控制系统的数学基础和数学模型

控制系统的数学基础和数学模型基本要求1.掌握拉氏变换、拉氏反变换的定义、定理。2.了解数学模型的基本概念。能够运用动力学、电学及专业知识，列写机械系统、电网络系统的微分方程。3.掌握传递函数的概念、特点，会求传递函数的零、极点。4.掌握各个典型环节的特点，传递函数的基本形式及相关参数的物理意义。掌握闭环系统中前向通道传递函数、开环传递函数、闭环传递函数的定义及求法。掌握干扰作用下，系统传递函数的求法和特点。了解传递函数框图的组成及意义；能够根据系统的微分方程，绘制系统传递函数框图，并实现简化，从而求出系统的传递函数。7.了解相似原理的概念。本章重点1.拉氏变换定理。2.列写系统的微分方程。3.传递函数的概念、特点及求法。4.典型环节的传递函数。5.系统的方框图及其化简。本章难点1.列写系统微分方程。2.系统的方框图及其化简。拉普拉斯(Laplace)变换拉氏变换概述1.拉氏变换的定义f(t)：原函数（实域、时间域）F(s)：象函数（s

域、复数域）s：复变量，s=σ+jωe

st

:拉氏算子F

(s)

L

f

(t)

stf(t)e dt

0jωσ[s]02.基本函数的拉氏变换序号原函数

f

(t)象函数F

(s)1单位脉冲函数

(t)12单位阶跃函数

1(t)1

s3K 常数ks4t

单位斜坡函数1s25t

nn!sn

16e

at

1

s

a7sin

t

s

2

28cos

tss

2

2t

(

t)0t1u

(

t)tr

(

t

)txi

(

t)0te-at0t0sin

ttkkt0cos

t2.1.2

拉氏变换的主要性质1.线性性质设L[f1(t)]=F1(s)，L[f2(t)]=F2(s)，k1，k2为常数 ，则L[k1

f1

(t)

k2

f2

(t)]

k1L[

f1

(t)]

k2

L[

f2

(t)]

k1F1

(s)

k2

F2

(s)dt2.微分性质若L[f(t)]=F(s)，且f(0)=0，（初始条件为零）则L[

df

(t)]

sF

(s)3.积分定理若L[f(t)]=F(s)，且初始条件为零，则4.平移定理若L[f(t)]=F(s)，则5.初值定理若L[f(t)]=F(s)，则f

(0

)

lim

f

(t)

lim

s

F

(s)t

0 s

sL

f(t)dt

1

F

(s)

L

e

at

f

(t)dt

F

(s

a)6.终值定理若L[f(t)]=F(s)，则有f

(

)

lim

f

(t)

lim

s

F

(s)t

s

07.延迟定理若L[f(t)]=F(s)，对任一正实数a，则有L

f

(t

a)

f

(t

a)e

st

dt

e

as

F

(s)02.1.2

拉氏变换的主要性质1.线性性质设L[f1(t)]=F1(s)，L[f2(t)]=F2(s)，k1，k2为常数 ，则L[k1

f1

(t)

k2

f2

(t)]

k1L[

f1

(t)]

k2

L[

f2

(t)]

k1F1

(s)

k2

F2

(s)dt2.微分性质若L[f(t)]=F(s)，且f(0)=0，（初始条件为零）则L[

df

(t)]

sF

(s)3.积分定理若L[f(t)]=F(s)，且初始条件为零，则4.平移定理若L[f(t)]=F(s)，则5.初值定理若L[f(t)]=F(s)，则f

(0

)

lim

f

(t)

lim

s

F

(s)t

0 s

sL

f(t)dt

1

F

(s)

