辽宁省锦州市2024年中考数学最后一模试卷含解析

辽宁省锦州市新海新区实验校2024年中考数学最后一模试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.下列美丽的图案中，不是轴对称图形的是（）

A.B.0°0

2.下列计算正确的有（）个

①（-2a2）3=-6a6②（x-2）（x+3）=x2-6（3）（x-2）2=x2-4（4）-2m3+m3=-m3⑤-16=-1.

A.0B.1C.2D.3

3.下列各数中是无理数的是（）

A.cos60°B.i3C.半径为1cm的圆周长D.施

4.一组数据1,2,3,3,4,1.若添加一个数据3,则下列统计量中，发生变化的是（）

A.平均数B.众数C.中位数D.方差

5.已知二次函数y=ax2+bx+c（aMl）的图象如图所示，给出以下结论：@a+b+c<l；②a-b+cVl；（3）b+2a<l；④abc

>1.其中所有正确结论的序号是（）

A.③④B.②③C.①④D.①②③

6.已知一元二次方程2x?+2x-1=0的两个根为xi,X2,且xi〈X2,下列结论正确的是（）

A.Xl+X2=lB.X1*X2=-1C.|xi|<|x|D.xi2+xi=-

22

7.如图，在RtAABC中，ZACB=90°,点D,E分别是AB,BC的中点，点F是BD的中点.若AB=10,贝!JEF=

()

D

CEB

A.2.5B.3C.4D.5

8.J81的算术平方根是()

A.9B.±9C.±3D.3

9.如图，在△ABC中，AC=BC,点D在BC的延长线上，AE〃BD,点ED在AC同侧，若NCAE=U8。，则NB的

大小为()

AE

BCD

A.31°B.32°C.59°D.62°

10.如图，在口ABC。中，AB=1,AC=4啦,对角线AC与5。相交于点0,点E是3C的中点,连接AE交5。

于点F.若AC±AB,则FD的长为()

A________________________D

3EC

A.2B.3C.4D.6

11.下列计算正确的是()

A.06=aB.V3+V2C.J(-2)2=-2D.42+42=2

12.下列各数是不等式组＜。Q的解是()

1-2x-3

A.0B.-1C.2D.3

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分共24分.)

13.如图所示，摆第一个“小屋子”要5枚棋子，摆第二个要11枚棋子，摆第三个要17枚棋子，则摆第30个“小屋子”

要一枚棋子.

■♦

・•・・・二

•••.............

••••

••

•••••••♦•

(1)(2)(3)

14.如果分式告的值是0,那么x的值是.

15.边长为6的正六边形外接圆半径是.

16.如果关于x的方程%2一2%+加=0(机为常数)有两个相等实数根，那么机=.

3

17.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0,4),直线y=—x-3与x轴、y轴分别交于点A、B,点M是直

4

线AB上的一个动点，则PM的最小值为.

O/x

夕/

18.已知，直接y=kx+b(k>0,b>0)与x轴、y轴交A、B两点，与双曲线y=3(x>0)交于第一象限点C,若

BC=2AB,则SAAOB=.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.(6分)如图，平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,3),点B(6，0),连接AB,若对于平面内一点C,当

△ABC是以AB为腰的等腰三角形时，称点C是线段AB的“等长点”.

(1)在点Ci(-2,3+2正)，点C2(0,-2),点C3(3+JL-逝)中，线段AB的“等长点”是点；

(2)若点D(m,n)是线段AB的“等长点”，且NDAB=60。，求点D的坐标；

(3)若直线y=kx+36k上至少存在一个线段AB的“等长点”，求k的取值范围.

20.(6分)已知关于x的方程(a-1)x2+2x+a-l=l.若该方程有一根为2,求。的值及方程的另一根；当。为何值

时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a的值及方程的根.

21.(6分)如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置，设法使斜边DF保

持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=0.4m,EF=0.2m,测得边DF离地面的高度

AC=1.5m,CD=8m,求树高.

22.（8分）如图，在AABC中，D为AC上一点，且CD=CB,以BC为直径作。O,交BD于点E,连接CE,过D作

DFAB于点F,ZBCD=2ZABD.

