八下第二次月考模拟试卷（解析版）

2022-2023学年八年级下学期数学第二次月考测试卷（测试范围：第十六章---第十九章）（考试时间120分钟满分120分）选择题（共10题，每小题3分，共30分）1．（2023春•仓山区期中）下列各组长度的线段中，首尾顺次相接能构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．8，15，17 C．2，3，11 D．3，2，5【分析】判断是否能组成直角三角形，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．【解答】解：A、∵42+52＝16+25＝41＞36＝62，∴4，5，6不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；B、∵82+152＝64+225＝289＝172，∴8，15，17能组成直角三角形，故本选项符合题意；C、∵22∴2，3，11不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D、∵22∴3，2，5不能组成直角三角形，故本选项不符合题意．故选：B．【点评】此题考查了勾股定理的逆定理，正确记忆已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形是解题关键．2．（2022秋•市中区校级期末）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是关于x的函数y＝（m﹣1）x图象上的两点，当x1＜x2时，y1＜y2，则m的取值范围是（）A．m＞0 B．m＜0 C．m＞1 D．m＜1【分析】由“当x1＜x2时，y1＜y2”，可得出y随x的增大而增大，结合一次函数的性质，可得出m﹣1＞0，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵当x1＜x2时，y1＜y2，∴y随x的增大而增大，∴m﹣1＞0，解得：m＞1，∴m的取值范围是m＞1．故选：C．【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．3．（2022秋•未央区校级月考）在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E、F两点，下列说法错误的是（）A．四边形AEDF是平行四边形 B．若AB⊥AC，则四边形AEDF是矩形 C．若BD＝CD，则四边形AEDF是正方形 D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形【分析】由平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定依次判断可求解．【解答】解：如图，∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，故选项A不符合题意；若AB⊥AC，则四边形AEDF是矩形，故选项B不符合题意；若BD＝CD，则四边形AEDF不是正方形，故选项C符合题意；若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形，故选项D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，熟练掌握这些判定是解题的关键．4．（2022秋•镇海区校级期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与y＝bx﹣k（b≠0）的大致图象可以是（）A． B． C． D．【分析】根据一次函数经过的象限与系数的关系进行求解即可．【解答】解；当k＞0，b＞0时，一次函数y＝kx+b经过第一、二、三象限，一次函数y＝bx﹣k经过第一、三、四象限；当k＞0，b＜0时，一次函数y＝kx+b经过第一、三、四象限，一次函数y＝bx﹣k经过第二、三、四象限；当k＜0，b＞0时，一次函数y＝kx+b经过第一、二、四象限，一次函数y＝bx﹣k经过第一、二、三象限；当k＜0，b＜0时，一次函数y＝kx+b经过第二、三、四象限，一次函数y＝bx﹣k经过第一、二、四象限；∴四个选项只有C符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知对于一次函数y＝kx+b，当k＞0，b＞0时，一次函数y＝kx+b经过第一、二、三象限，当k＞0，b＜0时，一次函数y＝kx+b经过第一、三、四象限，当k＜0，b＞0时，一次函数y＝kx+b经过第一、二、四象限，当k＜0，b＜0时，一次函数y＝kx+b经过第二、三、四象限是解题的关键．5．（2023春•灵丘县月考）实数a在数轴上的位置如图所示，则b2-|b﹣1|​A．a﹣1 B．a+1 C．3﹣a D．﹣3﹣a【分析】结合数轴根据二次根式的性质化简代数式，然后合并同类项即可．【解答】解：由实数a、b在数轴上的位置可知，﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，∴b﹣1＞0，a﹣2＜0，∴b2-|b﹣＝|b|﹣|b﹣1|+|a﹣2|＝b﹣（b﹣1）+（2﹣a）＝b﹣b+1+2﹣a＝3﹣a．故选：C．【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟记二次根式的性质并灵活运用是解题的关键．6．（2022秋•西安期末）在平面直角坐标系中，将直线y=-12x+2沿y轴向下平移5个单位后，得到一条新的直线，该新直线与A．（0，﹣3） B．