2024年东北三省高考模拟数学试题(二)(含答案解析) (二)_第1页
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2024年东北三省高考模拟数学试题(二)

学校:姓名:班级:考号:

一、单选题

1.已知全集U=/U8={1,2,3,4,5,6},^n(V)={2,4},则集合8=()

A.{2,4,6}B.{1,3,5}C.{1,2,3,4,5,6}D.{1,3,5,6}

【答案】D

【分析】

由题意可得{2,4}[4{2,4}口令8,再根据U=/U8={1,2,3,4,5,6},即可得解.

【详解】因为(4可={2,4},所以{2,4}q/,{2,4}q电8,

所以2任及4£8,

又全集U=/U8={1,2,3,4,5,6},

所以8={1,3,5,6}.

故选:D.

3-i

2.复数的虚部是()

1-1

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】C

【分析】

利用复数的四则运算,结合复数虚部的定义即可得解.

3-i(3-)(用)=2+1

【详解】因为「

1-1(1-i)"i)

3-i

所以复数的虚部为1.

1-1

故选:C.

3.已知向量"与B的夹角为60。,忖=2,W=l,则卜-2可=()

A.1B.V3C.2D.2g

【答案】C

【分析】

根据数量积的运算律,结合数量积的定义,可得答案.

试卷第1页,共17页

AA-4X2COS60%4=2

故选:C.

4.某企业今年年初有资金1000万元,由于引进了先进生产设备,资金年平均增长率可

达到50%,每年年底需要扣除下一年的消费基金50万元,剩余资金投入再生产,设该

企业从今年起每年年初拥有的资金数依次为%,出,%,…则表示。用与。"之间关系的递推

公式为()

3

A.%+1=~an~5°B.an+i-an二450

33

C.%+1=5(%-50)D.a备-25

n+l=

【答案】A

【分析】

根据题意列式即可得解.

【详解】依题意,«1=1000,a„+1=(l+50%)a,-50=-a„-50.

故选:A.

5.两条平行直线心x+y+l=0,l2;x+y-1=0之间的距离是()

A.1B.V2C.2A/2D.2

【答案】B

【分析】

利用平行直线间的距离公式即可得解.

[详解]因为x+y+l=0,/2:x+y-l=0,

所以它们之间的距离为d="t)LVL

Vl+1

故选:B.

6.刍(chil)程(meng)是中国古代算数中的一种几何体,其结构特征是:底面为长方

形,顶棱和底面平行,且长度不等于底面平行的棱长的五面体,是一个对称的楔形体.已

知一个刍瓷底边长为4,底边宽为3,上棱长为2,高为2,则它的表面积是()

试卷第2页,共17页

上棱长

27+3百D.42+673

【答案】A

【分析】由题意可得刍薨的左右两个三角形为全等的等腰三角形,前后两个四边形为全

等的等腰梯形,利用勾股定理分别求出三角形和梯形的高,从而可求出各个面的面积,

即可得出答案.

【详解】解:由题意可得刍薨的左右两个三角形为全等的等腰三角形,

前后两个四边形为全等的等腰梯形,

等腰三角形的高为=

等腰梯形的高为<37=2,

V42

则一个等腰三角形的面积为工X3X^=£1,

22

一个等腰梯形的面积为弓_15,

2-2

所以止匕刍登的表面积为2xW+2x"+4x3=27+3”.

22

故选:A.

7.已知函数/(x)=sin(①工+9)(。〉0,0494兀)为偶函数,其图象上相邻两对称轴之间

的距离为兀,若sinc+/(a)=],则sm2「°s2a+l的值为()

31+tan。

4455

A.-B.—C.-D.—

9999

【答案】D

【分析】

先根据函数的奇偶性和对称性求出函数解析式,利用同角三角关系结合二倍角公式整理

2

可得所求=2sinacosa,再由sina+/(a)即可得解.

