贺州市重点中学2023年数学高二年级上册期末教学质量检测试题含解析

贺州市重点中学2023年数学高二上期末教学质量检测试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.双曲线的离心率为小,焦点到渐近线的距离为20，则双曲线的焦距等于

A.2B.2&

C.4D.4V3

2.已知等差数列｛4｝的前”项和为S,,若S4=—4,S5=O,则q=（）

A.-8B.-4

C.4D.8

3.变量X,y之间的一组相关数据如表所示：若X,y之间的线性回归方程为9=%+12.28,则B的值为（）

X4567

y8.27.86.65.4

A.-O.92B.-O.94

C.-0.96D.-0.98

22

4.椭圆£:=+3=1（。〉6〉0）与双曲线C2有公共的焦点耳、B，G与在第一象限内交于点加，AM耳耳是

ab

-35一

以线段叫为底边的等腰三角形，若椭圆G的离心率的范围是，则双曲线g的离心率取值范围是。

O11

5,德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点A、5是NMON的ON边上的两个定点，

。是OM边上的一个动点，当。在何处时，NACB最大？问题的答案是：当且仅当,ABC的外接圆与边OM相切于点

C时，NACB最大.人们称这一命题为米勒定理.已知点P、0的坐标分别是(2,0),(4,0),尺是y轴正半轴上的

一动点，当/PR。最大时，点R的纵坐标为。

A.lB.逝

C.2拒D.2

22

6.双曲线乙-L=1的两个焦点坐标是()

43

A.(O,l)和(0,—1)B.(1,0)和(—1,0)

C.(o,⑺和(0,-⑺D.(S,0)和「近0)

22

7.设双曲线C:5-1=L0〉O)的左、右顶点分别为4、4,左、右焦点分别为月、F2,以耳耳为直径的圆

与双曲线左支的一个交点为P.若以44为直径的圆与直线PK相切，则△耳尸耳的面积为o

A.475B.8A/5

C.20D.40

8.直线2x+3y+6=0在y轴上的截距是

A.2B.3

C.-3D.-2

9.1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题解法传至欧洲，西方人称之为“中国剩余定理”.现

有这样一个问题：将1到200中被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an},则an=

()

A.130B.132

C.140D.144

10.已知A,5是圆。：/+丁=i上的两点，尸是直线%一丁+相=。上一点，若存在点A,B,P,使得PA_LPB,

则实数加的取值范围是()

A.[-1,1]B.[-2,2]

C.[-72,72]D.[-272,272]

11.已知抛物线的方程为：/=2x,则此抛物线的准线方程为（）

1„1

A.x——B.x——

22

12.已知双曲线C：「—工=1（。〉0,。〉0）的右焦点为口，过R的直线4%+3，+%=。（机为常数）与双曲线。

ab

在第一象限交于点P.若|OP|=|。8（。为原点），则C的离心率为（）

15

A.-B.-

57

7

C.-D.5

5

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知“€火，若=+在区间（0,1）上有且只有一个极值点，则”的取值范围是

14.如图，四边形ABEF为直角梯形，AFIIBEABELEF,CDFE为正方形,且平面CEED_L平面ABEF,

EF=AF=2BE=2,AP=^AB,DQ=，贝!1,直线尸。与平面AC。所成角的正弦值为

15.已知双曲线C的左、右焦点分别为片,B，右顶点为A,P为双曲线。上一点，且科=|尸月线段「耳的垂直

平分线恰好经过A点，则双曲线C的离心率为

16.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线。：％2+丁=1+国丁就是其中之一（如图）.给出下列三个结论:

其中，所有正确结论的序号是

①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过0；

③曲线C所围城的“心形”区域的面积小于3

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）设函数〃力==，

e

（1）求的最大值;

（2）求证：对于任意恒成立.（参考数值：e=2.71828…）

x€（1.7）,ei--t+三<

18.（12分）已知双曲线C：三—斗=1（a>0,Z?>0）的一条渐近线的方程为&x-2y=0,双曲线C的右焦

点为歹（3,0）,双曲线C的左、右顶点分别为A,B

（1）求双曲线C的方程；

（2）过右焦点F的直线/与双曲线C的右支交于P,。两点（点尸在x轴的上方），直线AP的斜率为左一直线8。的

斜率为心，证明：3为定值

19.（12分）已知命题小方程上一+工=1的曲线是焦点在y轴上的双曲线;命题4方程4f+4（加一2）x+l=0

2-mm-1

无实根.若P或g为真，「g为真，求实数，〃的取值范围.

