2024届江西省九江市高考二模数学试题（含答案与解析）

秘密★启用前

九江市2024年第二次高考模拟统一考试

业,、忆

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试题卷

上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

人人A=-2<x<4}B=yx\x-6.”叫，则AB=

1.若集合1（)

A.[-2,0]B.[0,4]C.[-2,6]D.[4,6]

2+i

2.已知z=——，则z=（)

1-i

33.33.13.13.

A.—+—1B.-------1C.-+-1D.-------i

22222222

3.若函数/（x）=ln（G；+l）在（1,2）上单调递减，则实数。的取值范围是（）

A.仁一丁。]D.[―1,0）

4.第14届国际数学教育大会（ICME-InternationalCongreasofMathematicsEducation）在我国上海华

东师范大学举行.如图是本次大会的会标，会标中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦——3、7、4、

4,这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是3x83+7x82+4xg+4x8°=2020,正是会议

计划召开的年份，那么八进制771：卫换算成十进制数，则换算后这个数的末位数字是（）

10个7

A.1B.3C.5D.7

5.在正方体ABCD—A4GR中，。为四边形的中心，则下列结论正确的是（）

A.A0//BC,B.AOVBD

C.平面平面CO。D.若平面AOB平面COD=1,贝I///平面BQD

,cos(a-/)=,，tancif-tan,则1+/=()

6.已知

兀兀兀2兀

A-B.一C.—D.—

3463

7.在平面直角坐标系xQy中，已知双曲线C：'=1（。>8>0）的右焦点为/（、后,0）,尸为C上一

点，以OP为直径的圆与C的两条渐近线相交于异于点。的M,N两点,若|9卜归叫=《，则C的离心率

为（）

A.巫B.C.-D.75

232

8.已知一个圆台内接于球。（圆台的上、下底面的圆周均在球面上）.若该圆台的上、下底面半径分别为1

和2,且其表面积为（5+30）兀，则球。的体积为（）

32兀2a非兀50兀

B.5兀

-3-3

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.射击作为一项综合运动项目，不仅需要选手们技术上过硬，更需要他们在临场发挥时保持冷静和专注.

第19届亚运会在我国杭州举行，女子10米气步枪团体决赛中，中国队以1896.6环的成绩获得金牌，并创

造新的亚洲纪录.决赛中，中国选手黄雨婷、韩佳予和王芝琳在最后三轮比赛中依次射击，成绩（环）如下：

黄雨婷韩佳予王芝琳

第4轮1055106.2105.6

第5轮106.5105.7105.3

第6轮105106.1105.1

则下列说法正确的是

A.三轮射击9项成绩极差为1.5

B.三轮射击成绩最好的一轮是第五轮

C.从三轮射击成绩来看，黄雨婷射击成绩最稳定

D.从三轮各人平均成绩来看，韩佳予表现更突出

10.已知抛物线。：丁=2m(0>0)的焦点为P，。为坐标原点，动点P在C上，若定点“(2,、/^满足

|屿=2研则()

A.。的准线方程为x=—2B.△尸A3周长的最小值为5

1T

C.直线上田的倾斜角为一D.四边形不可能是平行四边形

6

11.已知函数了(%)的定义域为R,/(个)+町=4(丁)+才(力，则下列命题正确的是()

A.7(%)为奇函数B./(%)为R上减函数

/1\110

C.若.0,则引一+—/(x)为定值D.若"2)=2,则\>(*=2046

xk=l

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.为助力乡村振兴，九江市教科所计划选派5名党员教师前往5个乡村开展“五育”支教进乡村党建活动，

每个乡村有且只有1人，则甲不派往乡村A的选派方法有种.

13.欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这

条线称之为三角形的欧拉线.已知4(0,2),B(4,2),C(a,—1),且一ABC为圆/+丁+&+妤=。内接

三角形，则一ABC的欧拉线方程为.

22

14.在中，角A,B,C所对边分别为a,b,c.已知A,B,C成等差数列，a+c^4,则

面积的最大值是,(4sinAsinC+3)Z?2=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15.己知函数〃％)=(2%-。)111(%-1)+/?(。/€2在彳=2处的切线方程为3%-丁-2=0

(1)求。，b的值；

(2)判断了(%)的单调性.

