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文档简介
2024年东北三省高考模拟数学试题(二)
学校:姓名:班级:考号:
一、单选题
1.已知全集U=/U8={1,2,3,4,5,6},^n(V)={2,4},则集合8=()
A.{2,4,6}B.{1,3,5}C.{1,2,3,4,5,6}D.{1,3,5,6}
【答案】D
【分析】
由题意可得{2,4}[4{2,4}口令8,再根据U=/U8={1,2,3,4,5,6},即可得解.
【详解】因为(4可={2,4},所以{2,4}q/,{2,4}q电8,
所以2任及4£8,
又全集U=/U8={1,2,3,4,5,6},
所以8={1,3,5,6}.
故选:D.
3-i
2.复数的虚部是()
1-1
A.2B.-2C.1D.-1
【答案】C
【分析】
利用复数的四则运算,结合复数虚部的定义即可得解.
3-i(3-)(用)=2+1
【详解】因为「
1-1(1-i)"i)
3-i
所以复数的虚部为1.
1-1
故选:C.
3.已知向量"与B的夹角为60。,忖=2,W=l,则卜-2可=()
A.1B.V3C.2D.2g
【答案】C
【分析】
根据数量积的运算律,结合数量积的定义,可得答案.
试卷第1页,共17页
AA-4X2COS60%4=2
故选:C.
4.某企业今年年初有资金1000万元,由于引进了先进生产设备,资金年平均增长率可
达到50%,每年年底需要扣除下一年的消费基金50万元,剩余资金投入再生产,设该
企业从今年起每年年初拥有的资金数依次为%,出,%,…则表示。用与。"之间关系的递推
公式为()
3
A.%+1=~an~5°B.an+i-an二450
33
C.%+1=5(%-50)D.a备-25
n+l=
【答案】A
【分析】
根据题意列式即可得解.
【详解】依题意,«1=1000,a„+1=(l+50%)a,-50=-a„-50.
故选:A.
5.两条平行直线心x+y+l=0,l2;x+y-1=0之间的距离是()
A.1B.V2C.2A/2D.2
【答案】B
【分析】
利用平行直线间的距离公式即可得解.
[详解]因为x+y+l=0,/2:x+y-l=0,
所以它们之间的距离为d="t)LVL
Vl+1
故选:B.
6.刍(chil)程(meng)是中国古代算数中的一种几何体,其结构特征是:底面为长方
形,顶棱和底面平行,且长度不等于底面平行的棱长的五面体,是一个对称的楔形体.已
知一个刍瓷底边长为4,底边宽为3,上棱长为2,高为2,则它的表面积是()
试卷第2页,共17页
上棱长
27+3百D.42+673
【答案】A
【分析】由题意可得刍薨的左右两个三角形为全等的等腰三角形,前后两个四边形为全
等的等腰梯形,利用勾股定理分别求出三角形和梯形的高,从而可求出各个面的面积,
即可得出答案.
【详解】解:由题意可得刍薨的左右两个三角形为全等的等腰三角形,
前后两个四边形为全等的等腰梯形,
等腰三角形的高为=
等腰梯形的高为<37=2,
V42
则一个等腰三角形的面积为工X3X^=£1,
22
一个等腰梯形的面积为弓_15,
2-2
所以止匕刍登的表面积为2xW+2x"+4x3=27+3”.
22
故选:A.
7.已知函数/(x)=sin(①工+9)(。〉0,0494兀)为偶函数,其图象上相邻两对称轴之间
的距离为兀,若sinc+/(a)=],则sm2「°s2a+l的值为()
31+tan。
4455
A.-B.—C.-D.—
9999
【答案】D
【分析】
先根据函数的奇偶性和对称性求出函数解析式,利用同角三角关系结合二倍角公式整理
2
可得所求=2sinacosa,再由sina+/(a)即可得解.
