沿着这段公路向上行走了260米，那么此人升高了米.

13.如图，扇形Q45的半径OA=2cm,ZAOB=120°,则以AB为直径的半圆与弧AB围成的区域（图

14.如图，平面直角坐标系中，点6在第一象限，点A在x轴的正半轴上，ZAOB=ZB=30°,04=2,

将ZkAC出绕点。逆时针旋转90°,点6的对应点8'的坐标是.

15.如图，点A在X轴的负半轴上，点C在反比例函数y=K（左＞0）的图象上，AC交y轴于点8.若B是

3

AC的中点，AAQB的面积为一，则左的值为

2

3

AO\x

三、解答题（共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

16.（12分）

（1）用适当的方法解下列方程：

@x（x-5）=3x-15②2y2—9y+5=0

（2）计算：3tan300-2（cos245°）-2sin60°

17.（6分）如图，已知△ABC,ZB=40°.

（1）在图中用尺规作出ZWC的内切圆。，并标出。与边AB,BC,AC的切点。，E,F（保留痕

迹，不必写作法）；

（2）连接EF,DF,求NEED的度数.

18.（7分）实验中学有7位学生的生日是1月1日，其中男生分别记为A，A，A3,A4,女生分别记为用，

B2,B3,学校准备召开元旦联欢会，计划从这7位学生中抽取学生参与联欢会的访谈活动.

（1）若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是.

（2）若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，请用“列表”或“画树状图”的方法求抽得的

2位学生中至少有1位是A或B1的概率.

19.（6分）是。的直径，与10交于点A,点E是半径Q4上一点（点E不与点。，A重合）.连

接七史交O。于点C，连接C4，CB.若C4=CD,ZABC=ZD.求证：是L。的切线.

DA

4

20.（9分）某小区门口安装了汽车出入道闸.道闸关闭时，如图1,四边形A3CD为矩形，长3米，AD

长1米，点。与点N重合.道闸打开的过程中，边固定，连杆AB,CD分别绕点A,D转动,且边3C

始终与边4。平行.

2幽

Deg

图1

（1）如图2,当道闸打开至NADC=45°时，边CD上一点P到地面的距离？石为1米，求点P到的距

离尸尸的长.

（2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米，当道闸打开至NAT>C=36°时，轿车能否驶入小区？

请说明理由.（参考数据：sin36°«0.59,cos36°«0.81,tan36°®0.73）

21.（10分）阅读下列材料，并完成相应的任务.

托勒密定理

托勒密（Ptolemy）（公元90年〜公元168）,希腊著名的天文学家，他的著作《天文学大成》被后人称为

“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密

（PtoIemy）定理。

托勒密定理：

圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和.

已知：如图1,四边形ABCD内接于0.

求证：ABCD+BCAD=ACBD.

下面是该结论的证明过程：

证明：如图2,作NH4E=NCW,交BC于点E.

4RBF

ZABE=ZACD,:.AABESAACD,—=—

ACCD

:.ABCD=ACBE.

AB=AB,.,.NAC5=NADE（依据1）.

ZBAE=ZCAD,ZBAE+ZEAC=ZCAD+ZEAC,

5

即ZBAC=ZEAD.

:.AABC^AAED（依据2）,.•.生二42

EDAD

:.ADBC=ACED...ABCD+AD-BC=AC（BE+ED）.

:.ABCD+ADBC=ACBD.

图2

任务：

（1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？

（2）当圆内接四边形A3CD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：.（请写出）

（3）如图3,四边形A3CD内接于（0,AB=3,AD=5,N54T>=60°,点。为8。的中点，求AC的

图3

22.（12分）综合与实践

下面是李老师在“矩形折叠中的相似三角形”主题下设计的问题，请你解答.

如图，已知在矩形A3CD中，AB=4,3C=6,点E为边A5上一点（不与点A、点3重合），先将矩形A3CD

沿CE折叠，使点6落在点尸处，CF交AD于点、H.

观察发现

（1）写出图1中一个与"EG相似的三角形；

迁移探究

6

（2）当CF与A£＞的交点H恰好是A£＞的中点时，如图2.

①设NCHD=a,/BCE=0,请判断夕与e的数量关系，并说明理由；

②求阴影部分的面积.

拓展应用

（3）当点8的对应点尸落在矩形A3CD的对称轴上时，直接写出5石的长.