16.2023年10月10日，习近平总书记来到九江市考察调研，特别关注生态优先，绿色发展.某生产小型污水

处理设备企业甲，原有两条生产线，其中1号生产线生产的产品优品率为0.85,2号生产线生产的产品优品

率为0.8.为了进一步扩大生产规模，同时响应号召，助力长江生态恢复，该企业引进了一条更先进、更环保

的生产线，该生产线(3号)生产的产品优品率为0.95.所有生产线生产的产品除了优品，其余均为良品.引

进3号生产线后，1,2号生产线各承担20%的生产任务，3号生产线承担60%的生产任务，三条生产线生

产的产品都均匀放在一起，且无区分标志.

(1)现产品质检员，从所有产品中任取一件进行检测，求取出的产品是良品的概率；

(2)现某企业需购进小型污水处理设备进行污水处理，处理污水时，需几台同型号的设备同时工作.现有

两种方案选择：方案一，从甲企业购进设备，每台设备价格30000元，可先购进2台设备.若均为优品，则

2台就可以完成污水处理工作；若其中有良品，则需再购进1台相同型号设备才能完成污水处理工作.方案

二，从乙企业购进设备，每台23000元.需要三台同型号设备同时工作，才能完成污水处理工作.从购买费

用期望角度判断应选择哪个方案，并说明理由.

17.如图，三棱锥尸―ABC中，3cl平面PAC,BC=G，AC=3,PBf，点E满足AE=2EC，

PE=1.

(1)证明：平面？BE，平面ABC；

(2)点。在A5上，且5ELCD,求直线与平面PCD所成角的正弦值.

22

18.己知椭圆E：=+=V+y2=],c经过E的焦点，点A,8为E的右顶点

ab

和上顶点，C上的点。满足=

3

(1)求E的标准方程；

(2)设直线/与C相切于第一象限的点P,与E相交于M,N两点,线段"N的中点为。.当归。|最大

时，求/的方程.

19.定义两个九维向量6=(%,1,%,2，…，玉,〃)，%=(马1，马2，…，丐,")的数量积

%・%=/丙」+Xi2xj2+••■+xinxjJt(z,jeN+),at-q=a；,记xik为火的第上个分量(左K〃且

上eN+).如三维向量q=(2,1,5),其中用的第2分量％2=1•若由九维向量组成的集合人满足以下三个

条件：①集合中含有〃个〃维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取。或1；③集合中任意两个

元素%,%•,满足a；=G=T(T为常数)且=1.则称A为T的完美〃维向量集.

(1)求2完美3维向量集；

(2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；

(3)若存在A为T的完美”维向量集，求证：A的所有元素的第上分量和1=T.

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

,^^.A=[x\-2<x<4\B=[X\JC-6x>0\ar_

1.若集合LJ,11J,则Al&一()

A.[-2,0]B,[0,4]C.[-2,6]D,[4,6]

【答案】A

【解析】

【分析】首先解一元二次不等式求出集合3,再根据交集的定义计算可得.

【详解】由必一6x20，即(1—6)x20,解得九26或xv。，

所以5={工n-6%>oj=(-co,0]u[6,+oo),

又A={H-2Vx<4},

所以4^^8=[—2,0].

故选：A

2+i

2.已知z=——贝丘=()

1-i

33.33.13.13.

A.—+—1B.-----1C.—+—1D.-----1

22222222

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数z,再求其共相复数.

【详解】因为2=言(2+i)(l+i)_l3

(l-i)(l+i)22

-13

所以z=—--i.

22

故选：D

3.若函数〃x)=ln(6+1)在(1,2)上单调递减，则实数。取值范围是()

A.(-oo,0)B.(一;,())C.D.[-1,0)

【答案】C

【解析】

【分析】利用复合函数的单调性结合函数求解.

【详解】函数"X)=皿依+1)在(1,2)上单调递减，

由函数y=lnx在定义域内单调递增，所以函数g(x)=ta+l在(1,2)上单调递减且恒大于0,

。<01

则有<c„>解得—<a<0.

g(2)=2a+1l>02

故选：C

4.第14届国际数学教育大会(ICME-IntemationalCongreasofMathematicsEducation)在我国上海华

东师范大学举行.如图是本次大会的会标，会标中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦——3、7、4、

4,这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是3x83+7x8?+4x@+4x8°=2020,正是会议

计划召开的年份，那么八进制77…7换算成十进制数，则换算后这个数的末位数字是()

10个7

A1B.3C.5D.7

【答案】B

【解析】

【分析】换算后由等比数列求和得81°-1，改写成(10--1,利用二项式定理展开即可求解.