IT
【详解】为偶函数,;4=5+析,八z,
兀
又•.•()«。«兀,.二9二5,
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又•.•函数/(X)图象上相邻对称轴之间的距离为兀,
T=—=2兀,则刃=1,
co
/(x)=sin[x+3=cosx,
24
贝!Jsina+f(cr)=sina+cosa=—l+2sincrcoscr=—,
EP2sinacosa,
sin2a-cos2a+l2sinacosa(l2sin[)+]2sinac0sa+2sin力
1+tana1sinacosa+sina
cosacosa
2sinacosa(cosa+sina)5
----------------;-------------=2sinacosa二一.
cosor+sina9
故选:D.
8.已知偶函数/(x)满足f(x)=〃2-x),且当xe(0,l)时,=2、+1,贝(]/[logi19
的值为()
,3532935
A.—B.—C.-----D.—
29163516
【答案】D
【分析】
由偶函数/(尤)满足/(x)=「(2-x),可得函数/⑺是以2为周期的周期函数,再根据
函数的周期性求解即可.
【详解】因为函数为偶函数,所以/(x)=f(—x),
又/(x)=〃2—x),所以/(T)=〃2—X),即/(x)=/(2+x),
所以函数/(X)是以2为周期的周期函数,
因为4=log2l6<log2l9<log232=5,
所以=/(-log219)=/(log2l9)=/(log219-4)=/^log2
-log盖,19,35
=216+1=—+1=—.
1616
故选:D.
【点睛】
方法点睛:函数的三个性质:单调性、奇偶性和周期性,在高考中一般不会单独命题,
而是常将它们综合在一起考查,其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合,
试卷第4页,共17页
并结合奇偶性求函数值,多以选择题、填空题的形式呈现,且主要有以下几种命题角度;
(1)函数的单调性与奇偶性相结合,注意函数的单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶
函数图象的对称性.
(2)周期性与奇偶性相结合,此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行
交换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解;
(3)周期性、奇偶性与单调性相结合,解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所
在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.
二、多选题
9.社区卫生服务中心(站)是我国医疗卫生服务和公共卫生应急管理体系的网底,是
政府履行提供基本卫生服务职能的平台.社区卫生服务中心(站)可促进社区居民的基
本需求(如疫苗接种、基本诊疗等)就近在社区得到解决,图中记录的是从2010年起
十二年间我国社区卫生服务中心(站)的个数,根据此图可得关于这十二年间卫生服务
中心(站)个数的结论正确的是()
36500
36000
35500
35000
34500
34000
33500
33000
32500
A.逐年增多B.中位数为34324
C.每年相对于前一年的增量连续增大D.从2013年到2021年的增幅约6%
【答案】ABD
【分析】
根据题意,利用折线图中的数据,结合数据的变换趋势,中位数、数据差,以及增幅得
的计算公式,逐项判定,即可求解.
【详解】对于A中,由折线图可得,这十二年减卫生服务中心(站)个数逐年增多,
所以A正确;
对于B中,由折线图,将数据从小到大排列,共有12个数据,
根据中位数的定义和计算,可得甘、4=34324,所以B正确;
试卷第5页,共17页
对于C中,由折线图中的数据,可得32860-32793=67,33646-32860=786,
33965-33646=319,34238-33965=273,•••,所以C不正确;
对于D中,由折线图中的数据,可得从2013年到2021年的增幅约为:
-------------xl00%~6%,所以D正确.
33965
故选:ABD.
10.已知抛物线C:/=4x,焦点为R直线y=x-l与抛物线C交于4,2两点,过
3两点作抛物线准线的垂线,垂足分别为P,Q,且M为的中点,则()
A.|/同=10B.PFLQF
C.梯形/尸08的面积是16D.M到了轴距离为3.
【答案】BD
【分析】
先判断得直线y=xT经过点尸,再联立直线与抛物线方程,得到%+%,%%,进而得
到再+%,从而判断AD,利用两点求斜率与直线垂直时斜率之积为T可判断B,分别
求得|4尸|+1801,|尸。|,结合梯形的面积公式可判断C.