L

e

at

f

(t)dt

F

(s

a)6.终值定理若L[f(t)]=F(s)，则有f

(

)

lim

f

(t)

lim

s

F

(s)t

s

07.延迟定理若L[f(t)]=F(s)，对任一正实数a，则有L

f

(t

a)

f

(t

a)e

st

dt

e

as

F

(s)02.1.3

拉氏反变换定义:f(t)=L-1[F(s)],将象函数变换成原函数s：复变量F(s)：象函数（s

域、复数域）f(t)：原函数（实域、时间域）2.2

系统的数学模型数学模型就是描述系统的输出、输入与系统本身结构与参数之间的数学表达式。工程上常用的数学模型有：微分方程传递函数状态方程建立数学模型的方法有：理论分析（解析法）试验的方法获取线性系统与非线性系统线性系统(1)定义：系统微分方程的规范化形式如下：或a x(n)(t)

a x1 o 0 o& (t)

a

x

(t)(t)

L

ax(n

1)n o n

1

o0 i(t)

bx

(t)1 im i

b x

(m)

(t)

b x(m

1)m

1

i&(t)

L

bx

nmi ij oa xj

0 i

0若系数ai,bi是常数，则方程是线性定常的，相应的系统也称为线性定常系统，若系数是时间的函数，则该方程为线性时变的，相应的系统也称为线性时变系统。(i)(j

)b

x

(t)(t)

系统xi

1(

t

)xi2(

t

)xo

1(

t

)xo

2(

t

)系统系统a2xi2(

t

)a1xi

1(

t

)

a1xo

1(

t

)

+a2

xo

2(

t

)（2）线性系统性质线性系统的一个最重要的特性就是满足叠加原理。非线性系统工程上常见的非线性特性如下：饱和非线性死区非线性间隙非线性摩擦非线性……非线性系统的线性化具有本质非线性特性的系统：忽略非线性因素或用非线性理论去处理。非本质非线性特性的系统: 切线法，或称微小偏差法处理。2.2.2机械/电气系统微分方程1．机械系统任何机械系统的数学模型都可以应用牛顿定律来建立。都可以使用质量、弹性和阻尼三个要素来描述。f∶外力；x∶位移；

m∶质量；c∶粘性阻力系数；

k∶弹簧刚度2）机械旋转系统J

&

BJ

&

k

J

TT∶扭转力；θ∶转角；J∶转动惯量；BJ∶回转粘性阻力系数；kJ∶扭转弹簧刚度mi&x&i

(t)

fi(t)1）机械平移系统m&x&

cx&

kx

ff(t

)y

(t

)铣刀

工件工作台动力滑台例1

写出下图机械系统的微分方程解：

f

maf(t)

ky(t)

cy&(t)

m&y&(t)m&y&(t)

cy&(t)

ky(t)

f

(t)惯性力+阻尼力+弹簧力=外力f(t)∶外力；y(t)∶位移；k∶弹簧刚度；c∶粘性阻力系数；m∶质量kcmy(t)f(t)mf(t)ky(t)cy(t)2．电气系统电阻、电感和电容器是电路中的三个基本元件。通常利用基尔霍夫定律来建立电气系统的数学模型。基尔霍夫电流定律：

i(t)

0A基尔霍夫电压定律：

E

Ri欧姆定律：

u电感定律：电容定律：

uR

i

RRcdt

1

idtC

L

diuLR

u

RiRu dtL

iL

1LC dt

1

duiicRoCu

(t)Li(t)ui

(t)例2

写出下图电气系统的微分方程

u

(t)

(1)

uc

(t)

uc(t)

L2

1C(3)(2)1 2(i -i

)dt2 2i

R211

u(t)

i1R1

Ldtdi

(t)dtdi

(t)cu

(

t

)uc(

t

)R

2R

1 L1L21i(t

)i2

(

t

)C①解：3.