20.（12分）如图，在长方体A3CD-AB'C'D'中，底面是边长为1的正方形，侧棱长为2,且动点尸在线段AC上

运动

（1）若。为AE的中点，求点0到平面AC。'的距离;

(2)设直线B'P与平面ACD'所成角为。，求sine的取值范围

21.(12分)如图，在四棱锥P—ABCD中，平面4BC。，底面ABC。是直角梯形，ZADC=ZDCB=90°,

PA=BC=3,AZ)=2,ZABC=60°,E为侧棱24包含端点上的动点.

2

(1)当=时，求证PC〃平面应更；

3

(2)当直线鸵与平面C0E所成角的正弦值为一时，求二面角3-DE-C的余弦值.

4

22.(10分)如图，在梯形ABC。中，AB//DC,ZABC=60，/C,平面ABC。，四边形ACFE为矩形，点”

为线段所的中点，且的>=8=5。=1

(1)求证：平面5cM_1_平面AMC；

(2)若平面与平面EC3所成锐二面角的余弦值为好，则三棱锥F-45c的体积为多少？

5

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】不妨设双曲线方程为fo>0)

则e=£=若,即0=后，设焦点为(c,0),渐近线方程为y=2x,

aa

匠I

则］==b=2V2,又片=c1—a1=8,

y/a2+b2c

解得a=2,c=2y/3.则焦距为4G.选：D

2、B

【解析】根据$5=5%和4=S5-S,可求得色,生，结合等差数列通项公式可求得用.

【详解】设等差数列｛4｝公差为d,

由S5=(1—0=5%=。得：。3=°；又。5=$5-54=4，

2d=%一%=4,二♦q=%—2d=0—4=—4.

故选：B.

3、C

【解析】本题先求样本点中心，再利用线性回归方程过样本点中心直接求解即可.

-4+5+6+7「「—8.2+7.8+6.6+5.4

【详解】解:x=--------------=5.5,=7,

4y=----------------------

所以样本点中心：(5.5,7),

线性回归方程夕=%+12.28过样本点中心(5.5,7),则7=5.53+12.28

解得：b=-0,96.

故选：C

【点睛】本题考查线性回归方程过样本点中心，是简单题.

4、B

【解析】求得骂|=|4阊=2c，可得出a—机=2c,设椭圆和双曲线的离心率分别为/、02,可得，=2,

eie2

35

由g<,〈一可求得出的取值范围.

811

【详解】设忖用=2c,设双曲线C2的实轴长为2%,

因为G与。2在第一象限内交于点〃，△“耳工是以线段叫为底边的等腰三角形，

贝！||四|=|6闾=2c,由椭圆的定义可得|阿|=2a—2c,由双曲线的定义可得|孙|=2加+2c,

所以，2a—2c=2m+2c,则a—m=2c,

nmI1

设椭圆和双曲线的离心率分别为/、%则3一」=2,即-----=2,

cc54

3511cl2「3一

因＜一，则一=---2e，故%e-,5.

811e2弓[53j\_2J

故选：B.

5、C

【解析】由题意，借助米勒定理，可设出坐标，表示出PQR的外接圆方程，然后在求解点R的纵坐标.