（1）求证：AB是OO的切线；

（2）若NA=60。，DF=.「,求。O的直径BC的长.

23.（8分）如图，已知点D、E为△ABC的边BC上两点.AD=AE,BD=CE,为了判断NB与NC的大小关系，请

你填空完成下面的推理过程，并在空白括号内注明推理的依据.

解：过点A作AHJ_BC,垂足为H.

•.•在AADE中，AD=AE（已知）

AH±BC（所作）

.\DH=EH（等腰三角形底边上的高也是底边上的中线）

XVBD=CE（已知）

.*.BD+DH=CE+EH（等式的性质）

即：BH=

又；（所作）

AH为线段的垂直平分线

.\AB=AC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）

...（等边对等角）

N1=N2,NC=ND,求证：AABC^AAEDo

25.（10分）如图，在AABC中，AD.AE分别为AABC的中线和角平分线.过点C作CHLAE于点H,并延长交

A3于点尸，连接求证：DH=-BF.

2

26.（12分）如图，AB/7CD,/1=N2,求证：AM//CN

27.（12分）如图，已知AB是。。的直径，点C、D在。。上，点E在。。外，ZEAC=ZD=60°.求NABC的度数;

求证：AE是。O的切线；当BC=4时，求劣弧AC的长.D

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、A

【解析】

根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【详解】

解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；

B、是轴对称图形，故本选项错误；

C、是轴对称图形，故本选项错误；

D、是轴对称图形，故本选项错误.

故选A.

【点睛】

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

2、C

【解析】

根据积的乘方法则，多项式乘多项式的计算法则，完全平方公式，合并同类项的计算法则，乘方的定义计算即可求解.

【详解】

①(-2a2)3=-8a6,错误；

②(x-2)(x+3)=x2+x-6,错误；

(3)(x-2)2=x2-4x+4,错误

©-2m3+m3=-m3,正确;

16=-1,正确.

计算正确的有2个.

故选C.

【点睛】

考查了积的乘方，多项式乘多项式，完全平方公式，合并同类项，乘方，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算.

3、C

【解析】

分析：根据“无理数”的定义进行判断即可.

详解：

A选项中，因为COS60=-,所以A选项中的数是有理数，不能选A；

2

B选项中，因为1.3是无限循环小数，属于有理数，所以不能选B；

C选项中，因为半径为1cm的圆的周长是2%cm,2%是个无理数，所以可以选C；

D选项中，因为我=2,2是有理数，所以不能选D.

故选.C.

点睛：正确理解无理数的定义：“无限不循环小数叫做无理数”是解答本题的关键.

4、D

【解析】

A.；原平均数是：(1+2+3+3+4+1)4-6=3;

添加一个数据3后的平均数是：(1+2+3+3+4+1+3)+7=3;

平均数不发生变化.

B.；原众数是：3；

添加一个数据3后的众数是：3；

二众数不发生变化；

CJ.•原中位数是：3；

添加一个数据3后的中位数是：3；

二中位数不发生变化；

DJ.•原方差是：(3-丁+(3-2『+(3—3『义2+(3—犷+(3—51_5：

63

添加一个数据3后的方差是：(3-11+(3—2『+(3—3八3+(3—4『+(3—

77

方差发生了变化.

故选D.

点睛：本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数的，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键.

5、C

【解析】

试题分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x

轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

解：①当x=l时，y=a+b+c=l,故本选项错误；

②当x=-l时，图象与x轴交点负半轴明显大于-1,・*.y=a-b+cVL故本选项正确；

③由抛物线的开口向下知a<l,

•对称轴为l>x=-^>L

2a

A2a+b<l,

故本选项正确；

④对称轴为X=-4>1,

2a

...a、b异号，即b>l,

abc<l,

故本选项错误；

正确结论的序号为②③.

故选B.

点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：

(1)a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a>l；否则aVl；

(2)b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=-b2a判断符号；

(3)c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c>l；否则

(4)当x=l时，可以确定y=a+b+C的值；当x=-l时，可以确定y=a-b+c的值.