（﹣6，0） C．（4，0） D．（14，0）【分析】直接根据“上加下减”的原则得到平移后的直线的解析式，再把y＝0代入所得的解析式解答即可．【解答】解：将直线y=-12x+2沿y轴向下平移5个单位后，得到y=-12x+2﹣5=-把y＝0代入y=-12x﹣3得，0=-12解得x＝﹣6，所以该直线与x轴的交点坐标是（﹣6，0），故选：B．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．7．（2023春•东港区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝9，D为AB的中点，F是CD上一点，且CF=13CD，延长AF到E，使AF＝EF，连结BEA．6 B．4 C．7 D．12【分析】在Rt△ABC中，利用直角三角形斜边上的中线性质可得CD=12AB＝4.5，从而可得CF＝1.5，进而可得DF＝【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝9，D为AB的中点，∴CD=12AB＝∵CF=1∴CF=13×4.5∴DF＝CD﹣CF＝3，∵AF＝EF，∴点F是AE的中点，∴DF是△ABE的中位线，∴BE＝2DF＝6，故选：A．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握三角形的中位线定理以及直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．8．（2020•饶平县校级模拟）如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【分析】根据△AEF是直角三角形利用勾股定理求解即可．【解答】解：由折叠可得DF＝EF，设AF＝x，则EF＝8﹣x，∵AF2+AE2＝EF2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3．故选：A．【点评】本题考查折叠问题；找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．9．（2023•松北区一模）如图，是某工程队修路的长度y（单位：m）与修路时间t（单位：天）之间的函数关系．该工程队承担了一项修路任务，任务进行一段时间后，工程队提高了工作效率，则该工程队提高效率前每天修路的长度是（）米．A．150 B．110 C．75 D．70【分析】设工程队提高了工作效率后修路的长度y与修路时间t之间的函数关系为y＝kx+b，用待定系数法求出函数解析式，然后求出x＝2时，y的值，再根据除以2即可．【解答】解：设工程队提高了工作效率后修路的长度y与修路时间t之间的函数关系为y＝kx+b（k≠0），把（4，370）和（5，480）代入解析式得：4k+b=3705k+b=480解得k=110b=-70∴工程队提高了工作效率后修路的长度y与与修路时间t之间的函数关系为y＝110x﹣70，当x＝2时，y＝110×2﹣70＝150，∴该工程队提高效率前每天修路的长度是1502=故选：C．【点评】本题考查一次函数应用，关键是用待定系数法求函数解析式．10．（2021•菏泽二模）如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG＝30°，则下列结论正确的个数为（）（1）DC＝3OG；（2）OG=12BC；（3）△OGE是等边三角形；（4）S△AOE=16A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OG＝AG＝GE=12AE，再根据等边对等角可得∠OAG＝30°，根据直角三角形两锐角互余求出∠GOE＝60°，从而判断出△OGE是等边三角形，判断出（3）正确；设AE＝2a，根据等边三角形的性质表示出OE，利用勾股定理列式求出AO，从而得到AC，再求出BC，然后利用勾股定理列式求出AB＝3a，从而判断出（1）正确，（2）错误；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出（【解答】解：∵EF⊥AC，点G是AE中点，∴OG＝AG＝GE=12∵∠AOG＝30°，∴∠OAG＝∠AOG＝30°，∠GOE＝90°﹣∠AOG＝90°﹣30°＝60°，∴△OGE是等边三角形，故（3）正确；设AE＝2a，则OE＝OG＝a，由勾股定理得，AO=AE2∵O为AC中点，∴AC＝2AO＝23a，∴BC=12AC=12×2在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=(23a)∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3a，∴DC＝3OG，故（1）正确；∵OG＝a，12BC=3∴OG≠12BC，故（∵S△AOE=12a•3a=3SABCD＝3a•3a＝33a2，∴S△AOE=16SABCD，故（综上所述，结论正确的是（1）（3）（4）共3个．故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，设出AE、OG，然后用a表示出相关的边更容易理解．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．（2023春•沭阳县月考）当1x+3有意义时，x的取值范围是【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x+3＞0，解得：x＞﹣3，故答案为：x＞﹣3．