安徽省合肥市蜀山区2024届中考数学四模试卷含解析

安徽省合肥市蜀山区琥珀中学2024届中考数学四模试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.《语文课程标准》规定：7-9年级学生，要求学会制订自己的阅读计划，广泛阅读各种类型的读物，课外阅读总量

不少于260万字，每学年阅读两三部名著.那么260万用科学记数法可表示为（）

A.26x105B.2.6x102C.2.6x10*D.260x104

3.如图，已知/1=/2,要使AABDGAACD,需从下列条件中增加一个，错误的选法是（）

A.ZADB=ZADCB.ZB=ZCC.AB=ACD.DB=DC

4.甲乙两同学均从同一本书的第一页开始，按照顺序逐页依次在每页上写一个数，甲同学在第1页写1,第2页写3,

第3页写1,……，每一页写的数均比前一页写的数多2；乙同学在第1页写1,第2页写6,第3页写11,……，每

一页写的数均比前一页写的数多1.若甲同学在某一页写的数为49,则乙同学在这一页写的数为（）

A.116B.120C.121D.126

5.如图，有5个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是（）

A.C.D.

6.下列命题是真命题的个数有（）

①菱形的对角线互相垂直；

②平分弦的直径垂直于弦；

k

③若点（5,-5）是反比例函数y=—图象上的一点，则k=-25；

x

④方程2x-l=3x-2的解，可看作直线y=2x-l与直线y=3x-2交点的横坐标.

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.如图，点A,B在反比例函数I的图象上，点C,D在反比例函数的图象上，AC//BD〃y轴，已

知点A,B的横坐标分别为1,2,△OAC与△ABD的面积之和为，则k的值为（）

A.4B.3C.2D.

8.实数卡的相反数是（）

1

A.-y/6B.平D.6

C不

9.据调查，某班20为女同学所穿鞋子的尺码如表所示,

尺码（码）3435363738

人数251021

则鞋子尺码的众数和中位数分别是（）

A.35码，35码B.35码，36码C.36码，35码D.36码，36码

1x-2

10.小明解方程一一■~-=1l的过程如下，他的解答过程中从第（）步开始出现错误.

xx

解：去分母，得1-（x-2）=1①

去括号，得l-x+2=l②

合并同类项，得7+3=1③

移项，得-x=-2④

系数化为1,得x=2⑤

A.①B.②C.③D.®

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

上2—2k+3

11.若点A（-2,yp、B（-1,丫2）、C（1,y3）都在反比例函数丫=---------（k为常数）的图象上，则yry2>

丫3的大小关系为.

12.如图，RtAABC中，ZBAC=90°,AB=3,AC=6jT,点D,E分别是边BC,AC上的动点，则DA+DE的最小

值为_____

13.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC和正方形DOFE的顶点B,F在x轴上，顶点C,D在y轴上，且SAADC=4,

k

反比例函数y=—（x>0）的图像经过点E,贝Uk=。

x

14.如图，在RtAABC中，ZA=90°,NABC的平分线BD交AC于点D,DE是BC的垂直平分线，点E是垂足.若

DC=2,AD=1,则BE的长为.

15."+("_")=

1

16.如图，在矩琢BCD中，AB=4,AD=3,矩形内部有一动点P满足“pAB=gS/ABCD，则点P到A、B两点的

距离之和PA+PB的最小值为.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元.每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决

定降价促销.若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；经调查，若该商品

每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？

18.（8分）抛物线y=-X2+bx+c与x轴交于A,B两点（点A在点B的左边），与y轴正半轴交于点C.

（1）如图1,若A（-1,0）,B（3,0）,

①求抛物线y=-X2+bx+C的解析式；

②P为抛物线上一点，连接AC,PC,若/PCO=3/ACO,求点P的横坐标；

（2）如图2,D为x轴下方抛物线上一点，连DA,DB,若/BDA+2/BAD=90。，求点D的纵坐标.

19.（8分）如图，在锐角三角形ABC中，点。,E分别在边AC,A3上,AG,5c于点于点尸=/GAC.求

证：若40=3,AB=5,求的值.