6、D

【解析】

【分析】直接利用根与系数的关系对A、B进行判断；由于X1+X2VO,xix2<0,则利用有理数的性质得到X1、X2异号,

且负数的绝对值大，则可对C进行判断；利用一元二次方程解的定义对D进行判断.

【详解】根据题意得X1+X2=-工=-1,X1X2=-故A、B选项错误；

22

VXl+X2<0,XlX2<0,

...XI、X2异号，且负数的绝对值大，故C选项错误；

Vxi为一元二次方程2X2+2X-1=0的根，

**.2xi2+2xi-1=0,

...X/+X1=—,故D选项正确，

2

故选D.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关内容是解题的关键.

7、A

【解析】

先利用直角三角形的性质求出CD的长，再利用中位线定理求出EF的长.

【详解】

ZACB=90°,D为AB中点

；.CD=

"二=go=5

•点E、F分别为BC、BD中点

*

•••

=-=Lx5=U

故答案为：A.

【点睛】

本题考查的知识点是直角三角形的性质和中位线定理，解题关键是寻找EF与题目已知长度的线段的数量关系.

8、D

【解析】

根据算术平方根的定义求解.

【详解】

■:=9,

又；(±1)2=9,

A9的平方根是±1,

.•.9的算术平方根是1.

即病的算术平方根是L

故选:D.

【点睛】

考核知识点：算术平方根.理解定义是关键.

9、A

【解析】

根据等腰三角形的性质得出NB=NCAB,再利用平行线的性质解答即可.

【详解】

•在AABC中，AC=BC,

.\ZB=ZCAB,

VAE/7BD,NCAE=118。，

:.ZB+ZCAB+ZCAE=180°,

即2NB=180°T18°,

解得：ZB=31°,

故选A.

【点睛】

此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质得出/B=NCAB.

10、C

【解析】

RJ7RF

利用平行四边形的性质得出AADFs^EBF,得出——=—,再根据勾股定理求出BO的长，进而得出答案.

ADDF

【详解】

解：•.•在口ABCD中，对角线AC、BD相交于O,

...BO=DO,AO=OC,AD//BC,

/.△ADF^AEBF,

.BEBF

••二,

ADDF

；AC=40,

**.AO=2^/2,

VAB=1,AC1AB,

••­BO=ylAB2+AO2=^12+（2A/2）2=3,

/.BD=6,

；E是BC的中点，

.BEBF_1

••—―J

ADDF2

/.BF=2,FD=4.

故选c.

【点睛】

本题考查了勾股定理与相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握勾股定理与相似三角形的判定与性质.

11、A

【解析】

原式各项计算得到结果，即可做出判断.

【详解】

A、原式=J2x3="，正确；

B、原式不能合并，错误；

C、原式=’(-2)2=2,错误；

D、原式=2后，错误.

故选A.

【点睛】

此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

12、D

【解析】

求出不等式组的解集，判断即可.

【详解】

-x+3〉2①

由①得：X>-1,

由②得：x>2,

则不等式组的解集为x>2,即3是不等式组的解，

故选D.

【点睛】

此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、1.

【解析】

根据题意分析可得：第1个图案中棋子的个数5个，第2个图案中棋子的个数5+6=11个，…，每个图形都比前一个

图形多用6个，继而可求出第30个“小屋子”需要的棋子数.

【详解】

根据题意分析可得：第1个图案中棋子的个数5个.

第2个图案中棋子的个数5+6=11个.

每个图形都比前一个图形多用6个.

.•.第30个图案中棋子的个数为5+29x6=1个.

故答案为L

【点睛】

考核知识点：图形的规律.分析出一般数量关系是关键.

14、1.

【解析】

根据分式为1的条件得到方程，解方程得到答案.

【详解】

由题意得，x=L故答案是：1.

【点睛】

本题考查分式的值为零的条件，分式为1需同时具备两个条件：(1)分子为1;(2)分母不为L这两个条件缺一不可.

15、6

【解析】

根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，即可求解.

【详解】

解：正6边形的中心角为360。+6=60。，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，

边长为6的正六边形外接圆半径是6,故答案为：6.

【点睛】

本题考查了正多边形和圆，得出正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形是解题的关键.