【详解】由进位制的换算方法可知，八进制77…7换算成十进制得:

10个7

i_Qio

7X89+7X88+---+7X81+7X8°=7x-------=810-L

1-8

101010919

8-l=(10-2)-1=CfolO+C；olOx2+•••+C^IOx2+02―

因为C：olO"+C；ol()9x2+…+CQCPx29是10的倍数，

所以，换算后这个数的末位数字即为C；；2i°-1的末尾数字，

由C；；2"-1=1023可得，末尾数字为3.

故选：B

5.在正方体ABC。—A4GR中，。为四边形4月。］2的中心，则下列结论正确的是()

A.AO//BQB.AO-LBD

C.平面493,平面C。。D.若平面AO3平面cor>=/，则///平面

【答案】B

【解析】

【分析】根据正方体性质结合图形可知AO,3G异面，可判断A；通过证明50工平面ACG4,可判断B；

记A瓦CD的中点分别为E,尸，然后证明NEO尸是平面A05和平面COD的夹角或其补角，由EOF为

等腰三角形可判断C；由A3///,ABcBQD=B可判断D.

详解】A选项：由正方体性质易知，ABIICXDX,所以A,5,C，2四点共面，

由图知，AO1平面A3G2=A,直线5G在平面A3GA内，且不过点A,

所以AO,3G异面，A错误；

B选项：因为A4，平面A3CD,BDu平面A3CD,所以明,台。，

又A3CD为正方形，所以BDLAC,

因为A&AC=A,AA，ACu平面ACGA,所以3£)上平面ACGA,

又AOu平面ACGA，所以B正确；

C选项：记平面AO3［平面COD=/,

因为A6//CD,ABa平面COD,CDu平面CO。，所以A3//平面COD,

又ABu平面A08,所以A3/〃，所以CD/〃，

记A瓦CD的中点分别为E,F,

由正方体性质可知，OA=OB,所以OELAB,所以OE，/,

同理，OF±1,所以ZEO是平面A08和平面C8的夹角或其补角,

又对称性可知，_£0尸为等腰三角形，故NEOF为锐角，C错误；

D选项：因为A3///,A5cBGD=B,

所以/与平面3G。相交，D错误.

6.已知cos(a-,tantz-tan/?=—,贝!]«；+/=()

'/64

7171兀2兀

B.—D.

46T

【答案】A

【分析】利用两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系得到方程组，即可求出sinasin/?、cosacos/7,

再求出cos(a+〃)即可.

【详解】因为cos(tz-/?)，tancr-tan尸=(,

cosacos〃+sinasin〃=°

所以＜.n,，

sinasmp_1

cosacos[34

c2

costzcosP=~

解得《

sinasmB=—

6

所以cos(o+6)=cosacos尸一sinosin'二一,

又所以a+乃€（0,兀），所以&+夕=三.

故选：A

7.在平面直角坐标系x0y中，已知双曲线C：.—方=1（。＞6〉0）的右焦点为歹（6,0）,尸为C上一

点，以0尸为直径的圆与C的两条渐近线相交于异于点。的M,N两点.若|9卜归叫=《，则C的离心率

为（）

A.B,C.-D.亚

232V

【答案】B

【解析】

【分析】结合题意可得9,OM,PN工ON,即可借助点到直线的距离公式表示出,

即可计算出a的值，即可得离心率.

22

【详解】设/（%兀），有其—当=1,即/需_“2y

ab

h

由题意可得RVfLOM、PNLON,渐近线方程为y=±-x,

a

故四.四=21b%-研|_.x：_々2匐_42匕2_g

M+b之―/+"一丁一M

又E（J?,0）,故°=石，则片尸=/（5—/）=6,即/—54+6=0,

解得4=2或/=3,则k=3或方2=2,由a>6>0,

故储=3,Z?2=2,即a=6,则e=上=

aV33

故选：B.

