河北省邯郸市大名县第一中学高三上学期第十二周周测数学试题

高三第十二周周考数学试题命题人：一、单选题1．直线的倾斜角为（）A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不存在2．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．3．在直角三角形中，，，，以边所在直线为旋转轴，将该直角三角形旋转一周，所得几何体的体积是（）A． B． C． D．4．直线恒过一定点，则该定点的坐标（）A． B． C． D．5．如图，在正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论不正确的为（）A．平面平面B．平面C．D．平面6．已知过点的直线与直线的交点位于第一象限，则直线的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．7．三棱锥的三条侧棱互相垂直，且，则其外接球上的点到平面的距离的最大值为（）A． B． C． D．8．已知三条不重合的直线,两个不重合的平面,下列四个命题中正确的是()A．若,,且,则B．若,则C．若，,则D．若,，则9．如图所示，三棱台中，沿面截去三棱锥，则剩余部分是（）A．三棱锥B．四棱锥C．三棱台D．四棱台10．如图，在正方体中，点在面对角线上运动，给出下列四个命题：①平面；②；③平面平面；④三棱锥的体积不变.则其中所有正确命题的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④二、多选题11．如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点是圆周上异于，任一点，则下列结论中正确的是()A．B．C．平面D．平面平面12．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（）A．在棱上存在点M，使平面B．异面直线与所成的角为90°C．二面角的大小为45°D．平面三、填空题13．已知是两两不等的实数，点，点，则直线的倾斜角为14．如图，在正四面体中，分别为的中点，是线段上一点，且，若，则的值为_______．15．已知四棱锥，底面为正方形，平面，，，球与四棱锥的每个面都相切，则球的半径为______．16．如图，在四面体中，二面角的大小为，△、△都是腰长为1等腰直角三角形，且，，则A，C两点间的距离是________四、解答题17．如图，在以A、B、C、D为顶点的多面体中，四边形是边长为2的正方形.平面，，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值.18．已知数列的前项和.（1）证明是等差数列，并求的通项公式；（2）设的前项和是，求证.高三第十二周周考数学试题一、单选题1．直线的倾斜角为（）A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不存在【答案】C【解析】【分析】设直线的倾斜角为，由斜率的概念可得，即可得解.【详解】设直线的倾斜角为，由直线的斜率可得，所以该直线的倾斜角为钝角.故选：C.【点睛】本题考查了由直线斜率确定倾斜角的范围，考查了运算求解能力，属于基础题.2．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线与所成角的余弦值.【详解】以为原点建立空间直角坐标系，如图所示，依题意，所以，设异面直线与所成角为，则.故选：C【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的余弦值的计算，属于基础题.3．在直角三角形中，，，，以边所在直线为旋转轴，将该直角三角形旋转一周，所得几何体的体积是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据圆锥的定义以及圆锥的体积公式即可求出．【详解】根据题意以及圆锥的定义可知，将该直角三角形旋转一周，所得几何体为圆锥，底面半径为，高为，所以其体积为.故选：C．【点睛】本题主要考查圆锥的定义以及圆锥的体积公式的应用，属于容易题．4．直线恒过一定点，则该定点的坐标（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】合并同类项后确定定点坐标.【详解】由得，所以，解得，所以定点坐标为.故选：B【点睛】本小题主要考查直线过定点，属于基础题.5．如图，在正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论不正确的为（）A．平面平面 B．平面C． D．平面【答案】B【解析】【分析】根据正方体中的线面关系、面面关系，逐项判断，即可得出结果.【详解】因为在正方体中，易知，，平面，平面，，所以平面，又平面，从而平面平面，A正确；因为平面即为平面，而点P为线段上的动点，所以不能满足恒成立，因此不一定垂直平面，即平面不一定成立；故B错；因为正方体中，平面，所以，所以当点P在线段上运动时，始终有，所以C正确；因为在正方体中，平面平面，而平面，所以平面，D选项正确；故选：B.【点睛】本题主要考查线面、面面垂直或平行关系的判定，属于常考题型.6．已知过点的直线与直线的交点位于第一象限，则直线的斜率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】直线y＝－x＋2与两坐标轴的交点设为A(0，2)，B(2，0)，利用直线和的斜率表示可得结果.【详解】直线y＝－x＋2与两坐标轴的交点设为A(0，2)，B(2，0)，如图：设直线的斜率为，则，，要使两直线的交点位于第一象限，只需k满足：，即－<k<.故选：A【点睛】本题考查了直线的斜率公式，属于基础题.7．三棱锥的三条侧棱互相垂直，且，则其外接球上的点到平面的距离的最大值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】空间四个点在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，则PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点的球面即为的正方体的外接球,球的直径即是正方体的对角线,长为，球心O到平面ABC的距离为体对角线的,即球心O到平面ABC的距离为.其外接球上的点到平面ABC的距离的最大值为：.故选B.点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．8．已知三条不重合的直线,两个不重合的平面,下列四个命题中正确的是()A．若,,且,则B．若,则C．若，,,则D．