IT

【详解】为偶函数,;4=5+析,八z,

又•.•()«。«兀,.二9二5,

试卷第3页,共17页

又•.•函数/(X)图象上相邻对称轴之间的距离为兀,

T=—=2兀,则刃=1,

co

/(x)=sin[x+3=cosx,

24

贝!Jsina+f(cr)=sina+cosa=—l+2sincrcoscr=—,

EP2sinacosa,

sin2a-cos2a+l2sinacosa(l2sin[)+]2sinac0sa+2sin力

1+tana1sinacosa+sina

cosacosa

2sinacosa(cosa+sina)5

----------------;-------------=2sinacosa二一.

cosor+sina9

故选:D.

8.已知偶函数/(x)满足f(x)=〃2-x),且当xe(0,l)时,=2、+1,贝(]/[logi19

的值为()

,3532935

A.—B.—C.-----D.—

29163516

【答案】D

【分析】

由偶函数/(尤)满足/(x)=「(2-x),可得函数/⑺是以2为周期的周期函数,再根据

函数的周期性求解即可.

【详解】因为函数为偶函数,所以/(x)=f(—x),

又/(x)=〃2—x),所以/(T)=〃2—X),即/(x)=/(2+x),

所以函数/(X)是以2为周期的周期函数,

因为4=log2l6<log2l9<log232=5,

所以=/(-log219)=/(log2l9)=/(log219-4)=/^log2

-log盖,19,35

=216+1=—+1=—.

1616

故选:D.

【点睛】

方法点睛:函数的三个性质:单调性、奇偶性和周期性,在高考中一般不会单独命题,

而是常将它们综合在一起考查,其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合,

试卷第4页,共17页

并结合奇偶性求函数值,多以选择题、填空题的形式呈现,且主要有以下几种命题角度;

(1)函数的单调性与奇偶性相结合,注意函数的单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶

函数图象的对称性.

(2)周期性与奇偶性相结合,此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行

交换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解;

(3)周期性、奇偶性与单调性相结合,解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所

在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.

二、多选题

9.社区卫生服务中心(站)是我国医疗卫生服务和公共卫生应急管理体系的网底,是

政府履行提供基本卫生服务职能的平台.社区卫生服务中心(站)可促进社区居民的基

本需求(如疫苗接种、基本诊疗等)就近在社区得到解决,图中记录的是从2010年起

十二年间我国社区卫生服务中心(站)的个数,根据此图可得关于这十二年间卫生服务

中心(站)个数的结论正确的是()

36500

36000

35500

35000

34500

34000

33500

33000

32500

A.逐年增多B.中位数为34324

C.每年相对于前一年的增量连续增大D.从2013年到2021年的增幅约6%

【答案】ABD

【分析】

根据题意,利用折线图中的数据,结合数据的变换趋势,中位数、数据差,以及增幅得

的计算公式,逐项判定,即可求解.

【详解】对于A中,由折线图可得,这十二年减卫生服务中心(站)个数逐年增多,

所以A正确;

对于B中,由折线图,将数据从小到大排列,共有12个数据,

根据中位数的定义和计算,可得甘、4=34324,所以B正确;

试卷第5页,共17页

对于C中,由折线图中的数据,可得32860-32793=67,33646-32860=786,

33965-33646=319,34238-33965=273,•••,所以C不正确;

对于D中,由折线图中的数据,可得从2013年到2021年的增幅约为:

-------------xl00%~6%,所以D正确.

33965

故选:ABD.

10.已知抛物线C:/=4x,焦点为R直线y=x-l与抛物线C交于4,2两点,过

3两点作抛物线准线的垂线,垂足分别为P,Q,且M为的中点,则()

A.|/同=10B.PFLQF

C.梯形/尸08的面积是16D.M到了轴距离为3.

【答案】BD

【分析】

先判断得直线y=xT经过点尸,再联立直线与抛物线方程,得到%+%,%%,进而得

到再+%,从而判断AD,利用两点求斜率与直线垂直时斜率之积为T可判断B,分别

求得|4尸|+1801,|尸。|,结合梯形的面积公式可判断C.