20.（8分）我市某中学举行“中国梦•校园好声音”歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表

队和高中代表队参加学校决赛.两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示.

根据图示填写下表;

平均数（分）中位数（分）众数（分）

初中部85

高中部85100

(2)结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；计算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队选

手成绩较为稳定.

21.(8分)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A作BC的平行线交CE的延长线与F,

且AF=BD,连接BF。求证：D是BC的中点；如果AB=AC,试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。

22.(10分)学习了正多边形之后，小马同学发现利用对称、旋转等方法可以计算等分正多边形面积的方案.

(1)请聪明的你将下面图①、图②、图③的等边三角形分别割成2个、3个、4个全等三角形；

(2)如图④，等边AA5C边长45=4,点。为它的外心，点V、N分别为边45、5c上的动点(不与端点重合)，

1

且/MON=120。，若四边形3M0N的面积为s,它的周长记为/,求一最小值；

s

(3)如图⑤，等边AABC的边长43=4,点尸为边C4延长线上一点，点0为边A3延长线上一点，点0为5c边

中点，且/0。。=120。，若m=上,请用含x的代数式表示△5。。的面积S4如0

23.(12分)已知：如图，在AOAB中，OA=OB,。。经过A3的中点C,与03交于点O,且与30的延长线交于

点E,连接EC,CD.

(1)试判断43与。。的位置关系，并加以证明；

1

(2)若tanE=1,。。的半径为3,求。4的长.

E.

O

ACB

24.2013年我国多地出现雾霾天气，某企业抓住商机准备生产空气净化设备，该企业决定从以下两个投资方案中选择

一个进行投资生产，方案一：生产甲产品，每件产品成本为a元（a为常数，且40<a<100）,每件产品销售价为120

元，每年最多可生产125万件；方案二：生产乙产品，每件产品成本价为80元，每件产品销售价为180元，每年可生

产120万件，另外，年销售x万件乙产品时需上交0.5x2万元的特别关税，在不考虑其它因素的情况下：

（1）分别写出该企业两个投资方案的年利润力（万元）、y2（万元）与相应生产件数X（万件）（X为正整数）之间的

函数关系式，并指出自变量的取值范围；

（2）分别求出这两个投资方案的最大年利润；

（3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、C

【解题分析】

科学记数法的表示形式为axlOn的形式，其中14网<10,n为整数•确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值〉1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.

【题目详解】

260万=2600000=2.6x106.

故选C.

【题目点拨】

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axlOn的形式，其中l"a|<10,n为整数，表示时关键要

正确确定a的值以及n的值.

2、B

【解题分析】

解：根据三视图得到该几何体为圆锥，其中圆锥的高为4,母线长为5,圆锥底面圆的直径为6,所以圆锥的底面圆的

61

面积=6(—)2=9TT,圆锥的侧面积=5x5x7tx6=157t,所以圆锥的全面积=9亢+15兀=24兀.故选B.

点睛：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面

圆的周长.也考查了三视图.

3、D

【解题分析】

由全等三角形的判定方法ASA证出△ABD空ZXACD,得出A正确；由全等三角形的判定方法AAS证出

AABD^AACD,得出B正确；由全等三角形的判定方法SAS证出△ABD也AACD,得出C正确.由全等三角形的

判定方法得出D不正确；

【题目详解】

A正确；理由：

在4ABD和小ACD中，

,.,Z1=Z2,AD=AD,ZADB=ZADC,

.'.△ABD^AACD(ASA)；

B正确；理由：

在4ABD和4ACD中，

,.,Z1=Z2,ZB=ZC,AD=AD

..△ABD^AACD(AAS)；

C正确；理由：

在AABD和小ACD中，

,/AB=AC,Z1=Z2,AD=AD,

.,.△ABD之△ACD(SAS)；

D不正确，由这些条件不能判定三角形全等；

故选：D.

【题目点拨】

本题考查了全等三角形的判定方法；三角形全等的判定是中考的热点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的

关键.

4、C

【解题分析】

根据题意确定出甲乙两同学所写的数字，设甲所写的第"个数为49,根据规律确定出“的值，即可确定出乙在该页写

的数.