【详解】因为点尸、0的坐标分别是（2,0）,（4,0）是X轴正半轴上的两个定点，点尺是y轴正半轴上的一动点，

根据米勒定理，当-PQ?的外接圆与y轴相切时，NPRQ最大,由垂径定理可知，弦PQ的垂直平分线必经过一PQR

的外接圆圆心，所以弦PQ的中点为（3,0）,故弦PQ中点的横坐标即为一PQR的外接圆半径，即厂=3,由垂径定

理可得，圆心坐标为（3,20）,故PQR的外接圆的方程为（x-3）2+（y-=9,所以点R的纵坐标为（0,272）.

故选：C.

6、C

【解析】由双曲线标准方程可得到焦点所在轴及半焦距的长，进而得到两个焦点坐标.

22_________

【详解】双曲线：一（=1中，a=2,b=6则0=，7万=，洋=有

22

又双曲线焦点在y轴，故双曲线；=1的两个焦点坐标是仅，⑺和（0,-77）

故选：C

7、C

【解析】据三角形中位线可得忸用；再由双曲线的定义求出忸用|,进而求出△耳P8的面积

22_

【详解】双曲线C的方程为：3-a=1,（6〉0）,.•.0=6，

设以A4为直径的圆与直线PK相切与。点，贝l|OQ|=若，且尸片，尸乙，

OQLPF2,：.OQ//PFX.

又。为耳耳的中点，.•」尸用=2|。0=2右,

又陷卜附=24=2心，「.|*=46,

•••片2月的面积为：SFtPF2=1|Pf；|x|P^|=|x2A/5x4^=20.

故选:C

8、D

【解析】在y轴上的截距只需令户0求出y的值即可得出.

【详解】令x=0,则尸-2,即直线在y周上的截距为-2,

故选D.

9,A

【解析】分析数列｛%｝的特点，可知其是等差数列，写出其通项公式，进而求得结果，

【详解】被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，这样的数构成首项为10,公差为12的等差数

列，

所以q=10+12(“-1)=⑵-2,

故%i=10+12(11—1)=130,

故选:A.

10、B

【解析】确定P在以A3为直径的圆上，|。。『+|立4「=1,根据均值不等式得到圆。上的点到。的最大距离为行，

得到d=是W0,解得答案.

【详解】PA1PB,故P在以A3为直径的圆上，设A3中点为£>,贝！十|2M『=匕

圆C上的点到。的最大距离为|。。|+|八4|,

\DO\+|DA|<^2(|DO|2+|DA|2)=6,当口@=0川=曰时等号成立.

1ml/—

直线尤—y+m=0到原点的距离为4=达《戊，故—24加〈2.

故选:B.

11、A

【解析】由抛物线的方程直接写出其准线方程即可.

【详解】由抛物线的方程为/=2x,则其准线方程为：x=

故选：A

12、D

IT

【解析】取双曲线的左焦点可，连接PF]，计算可得/OPR+ZOPF=1,即，PF.

f3

^\PF\=t,则一二广广tanZP^F=^—：=-,解得：t=6a,利用勾股定理计算可得10。=2c,即可得

出结果.

【详解】取双曲线的左焦点耳，连接「耳,|0尸|=|°目=1°闻，则/尸耳O=NOP£，NPFO=NOP£

IT

因为/PRO+NOPF]+NPFO+/OPF=兀，所以/。2耳+NQP尸=,,即尸耳，尸尸.

,__4._3

kpFkpR-W・

f3

设伊耳=/,则伊5|「2u+广tan/PKE=三解得：r=6a.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、（0,+“）

【解析】求导得/'（力=马（加+%-1）,进而根据题意g（x）=/+x—1在（0,1）上有且只有一个变号零点，再根

X

据零点的存在性定理求解.

【详解】解：/（X）=^（«x2+x-l）,

V〃龙）在区间（0,1）上有且只有一个极值点，

g（x）=cvc+x—1在（0,1）上有且只有一个变号零点，

.\g（0）-g（l）<0,解得a>0

.•・〃的取值范围是（0,+。）.

故答案为：（0,+。）

14、①.晅.