【详解】对于A,由题意得尸(1,0),则直线V=x-1经过点尸,
u=4x
联立〉一,消去x,</-4x-4=0,
[y=x-i
设/(占,%),8(X2,%),则%+%=4,必力=一4,
则再+超=必+1+%+1=6,所以|/8|=七+》2+2=8,故A错误;
对于B,由题意得尸(T必),Q(T%),
所以原尸》如=之二•上二=号=-1,所以尸尸,。尸,故B正确;
-1-1-1-14
对于C,由题意可得MP+|8Q|=X|+X2+2=8,
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|尸。|=|必-刃=,(乂+%丫-4乂%=V16+16=472,
所以梯形/尸便的面积是;(|/尸|+|80|)|尸0|=gx8x孤=16,故C错误;
对于D,因为XM=;(网+%)=3,所以“到>轴距离为3,故D正确.
故选:BD.
11.已知数列{%}是公差为"的等差数列,S“是其前”项的和,若%<0,s2000-s2024,
则()
A.d>0B./012=。C.$4024=。D.S,,2$2012
【答案】ACD
【分析】
2
由题意可得的⑼+。2。24=0,从而可求出d=-砧%,即可判断A;再结合等差数列的
性质及前〃项和公式即可判断BCD.
【详解】因为解000=$2024,所以“2001+42002^2024=0,
所以24(%"脸)=o,所以。加+a2024=«2012+a2013=2/1+4025/=0,
2
2
又因为q<0,所以d=-茄西q>0,故A正确;
40221
“2012=%+2011"=%—布=布丁1<0,故B错误;
%(=”4([+%”)=2012(*+*)=0'故C正确;
a
因为a2012<°,。2013=~2012>°,
所以当"42012时,an<Q,当〃22013时,a„>0,
所以刈2,所以S〃NSM2,故D正确•
故选:ACD.
【点睛】
方法点睛:在等差数列中,求5“的最小(大)值的方法:
(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点,则从第一项起到分界点该项的各项和最小
(大);
(2)借助二次函数的图象及性质求解.
三、填空题
试卷第7页,共17页
25
12.设(l-2x)s=+a{x+a2xH\-a5x,贝!Jq+/+…+%=.
【答案】-2
【分析】
分别令x=0,x=l即可得解.
【详解】令x=0,则%=1,
令X=1,贝U4+Q]+■1-----F=-1,
所以q+出+…+%=-2.
故答案为:-2.
22
13.椭圆器+/=1的左,右焦点分别为耳,F2,过焦点耳的直线交椭圆于N,8两点,
设』(再,弘),B(x2,y2),若△48工的面积是4,则|%-%|=.
【答案】正/tS
77
【分析】
根据=;|乂-了21M叫=4求解即可.
【详解】由题意片卜行,0),耳(行,0),则阳用|=2近,
因为心质=;|乂一力卜闺叫=4,
所以回一刃=金=3
产也|2"/
14.已知函数〃x)=e"(aHO),过点/(。⑼作与》轴平行的直线交函数/(无)的图象于
点P,过点P作/(x)图象的切线交x轴于点3,则八4尸5面积的最小值为.
【答案】叵
2
【分析】
求出/(x)的导数,令尤=。,求得P的坐标,可得切线的斜率,运用点斜式方程可得切
试卷第8页,共17页
线的方程,令y=0,可得2的坐标,再由三角形的面积公式可得△/尸3面积S,求出导
数,利用导数求最值,即可得到所求值.
【详解】函"X)=eRaR0)的导数为广(x)=e暧,
由题意可令x=。,解得尸可得尸(a,e“)
即有切线的斜率为左=”一,切线的方程为丁-y=ae『(x-a),
令y=0,可得x=_L+0,gpB\--+a,0|,
aya)
在直角三角形尸48中,|48上百,[4P|=e"\
则A4PB面积为,(。)=T回网=1'•百•,(a/0),
因为5(-。)=;•百M=S(a),所以函数5e)为偶函数,
112
不妨取a>0,则5(。)=了丁蛾
则S'(a)=;[-1,e"2+Le",勿卜1-4-n2"|,
2aaJ2\a)
当ae]o,¥时,5,(a)<0,S⑷单调递减;
(5\
当ae—,+oo时,S⑷>0,S(a)单调递增,
、2>
即有。=弓处S(a)取得极小值,且为最小值浮,
所以AAPB面积的最小值为叵.
2
故答案为:叵.