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．12．（2022春•烟台期中）已知一次函数y＝2x+b，当x＝3时，y＝10，则该一次函数的表达式为．【分析】直接利用待定系数法求解即可．【解答】解：∵对于一次函数y＝2x+b，当x＝3时，y＝10，∴10＝2×3+b，∴b＝4，∴一次函数解析式为y＝2x+4，故答案为：y＝2x+4．【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．13．（2023•大连模拟）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，BC＝8，D是BC上的点，当∠CDA＝90°时，DB+AB的值为．【分析】根据题意画出图形，先根据勾股定理求出AC的长，再由三角形的面积公式得出AD的长，在Rt△ABD中，利用勾股定理即可得出DB的长，进而得出结论．【解答】解：如图，Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝8，∴AC=BC2∵∠CDA＝90°，∴BC•AD＝AB•AC，即AD=AB⋅ACBC=在Rt△ABD中，DB=AB∴DB+AB＝2+4＝6．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．14．（2023春•武穴市月考）已知y=2x-1-1-2x+8x，则4x+5y-6的算术平方根为【分析】根据被开方数大于等于0列式求出x的值，再求出y的值，然后代入代数式求出4x+5y-6的值，再根据算术平方根的定义解答．【解答】解：由题意得，2x﹣1≥0且1﹣2x≥0，解得x≥12且x∴x=1∴y=2x-1-1-2x+8x＝∴4x+5y-6=4×∴4x+5y-6的算术平方根是2．故答案为：2．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数，算术平方根的定义．15．（2023春•佛山月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC为边分别作正方形ACDE和正方形BCGF，若AG＝6，S△ABC＝5，则图中阴影部分的面积为．【分析】设正方形ACDE和正方形BCGF的边长分别为a，b，根据已知可得a+b＝6，然后根据三角形的面积公式可得ab＝10，最后利用正方形的面积公式，以及完全平方公式，进行计算即可解答．【解答】解：设正方形ACDE和正方形BCGF的边长分别为a，b，∵AG＝6，∴a+b＝6，∵∠ACB＝90°，S△ABC＝5，∴12AC•BC＝5∴ab＝10，∴图中阴影部分的面积为＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝62﹣2×10＝36﹣20＝16，故答案为：16．【点评】本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．16．（2022春•同心县期末）如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是．【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【解答】解：如图所示，∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为（2+3）×3，∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得：x2＝202+[（2+3）×3]2＝252，解得：x＝25．故答案为25．【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．17．（2022秋•临淄区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是．【分析】连接CM，当CM⊥AB时，DM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小值，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CM，根据三角形的中位线得出DE=12【解答】解：连接CM，当CM⊥AB时，CM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小值，理由是：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB=AC∴12AC•BC=∴12∴CM=24∵点D、E分别为CN，MN的中点，∴DE=12CM即DE的最小值是125故答案为：125【点评】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，三角形的中位线和勾股定理等知识点，熟练垂线段最短和三角形的中位线性质是解此题的关键．18．（2023•新都区模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k（x﹣1）的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，且OB＝2OA，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是．