16、1

【解析】

析：本题需先根据已知条件列出关于m的等式，即可求出m的值.

解答：解：二”的方程x2-2x+m=0(m为常数)有两个相等实数根

/.A=b2-4ac=(-2)2-4xl?m=0

4-4m=0

m=l

故答案为1

28

17、一

5

【解析】

认真审题，根据垂线段最短得出PM±AB时线段PM最短，分别求出PB、OB、OA、AB的长度，利用△PBM^AABO,

即可求出本题的答案

【详解】

解：如图，过点P作PMLAB,贝！J：ZPMB=90°,

当PM_LAB时，PM最短,

3

因为直线y=—x-3与x轴、y轴分别交于点A,B,

4

可得点A的坐标为（4,0）,点B的坐标为（0,-3）,

在RtAAOB中，AO=4,BO=3,AB=732+42=5»

；/BMP=NAOB=90。，ZB=ZB,PB=OP+OB=7,

/.△PBM^AABO,

PBPM

：.一=——，

ABAO

所以可得：PM=y.

4

18、-

3

【解析】

根据题意可设出点C的坐标，从而得到OA和OB的长，进而得到△AOB的面积即可.

【详解】

•.,直接y=kx+b与x轴、y轴交A、B两点，与双曲线y=3交于第一象限点C,若BC=2AB,设点C的坐标为化,3)

XC

・11616

••OA=0.5c,OB=—x—=—,

3c3c

••SAAOB=—OAOB=—x0.5cx—=—

223c3

【点睛】

此题主要考查反比例函数的图像，解题的关键是根据题意设出c点坐标进行求解.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

3+4

19、(1)Ci,C3;(2)D(-0，0)或D(2-73>3)；(3)--<k<^^

35

【解析】

(1)直接利用线段AB的“等长点”的条件判断；

(2)分两种情况讨论，利用对称性和垂直的性质即可求出m,n；

(3)先判断出直线y=kx+3K与圆A,B相切时，如图2所示，利用相似三角形的性质即可求出结论.

【详解】

(1)VA(0,3),B(50)，

，AB=2氐

•.,点G(-2,3+2正)，

.•.AG=j4+8=2四,

/.ACi=AB,

，Ci是线段AB的“等长点”，

•••点C2(0,-2),

.*.AC2=5,BC2=J3+4=币,

；.AC2彳AB,BC2^AB,

；.C2不是线段AB的“等长点”，

■:点C3(3+6,-6)，

**•BCj=-y/9+3=2\/3，

；.BC3=AB,

:.C3是线段AB的“等长点”；

故答案为Cl,c3；

(2)如图1,

在RtAAOB中，OA=3,08=73,

:.AB=2A/3,tanNOAB=，

OA3

.*.ZOAB=30o,

当点D在y轴左侧时，

VZDAB=60°,

:.ZDAO=ZDAB-ZBAO=30°,

:点D(m,n)是线段AB的“等长点”,

；.AD=AB,

AD(-73.0)，

m=y/3，n=0,

当点D在y轴右侧时，

；NDAB=60。，

:.ZDAO=ZBAO+ZDAB=90°,

n=3,

;点D(m,n)是线段AB的“等长点”,

:.AD=AB=2也,

:.m=2乖)；

AD(26，3)

(3)如图2,

%

V直线y=kx+3y/3k=k(x+30),

・，・直线y=kx+36k恒过一点P(-3^/3,0),

，在R3AOP中，OA=3,OP=3退，

JZAPO=30°,

:.ZPAO=60°,

:.ZBAP=90°,

当PF与。B相切时交y轴于F,

.♦.PA切。B于A,

点F就是直线y=kx+36k与。B的切点，

AF(0,--3),

二3^k=-3,

•\k=-3，

3

当直线y=kx+3有k与。A相切时交y轴于G切点为E,

...NAEG=NOPG=90°,

/.△AEG^APOG,

.AEAG

••—f

OPPG

，茎二率解得：k=3®+40或k=36-4.(舍去)

3V334342+355

•.,直线y=kx+3石k上至少存在一个线段AB的“等长点”，

.6舟4也

35

【点睛】

此题是一次函数综合题，主要考查了新定义，锐角三角函数，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，对称性，解(1)

的关键是理解新定义，解(2)的关键是画出图形，解(3)的关键是判断出直线和圆A,B相切时是分界点.