2
【点睛】方法点睛:求函数〃x)在区间[。回上的最值的方法:
(1)若函数〃尤)在区间上单调,则/(。)与/仅)一个为最大值,另一个为最小
值;
(2)若函数”X)在区间6]内有极值,则要求先求出函数“X)在区间口回上的极值,
再与/'(a)、/⑻比大小,最大的为最大值,最小的为最小值;
(3)若函数〃x)在区间[。力]上只有唯一的极大点,则这个极值点就是最大(最小)
值点,此结论在导数的实际应用中经常用到.
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四、解答题
15.已知是数列{2}的前“项和,%=2,I?1是公差为1的等差数列.
(1)求数列{«„}的通项公式;
1111
(2)证明:——+——+---+-----<
aflnA4
【答案】⑴。“=2〃
⑵证明见解析
【分析】(1)求出给定的等差数列通项公式,再利用前〃项和求通项的方法求解作答即
可;
(2)利用(1)的结论,结合裂项相消法即可得解.
【详解】(1)因是公差为1的等差数列,而卬=2,则牛=2,
因止匕翌=2+(〃-l)xl="+l,即S“+
n
当”22时,an=S〃_S,T+=,
经检验,4=2满足上式,
所以{4}的通项公式是%=2".
1111if1M
(2)由(1)知:=.(、上.、=二x~j_77;=~\],
anan+i2n[2n+2)4M〃+1)4[〃n+\)
…111
所以——+——+…+----
。2。3afln-A
16.如图,一个几何体是由半径和高均为2的圆柱和三棱锥48c组合而成,圆
柱的轴截面为点N,3,C在圆。的圆周上,平面NBC,43/ZC,=
AE=2.
试卷第10页,共17页
(1)求证:AC1BD-,
⑵求平面ABD与平面BDC的夹角.
【答案】(1)证明见解析
【分析】
(1)根据线面垂直的性质证明/D_L』C,再证明ZC_L平面NBD,再根据线面垂直的
性质即可得证;
(2)以点。为原点建立空间直角坐标系,利用向量法求解即可.
【详解】(1)因为平面N8C,/Cu平面/3C,
所以4D_L/C,
又4BLAC,4BcAD=A,AB,ADu平面ABD,
所以NC_L平面N3Q,
又ADu平面/BO,
所以4C上BD;
(2)因为点/,B,C在圆。的圆周上,ABIAC,
所以8C为圆。的直径,
又因为平面”3C,所以24E三点共线,
如图,以点。为原点建立空间直角坐标系,
则D(0,0,0),A(0,0,2),5(2,2,2),C(2,-2,2),
所以就=(0,-4,0),丽=(2,2,2),
试卷第11页,共17页
设行=(x,y,z)是平面BCD的法向量,
n-BC=-4y=0
则令z=T,贝岐=(1,0,T),
n-DB=2x+2y+2z=0
由(1)知,/C_L平面
所以X=(2,-2,0)是平面的一个法向量,
।\n-Ac\21
故cosn,AC\=」_=亍——尸=-,
11|J«|.|^C|72x2722
所以平面力即与平面BOC所成角的余弦值为十,
7T
所以平面ABD与平面BDC的夹角为y.
17.如图,双曲线C的中心在原点,焦点在y轴上,离心率为JM,月,鸟分别是其
渐近线4,4上的两个点,△々06的面积为9,尸是双曲线C上的一点,且至=3匣.
(1)求双曲线C的渐近线方程;
(2)求双曲线C的标准方程.
试卷第12页,共17页
【答案】(l)y=±3
22
匕—工=1
(2)281-
4J
【分析】
22r
(1)设双曲线的方程为会-1r=1e>0,6>0),根据双曲线的离心率求出即可求
得双曲线的渐近线方程;
(2)设6(-3”,必),£(3了2,%乂乂>0,%>0),根据
S=5+”)(3%+%)_M=9,求出必刈,再根据肝=3再求出点尸的坐
△rjCzrj222I/
标,再代入双曲线方程求得力,即可得解.