【分析】根据已知条件得到A（1，0），B（0，﹣k），因为OB＝2OA求得k＝2，所以一次函数的解析式为y＝2x﹣2，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB＝AF，根据全等三角形的性质得到AE＝OB＝2，EF＝OA＝1，求得F（3，﹣1），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，解方程组于是得到结论．【解答】解：∵一次函数y＝k（x﹣1）的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，∴B（0，﹣k），A（1，0），∵OB＝2OA，∴A（1，0），B（0，﹣2），∴OA＝1，OB＝2，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，∵∠ABC＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AB＝AF，∵∠OAB+∠ABO＝∠OAB+∠EAF＝90°，∴∠ABO＝∠EAF，∴△ABO≌△FAE（AAS），∴AE＝OB＝2，EF＝OA＝1，∴F（3，﹣1），∴3k+b=-1∴a=∴直线BC的函数表达式为：y=13x﹣故答案为：y=13x﹣【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．解答题（本大题共8小题，满分共66分）19．（每小题4分，共8分）（2022春•临高县期末）计算（1）45+8-（32+45）．（2）（2-3）2+21【分析】（1）先根据二次根式的性质进行计算（同时去括号），再根据二次根式的加减进行计算即可；（2）先根据完全平方公式，二次根式的性质和二次根式的乘法法则进行计算，再根据二次根式的加减进行计算即可．【解答】解：（1）45+8-＝45+22-42=5-2（2）（2-3）2+213×32＝2﹣26+3+23＝2﹣26+3+26＝2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．20．（5分）（2022秋•海淀区校级期末）已知a+b＝3，ab＝2，求ba【分析】先将所求根式化简，再整体代入求值即可．【解答】解：当a+b＝3，ab＝2时，ba=ab=b=ab=2=3【点评】本题考查二次根式化简求值，解题的关键是将所求二次根式化简，再整体代入求值．21．（6分）（2023春•南宁月考）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m．（1）求旗杆距地面多高处折断（AC）；（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显裂痕，将旗杆修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的风险？【分析】（1）设AC长为xm，则BC长（8﹣x）m，再利用勾股定理建立方程即可；（2）先画好图形，再求解AD，B'D，再利用勾股定理可得答案．【解答】（1）解：由题意，知AC+BC＝8m．因为∠A＝90°，设AC长为xm，则BC长（8﹣x）m，则42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3．故旗杆距地面3m处折断；（2）如图．因为点D距地面AD＝3﹣1＝2（m），所以B'D＝8﹣2＝6（m），所以AB'=B'所以距离旗杆底部周围42m【点评】本题考查的是勾股定理的实际应用，从实际问题中构建直角三角形是解本题的关键．22．（9分）（2022春•单县期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l1经过A（﹣6，0），B（0，3）两点，点C在直线l1上，点C的纵坐标为4．（1）求直线l1的函数表达式及点C的坐标；（2）若直线l1的函数表达式为y1＝k1x+b1，直线l2的函数表达式为y2＝k2x+b2，请直接写出满足y1＞y2的x的取值范围；（3）若点D为直线l1上一动点，且△OBC与△OAD的面积相等，试求点D的坐标．【分析】（1）利用待定系数法即可求得直线l1的函数表达式，把y＝4代入解析式即可求得C的坐标．（2）根据图象即可求得；（3）利用三角形面积△OBC的面积，根据题意得到S△OAD=12OA⋅|yD|＝3，即12×6×|yD|＝3，解得y＝±【解答】解：（1）设直线l1的表达式为y＝kx+b，将A（﹣6，0），B（0，3）代入得：-6k+b=0b=3解得k=1∴直线l1的表达式为y=12x当y＝4时，则4=12x+3，解得x＝∴C（2，4）；（2）观察图象，满足y1＞y2的x的取值范围是x＜2，故答案为：x＜2；（3）∵A（﹣6，0），B（0，3），C（2，4），∴OA＝6，OB＝3，∴S△OBC=12∵△OBC与△OAD的面积相等，∴S△OAD=12OA⋅|yD|＝3，即12×6×|y∴yD＝±1，∵点D为直线l1上一动点，∴D的坐标为（﹣4，1）或（﹣8，﹣1）．【点评】本题是两条直线平行、相交问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，函数与不等式的关系，解题的关键是灵活应用待定系数法，学会利用图象，根据条件确定自变量取值范围．23．（8分）（2023春•朝阳区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD中点，过点C作CF∥BD交BE的延长线于F，连接DF交AC于点G，连接CF．（1）求证：四边形DBCF是平行四边形；（2）若∠A＝30°，BC＝4，CF＝6，求四边形DBCF的面积．