【详解】对于A,由题意得尸(1,0),则直线V=x-1经过点尸,

u=4x

联立〉一,消去x,</-4x-4=0,

[y=x-i

设/(占,%),8(X2,%),则%+%=4,必力=一4,

则再+超=必+1+%+1=6,所以|/8|=七+》2+2=8,故A错误;

对于B,由题意得尸(T必),Q(T%),

所以原尸》如=之二•上二=号=-1,所以尸尸,。尸,故B正确;

-1-1-1-14

对于C,由题意可得MP+|8Q|=X|+X2+2=8,

试卷第6页,共17页

|尸。|=|必-刃=,(乂+%丫-4乂%=V16+16=472,

所以梯形/尸便的面积是;(|/尸|+|80|)|尸0|=gx8x孤=16,故C错误;

对于D,因为XM=;(网+%)=3,所以“到>轴距离为3,故D正确.

故选:BD.

11.已知数列{%}是公差为"的等差数列,S“是其前”项的和,若%<0,s2000-s2024,

则()

A.d>0B./012=。C.$4024=。D.S,,2$2012

【答案】ACD

【分析】

2

由题意可得的⑼+。2。24=0,从而可求出d=-砧%,即可判断A;再结合等差数列的

性质及前〃项和公式即可判断BCD.

【详解】因为解000=$2024,所以“2001+42002^2024=0,

所以24(%"脸)=o,所以。加+a2024=«2012+a2013=2/1+4025/=0,

2

2

又因为q<0,所以d=-茄西q>0,故A正确;

40221

“2012=%+2011"=%—布=布丁1<0,故B错误;

%(=”4([+%”)=2012(*+*)=0'故C正确;

a

因为a2012<°,。2013=~2012>°,

所以当"42012时,an<Q,当〃22013时,a„>0,

所以刈2,所以S〃NSM2,故D正确•

故选:ACD.

【点睛】

方法点睛:在等差数列中,求5“的最小(大)值的方法:

(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点,则从第一项起到分界点该项的各项和最小

(大);

(2)借助二次函数的图象及性质求解.

三、填空题

试卷第7页,共17页

25

12.设(l-2x)s=+a{x+a2xH\-a5x,贝!Jq+/+…+%=.

【答案】-2

【分析】

分别令x=0,x=l即可得解.

【详解】令x=0,则%=1,

令X=1,贝U4+Q]+■1-----F=-1,

所以q+出+…+%=-2.

故答案为:-2.

22

13.椭圆器+/=1的左,右焦点分别为耳,F2,过焦点耳的直线交椭圆于N,8两点,

设』(再,弘),B(x2,y2),若△48工的面积是4,则|%-%|=.

【答案】正/tS

77

【分析】

根据=;|乂-了21M叫=4求解即可.

【详解】由题意片卜行,0),耳(行,0),则阳用|=2近,

因为心质=;|乂一力卜闺叫=4,

所以回一刃=金=3

产也|2"/

14.已知函数〃x)=e"(aHO),过点/(。⑼作与》轴平行的直线交函数/(无)的图象于

点P,过点P作/(x)图象的切线交x轴于点3,则八4尸5面积的最小值为.

【答案】叵

2

【分析】

求出/(x)的导数,令尤=。,求得P的坐标,可得切线的斜率,运用点斜式方程可得切

试卷第8页,共17页

线的方程,令y=0,可得2的坐标,再由三角形的面积公式可得△/尸3面积S,求出导

数,利用导数求最值,即可得到所求值.

【详解】函"X)=eRaR0)的导数为广(x)=e暧,

由题意可令x=。,解得尸可得尸(a,e“)

即有切线的斜率为左=”一,切线的方程为丁-y=ae『(x-a),

令y=0,可得x=_L+0,gpB\--+a,0|,

aya)

在直角三角形尸48中,|48上百,[4P|=e"\

则A4PB面积为,(。)=T回网=1'•百•,(a/0),

因为5(-。)=;•百M=S(a),所以函数5e)为偶函数,

112

不妨取a>0,则5(。)=了丁蛾

则S'(a)=;[-1,e"2+Le",勿卜1-4-n2"|,

2aaJ2\a)

当ae]o,¥时,5,(a)<0,S⑷单调递减;

(5\

当ae—,+oo时,S⑷>0,S(a)单调递增,

、2>

即有。=弓处S(a)取得极小值,且为最小值浮,

所以AAPB面积的最小值为叵.

2

故答案为:叵.

