2024年东北三省高考模拟数学试题（二）（含答案解析） (二)

2024年东北三省高考模拟数学试题（二）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知全集U=/U8={1,2,3,4,5,6},^n(V)={2,4},则集合8=()

A.{2,4,6}B.{1,3,5}C.{1,2,3,4,5,6}D.{1,3,5,6}

【答案】D

【分析】

由题意可得{2,4}[4{2,4}口令8,再根据U=/U8={1,2,3,4,5,6},即可得解.

【详解】因为(4可={2,4},所以{2,4}q/,{2,4}q电8,

所以2任及4£8,

又全集U=/U8={1,2,3,4,5,6},

所以8={1,3,5,6}.

故选：D.

3-i

2.复数的虚部是（）

1-1

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】C

【分析】

利用复数的四则运算，结合复数虚部的定义即可得解.

3-i(3-)(用)=2+1

【详解】因为「

1-1(1-i)"i)

3-i

所以复数的虚部为1.

1-1

故选：C.

3.已知向量"与B的夹角为60。，忖=2,W=l，则卜-2可=（）

A.1B.V3C.2D.2g

【答案】C

【分析】

根据数量积的运算律，结合数量积的定义，可得答案.

试卷第1页，共17页

AA-4X2COS60%4=2

故选：C.

4.某企业今年年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可

达到50%,每年年底需要扣除下一年的消费基金50万元，剩余资金投入再生产，设该

企业从今年起每年年初拥有的资金数依次为%,出,％，…则表示。用与。"之间关系的递推

公式为（）

3

A.%+1=~an~5°B.an+i-an二450

33

C.%+1=5(%-50)D.a备-25

n+l=

【答案】A

【分析】

根据题意列式即可得解.

【详解】依题意，«1=1000,a„+1=（l+50%）a,-50=-a„-50.

故选：A.

5.两条平行直线心x+y+l=0,l2；x+y-1=0之间的距离是（）

A.1B.V2C.2A/2D.2

【答案】B

【分析】

利用平行直线间的距离公式即可得解.

［详解］因为x+y+l=0,/2：x+y-l=0,

所以它们之间的距离为d="t）LVL

Vl+1

故选：B.

6.刍（chil）程（meng）是中国古代算数中的一种几何体，其结构特征是：底面为长方

形，顶棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面体，是一个对称的楔形体.已

知一个刍瓷底边长为4,底边宽为3,上棱长为2,高为2,则它的表面积是（）

试卷第2页，共17页

上棱长

27+3百D.42+673

【答案】A

【分析】由题意可得刍薨的左右两个三角形为全等的等腰三角形，前后两个四边形为全

等的等腰梯形，利用勾股定理分别求出三角形和梯形的高，从而可求出各个面的面积，

即可得出答案.

【详解】解：由题意可得刍薨的左右两个三角形为全等的等腰三角形，

前后两个四边形为全等的等腰梯形，

等腰三角形的高为=

等腰梯形的高为＜37=2,

V42

则一个等腰三角形的面积为工X3X^=£1,

22

一个等腰梯形的面积为弓_15,

2-2

所以止匕刍登的表面积为2xW+2x"+4x3=27+3”.

22

故选：A.

7.已知函数/（x）=sin（①工+9）（。〉0,0494兀）为偶函数，其图象上相邻两对称轴之间

的距离为兀，若sinc+/（a）=],则sm2「°s2a+l的值为（）

31+tan。

4455

A.-B.—C.-D.—

9999

【答案】D

【分析】

先根据函数的奇偶性和对称性求出函数解析式，利用同角三角关系结合二倍角公式整理

2

可得所求=2sinacosa,再由sina+/（a）即可得解.