若,，则【答案】A【解析】【分析】利用垂直于同一直线的两平面平行判断A是否正确；根据线面平行的判定定理判断B是否正确；根据面面平行的判定定理判断C是否正确；根据面面垂直的性质定理判断D是否正确.【详解】∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α，∵m⊥β，∴α∥β，A正确；∵m∥n，n⊂α，有可能m⊂α，∴B错误；∵m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，m、n不一定相交，∴α、β不一定平行；C错误；根据面面垂直的性质判断D错误；故选A．【点睛】本题考查空间中线面平行与垂直关系的判定，以及平面与平面平行的判定，要特别注意定理的条件．9．如图所示，三棱台中，沿面截去三棱锥，则剩余部分是（）A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱台 D．四棱台【答案】B【解析】【分析】根据棱锥的定义和空间结合体的结构特征，即可求解，得到答案.【详解】由题意知，三棱台中，沿面截去三棱锥，则剩余部分是四棱锥，故选B.【点睛】本题主要考查了棱锥的定义及其判定，其中解答中熟记棱锥的定义，以及空间几何体的结构特征是解答的关键，着重考查了空间想象能力，属于基础题.10．如图，在正方体中，点在面对角线上运动，给出下列四个命题：①平面；②；③平面平面；④三棱锥的体积不变.则其中所有正确命题的序号是（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【答案】C【解析】【分析】由面面平行的判定与性质判断①正确；由特殊点可以说明②错误；由线面垂直的判定及面面垂直的判定判断③正确；利用等积法说明④正确．【详解】对于①，连接，，可得，，∴平面平面，从而有平面，故①正确；对于②，连接，可知是等边三角形，三角形内角为，所以所成角为，所以当点与重合时，不满足，故②错误；对于③，连接，由且，可得平面，又平面，由面面垂直的判定知平面平面，故③正确；对于④，容易证明，从而平面，故上任意一点到平面的距离均相等，∴以为顶点，平面为底面，则三棱锥的体积不变，故④正确．∴正确命题的序号是①③④．故选：C．【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查空间几何元素位置关系的证明，考查三棱锥的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、多选题11．如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点是圆周上异于，任一点，则下列结论中正确的是()A． B．C．平面 D．平面平面【答案】BD【解析】【分析】由题意结合线面垂直的性质及平面几何知识可得、，再由线面垂直的判定、性质可判断B，由面面垂直的判定可判断D；结合线面垂直的判定、性质可判断A、C；即可得解.【详解】因为垂直于以为直径的圆所在的平面，所以，，又点是圆周上异于，任一点，所以，对于A，若，则可得平面，则，与矛盾，故A错误；对于B、D，可知平面，所以，由平面可得平面平面，故B、D正确；对于C，由与不垂直可得平面不成立，故C错误.故选：BD.【点睛】本题考查了线面、面面垂直的判定与性质的应用，关键是熟练掌握性质定理和判定定理，属于基础题.12．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（）A．在棱上存在点M，使平面B．异面直线与所成的角为90°C．二面角的大小为45°D．平面【答案】ABC【解析】【分析】根据线面垂直的判定及性质定理一一验证可得.【详解】解：如图，对于，取的中点，连接，∵侧面为正三角形，，又底面是菱形，，是等边三角形，，又，，平面，平面，故正确.对于，平面，，即异面直线与所成的角为90°，故正确.对于，∵平面平面，，平面，，是二面角的平面角，设，则，，在中，，即，故二面角的大小为45°，故正确.对于，因为与不垂直，所以与平面不垂直，故错误.故选：【点睛】本题考查线面垂直的判定及异面直线所成的角，属于基础题.三、填空题13．已知是两两不等的实数，点，点，则直线的倾斜角为_________.【答案】【解析】试题分析：因为直线经过，点两点，所以直线的斜率，所以直线的倾斜角为.考点：直线的斜率与倾斜角.14．如图，在正四面体中，分别为的中点，是线段上一点，且，若，则的值为_______．【答案】【解析】【分析】利用基向量表示,结合空间向量基本定理可得.【详解】所以，所以.【点睛】本题主要考查空间向量的基本定理，把目标向量向基底向量靠拢是求解的主要思路.15．已知四棱锥，底面为正方形，平面，，，球与四棱锥的每个面都相切，则球的半径为______．【答案】【解析】【分析】计算出四棱锥的表面积，利用等体积法计算出球的半径.【详解】依题意底面为正方形，平面，所以，由于，所以平面，平面，所以，设内切球的半径为，，四棱锥的表面积，则有，解得．故答案为：【点睛】本小题主要考查几何体内切球的有关计算，属于基础题.16．如图，在大小为45°的二面角中，四边形，都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是________【答案】【解析】【分析】利用空间向量的线性运算以及向量模的求法即可求解.【详解】，，.故答案为：【点睛】本题考查了空间向量的线性运算、空间向量模的求法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.四、解答题17．如图，在以A、B、C、D为顶点的多面体中，四边形是边长为2的正方形.平面，，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）记线段的中点M，方法一：通过证明四边形为平行四边形，进而可得，即可证得结论；方法二：证明面面，进而证得结论.（2）以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系.分别求得法向量，通过，进而可求得正弦值.【详解】（1）解法1：记线段的中点M，连接，.，，且.四边形为平行四边形，，.，；，.四边形为平行四边形，.又面，面，面（2）以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系.则，，，，，，.设平面的法向量为，则，.令，则，.为平面的一个法向量.易得为平面的一个法向量.设二面角的大小为，则.，即二面角的正弦值为.解法2：（1），面，面.同理，，面，面.又，面面.又面，面.（2）同解法1.【点睛】本题考查线面平行证明，考查向量法求二面角，考查计算能力，属于基础题.18．已知数列的前项和，若不等式对恒成立.（1）证明是等差数列，并求的通项公式；（2）求实数的取值范围；（3）设，求数列的前项和.【答案】（1）见解析，；（