【分析】（1）根据“AAS”证明△CEF≌△DEB，得出CF＝BD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证明结论；（2）过点C作CH⊥AB于点H，根据直角三角形中30°角作对的直角边等于斜边的一半，求出AB＝8，根据勾股定理求出AC=43，再求出CH=2【解答】（1）证明：∵E为CD中点，∴CE＝DE，∵CF∥BD，∴∠CFE＝∠DBE，∠FCE＝∠BDE，∴△CEF≌△DEB（ASA），∴CF＝BD，∵CF∥BD，∴四边形DBCF为平行四边形；（2）解：过点C作CH⊥AB于点H，如图所示：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝8，∴AC=A∵∠AHC＝90°，∠A＝30°，∴CH=1∴S平行四边形【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．24．（8分）（2023春•福清市校级期中）为了丰富学生的生活，拓宽学生的视野，提高学生各方面的能力，某校组织八年级全体学生共540人前往某社会实践基地开展研学活动，学校若租用8辆A型客车和4辆B型客车，则恰好全部坐满．已知每辆A型客车的乘客座位数比B型客车多12个．（1）求每辆A型客车和每辆B型客车的乘客座位数．（2）为确保研学活动能够更好地展开与记录，每辆车上需有1名教师同行，学校决定调整租车方案．已知租用一辆A型客车的费用为2100元，租用一辆B型客车的费用为1500元．在保持租用车辆总数不变的情况下，为接载所有参加活动的师生，如何租用车辆可使得租车总费用最少，并求租车总费用的最小值．【分析】（1）设每辆B型客车的乘客座位数有x个，则每辆A型客车的乘客座位数有（x+12）个，根据“若租用8辆A型客车和4辆B型客车，则恰好全部坐满”列出方程，求解即可；（2）设租用A型客车m辆，则租用B型客车（12﹣m）辆，以此可列出一元一次不等式49m+37×（12﹣m）≥540+12，解得m≥9，由12﹣m≥0得m≤12，于是9≤m≤12，设租车的总费用为w（元），因此w＝600m+18000，根据一次函数的性质，结合m的取值范围即可求解．【解答】解：（1）设每辆B型客车的乘客座位数有x个，则每辆A型客车的乘客座位数有（x+12）个，根据题意得：8（x+12）+4x＝540，解得：x＝37，则x+12＝49，∴每辆A型客车的乘客座位数由49个，每辆B型客车的乘客座位数有37个；（2）设租用A型客车m辆，则租用B型客车（12﹣m）辆，根据题意可得：49m+37×（12﹣m）≥540+12，解得：m≥9，∵12﹣m≥0，∴m≤12，∴9≤m≤12，设租车的总费用为w（元），∴w＝2100m+1500×（12﹣m）＝600m+18000，∵k＝600＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝9时，w取得最小值，最小值为600×9+18000＝23400（元）．∴租用9辆A型客车，3辆B型客车可使得租车总费用最少，租车总费用的最小值为23400元．【点评】本题主要考查一次函数的应用、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，解题关键是读懂题意，根据等量关系列出方程和函数关系式是解题关键．25．（10分）（2023•黄冈一模）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝θ（0°＜θ＜90°）．连接DE，过B作BF⊥DE于F，连接AF，CF．（1）若θ＝60°，求∠BED的度数；（2）当θ变化时，∠BED的大小会发生变化吗？请说明理由；（3）试用等式表示线段DE与CF之间的数量关系，并证明．【分析】（1）θ＝60°时，△ABE是等边三角形，可得∠AEB＝60°＝∠EAB，由四边形ABCD是正方形，可求出∠AED＝∠ADE＝（180°﹣∠EAD）÷2＝15°，即得∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝45°；（2）由四边形ABCD是正方形，得∠BAD＝90°，AB＝AD，可得∠AED=180°-(90°+θ)2=45°-12θ，根据AE＝AB，∠EAB＝θ，可得∠AEB=180°-θ2=90°-12（3）过C作CG⊥CF交FD延长线于G，证明△BCF≌△DCG（AAS），得BF＝DG，CF＝CG，知FG=2CF，而△BEF是等腰直角三角形，有EF＝BF，即可证明DE=2【解答】解：（1）θ＝60°时，如图：∵AB＝AE，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB＝60°＝∠EAB，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠EAD＝∠EAB+∠BAD＝60°+90°＝150°，AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣∠EAD）÷2＝15°，∴∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝60°﹣15°＝45°；（2）当θ变化时，∠BED的大小不会发生变化，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∵∠EAB＝θ，AB＝AE，∴AE＝AD，∠EAD＝90°+θ，∴∠AED=180°-(90°+θ)2=45°∵AE＝AB，∠EAB＝θ，∴∠AEB=180°-θ2=90°∴∠DEB＝∠AEB﹣∠AED＝（90°-12θ）﹣（45°-12（3）线段DE与CF的数量关系为：DE=2CF过C作CG⊥CF交FD延长线于G，如图：∵BF⊥D