IT

【详解】为偶函数，；4=5+析,八z,

兀

又•.•（）«。«兀,.二9二5，

试卷第3页，共17页

又•.•函数/(X)图象上相邻对称轴之间的距离为兀,

T=—=2兀，则刃=1,

co

/(x)=sin[x+3=cosx,

24

贝!Jsina+f(cr)=sina+cosa=—l+2sincrcoscr=—,

EP2sinacosa,

sin2a-cos2a+l2sinacosa(l2sin[)+]2sinac0sa+2sin力

1+tana1sinacosa+sina

cosacosa

2sinacosa(cosa+sina)5

----------------；-------------=2sinacosa二一.

cosor+sina9

故选：D.

8.已知偶函数/(x)满足f(x)=〃2-x),且当xe(0,l)时，=2、+1,贝(]/[logi19

的值为()

,3532935

A.—B.—C.-----D.—

29163516

【答案】D

【分析】

由偶函数/(尤)满足/(x)=「(2-x),可得函数/⑺是以2为周期的周期函数，再根据

函数的周期性求解即可.

【详解】因为函数为偶函数，所以/(x)=f(—x),

又/(x)=〃2—x),所以/(T)=〃2—X),即/(x)=/(2+x),

所以函数/(X)是以2为周期的周期函数,

因为4=log2l6<log2l9<log232=5,

所以=/(-log219)=/(log2l9)=/(log219-4)=/^log2

-log盖,19,35

=216+1=—+1=—.

1616

故选：D.

【点睛】

方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题,

而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合,

试卷第4页，共17页

并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度;

（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶

函数图象的对称性.

（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行

交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；

（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所

在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.

二、多选题

9.社区卫生服务中心（站）是我国医疗卫生服务和公共卫生应急管理体系的网底，是

政府履行提供基本卫生服务职能的平台.社区卫生服务中心（站）可促进社区居民的基

本需求（如疫苗接种、基本诊疗等）就近在社区得到解决，图中记录的是从2010年起

十二年间我国社区卫生服务中心（站）的个数，根据此图可得关于这十二年间卫生服务

中心（站）个数的结论正确的是（）

36500

36000

35500

35000

34500

34000

33500

33000

32500

A.逐年增多B.中位数为34324

C.每年相对于前一年的增量连续增大D.从2013年到2021年的增幅约6%

【答案】ABD

【分析】

根据题意，利用折线图中的数据，结合数据的变换趋势，中位数、数据差，以及增幅得

的计算公式，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，由折线图可得，这十二年减卫生服务中心（站）个数逐年增多，

所以A正确；

对于B中，由折线图，将数据从小到大排列，共有12个数据，

根据中位数的定义和计算，可得甘、4=34324,所以B正确；

试卷第5页，共17页

对于C中，由折线图中的数据，可得32860-32793=67,33646-32860=786,

33965-33646=319,34238-33965=273,•••,所以C不正确；

对于D中，由折线图中的数据，可得从2013年到2021年的增幅约为：

-------------xl00%~6%,所以D正确.

33965

故选：ABD.

10.已知抛物线C：/=4x,焦点为R直线y=x-l与抛物线C交于4,2两点，过

3两点作抛物线准线的垂线,垂足分别为P,Q,且M为的中点，则（）

A.|/同=10B.PFLQF

C.梯形/尸08的面积是16D.M到了轴距离为3.

【答案】BD

【分析】

先判断得直线y=xT经过点尸，再联立直线与抛物线方程，得到%+%,%%,进而得

到再+%,从而判断AD,利用两点求斜率与直线垂直时斜率之积为T可判断B,分别

求得|4尸|+1801,|尸。|,结合梯形的面积公式可判断C.

【详解】对于A,由题意得尸（1,0）,则直线V=x-1经过点尸，

u=4x

联立〉一,消去x,</-4x-4=0,

[y=x-i

设/（占，%）,8（X2，%），则%+%=4,必力=一4,

则再+超=必+1+%+1=6,所以|/8|=七+》2+2=8,故A错误；

对于B,由题意得尸（T必）,Q（T%）,

所以原尸》如=之二•上二=号=-1,所以尸尸，。尸，故B正确;

-1-1-1-14

对于C,由题意可得MP+|8Q|=X|+X2+2=8,

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|尸。|=|必-刃=，（乂+%丫-4乂%=V16+16=472，

所以梯形/尸便的面积是;（|/尸|+|80|）|尸0|=gx8x孤=16,故C错误；

对于D,因为XM=；（网+%）=3,所以“到>轴距离为3,故D正确.