3130

【解析】以点R为坐标原点，FE,FD,E4所在直线分别为左轴，V轴，z轴建立空间直角坐标系,根据空间向量

的线性运算求得向量PQ的坐标，由此求得忖。|,由线面角的空间向量求解方法求得答案.

【详解】解：以点R为坐标原点，FE,FD,E4所在直线分别为％轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如下图所

示）

由题意可知4(0,0,2),5(2,0,1),£)(0,2,0),C(2,2,0)

1212］，2，-|），故闸=等

因为AP=§A3,DQ^-DC,所以PQ=PA+AD+DQ=gBA+AD+gDC=

m-AD=2y-2z=0,*,,小，八

设平面AC。的法向量为加=（九,y,z）,贝卜”,令y=l,得加=(0,1,1)

m-DC=2x=Q,'7

?_5

/nc\POm3A/T30闹

因为cos(p。,加)二^r--反所以直线PQ与平面ACE）所成角的正弦值为Y四

9x0130130

3

故答案为：叵7130

3130

【解析】在△以用中求出cosNP与A,再在△尸耳鸟中求出cosNP^A,即可得到。,。的齐次式，化简即可求出离

心率

22

【详解】设双曲线C：=―1=1,G（―c,0）,月（c,0）,不妨设P为双曲线。右支上一点

ab

因为线段时的垂直平分线恰好经过A点，K|B4|=|PK|.所以|州|=|24|=归阊=a+c,

在△以居中，|班卜c—a,所以，g（c—a）,

121cosAPFA~----------

2a+c

在但中，|?制=|尸阊+2a=3a+c,所以，COS/PMAM'/+S+C）-0：+。），

2X2CX（（7+C）

因此，2（'—“）—4c2+（。+。『一（3。+镇,化简得，2c2一2ac—8a2=0,即e?—e—4=0,而e>l,解得

a+c2x2cx（a+c）

1+717

e=---------

2

故答案为：邛

16、①②

【解析】根据题意，先判断曲线。关于y轴对称，由基本不等式的性质对方程变形，得到炉+/<2,可判定①正确;

当了之0时，V+y2<2,得到曲线c右侧部分的点到原点的距离都不超过3,再根据曲线。的对称性，可判定②

正确；由X轴的上方，图形的面积大于四点围成的矩形的面积，在X轴的下方，图形的面积大于三点围成的三角形的

面积，可判断③不正确.

【详解】根据题意，曲线Cj2+y2=l+Wy,

用(-x,y)替换曲线方程中的(x,y),方程不变，所以曲线。关于y轴对称,

22

对于①中，当％之0时，x2+y2=l+\^\y,即为。：—+,2=]+孙<]+王首，

可得/+丁<2,所以曲线经过点(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1),

再根据对称性可知，曲线还经过点(-1,。),(-1/)，故曲线恰好经过6个整点，所以①正确；

对于②中，由①可知，当时，%2+/<2,即曲线。右侧部分的点到原点的距离都不超过0,再根据曲线C

的对称性可知，曲线C上任意一点到原点的距离都不超过0,所以②正确；

对于③中，因为在x轴的上方，图形的面积大于四点(-1,0),(LO),(LD,(-1/)围成的矩形的面积1x2=2,在x轴的

下方，图形的面积大于三点(一1,0),(1,0),(0,-1)-围成的三角形的面积^x2xl=l,所以曲线。所围城的“心形”区域

2

的面积大于3,所以③不正确.

故选：①②

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)-

e

(2)证明见解析

【解析】(1)求出龙)，讨论其导数后可得原函数的单调性，从而可得函数的最大值.

113—x113—x

(2)先证明任意的％e[5,7)，总有e」，+7=<——,再利用放缩法和换元法将不等式Xe(1,5),65+7=<--

成立问题转化为任意te(1,逐),/+2/--5<0恒成立，后者可利用导数证明.

【小问1详解】

当X<1时，ru)<o；当1>1时，ru)>o,

故/(x)在(f,1)上为增函数，在(1,+8)上为减函数,

故G寸⑴=：.