2

【点睛】方法点睛:求函数〃x)在区间[。回上的最值的方法:

(1)若函数〃尤)在区间上单调,则/(。)与/仅)一个为最大值,另一个为最小

值;

(2)若函数”X)在区间6]内有极值,则要求先求出函数“X)在区间口回上的极值,

再与/'(a)、/⑻比大小,最大的为最大值,最小的为最小值;

(3)若函数〃x)在区间[。力]上只有唯一的极大点,则这个极值点就是最大(最小)

值点,此结论在导数的实际应用中经常用到.

试卷第9页,共17页

四、解答题

15.已知是数列{2}的前“项和,%=2,I?1是公差为1的等差数列.

(1)求数列{«„}的通项公式;

1111

(2)证明:——+——+---+-----<

aflnA4

【答案】⑴。“=2〃

⑵证明见解析

【分析】(1)求出给定的等差数列通项公式,再利用前〃项和求通项的方法求解作答即

可;

(2)利用(1)的结论,结合裂项相消法即可得解.

【详解】(1)因是公差为1的等差数列,而卬=2,则牛=2,

因止匕翌=2+(〃-l)xl="+l,即S“+

n

当”22时,an=S〃_S,T+=,

经检验,4=2满足上式,

所以{4}的通项公式是%=2".

1111if1M

(2)由(1)知:=.(、上.、=二x~j_77;=~\],

anan+i2n[2n+2)4M〃+1)4[〃n+\)

…111

所以——+——+…+----

。2。3afln-A

16.如图,一个几何体是由半径和高均为2的圆柱和三棱锥48c组合而成,圆

柱的轴截面为点N,3,C在圆。的圆周上,平面NBC,43/ZC,=

AE=2.

试卷第10页,共17页

(1)求证:AC1BD-,

⑵求平面ABD与平面BDC的夹角.

【答案】(1)证明见解析

【分析】

(1)根据线面垂直的性质证明/D_L』C,再证明ZC_L平面NBD,再根据线面垂直的

性质即可得证;

(2)以点。为原点建立空间直角坐标系,利用向量法求解即可.

【详解】(1)因为平面N8C,/Cu平面/3C,

所以4D_L/C,

又4BLAC,4BcAD=A,AB,ADu平面ABD,

所以NC_L平面N3Q,

又ADu平面/BO,

所以4C上BD;

(2)因为点/,B,C在圆。的圆周上,ABIAC,

所以8C为圆。的直径,

又因为平面”3C,所以24E三点共线,

如图,以点。为原点建立空间直角坐标系,

则D(0,0,0),A(0,0,2),5(2,2,2),C(2,-2,2),

所以就=(0,-4,0),丽=(2,2,2),

试卷第11页,共17页

设行=(x,y,z)是平面BCD的法向量,

n-BC=-4y=0

则令z=T,贝岐=(1,0,T),

n-DB=2x+2y+2z=0

由(1)知,/C_L平面

所以X=(2,-2,0)是平面的一个法向量,

।\n-Ac\21

故cosn,AC\=」_=亍——尸=-,

11|J«|.|^C|72x2722

所以平面力即与平面BOC所成角的余弦值为十,

7T

所以平面ABD与平面BDC的夹角为y.

17.如图,双曲线C的中心在原点,焦点在y轴上,离心率为JM,月,鸟分别是其

渐近线4,4上的两个点,△々06的面积为9,尸是双曲线C上的一点,且至=3匣.

(1)求双曲线C的渐近线方程;

(2)求双曲线C的标准方程.

试卷第12页,共17页

【答案】(l)y=±3

22

匕—工=1

(2)281-

4J

【分析】

22r

(1)设双曲线的方程为会-1r=1e>0,6>0),根据双曲线的离心率求出即可求

得双曲线的渐近线方程;

(2)设6(-3”,必),£(3了2,%乂乂>0,%>0),根据

S=5+”)(3%+%)_M=9,求出必刈,再根据肝=3再求出点尸的坐

△rjCzrj222I/

标,再代入双曲线方程求得力,即可得解.