8.已知一个圆台内接于球。（圆台的上、下底面的圆周均在球面上）.若该圆台的上、下底面半径分别为1

和2,且其表面积为（5+3后）兀，则球。的体积为（）

A32兀已入「20下n口5岛

A.-----B.3兀C.---------D.-------

333

【答案】C

【解析】

【分析】利用圆台表面积得母线长和圆台的高，由勾股定理求出球的半径，可计算体积.

【详解】设圆台母线长为/,上、下底面半径分别为弓和弓，

则圆台侧面积为5=兀（4+幻/=兀。+2）/=3兀/,

上、下底面面积分别为兀和4兀.

由圆台表面积为（5+3血）兀，得/=血，

所以圆台高力=J/?-（&-4J=，2-1=1，

设球。半径为A,圆台轴截面A3CD为等腰梯形，且AB=4,CD=2,高为1.

作于点/,

设。暇=%,由片+/?2=2＜々2,则球心。在圆台外部.

R'4+炉L

则有《,,、2,解得X=LR=逐，

R2=I+（I+X）~

所以球。的体积为型Ya.

3

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.射击作为一项综合运动项目，不仅需要选手们技术上的过硬，更需要他们在临场发挥时保持冷静和专注.

第19届亚运会在我国杭州举行，女子10米气步枪团体决赛中，中国队以1896.6环的成绩获得金牌，并创

造新的亚洲纪录.决赛中，中国选手黄雨婷、韩佳予和王芝琳在最后三轮比赛中依次射击，成绩（环）如下：

黄雨婷韩佳予王芝琳

第4轮105.5106.2105.6

第5轮106.5105.7105.3

第6轮105106.1105.1

则下列说法正确的是

A.三轮射击9项成绩极差为1.5

B.三轮射击成绩最好的一轮是第五轮

C.从三轮射击成绩来看，黄雨婷射击成绩最稳定

D.从三轮各人平均成绩来看，韩佳予表现更突出

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据表格中的数据计算极差判断选项A；计算各轮总成绩判断选项B,由数据波动性判断选项C,

计算平均值判断选项D.

【详解】三轮射击9项成绩极差为106.5-105=1.5,A正确；

第四轮的总成绩为317.3环，第五轮的总成绩为317.5环，第六轮的总成绩为316.2环，B正确；

王芝琳的射击成绩波动小，最稳定，C错误；

黄雨婷的平均成绩约为105.67,韩佳予的平均成绩为106,王芝琳的平均成绩约为105.33,D正确.

故选：ABD.

10.已知抛物线。：丁=22%（夕＞0）的焦点为产，。为坐标原点，动点P在C上，若定点满足

\MF\=2\OF\,则（）

A.C的准线方程为x=—2B.△尸A3周长的最小值为5

IT

C.直线〃口的倾斜角为一D.四边形。尸”/不可能是平行四边形

6

【答案】BD

【解析】

【分析】首先表示出抛物线的焦点坐标与准线方程，由距离公式得到方程，即可求出P,求出抛物线方程,

即可判断A、C,根据抛物线的定义判断B,求出P点坐标，即可判断D.

【详解】抛物线0：丁=20%储>0）的焦点为/^^0],准线方程为尤=-光，

又点M（2,@满足阳典=2|冲，所以J\_21+（0-可=2xg

即3P2+8”—28=0,解得”=2或°=一?（舍去），

所以抛物线C：V=4x,则准线方程为x=—1,焦点为歹（1,0）,故A错误；

过点尸作准线x=-1的垂线，垂足为“，由抛物线的定义可知|。引=归同，

所以=\PM\+\MF\+\PF\=\PM\+\MF\+\PH\=\PM\+\PH\+2>\MH\+2=5,

当且仅当M、P、H三点共线时取等号，

所以△期3周长的最小值为5,故B正确；

因为女“尸=等芋=6,所以直线上田的倾斜角为:，故C错误；

过点用作。厂的平行线，交抛物线于点P,

3

)2=4-xX———

即《二，解得〈「4,即P

y=W

J=6

所以四边形OPMF不是平行四边形，故D正确.

TT

故选：BD

11.已知函数〃尤)的定义域为R,/(邛)+町=4(丁)+才(％)，则下列命题正确的是()

A.y(x)为奇函数B.7(%)为R上减函数

/1\110

C.若"0,则引一+—“X)为定值D.若/⑵=2,则Z/(2&)=2046

\XJxk=l

【答案】ACD

【解析】

【分析】令x=y=l求出/(I),令X=y=-1求出再令y=-l即可得到函数的奇偶性，从而判

断A、B,令y=：(xw0)即可判断C,令y=2结合42)=2,即可得到/(2")=2〃，从而判断D.