【小问2详解】

‘故当时，一1+£<段*1+小

因为生j+M

x+5x+5

113—%,4

即nn一<-----<-,

2x+55

而、在叵7)为减函数,

「、i111111

故在[5,7)上有ex+耳,/+石</+*=万

]13—x

故任意的九目5,7),总有e5+7=<M—.

7XD十九

]13—x

要证任意X€(1,7),e-+下<--恒成立,

x+5

113—x

即证：任意%£(1,5),。1十一尸<一二恒成立,

y/XX+5

即证：任意xe(l,5),xe5+«<””一犬恒成立,

x+5

由(1)可得,任意xe(l,5),有无仁<厂即xe』<1，

1Q2.

故即证：任意xe(1,5)』+4gx恒成立,

x+5

设t=G,即证：任意fe(1,两,1+/W:恒成立,

t+5

即证：任意tw(1,b),〃+户—12〃+5/+5W0恒成立，

即证：任意te(1,y/5),(/-l)(r3+2/—10.—5)〈。恒成立，

即证：任意te(1,75),6+2〃—107—5W0恒成立，

设g«)=/3+2产一io,—5,1</<君，

则g'(f)=3产+4/—10,而g'(f)在为增函数，

g'⑴=—3<0,g'(逐)=5+4如>0,故存在%©(1,若)，使得g&)=0，

且1</</O时，g'⑺<0,才0</<6时，g'(r)>0,

故g(f)在。为)为减函数，在卜0，6)为增函数，

故任意/e(l，司，总有g(f)<max[g⑴,gM)}=max{-12,5-5句<0,

故任意xe(1,5),1+JI<13x-x恒成立,

x+5

113-x

所以任意xe(1,7),e1+—尸<--恒成立.

7xx+5

【点睛】思路点睛：不等式的恒成立，可结合不等式的形式将其转化为若干段上的不等式的恒成立，在每段上可采用

不同的方式(导数、放缩法等)进行处理.

22

18、(1)---=1；

45

(2)证明见解析.

【解析】(1)由题可得c=3,2=好，即求；

a2

(2)由题可设直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理法即证

【小问1详解】

由题意可知在双曲线C中，c=3,2=45,c2=*4a2+b2,

a2

a=2,

解得厂

[b=45,

22

所以双曲线c的方程为L—匕=1；

45

【小问2详解】

证法一：由题可知4(—2,0),5(2,0),

设直线/：丁=左(％-3),产(石,%),。(%2，%)，

由得(5—4左2)尤2+24左2%—36左2—20=0,

5%2-4/=20、)

24k23642+20

贝!IX]+%2=>0,>0,

442一54k2-5

•k.=^-

,■1%+2

kx_yx(x2-2)_(玉-3)(X2-2)_-2^-3x2+6_玉%—3(玉+々)+再+6

k2%(再+2)3)(石+2)石工2-3%]+2尤2—6^x2-3(^+x2)+5x2-6

2

36左2+20394左2।24k

-%+6

4/—54左2—54k2—5

36左2+203々4)

+5%2—6

4k2-54k2-5

12k2-101242—10

4Jf

442—51

50—60小(12左2一1()25;

+5%_5

4左2—514左2—5

k,1

当直线,的斜率不存在时,/e3,此时广行

综上，口为定值

k2

证法二：设直线PQ方程为％=冲+3,P（玉,%），。（42，%），

x=my+3,/

联立得22整理得(5,im2-4)/+30my+25=0,

[5x2-4y2=20,、

由过右焦点F的直线/与双曲线C的右支交于P,。两点,

5m2-4w0,

—30m

>0,

5m2-42

则解得0＜相＜而，

25

<0,

5m2-4

A=(30m)2—4x25x(5疗—4)〉0,

-30m25yt+y2_-30m65/、

…=方可x京二，不”根，如m=_石5+乂）

25

%

由双曲线方程可得4（—2,0）,6（2,0）,k、=%

x1+2"2’

•/x—my+3,・•.%2-2=+1，+2=myl+5,

15

k}=X(-2)=x(/n%+l)=祇X4+X+y6M1

ky2a+2)%(冲i+5)myy+5y5/、u525

2x22%(%+%)+5%+至为5

证法三：设直线产。方程为了=切+3,P（x2,y2）,

x=my+3,/

联立得四十=20整理得Gim2-4)y2+30my+25=0,

由过右焦点尸的直线/与双曲线C的右支交于P,。两点,

5m2-4w0,

-30m八

—；——>0.