23.（13分）综合与探究

抛物线丁=依2+次—4（a#0）与x轴交于点A（—2,0）和3（4,0）,与y轴交于点C,连接BC.点P是线段

3C下方抛物线上的一个动点（不与点8,。重合），过点尸作y轴的平行线交BC于河，交x轴于N,设

（1）求该抛物线的解析式；

（2）用关于/的代数式表示线段求的最大值及此时点M的坐标；

（3）若尸［1,-g］连接CP,在y轴上是否存在点。，使得△CPQ为直角三角形，若存在，直接写出点。的

坐标；若不存在，请说明理由.

九年级数学答案

一、1.C2.C3.A4.D5.C6.B7.C8.A9.C10.D

二、11.y——X2（答案不唯一）12.10013.---^――14.\/3,3j15.6

9+J4T9-J41

三、16.（1）解：①X]=5,%2=3；②必=——-——，＞2=——-——•（2）-1.

17.解：（1）如图1,。即为所示.

7

A

F

(2)如图2,连接OD,OE,:.OD±AB,OELBC.

■.ZODB=ZOEB=90°.ZB=40°,ZZ)(9E=140°.:.ZEFD=70°.

3

18.解：（1）-；

7

开始

AiA、AaAj

（2）BZ：BN：B3B.B：BjB/；RNBjBZ.BN：B：

共有12种等可能的结果，其中抽得的2位学生中至少有1位是人或用的结果有6种，.••概率为9=

19.解：是。的直径，.•.NAGBugO。，.,.NB4C+NABC=90°.

又•.G4=CD,:.ZD=ZCAD,又ZABC=ZD,ZCAD+ZBAC=90°,即CMLAD,

.•.AD是l。的切线.

20.解：（1）ZAZ）C=45°,=45°,DE=PE=1米，

PF=EN=DN-DE=3-1=2（米），答：点尸到MN的距离尸尸的长为2米；

（2）轿车能驶入小区，理由如下：ZADC=36°,PE//AD,ZDPE=ZADC=36°,当EN=1.8米

时，DE=DN-EN=3-1.8=1.2（米），在Rt^PDE中，tanZDPE=—,—«0.73,解得：

PEPE

PE«1.64,1.64>1.6,轿车能驶入小区.

21.解：（1）“依据1”是同弧所对的圆周角相等.“依据2”是两角分别相等的两个三角形相似.

（2）勾股定理

（3）如图，连接5。，作于点E.四边形A3CD是圆内接四边形，

.-.ZBAD+ZBCD=180°.ZBAD=60°,:.ZBCD=120°.

8

DC=BC,:.CD=CB..\ZCDB=30°.

DFG

在RtaCDE中，cos30°=—,:.DE=—CD.

CD2

由托勒密定理：ACBD=ADBC+CDAB,ACJ3CD=5CD+3CD.:.AC=—

3

22.解：（1）△EHG或△£>HC（写出一个即可）;

(2)(1)a=2/3,理由如下：AD//BC,ZCHD=ZBCH=a,

「△C砂由△CEB沿C石翻折得到，.•.NJBCE=ZFCE=/7,ZBCH=NBCE+NFCE,a=20；

（2）点”是AD的中点，，*/二他二？，CH=^CCT+DH-=5,

:.FH=CF-CH=1,ZCDH=ZGFH,ZCHD=ZGHF,/.AHDC^AHFG,

HFFG1FG41422

：.——=―二，即—=—£，，EG=—,二54诙6=—x—xl=—,二阴影部分的面积是一；

HDDC3432333

(3)①设AB的中点为K,CD的中点为T,直线KT为矩形A3CD的对称轴，当厂在KT上时，如图:

CF=BC=6,CT=-CD=2,ZFTC=90°,

2

FT=y/CF2-CT2=762-22=472,:.KF=KT—FT=6—46,

设BE=x,则在=3K—5E=2—x,ZEFC=ZB=90°,

ZKFE=90°-ZTFC=Z.TCF,ZEKF=ZFTC=90°,

KEKFnn2-x6-472

:.△EKFSAFTC,—=——，即一尸=,解得x=18—120；.•■=18—12后;

4V22

直线MN为矩形A3CD的对称轴，当尸在直线上时，如图:

9

ZFMC=90°,CM=-BC=3,CF=BC=6,:.CM=-CF,

22

1BF

AMFC=30°,ZFCM=60°,/.ZBCE=ZECF=-ZFCM=30°,tanZBCE=——，

2BC

BFr-

：.—=——，解得BE=2百；综上所述，当点8的对应点厂