22
【详解】(I)设双曲线的方程为5-2=1(°>0/>0),
因为双曲线的离心率为所,
所以e=J"=M,解得2=3,所以:=:,
Va1ab3
所以双曲线C的渐近线方程为'=±3;
(2)设月(一3必,必),£(3%,%)(%>0,%>。),
则S"=5+%)(3%+乂)_应_典=中九=9,
所以必%=3,
设尸(%,%),则片尸=(%+3%,%-%),理=(3%-为一可,
因为肝=3所,
-3%+9%
xo二
/I、/%+3%=3(3%-%)4
Vo-Ji=3(%f),所以一
%+3%
y0=
4
所以《自产,中]
22
由⑴得6=3。,则双曲线的方程为与一二=1,
a29a2
再将点尸1代入得(力;9%]
a2
试卷第13页,共17页
39
化简得3%%=4/,即/
22
匕_二一1
所以双曲线的标准方程为981一.
4~4
18.恰逢盛世,风调雨顺.某稻米产地今秋获得大丰收,为促进当地某品牌大米销售,
甲、乙两位驻村干部通过直播宣传销售所驻村生产的该品牌大米.通过在某时段100名
顾客在观看直播后选择在甲、乙两位驻村干部的直播间(下简称甲直播间、乙直播间)
购买的情况进行调查(假定每人只在一个直播间购买大米),得到以下数据:
在直播间购买大米的情况
网民类型合计
在甲直播间购买在乙直播间购买
本地区网民50555
外地区网民301545
合计8020100
(1)依据小概率值a=0.005的独立性检验,能否认为网民选择在甲、乙直播间购买大米
与网民所处地区有关;
⑵用样本分布的频率分布估计总体分布的概率,若共有100000名网民在甲、乙直播间
购买大米,且网民选择在甲、乙两个直播间购买大米互不影响,记其中在甲直播间购买
大米的网民数为X,求使事件“X=人”的概率取最大值时k的值.
附:八______"3-be寸_____
其中〃=a+6+c+1.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
【分析】(1)根据列联表信息,计算出/的观测值,结合临界值表可得出结论;
(2)根据二项分布求出在甲直播间购买大米的网民人数为左的概率,利用作商法判断
概率的大小即可得解.
【详解】(1)提出零假设4:网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区没有
试卷第14页,共17页
关联,
经计算得/100x(50x15-30x5)2
—«9.091>7.879二X0.005
80x20x55x4511
依据小概率值a=0.005的独立性检验,我们推断乜,不成立,
即认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关联.
(2)利用样本分布的频率估计总体分布的概率,
可知网民选择在甲直播间购买夏橙的概率为P=常=?,
贝l]X〜5(100000,g],记〃=100000,P=g,
则尸(x=左)=c:p*(1-犷(后=o,i,2,…,iooooq,
则问题等价于求当先取何值时尸(X=左)=Yl-p)""取最大值,
禺为。Pg)C»Q_p)i-左+1»a+
因为‘尸(X="l)k(l-p)k[-p)'
4
又(〃+1”=10000吗=80000.8,
所以当后<("+1”=80000.8时,P(X=k)>P(X=I);
当左=(〃+l)p=80000.8时,尸(X=k)=P(X=后一1);
当左>(〃+l)p=80000.8时,P(X=k)<P(X=k-l);
所以p(X=80000)>尸(X=79999)>…>P(X=1),
尸(X=100000)<---<P(X=80001)<P(X=80000),
所以当X=80000时,尸(X=左)取最大值,
即使事件“X=k”的概率取最大值的k的值为80000.
【点睛】关键点点睛:本题第2小问解决的关键是,借助参数"=100000,p=3,简化
了计算,从而得解.
19.设定义在[0,2]函数满足下列条件:
①对于xe[0,2],总有“2-x)=/(x),且/(无)21,41)=3;
②对于x,ye[l,2],若x+「±3,则/(x)+/(y)V/(x+y-2)+l.
(1)求“2);
试卷第15页,共17页
⑵证明:/(gjwj+l(〃eN*);
(3)证明:当xe[l,2]时,l</(x)<13-6x.
【答案】(1)〃2)=1
(2)证明见解析
⑶证明见解析
【分析】
(1)分别根据条件①②,利用赋值法得到了(2)21与7'(2)41,从而得解;
2
(2)利用赋值
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