故选：BD.

11.已知数列｛%｝是公差为"的等差数列，S“是其前”项的和，若％<0,s2000-s2024,

则（）

A.d>0B./012=。C.$4024=。D.S,,2$2012

【答案】ACD

【分析】

2

由题意可得的⑼+。2。24=0,从而可求出d=-砧％，即可判断A；再结合等差数列的

性质及前〃项和公式即可判断BCD.

【详解】因为解000=$2024,所以“2001+42002^2024=0，

所以24（%"脸）=o,所以。加+a2024=«2012+a2013=2/1+4025/=0,

2

2

又因为q<0,所以d=-茄西q>0,故A正确；

40221

“2012=%+2011"=%—布=布丁1<0，故B错误；

%（=”4（［+%”）=2012（*+*）=0'故C正确；

a

因为a2012<°，。2013=~2012>°，

所以当"42012时，an<Q,当〃22013时，a„>0,

所以刈2,所以S〃NSM2,故D正确•

故选：ACD.

【点睛】

方法点睛：在等差数列中，求5“的最小（大）值的方法：

（1）利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和最小

（大）；

（2）借助二次函数的图象及性质求解.

三、填空题

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25

12.设(l-2x)s=+a{x+a2xH\-a5x,贝!Jq+/+…+%=.

【答案】-2

【分析】

分别令x=0,x=l即可得解.

【详解】令x=0,则%=1，

令X=1,贝U4+Q]+■1-----F=-1，

所以q+出+…+%=-2.

故答案为：-2.

22

13.椭圆器+/=1的左，右焦点分别为耳，F2,过焦点耳的直线交椭圆于N,8两点,

设』(再,弘)，B(x2,y2),若△48工的面积是4,则|%-%|=.

【答案】正/tS

77

【分析】

根据=；|乂-了21M叫=4求解即可.

【详解】由题意片卜行,0),耳(行,0),则阳用|=2近，

因为心质=；|乂一力卜闺叫=4,

所以回一刃=金=3

产也|2"/

14.已知函数〃x)=e"(aHO),过点/(。⑼作与》轴平行的直线交函数/(无)的图象于

点P,过点P作/(x)图象的切线交x轴于点3,则八4尸5面积的最小值为.

【答案】叵

2

【分析】

求出/(x)的导数，令尤=。，求得P的坐标，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切

试卷第8页，共17页

线的方程，令y=0,可得2的坐标，再由三角形的面积公式可得△/尸3面积S,求出导

数，利用导数求最值，即可得到所求值.

【详解】函"X）=eRaR0）的导数为广（x）=e暧，

由题意可令x=。，解得尸可得尸（a,e“）

即有切线的斜率为左=”一，切线的方程为丁-y=ae『（x-a）,

令y=0,可得x=_L+0,gpB\--+a,0|,

aya）

在直角三角形尸48中，|48上百，［4P|=e"\

则A4PB面积为，（。）=T回网=1'•百•,（a/0）,

因为5（-。）=；•百M=S（a）,所以函数5e）为偶函数，

112

不妨取a>0,则5（。）=了丁蛾

则S'（a）=；［-1,e"2+Le"，勿卜1-4-n2"|,

2aaJ2\a）

当ae］o，¥时，5,（a）<0,S⑷单调递减；

（5\

当ae—,+oo时，S⑷>0,S（a）单调递增，

、2>

即有。=弓处S（a）取得极小值，且为最小值浮，

所以AAPB面积的最小值为叵.

2

故答案为：叵.