【题目详解】

甲所写的数为1,3,1,7,49,...；乙所写的数为1,6,11,16,

设甲所写的第"个数为49,

根据题意得：49=1+(«-1)x2,

整理得：2(n-1)=48,即"-1=24,

解得：«=21,

则乙所写的第21个数为1+(21-1)xl=1+24x1=121,

故选：C.

【题目点拨】

考查了有理数的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键.

5、C

【解题分析】

试题解析：左视图如图所示：

故选C.

6、C

【解题分析】

根据菱形的性质、垂径定理、反比例函数和一次函数进行判断即可.

【题目详解】

解：①菱形的对角线互相垂直是真命题；

②平分弦(非直径)的直径垂直于弦，是假命题；

k

③若点(5,-5)是反比例函数y=—图象上的一点，则k=-25,是真命题；

x

④方程2x-l=3x-2的解，可看作直线y=2x-l与直线y=3x-2交点的横坐标，是真命题；

故选C.

【题目点拨】

本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项,

结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式.一些命题的正确性是用推理证实的，这样的

真命题叫做定理.

7、B

【解题分析】

首先根据A,B两点的横坐标，求出A,B两点的坐标，进而根据AC//BD〃y轴，及反比例函数图像上的点的坐标特点得

出C,D两点的坐标，从而得出AC,BD的长，根据三角形的面积公式表示出SAOAC，SAABD的面积，再根据AOAC与△ABD

的面积之和为3列出方程，求解得出答案.

【题目详解】

把x=l代入得：y=l,

，A(1,1),把x=2代入得：y=,

•.B(2,),

VAC//BD//y

.,.C(1,K),D(2,)

.\AC=k-l,BD=-,

•■•SAOAC=(k-1)xl,

SAABD=(fl，

又「△OAC与△ABD的面积之和为,

：.(k-1)xl+(-)x1=，解得：k=3;

故答案为B.

【题目点拨】

:此题考查了反比例函数系数k的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k的几何意义

是解本题的关键.

8、A

【解题分析】

根据相反数的定义即可判断.

【题目详解】

实数"的相反数是-的

故选A.

【题目点拨】

此题主要考查相反数的定义，解题的关键是熟知相反数的定义即可求解.

9、D

【解题分析】

众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最

中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数.

【题目详解】

数据36出现了10次，次数最多，所以众数为36,

一共有20个数据，位置处于中间的数是：36,36,所以中位数是(36+36)+2=36.

故选D.

【题目点拨】

考查中位数与众数，掌握众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小

到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数是解题的关键.

10、A

【解题分析】

根据解分式方程的方法可以判断哪一步是错误的，从而可以解答本题.

【题目详解】

1x-2

-------=1,

XX

去分母，得1-(x-2)=x,故①错误，

故选A.

【题目点拨】

本题考查解分式方程，解答本题的关键是明确解分式方程的方法.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

y2<yx<y2

【解题分析】

分析：设t=k2-2k+2,配方后可得出t>l,利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出y「yry2的值，比较后即可

得出结论.

详解：设t=k2-2k+2,

,/k2-2k+2=(k-1)2+2>1,

.2—2.+3

..•点A(-2,yj、B(1,y2),C(1,y2)都在反比例函数丫=——--(k为常数)的图象上，

y=t

22

t

又•-tv--vt,

••y2<y1<y2.

<

故答案为：y2<y1y2.

点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y「丫2、丫2的值是解题

的关键.

16

12、T

【解题分析】

【分析】如图，作A关于BC的对称点A，，连接AA，，交BC于F,过A啡AELAC于E,交BC于D,则AD=AT),

此时AD+DE的值最小，就是A，E的长，根据相似三角形对应边的比可得结论.

【题目详解】如图，作A关于BC的对称点A',连接AA',交BC于F,过A，作AEXAC于E,交BC于D,则AD=A'D,

此时AD+DE的值最小，就是A，E的长；

RSABC中，ZBAC=90°,AB=3,AC=672,

11

S.ABC=2AB，AC=2BC，AF，

.'.3x672=9AF,

AF=2/，

.,.AA'=2AF=472,

ZA'FD=ZDEC=90°,ZA'DF=ZCDE,

.•.ZA'=ZC,

,.ZAEA'=ZBAC=90o,

.,.△AEA'^ABAC,

.AA，_BC

"ATE~AC，

-4®=9

"ArE限

16

AA'E=y,

16

即AD+DE的最小值是y,

故答案为—.