列写系统微分方程的步骤：(1)分析系统工作原理和系统中各变量间的关系，确定系统的输出量与输入量；(2)从系统的输入端开始，依据物理学定律，依次列写组成系统各元件的动力学方程，其中要考虑相邻两元件间的负载效应；(3)将各方程式中的中间变量消去，求出描述输入量和输出量之间关系的微分方程，并将与输入有关的各项放在方程右边，与输出有关的各项放在方程左边，各阶导数项按降幂排列，即得系统微分方程的标准形式；(4)在列写元件的微分方程或求出系统的微分方程时，对非线性项应加以线性化。2.3 传递函数X

i(s)2.3.1

传递函数的定义线性定常系统的传递函数定义为：当全部初始条件为零时，输出量xo(t)的拉氏变换Xo(s)与输入量xi(t)的拉氏变换Xi(s)之比叫做系统的传递函数G(s)。表示为：G(s)

Xo

(s)G(s)Xo(s)Xi

(s)2.3.2

传递函数的求法1.解析法(1)根据定义求取设线性定常系统输入为xi(t)，输出为xo(t)，

描述系统的微分方程的一般形式为:式中，n≥m

；an，bm均为系统结构参数所决定的定常数（n，m=0、1、2、3…）。如果变量及其各阶导数初值为零（初始条件为零），取等式两边拉氏变换后得:a

xo(

n) (

m)n 1 o 0 o m i 1 i 0 i(t)

L

ax&

(t)

ax(t)

b x (t)

L

b

x&

(t)

b

x

(t)sn

1(asn

an n

1

L

a1s

a0

)

Xo

(s)

(

bs

m sm

1m m

1

1

i

b

L

bs

b)

X (s

)根据传递函数的定义，即得系统的传递函数G(s)为:G(s)

L[xo(t)]

Xo

(s)L[xi

(t)] Xi

(s)为常数（2）传递函数的零、极点系统的传递函数G(s)是以复变数s作为自变量的函数．经因子分解后，G(s)可以写成如下一般形式：G(s)

l(s

z1

)(s

z2

)L(s

zm

)(i＝1，2，…，n)时，均能使G(s)的分母为0，G(s)取极当

s

z

j

(j=1，2，…，m)时，均能使G(s)

0

，故称为

G(s)的零点。当

s

pi值，limG(s)=

(i=1，2，…，n)，s

pi

，称pi

(i=1，2，…，n)为G(s)的极点．2.实验法(s

p1)(s

p2)L(s

pn)l例 试写出具有下述微分方程式的传递函数。解：取拉氏变换并求商得7xdtdx5dt

3 dt

2 dtd

3

y d

2

y dy

2

2

y

6X

(s) 5s3

2s2

s

26s

7G(s)

Y(s)

2.3.3

传递函数的性质1.传递函数是通过输入和输出之间的关系来描述系统本身特性的，而系统本身特性与输入量无关；2.传递函数不表明所描述系统的物理结构，不同的物理系统，只要它们动态特性相同，就可用同一传递函数来描述。这样的系统称为相似系统；3.传递函数可以是有量纲的，也可以是无量纲的；4.传递函数是复变量s的有理分式。传递函数多项式分子中s的阶数m小于分母中s的阶数n,即m≤n。传递函数分母多项式中s的最高幂数代表了系统的阶数，如s的最高幂数为n则该系统为n阶系统。2.4

典型环节的传递函数1.比例环节微分方程：xo

(t)

Kxi

(t)传递函数：G(s)

KKXi

(

s

)Xo(

s

)Xi

(s) z2K为齿轮传动比，也就是齿轮传动副的放大系数或增益。齿轮传动副例1

图示为齿轮传动副，xi 、xo分别为输入、输出轴的转速，z1，z2为齿轮齿数。求系统传递函数。解：系统微分方程为：

xi

z1

xo

z2此方程经Laplace变换后得传递函数为：G(s)

Xo(s)

z1

K2.惯性环节微分方程：Tx&o

xo

KxiXi

(s) Ts

1传递函数：

G(s)

Xo

(s)

K 式中，T

为时间常数，K为惯性环节的增益。质量—阻尼—弹簧环节例2

图示为质量—阻尼—弹簧环节,求略去质量

m

影响时，系统的传递函数。解：系统微分方程为：此方程经Laplace变换后得传递函数为：T为惯性环节的时间常数。cx&o

kxo

kxiXi

(s) cs

k Ts

1G(s)

Xo

(s)

k

1 3.微分环节微分方程：

xo

(t)