20、(3)a=1,方程的另一根为g；(2)答案见解析.

【解析】

(3)把x=2代入方程，求出a的值，再把a代入原方程，进一步解方程即可；

(2)分两种情况探讨：①当a=3时，为一元一次方程；②当aW3时，利用b2-4ac=3求出a的值，再代入解方程即

可.

【详解】

(3)将x=2代入方程(a-l)x?+2x+a-1=0,得4(a-l)+4+a-1=0,解得：a=—.

将2=,代入原方程得—AX2+2X—3=0,解得：x3=-,X2=2.

5552

11

方程的另一根为一；

52

(2)①当a=3时，方程为2x=3,解得：x=3.

②当a彳3时，由b?—4ac=3得4—4(a—3>=3,解得：a=2或3.

当a=2时，原方程为：x?+2x+3=3,解得：X3=X2=—3；

当a=3时，原方程为：-x?+2x—3=3,解得：X3=X2=3.

综上所述，当a=3,3,2时，方程仅有一个根，分别为3,3,-3.

考点：3.一元二次方程根的判别式；2.解一元二次方程；3.分类思想的应用.

21、树高为5.5米

【解析】

DFFF

根据两角相等的两个三角形相似，可得ADEFS^DCB,利用相似三角形的对边成比例，可得力="，代入

DCCB

数据计算即得BC的长，由AB=AC+BC,即可求出树高.

【详解】

VZDEF=ZDCB=90°,ND=ND,

/.△DEF^ADCB

DEEF

••___一____，

DCCB

DE=0.4m,EF=0.2m,CD=8m,

.0.4_0.2

••—9

8CB

.\CB=4(m),

AB=AC+BC=1.5+4=5.5(米)

答:树高为5.5米.

【点睛】

本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型.

22、(1)证明过程见解析；(2)473

【解析】

⑴根据CB=CD得出NCBD=NCDB,然后结合NBCD=2NABD得出NABD=NBCE,从而得出

ZCBD+ZABD=ZCBD+ZBCE=90°,然后得出切线；(2)根据RtAAFD和RtABFD的性质得出AF和DF的长度,

然后根据4ADF和4ACB相似得出相似比，从而得出BC的长度.

【详解】

(1)VCB=CD

；.NCBD=NCDB

又,.,NCEB=90°

ZCBD+ZBCE=ZCDE+ZDCE

，ZBCE=ZDCE且NBCD=2NABD

ZABD=ZBCE

ZCBD+ZABD=ZCBD+ZBCE=90°

/.CB±AB垂足为B

又YCB为直径

；.AB是。O的切线.

(2)VZA=60°,DF=G

.•.在RtAAFD中得出AF=1

在RtABFD中得出DF=3

VZADF=ZACBZA=ZA

/.△ADF^AACB

.AFDF

"ABC5

即J.=3

4CB

解得：CB=46

考点：(1)圆的切线的判定；(2)三角函数；(3)三角形相似的判定

23、见解析

【解析】

根据等腰三角形的性质与判定及线段垂直平分线的性质解答即可.

【详解】

过点A作AHLBC,垂足为H.

•.,在AADE中，AD=AE（已知），

AH±BC（所作），

.-.DH=EH（等腰三角形底边上的高也是底边上的中线）.

XVBD=CE（已知）,

/.BD+DH=CE+EH（等式的性质），

即：BH=CH.

VAH1BC（所作），

•*.AH为线段BC的垂直平分线.

/.AB=AC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）.

/.ZB=ZC（等边对等角）.

【点睛】

本题考查等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质，等腰三角形的底边中线、底边上的高、顶角的角平分线三线合

线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；

24、见解析

【解析】

据N1=N2可得NBAC=NEAD,再加上条件AB=AE,NC=ND可证明△ABC丝ZiAED.

【详解】

证明：VZ1=Z2,

A