【题目点拨】本题考查轴对称-最短问题、三角形相似的性质和判定、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题

的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题.

13、8

【解题分析】

设正方形ABOC和正方形DOFE的边长分别是m、n,则AB=OB=m,DE=EF=OF=n,BF=OB+OF=m+n,然后根据

SAAnF=SiRnn+SAnoF-SAA=4,得到关于n的方程，解方程求得n的值，最后根据系数k的几何意义求得即可•

【题目详解】

设正方形450。和正方形。OFE的边长分别是机、n,贝DE=EF=OF=n,

BF-OB+OF-m+n,

/.S=S+S-S==—m(m+n)+—n2-J-m(m+n)=4,

AADF梯形ABOD4DOFABF222

n2=8,

•.•点在反比例函数尸"。＞0)的图象上，

:・k=R2=8,

故答案为8.

【题目点拨】

本题考查了正方形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征.图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k,即xy=k.

14、O

【解题分析】

：DE是BC的垂直平分线，

：.DB=DC=2,

：BD是NABC的平分线，ZA=90°,DE±BC,

；.DE=AD=L

:.BE=7'BD2-DE2=F,

故答案为邪.

点睛：本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的

距离相等是解题的关键.

15、婢.

【解题分析】

根据去括号法则和合并同类二次根式法则计算即可.

【题目详解】

解：原式="+点-而

3

故答案为：y/2

【题目点拨】

此题考查的是二次根式的加减运算，掌握去括号法则和合并同类二次根式法则是解决此题的关键.

16、4K

【解题分析】

1

分析：首先由"APJAroB=K2S矩…形ABCD，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线1上，作A关于直线1的对称

点E,连接AE,连接BE,则BE的长就是所求的最短距离.然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，

即PA+PB的最小值.

详解：设△ABP中AB边上的高是h.

.._1

•S&PAB-WS短取ABCD'

11

—AB»h=—AB»AD,

23

2

.\h=yAD=2,

二动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线1上，如图，作A关于直线1的对称点E,连接AE,连接BE,则

BE的长就是所求的最短距离.

BE=，ABL+AE2=742+42=472,

即PA+PB的最小值为472.

故答案为4^/2.

点睛：本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质.得出动

点P所在的位置是解题的关键.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)两次下降的百分率为10%；

(2)要使每月销售这种商品的利润达到110元，且更有利于减少库存，则商品应降价2.1元.

【解题分析】

(1)设每次降价的百分率为x,(1-x)2为两次降价后的百分率，40元降至32.4元就是方程的等量条件，列出方

程求解即可；

(2)设每天要想获得110元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，由销售问题的数量关系建立方

程求出其解即可

【题目详解】

解：(1)设每次降价的百分率为X.

40x(1-x)2=32.4

x=10%或190%(190%不符合题意，舍去)

答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，两次下降的百分率为10%；

(2)设每天要想获得110元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，

由题意，得

(40-30-y)(4x.2_+48)=510

解得：丫］=1.1,y2=2.i,

■:有利于减少库存，，y=2.1.

答：要使商场每月销售这种商品的利润达到110元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价2.1元.

【题目点拨】

此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前

后的平衡关系，列出方程，解答即可.

_35

18、(1)(l)y=-x2+2x+3@—(2)-1

【解题分析】

分析：(1)①把A、8的坐标代入解析式，解方程组即可得到结论；

②延长CP交x轴于点E,在x轴上取点。使CD=CA,作ENLCD交CD的延长线于N.由CD=CA,OC±AD,得

到/。CO=NACO.由/PC0=3/AC。，得到/ACD=NEC。，从而有tan/ACD=tan/ECD,

AIENAIEN3

—,即可得出A/、C7的长，进而得到方'=前=五.设EN=3X,则CN=4x,由tan/CDO=tan/EDN,得

VziVL•_/\^iVI

EN0C3

到K7=KK=T，故设0N=x，则CD=CN-ON=3x=J①，解方程即可得出E的坐标，进而求出CE的直线解析式，

DN0D1

联立解方程组即可得到结论；

BIID

(2)作。轴，垂足为1.可以证明△E3Z>S^£)5C,由相似三角形对应边成比例得到f=f,

IDAI

即^__上=——整理得y2=X2—b+X)x+XX,令尸0,得：—X2+"+c=0.