Tx&i

(t)4.积分环节微分方程：式中T为积分时间常数。TsXo(s)Xi

(s)X

i(s)式中T为微分时间常数。传递函数：

G(s)

X

0

(s)

TsT

iox(t)

1 x

(t)dtXi

(s) Ts传递函数：G(s)

Xo

(s)

1Xo(s)Xi

(s)1Ts5.振荡环节微分方程：式中

n

为无阻尼固有频率；

为阻尼比。例3

图示为质量—阻尼—弹簧环节，求系统的传递函数。2o(t)

xo(t)

xi

(t)oT &x&&(t)

2

Tx质量—阻尼—弹簧环节221n ns

2T

2

s

2

2

s

n

2

Ts

1传递函数：G(s)

解：其运动方程为：取拉氏变换得：其传递函数为：写成标准形式：i odtdt2d2

x dxm

o

c

o

k(x

x

)ms

2

X (S

)

csX (s)

kX (s)

kX

(s)o o o ims2

cs

kXi

(s)G(s)

Xo

(s)

1 2nns2

2

2

s

G(s)

n kmBn两式比较得：

2 mk

将后两式代入前一式，得：iL

iR

iC例4如图所示为电感L、电阻R与电容C的串、并联线路，ui为输入，uo为输出，求系统传递函数。解：电路的动力学方程为：ui

Li&L

uouo

RiRi dtC

C

1o oi oRu

LCu&

L

u&

u2nns2

2

2

s

或：

G(s)

n LCn式中：

11RLCs2

Ls

1Ui

(s)其传递函数为：

G(s)

Uo

(s)

L2R

C

16.

延时环节延时环节是输出滞后输入时间其微分方程为：xo

(t)

xi(t

)式中， 为延迟时间。传递函数：，但不失真地反映输入的环节。

sXi

(s)L[xi

(t)]L[xi

(t)]L[x

(t)] L[x(t

)] X

(s)e

sG(s)

o

i

i

e8种典型环节的传递函数如下：（1）比例环节:（2）理想微分环节:（3）一阶微分环节:（4）二阶微分环节:（5）积分环节:（6）惯性环节:（7）振荡环节:（8）延迟环节:G(s)

KG(s)

TssG(s)

T

s

1G(s)

T

2s2

2

T

s

1

,

(0

p

p

1)G(s)

1(Ts

1)1G(s)

G(s)

e

s2nns2

2

2

s

G(s)

n 2.5

系统的方框图及其联接2.5.1

环节的基本联系方式1.串联Xi(s)X(s)X

o(s)G1(S)G2(S)X

i(s)X

o(s)G1(S)

G2(S)X

(s) X

(s)X (s) X

(s)X

(s)X (s)G(s)

oi io

G1(s)G2(s)

nG(s)

Gi

(s)i

1系统的传递函数是各串联环节的传递函数之积:等效为2.并联G1(s)G2(s)G(s)=G1(s)+G2(s)Xi(s)Xi(s)X1(s)Xo(s)+

Xo(s)X2(s)

+X1

(s)

X

2

(s)X

(s)X

(s)G(s)

io

G1

(s)

G2

(s)21X (s)X

(s) X

(s) X

(s)X

(s)ii

nG(s)

Gi

(s)i

1系统的传递函数是各并联环节的传递函数之和:3.反馈联接G(s)1

m

G

s

H

s

s

G

s

Xi(s)Xo(s)Xo(s)Xi(s)+ E(s)±B(s)H(s)G(s)

Xo

(s)E(s)H(s)

B(s)

Xo

(s)(1)前向通道传递函数(2)反馈回路传递函数E(s)kG(s)

G(s)H(s)

B(s)(3)开环传递函数(4)闭环传递函数1mG(s)H

(s)G(s)B(s)1m

E(s)Xo

(s)oXi

(s) E(s)

m

B(s)X

(s) Xo

(s)

E(s)

BG(s)