2

【点睛】方法点睛：求函数〃x）在区间［。回上的最值的方法：

（1）若函数〃尤）在区间上单调，则/（。）与/仅）一个为最大值，另一个为最小

值；

（2）若函数”X）在区间6］内有极值，则要求先求出函数“X）在区间口回上的极值,

再与/'（a）、/⑻比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；

（3）若函数〃x）在区间［。力］上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）

值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.

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四、解答题

15.已知是数列｛2｝的前“项和，％=2,I?1是公差为1的等差数列.

(1)求数列｛«„｝的通项公式；

1111

(2)证明：——+——+---+-----<

aflnA4

【答案】⑴。“=2〃

⑵证明见解析

【分析】(1)求出给定的等差数列通项公式，再利用前〃项和求通项的方法求解作答即

可;

(2)利用(1)的结论，结合裂项相消法即可得解.

【详解】(1)因是公差为1的等差数列，而卬=2,则牛=2,

因止匕翌=2+(〃-l)xl="+l,即S“+

n

当”22时，an=S〃_S,T+=,

经检验，4=2满足上式，

所以｛4｝的通项公式是%=2".

1111if1M

(2)由(1)知：=.(、上.、=二x~j_77;=~\]，

anan+i2n[2n+2)4M〃+1)4[〃n+\)

…111

所以——+——+…+----

。2。3afln-A

16.如图，一个几何体是由半径和高均为2的圆柱和三棱锥48c组合而成，圆

柱的轴截面为点N,3,C在圆。的圆周上，平面NBC,43/ZC,=

AE=2.

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(1)求证：AC1BD-,

⑵求平面ABD与平面BDC的夹角.

【答案】(1)证明见解析

【分析】

(1)根据线面垂直的性质证明/D_L』C,再证明ZC_L平面NBD,再根据线面垂直的

性质即可得证；

(2)以点。为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【详解】(1)因为平面N8C,/Cu平面/3C,

所以4D_L/C,

又4BLAC,4BcAD=A,AB,ADu平面ABD,

所以NC_L平面N3Q,

又ADu平面/BO,

所以4C上BD；

(2)因为点/,B,C在圆。的圆周上，ABIAC,

所以8C为圆。的直径，

又因为平面”3C,所以24E三点共线，

如图，以点。为原点建立空间直角坐标系，

则D(0,0,0),A(0,0,2),5(2,2,2),C(2,-2,2),

所以就=(0,-4,0),丽=(2,2,2),

试卷第11页，共17页

设行=(x,y,z)是平面BCD的法向量,

n-BC=-4y=0

则令z=T,贝岐=(1,0,T),

n-DB=2x+2y+2z=0

由(1)知，/C_L平面

所以X=(2,-2,0)是平面的一个法向量,

।\n-Ac\21

故cosn,AC\=」_=亍——尸=-,

11|J«|.|^C|72x2722

所以平面力即与平面BOC所成角的余弦值为十,

7T

所以平面ABD与平面BDC的夹角为y.

17.如图，双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为JM,月，鸟分别是其

渐近线4，4上的两个点，△々06的面积为9,尸是双曲线C上的一点，且至=3匣.

(1)求双曲线C的渐近线方程;

(2)求双曲线C的标准方程.

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【答案】(l)y=±3

22

匕—工=1

(2)281-

4J

【分析】

22r

（1）设双曲线的方程为会-1r=1e>0,6>0）,根据双曲线的离心率求出即可求

得双曲线的渐近线方程；

（2）设6（-3”,必）,£（3了2，%乂乂>0,%>0），根据

S=5+”）（3%+%）_M=9,求出必刈，再根据肝=3再求出点尸的坐

△rjCzrj222I/

标，再代入双曲线方程求得力,即可得解.