—yX—XDDABDAB

DDA

故「『b,X『B=-c,从而得到一丝-c.由%=rj+"+c，得到yj=-%，解方程即可

得到结论.

详解：(1)①把A(-1,0),B(3,0)代入y=—%2+bx+c得:

-l-Z?+c=0b=2

解得:

-9+3Z?+c=0[c=3

y=-X2+2x+3

②延长C尸交x轴于点£,在x轴上取点。使CD=C4,作ENLCD交CD的延长线于N.

：CD=CA,OC±AD,：.ZDCO=ZACO.

,?ZPCO=3ZACO,：.ZACD=ZECD,：.tanZACD=tanZECD,

设EN=3x,贝]iCN=4r.

*.*tanZCDO=tanZEDN,

ENOC3

——=：.DN=x,：.CD=CN-DN=3x=JlQ,

DNOD17，

JTo1013

：.x=^--,：.DE=—,E(—,0).

333

9

CE的直线解析式为：y=--x+3,

13,

y=-——x+5

9

=一工2+2%+3

935

-%2+2x+3=-x+3,解得：JV—0,x=—.

213

35

・•ZBDA+2ZBAD=90°,：.ZDBI+ZBAD=90°.

ZBDZ+ZDBZ=90°,:./BAD=/BDI.

BIID

・•ZBID=ZDIA,：.△EBDS/\DBC,：.—,

IDAI

x-x-y

•—£)----S-=-----口—

--yx-x，

DDA

y2=x2-(x+x)x+xX

DDABDAB

令y=0,得：-X2-vbx+c=0.

：.X+x=b,XX=-c,：.y2=X2-\x+x)x+XX=X2-bx-c

ABABDDABDABDD

•/y=-x2+Z?x+。

DDD

「・y2=-y,

DD

解得:%=0或-1.

OD为。轴下方一点,

二。的纵坐标一1.

点睛：本题是二次函数的综合题.考查了二次函数解析式、性质，相似三角形的判定与性质，根与系数的关系.综合

性比较强，难度较大.

3

19、(1)证明见解析；(2)-.

【解题分析】

(1)由于AG_LBC,AF±DE,所以NAFE=/AGC=90。，从而可证明/AED=/ACB,进而可证明△ADEs/\ABC；

ADAEAFAE

(2)AADE^AABC,--=—,又易证△EAFs^CAG,所以寸=:不，从而可求解.

ABACAGAC

【题目详解】

(1)VAGIBC,AF±DE,

ZAFE=ZAGC=90°,

,.ZEAF=ZGAC,

.,.ZAED=ZACB,

VZEAD=ZBAC,

.,.AADE^AABC,

(2)由(1)可知：AADE^AABC,

.ADAE_3

"ABAC-5

由(1)可知：ZAFE=ZAGC=90°,

.•.ZEAF=ZGAC,

AAEAF^ACAG,

.AF_AE

"~AG~~AC'

.AF3

"AG=5

考点：相似三角形的判定

20、(1)

平均数(分)中位数(分)众数(分)

初中部858585

高中部8580100

（2）初中部成绩好些（3）初中代表队选手成绩较为稳定

【解题分析】

解：（1）填表如下：

平均数（分）中位数（分）众数（分）

初中部858585

高中部8580100

（2）初中部成绩好些.

•••两个队的平均数都相同，初中部的中位数高，

，在平均数相同的情况下中位数高的初中部成绩好些.

22222

（3）-/Sr=（75-85）+（80-85）+（85-85）+（85-85）+（100-85）=70,

S2=（70-85）2+（100-85）2+（100-85）2+（75-85）2+（80-85）2=160

高中队

2,因此，初中代表队选手成绩较为稳定―

初中队高中队

（1）根据成绩表加以计算可补全统计表.根据平均数、众数、中位数的统计意义回答.