【详解】因为f(xy)+xy=^(f(y)+yf(x),

令x=y=l,可得/(1)+1=/(1)+/(1),则/。)=1，

令X=y=_l,可得=则/(_0=_1,

令x=y=0,可得/(0)=0,

令y=-L,可得/(—x)—x=W(T)—/(x)，所以/'(—x)=—/(X),所以/(x)为奇函数,故A正

确；

因为/(-0=-1、/。)=1，所以/(%)不可能为R上减函数，故B错误；

令y(xwO)可得++,所以灯,故C正确；

令y=2可得/(2X)+2X=V(2)+2/(X),因为"2)=2,

所以〃2力=2〃力，所以〃4)=2〃2)=22,/(8)=2/(4)=23),

所以/（2"）=2",

所以2/（2丘）=21+22++21。=2（；；）=2046,故D正确.

故选：ACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.为助力乡村振兴，九江市教科所计划选派5名党员教师前往5个乡村开展“五育”支教进乡村党建活动,

每个乡村有且只有1人，则甲不派往乡村A的选派方法有种.

【答案】96

【解析】

【分析】由特殊元素优先安排，则先安排A地，后安排剩余4个乡村，再结合分步乘法求解即可.

【详解】第一步，由于甲不派往乡村4则A地有C：种选派方法，

第二步，其他4个乡村有A：种选派方法，所以共有C；A：=96种选派方法

故答案为：96.

13.欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这

条线称之为三角形的欧拉线.已知4（0,2）,8（4,2）,C（a,—1）,且1aA为圆好+丁+及+分=0内接

三角形，则一ABC的欧拉线方程为

【答案】y^l##y-l=Q

【解析】

【分析】首先将点的坐标代入圆的方程，即可求出E、F,从而得到圆心坐标即二ABC的外心坐标，再确

定，ABC的重心坐标，即可得解.

22+2F=0E=-4

【详解】依题意《22，解得《

42+22+4E+2F=0F=—2’

所以圆^+丁―4x—2y=0,即（x—2『+（y—I）?=5,故圆心坐标为（2,1）,

即,ABC的外心坐标为（2,1）,又.ABC的重心坐标为

又点（2,1）、[一，1]

均在直线y=l上，所以一ABC的欧拉线方程为y=L

故答案为：y=i

22

14.在_ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A,B,C成等差数列，a+c=4-则

面积的最大值是,(4sinAsinC+3)Z?2=.

【答案】①.B②.12

2

【解析】

【分析】由等差数列性质可得2,结合重要不等式及三角形面积公式即可求得三角形面积的最大值；运用正

弦定理可得sinA='电，sinC=-.由余弦定理可得廿=4—ac，代入求解即可.

2b2b

【详解】由题意知，23=A+C,

又A+_B+C=TI,所以8=5,

又4+°2=4，a2+c2>2ac，当且仅当时取等号，

所以ac<2,当且仅当a=c时取等号，

所以5人*8,=—GcsinB=—acsin—=^-tzc<,当且仅当a=c时取等号.

AABC22342

故.ABC面积的最大值为且.

2

因为上一='='一,B」,

sinAsinCsinB3

*2.asmBy/3a.-csinBy/3c

所以sinA4=--------=------，smC=---------=------，

b2bb2b

所以4sinAsinC=4x色x^=华，

2b2bb1

7C

由余弦定理得b1-a1+C1-2accosB=4—2accos-=4-ac

3f

所以(4sinAsinC+3)/=莘+3)及=3ac+3b2=3ac+3(4-ac)=12.

故答案为：—；12.

2

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/（%）=（2]-。）111（%-1）+/?（。力€2在了=2处的切线方程为3*-丁一2=0

（1）求a,b的值；

⑵判断的单调性.

【答案】（1）a—1,b—4

（2）“力在（1,+8）上单调递增

【解析】

【分析】（D借助导数的几何意义计算即可得；

（2）借助导数的导数研究导数的最值后即可得原函数的单调性.