(5)单位反馈当H(s)=1时，则此闭环系统为单位反馈系统。(6)负反馈与正反馈负反馈：反馈信号减弱输入信号，使误差信号减小；正反馈：反馈信号加强输入信号，使误差信号增大。Xo(s)

G(s)Xi(s)+-G(s)iX

(s) 1m

G(s)G(s)

Xo(s)

1

G(s)G(s)G(s)

1

G(s)G(s)G(s)

(7)干扰作用下的闭环系统1)在输入量Xi(s)的作用下可把干扰量N(s)看作为零，系统的输出为XR(s)，则2)在干扰量N(s)作用下[可把输入量Xi(s)看作为零]，系统的输出为XN(s)，则3)系统总的输出量：负反馈能有效的抑制被反馈回路所包围的干扰。H(

s)Xo

(

s)Xi

(s)

+-G2(

s)G1(

s)N(

s)++1 2i1

G

(s)

G

(s)H

(s)G1

(s)

G2

(s)XR

(s)

GR

(s)

Xi

(s)

X

(s)N

(s)1

G1

(s)

G2

(s)H

(s)G2

(s)X

N

(s)

GN

(s)N

(s)

G2

(s)1

G1

(s)

Xi

(s)

N

(s)

1

G

(s)

G

(s)H

(s)Xo

(s)

XR

(s)

X

N

(s)

2X

N

(s)

N

(s)若G1

(s)G2

(s)H

(s)

12.5.2

方框图的变换与简化1.分支点X1X

2G(s)G(s)1X3

(

X1)X2X1G(s)X3

(

X1

)后移G(s)G(s)1X2XX3

(

X

2

)G(s)X21XX3(

X2)分支点前移2.相加点+X1

+(-)X2X3G

(

s)X1++-X2(

)G

(

s)X3G

(

s)后移++X3(-)X2X1G

(

s)X2G(

s)+X3(-)X1

+

1 G(

s)前移3.梅逊公式若系统的传递函数方框图同时满足以下两个条件：(1)整个方框图只有一条前向通道；(2)各局部反馈回路间存在公共的传递函数方框．G (s)

Xo

(s)括号内每一项的符号是这样决定的：在相加点处，对反馈信号为相加时取负号，对反馈信号为相减时取正号。

1

+

[

每一反馈回路的开环传递函数之积]X(

s)前向通道的传递函数之积iB4.方框图的简化步骤若方框图中仅有多个无交叉回路，则按照先里后外的原则，逐个简化，直至简化成一个方框的形式。若方框图中有交叉的连接，用如下的方法:1)若系统的传递函数方框图同时满足以下两个条件，可以运用梅逊公式化简:条件1，整个系统方框图中只有一条前向通道；条件2，各局部反馈回路间存在公共的传递函数方框。2)若系统的传递函数方框图不同时满足以上两个条件，则可通过相加点、分支点的前后移动等法则，将系统传递函数方框图化为同时满足以上两个条件的形式，然后应用梅逊公式即可。3)若系统的传递函数方框图不同时满足以上两个条件，可通过相加点、分支点的前后移动等法则，将交叉消除，简化成无交叉的多回路形式。然后由里到外进行变换直至变换成一个单一回路或一个方框的形式，最后写出系统的传递函数。例 化简下图的方框图分析特点：(1)反馈与相加；(2)两反馈交错，交联。简化方法：(1)分支点前移，使A→B，可移动一个支路，也可移两个支路；(2)分支点后移，使B→A，目的：变环路交联为相套或串联。-Xi

(s)+Xo(s)G1H1G3G2+-

+H2ABB

(s)

(s)

++-

i

X

(s)G1G2+-+H2X

(s)oG3ABB

(s)s

()

+G3H1G3G2G11+

G2G3

H2-sH1

+X

(s)oG3AB

(s)Xi

(

)

(s)

++G3G 2 G11+

G2G3

H2B-Xi

(s)+B

(s)

(s)G3Xo(s)G32

32G2

G11

211+GGH-GG

HXi

(s)Xo(s)G3G2

G11+

G2G3

H2

-G1G2

H1

+

G1G2G31