22

【详解】(I)设双曲线的方程为5-2=1(°>0/>0),

因为双曲线的离心率为所,

所以e=J"=M,解得2=3,所以:=:,

Va1ab3

所以双曲线C的渐近线方程为'=±3;

(2)设月(一3必,必),£(3%,%)(%>0,%>。),

则S"=5+%)(3%+乂)_应_典=中九=9,

所以必%=3,

设尸(%,%),则片尸=(%+3%,%-%),理=(3%-为一可,

因为肝=3所,

-3%+9%

xo二

/I、/%+3%=3(3%-%)4

Vo-Ji=3(%f),所以一

%+3%

y0=

4

所以《自产,中]

22

由⑴得6=3。,则双曲线的方程为与一二=1,

a29a2

再将点尸1代入得(力;9%]

a2

试卷第13页,共17页

39

化简得3%%=4/,即/

22

匕_二一1

所以双曲线的标准方程为981一.

4~4

18.恰逢盛世,风调雨顺.某稻米产地今秋获得大丰收,为促进当地某品牌大米销售,

甲、乙两位驻村干部通过直播宣传销售所驻村生产的该品牌大米.通过在某时段100名

顾客在观看直播后选择在甲、乙两位驻村干部的直播间(下简称甲直播间、乙直播间)

购买的情况进行调查(假定每人只在一个直播间购买大米),得到以下数据:

在直播间购买大米的情况

网民类型合计

在甲直播间购买在乙直播间购买

本地区网民50555

外地区网民301545

合计8020100

(1)依据小概率值a=0.005的独立性检验,能否认为网民选择在甲、乙直播间购买大米

与网民所处地区有关;

⑵用样本分布的频率分布估计总体分布的概率,若共有100000名网民在甲、乙直播间

购买大米,且网民选择在甲、乙两个直播间购买大米互不影响,记其中在甲直播间购买

大米的网民数为X,求使事件“X=人”的概率取最大值时k的值.

附:八______"3-be寸_____

其中〃=a+6+c+1.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【分析】(1)根据列联表信息,计算出/的观测值,结合临界值表可得出结论;

(2)根据二项分布求出在甲直播间购买大米的网民人数为左的概率,利用作商法判断

概率的大小即可得解.

【详解】(1)提出零假设4:网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区没有

试卷第14页,共17页

关联,

经计算得/100x(50x15-30x5)2

—«9.091>7.879二X0.005

80x20x55x4511

依据小概率值a=0.005的独立性检验,我们推断乜,不成立,

即认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关联.

(2)利用样本分布的频率估计总体分布的概率,

可知网民选择在甲直播间购买夏橙的概率为P=常=?,

贝l]X〜5(100000,g],记〃=100000,P=g,

则尸(x=左)=c:p*(1-犷(后=o,i,2,…,iooooq,

则问题等价于求当先取何值时尸(X=左)=Yl-p)""取最大值,

禺为。Pg)C»Q_p)i-左+1»a+

因为‘尸(X="l)k(l-p)k[-p)'

4

又(〃+1”=10000吗=80000.8,

所以当后<("+1”=80000.8时,P(X=k)>P(X=I);

当左=(〃+l)p=80000.8时,尸(X=k)=P(X=后一1);

当左>(〃+l)p=80000.8时,P(X=k)<P(X=k-l);

所以p(X=80000)>尸(X=79999)>…>P(X=1),

尸(X=100000)<---<P(X=80001)<P(X=80000),

所以当X=80000时,尸(X=左)取最大值,

即使事件“X=k”的概率取最大值的k的值为80000.

【点睛】关键点点睛:本题第2小问解决的关键是,借助参数"=100000,p=3,简化

了计算,从而得解.

19.设定义在[0,2]函数满足下列条件:

①对于xe[0,2],总有“2-x)=/(x),且/(无)21,41)=3;

②对于x,ye[l,2],若x+「±3,则/(x)+/(y)V/(x+y-2)+l.

(1)求“2);

试卷第15页,共17页

⑵证明:/(gjwj+l(〃eN*);

(3)证明:当xe[l,2]时,l</(x)<13-6x.

【答案】(1)〃2)=1

(2)证明见解析

⑶证明见解析

【分析】

(1)分别根据条件①②,利用赋值法得到了(2)21与7'(2)41,从而得解;

2

(2)利用赋值

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