【小问1详解】

_f（x）=21n（x—l）+^^,由题意可得/'（2）=3,/（2）=3x2-2=4,

X-1

则/''（2）=21n（2—l）+（2x2—a）・'=0+4—a=3,可得a=l,

2—1

/（2）=（2x2-6z）ln（2-l）+/?=/?=4,

即a=1,b=4；

【小问2详解】

7Y_i

/(x)=(2x-l)ln(x-l)+4,/,(x)=21n(x-l)+^-^(%>1),

x—\

/、?Y-1,、

令g(x)=r(x)=21n(x-l)+------(%>1),

x-l

22(x—1)—(2%—1)2x—3

:

则g'(x)=一+~=~"2，

x-1x-1)

当I，+s

xe1,|时,g'(x)<°，当时，g'(x)>0,

故g（x）在上单调递减，在[T，+8J上单调递增,

即g（x）=r（x）2r=4-21n2>0,

故了（九）在（1,内）上单调递增.

16.2023年10月10日，习近平总书记来到九江市考察调研，特别关注生态优先，绿色发展.某生产小型污水

处理设备企业甲，原有两条生产线，其中1号生产线生产的产品优品率为0.85,2号生产线生产的产品优品

率为0.8.为了进一步扩大生产规模，同时响应号召，助力长江生态恢复，该企业引进了一条更先进、更环保

的生产线，该生产线（3号）生产的产品优品率为0.95.所有生产线生产的产品除了优品，其余均为良品.引

进3号生产线后，1,2号生产线各承担20%的生产任务，3号生产线承担60%的生产任务，三条生产线生

产的产品都均匀放在一起，且无区分标志.

（1）现产品质检员，从所有产品中任取一件进行检测，求取出的产品是良品的概率；

（2）现某企业需购进小型污水处理设备进行污水处理，处理污水时，需几台同型号的设备同时工作.现有

两种方案选择：方案一，从甲企业购进设备，每台设备价格30000元，可先购进2台设备.若均为优品，则

2台就可以完成污水处理工作；若其中有良品，则需再购进1台相同型号设备才能完成污水处理工作.方案

二，从乙企业购进设备，每台23000元.需要三台同型号设备同时工作，才能完成污水处理工作.从购买费

用期望角度判断应选择哪个方案，并说明理由.

【答案】（1）—

10

（2）选择方案一，理由见解析.

【解析】

【分析】（1）根据全概率计算公式求解即可.

（2）计算两种不同方案的数学期望，根据期望的意义比较期望值的大小即可判断.

【小问1详解】

设3="任取一件产品为优品”，

4="产品为第i号生产线生产"G=L2,3）,

由全概率公式得：

P（B）=P（A）P（BIA）+P（4）P（B14）+P（A3）P（BIA）

9

=20%x0.85+20%x0.8+60%x0.95=—

10

则从所有产品中任取一件是良品的概率为：

-91

P（B）=1-P（B）=1--.

1010

【小问2详解】

选择方案一，理由如下：

设从甲企业购进设备的费用为X元，

则X可取：60000,90000,

9981

由(1)知：P(X=60000)=—x——=——

1010100

91191119

P(X=90000)=—x—+—x—+—x—=——

101010101010100

所以E(X)=60000x—+90000x—=65700.

100100

设从乙企业购进设备的费用为y元，

贝UE(Y)=23000x3=69000,

因为E(X)<E(F),

故选择方案一比较合适.

17.如图，三棱锥P—ABC中，平面R4C,BCM，AC=3,PB=下,点E满足AE=2EC，

PE=1.

（1）证明：平面？BE_L平面ABC；

（2）点。在A3上，且5ELCD,求直线与平面PC。所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵-