5m2-42

解得0cm<

则「。忑'

5m"-4

A=（30m）2—4x25x（5疗—4）〉0,

-30m25

,由双曲线方程可得4(—2,0),5(2,0),

7+%=才赢’为3"茄二

2

5,

KlKpB_X-2

/+2%—2x1-4

k[_5

所以占=1，

^BP左24kpB•k2"

25

^BP・左2二、.%=3V2=5/-4

X,-2%2-2(加％+1)(旭为+1)加%为+根(y+%)+1

25

_5相2425

-22

22530m25m2—30m+5m—44

m----------\-m-------Fl

5m—45m—4

^=2xf.n=.i

:.h4I25J5为定值

19、[3,+oo).

【解析】计算命题p：m>2；命题夕：1<加<3；根据,或q为真，「夕为真得到〃真4假，计算得到答案.

22

【详解】若方程^—+上=1的曲线是焦点在丁轴上的双曲线，

2—mm—1

m-l>0m>1

则满足,即<c，即机>2,即夕：加>2

2-m<0m>2

若方程4f+2(m—2卜+1=0无实根，则判别式,=16(m—2)2-16<0,

BP（m-2）2<1,得一l<〃z—2<1,BP1<m<3>即q:l<〃z<3

若F为真，则q为假，同时若0或q为真，则。为真命题,

m>2

即《，得加》3,即实数m的取值范围是[3,+8）.

m>3或m<1

【点睛】本题考查了命题的真假计算参数范围，根据条件判断出。真q假是解题的关键.

475472

20、(1)1(2)1T，丁

【解析】（1）以AHAD,AA为无，y,z轴正向建立直角坐标系，利用空间向量法求出平面ACD'的法向量，结合点

到平面的距离的向量求法计算即可；

⑵设点P（〃加,0）,me[0,1],进而得出"尸的坐标，利用向量的数量积即可列出线面角正弦值的表达式，结合二

次函数的性质即可得出结果.

【小问1详解】

由题意，分别以A5,AD,A4'为x,y,z轴正向建立直角坐标系，

于是A（O,O,O）,9（1,0,2）,C（l,l,0）,。'（0,1,2）

AC=（1,1,0）,AD，=（0,1,2）,设平面ACD，法向量〃=（无,y,z）

ACn=Qx+y=0

所以《,解得％=—y,y=-2z,

AD'n=0y+22=0

令2=1得〃=(2,—2,1),AQ=(；,0,2

\AQ-n\1+2

设点。到平面AC。的距离为d,=--=1

\n\3

由尸点在线段AC上运动可设点P（机机,0）,me[0,1]

/八B'Pn

于是5/=(m—1,八—2)sin9=cos(BrP,n)=---

'/BfP\\n

|2/TI—2—2m—4

3d(m-1)2+加2+43,2加2-21n+5

r「4、六4A/2

加£[ro,l]所以，sin。的取值范围是七，爸

21、（1）证明见解析；（2）叵.

5

【解析】（1）连接AC交班）于。，连接OE,证得OE//PC,从而证得PC〃平面瓦定；

（2）过A作AELBC于R,以A为原点，建立空间直角坐标系A—EDP,设AE="（0VaW3）,求面COE的法向

3

量，由直线3E与平面C0E所成角的正弦值为一，求得。的值，再用向量法求出二面角3-DE-C的余弦值.

4

【详解】解：（1）连接AC交于。，连接OE,

VAE^-AP,；.OEUPC,