（2）根据平均数和中位数的统计意义分析得出即可.

（3）分别求出初中、高中部的方差比较即可.

21、（1）详见解析；（2）详见解析

【解题分析】

（1）根据两直线平行，内错角相等求出/AFE=NDCE,然后利用“角角边”证明AAEF和△DEC全等，再根据全等

三角形的性质和等量关系即可求解；

（2）由（1）知AF平行等于BD,易证四边形AFBD是平行四边形，而AB=AC,AD是中线，利用等腰三角形三线

合一定理，可证ADLBC,即NADB=90。，那么可证四边形AFBD是矩形.

【题目详解】

（1）证明：♦；AF〃BC,

:.ZAFE=ZDCE,

,/点E为AD的中点，

.\AE=DE,

在小AEF和^DEC中，

ZAFE=ZDCE

<ZAEF=ZDEC,

AE=DE

/.△AEF^ADEC(AAS),

.\AF=CD,

：AF=BD,

.\CD=BD,

，D是BC的中点；

(2)若AB=AC,则四边形AFBD是矩形.理由如下：

,--△AEF^ADEC,

：.AF=CD,

,/AF=BD,

.•.CD=BD；

；AF〃BD,AF=BD,

/.四边形AFBD是平行四边形，

VAB=AC,BD=CD,

ZADB=90°,

平行四边形AFBD是矩形.

【题目点拨】

本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边

形是矩形是解本题的关键.

22、(1)详见解析；(2)2+2/；(3)S&„no^-x+d3.

【解题分析】

(1)根据要求利用全等三角形的判定和性质画出图形即可.

(2)如图④中，作0E_LA5于E,QF_L5C于尸，连接05.证明△OEM2△OFN(ASA),推出0N=

0M，SAEOM=SANOF，推出S履"3。'=5醍"BEOF=定值，证明出△OBE^RtA推出BM+BN=BE+EM+BF

11

-fW=25E=定值，推出欲求一最小值，只要求出/的最小值，因为/=8M+5N+0N+0M=定值+ON+OM所以欲求—

ss

最小值，只要求出ON+OM的最小值，因为OM=ON,根据垂线段最短可知，当与0E重合时，定值最小，

由此即可解决问题.

(3)如图⑤中，连接AD,作于E,OF_L4C于尸.证明△尸。尸之(ASA),即可解决问题.

【题目详解】

解：(1)如图1,作一边上的中线可分割成2个全等三角形，

如图2,连接外心和各顶点的线段可分割成3个全等三角形，

如图3,连接各边的中点可分割成4个全等三角形，

图①

(2)如图④中，作0EL45于E,。尸，3c于F,连接03.

「△ABC是等边三角形，。是外心，

：.OB^^ZABC,ZABC=60°：OE±AB,OFLBC,

：.0E=0F,

：ZOEB=ZOFB^90°,

：.ZEOF+ZEBF=1SO°,

：.ZEOF=NNOM=120°,

ZEOM=NFON,

.,.△OEMgAOFN(ASA),

■EM=FN,ON=OM,SAEOM=SANOF，

•c—c二宗侑

••0四边形BMONu四边形BEOFyl£L'

：OB=OB,OE=OF,ZOEB=ZOFB=90°,

.'.RtAOBE^RthOBF(HL),

：.BE=BF,

：.BM+BN^BE+EM+BF-FN=2BE=定值，

1

欲求-最小值，只要求出/的最小值，

s

"：l=BM+BN+ON+OM=定值+ON+OM,

1

欲求-最小值，只要求出ON+OM的最小值，

s

：OM=ON,根据垂线段最短可知，当与0E重合时，定值最小,

1s=（小型=3，=2+2+$+3=4+型,

此时-定值最小,

S233333

A473

14+平

—的最小值==2+2

s~qr^-

丁

(3)如图⑤中，连接A。，作。ELA5于E,。尸，AC于耳.

•:△AbC是等边三角形，BD=DC,

二•AO平分N54C,

：DE±AB,