22

【详解】（I）设双曲线的方程为5-2=1（°>0/>0）,

因为双曲线的离心率为所，

所以e=J"=M，解得2=3,所以:=：,

Va1ab3

所以双曲线C的渐近线方程为'=±3;

（2）设月（一3必，必）,£（3%,%）（%>0,%>。）,

则S"=5+%）（3%+乂）_应_典=中九=9,

所以必%=3,

设尸（%,%）,则片尸=（%+3%,%-%），理=（3%-为一可，

因为肝=3所，

-3%+9%

xo二

/I、/%+3%=3(3%-%)4

Vo-Ji=3(%f),所以一

%+3%

y0=

4

所以《自产,中]

22

由⑴得6=3。，则双曲线的方程为与一二=1,

a29a2

再将点尸1代入得（力；9%]

a2

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39

化简得3%%=4/,即/

22

匕_二一1

所以双曲线的标准方程为981一.

4~4

18.恰逢盛世，风调雨顺.某稻米产地今秋获得大丰收，为促进当地某品牌大米销售，

甲、乙两位驻村干部通过直播宣传销售所驻村生产的该品牌大米.通过在某时段100名

顾客在观看直播后选择在甲、乙两位驻村干部的直播间（下简称甲直播间、乙直播间）

购买的情况进行调查（假定每人只在一个直播间购买大米），得到以下数据：

在直播间购买大米的情况

网民类型合计

在甲直播间购买在乙直播间购买

本地区网民50555

外地区网民301545

合计8020100

（1）依据小概率值a=0.005的独立性检验，能否认为网民选择在甲、乙直播间购买大米

与网民所处地区有关；

⑵用样本分布的频率分布估计总体分布的概率，若共有100000名网民在甲、乙直播间

购买大米，且网民选择在甲、乙两个直播间购买大米互不影响，记其中在甲直播间购买

大米的网民数为X,求使事件“X=人”的概率取最大值时k的值.

附：八______"3-be寸_____

其中〃=a+6+c+1.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【分析】（1）根据列联表信息，计算出/的观测值，结合临界值表可得出结论；

（2）根据二项分布求出在甲直播间购买大米的网民人数为左的概率，利用作商法判断

概率的大小即可得解.

【详解】（1）提出零假设4：网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区没有

试卷第14页，共17页

关联,

经计算得/100x(50x15-30x5)2

—«9.091>7.879二X0.005

80x20x55x4511

依据小概率值a=0.005的独立性检验，我们推断乜，不成立，

即认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关联.

(2)利用样本分布的频率估计总体分布的概率，

可知网民选择在甲直播间购买夏橙的概率为P=常=?，

贝l]X〜5(100000,g],记〃=100000,P=g，

则尸(x=左)=c：p*(1-犷(后=o,i,2,…,iooooq,

则问题等价于求当先取何值时尸(X=左)=Yl-p)""取最大值，

禺为。Pg)C»Q_p)i-左+1»a+

因为‘尸(X="l)k(l-p)k[-p)'

4

又(〃+1”=10000吗=80000.8,

所以当后<("+1”=80000.8时,P(X=k)>P(X=I)；

当左=(〃+l)p=80000.8时，尸(X=k)=P(X=后一1)；

当左>(〃+l)p=80000.8时，P(X=k)<P(X=k-l)；

所以p(X=80000)>尸(X=79999)>…>P(X=1),

尸(X=100000)<---<P(X=80001)<P(X=80000),

所以当X=80000时，尸(X=左)取最大值，

即使事件“X=k”的概率取最大值的k的值为80000.

【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是，借助参数"=100000,p=3,简化

了计算，从而得解.

19.设定义在[0,2]函数满足下列条件：

①对于xe[0,2],总有“2-x)=/(x),且/(无)21,41)=3；

②对于x,ye[l,2],若x+「±3,则/(x)+/(y)V/(x+y-2)+l.

(1)求“2)；

试卷第15页，共17页

⑵证明：/(gjwj+l(〃eN*)；

(3)证明：当xe[l,2]时，l</(x)<13-6x.

【答案】(1)〃2)=1

(2)证明见解析

⑶证明见解析

【分析】

(1)分别根据条件①②，利用赋值法得到了(2)21与7'(2)41,从而得解;

2

(2)利用赋值