5

【解析】

【分析】（1）首先由线面垂直的性质得到尸E,BCVPC,即可说明PELAC,从而得到PEL

平面ABC,即可得证；

（2）建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【小问1详解】

因为3cl平面PAC,PE,PCu平面PAC,所以BCLPE,BCVPC,

又点E满足AE1=2£C，AC=3,所以CE=1,

在Rt-PBC中PC=S]PB2-BC2=V2，

在,PCE中，PE=CE=1,所以PC?=尸石2+。石2,所以

又ACBC=C,ACBCu平面ABC,所以PE，平面ABC,

又PEu平面PBE，

所以平面？BE，平面ABC

【小问2详解】

由（1）可知小，平面ABC,QEu平面PAC,所以平面平面ABC,

平面P4C内过点C作己〃PE,则C平面ABC,又3cl平面PAC,ACu平面PAC,所以

BC±AC,

如图建立空间直角坐标系，则。（0,0,0）,4（0,3,0）,B（A/3,0,0）,£（0,1,0）,P（0,l,l）,

所以B4=（O,2,—l）,AB=（73,-3,0）,C4=（O,3,O）,

设AD=tAB=（6?,-37,0）（te[0,1]）,

所以CD=CA+AD=（A/^,3—3/,0）,BE=^/3,l,oj,

因为6E_LCD,所以BE-CD=0,即—6xV^+lx（3—37）+0x0=0,解得/=g,

（由3）

所以。为AB的中点，则。—,-,0,

[22J

（由3）

设平面PC。的法向量为加=（羽％z）,又CD=^-,-,0,CP=（0,1,1）,

I22J

3

m-CD=——x+—y=0//-一、

则j22，,取加=（J3,—1』），

mCP=y+z=0

设直线PA与平面PCD所成角为e,

|m-PA||0x73+2x（-l）+（-l）xl|

3

贝ijsin"

|m|-|pA|45x455

3

所以直线P4与平面PC。所成角的正弦值为g.

ZAP

18.已知椭圆E：=+2=1(«〉。〉0)和圆C：x2+y2=1,C经过E的焦点，点A,8为E的右顶点

ab

和上顶点，C上的点。满足

3

(1)求E的标准方程；

(2)设直线/与C相切于第一象限的点P,与E相交于M,N两点，线段的中点为。.当归。|最大

时，求/的方程.

2

【答案】(1)—+y2=l

2

(2)X+V2J-A/3=0

【解析】

【分析】(1)C经过E的焦点及点。在C上，列方程组求出可求E的标准方程；

(2)设直线方程，与椭圆和圆联立方程组，求RQ两点坐标，表示出|PQ|,利用基本不等式求取最小值时

参数的值，得/的方程.

【小问1详解】

依题意得4/7,0),3(0/)，由=得

代入C的方程k+丫2=1中，得"+以=i,①

99

又C经过E的焦点，得c=l,即/=i，②

由①②解得a=A/2,b=1

2

所以E的方程为±r+y2=i.

2

【小问2详解】

解法一：依题意，设/的方程为,=履+人（左〈0,与0）,河（石,%）,以%2，%），0（%0，%），

则有广自、,_%+%V_々+再

为一^^,龙厂不"

\b\1

由/与C相切，得/r=1,即/?2=左2+],

“?2+1

4+才=1

2

又《:,两式相减得+（%+%）（%-%）=0,

2

三+必=1

I272

1>0」2+%、1

%=

2（%—%）2k'x2+再2k

则直线。。的方程为y=-±x,

乙K

y=kx+b

2kbb

联立方程组《1,解得见=-2，y2

V=------X2k+l°~2k+l

2k

及△OPQ中，|QP|=1,当|PQ|最大时，|0Q|最大,

2（4左2+1,2（4左2+1）（左2+1）

b444+542+1

国=心|力♦（242+1）2V（242+1）2

2k1+\4/+4左2+1

\V「4/4+E4k二2+1=I11+4F+\；+4-,

由4左2+^+422小4左2.十+4=8,当且仅当上=-e时取等号,

2

得1。。区?，即|。9的最大值为手，此时左=_#,b=瓜

~T9

故/的方程为x+>/2y—y/3=0.

解法二：

依题意，设/的方程为％=四+”（加（0,"）0）,

M（菁'%）,'（%'%），Q（九0，%），尸（七，%）,

x=my+n

2

联立方程组《炉，化简得（加+2）y?+2mny+zi-2=0,

—+V=1

I2,

2mnmn

由A>0,得疗一1+2>0,

m2+2，%=一m2+2

x=my+n

联立方程组<化简得+1）丁+2mny+n2—1=0,

必+/=1

由A=0,得“2—疗=1，%=-一一

m+1

2—m

\PQ\=yll+m|y0—y3\=Jl+加2|mn|

m2+2

又（一根）+[—、]220,当且仅当机=—夜时取等号，则|PQ归东=孝，

当|PQ|最大时，m=-亚,n=6,

故I的方程为x+应y一百=0.

【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去尤（或y）建立一元二

次方程，然后借助根与系数