2024年高考数学排列组合的13种套路

2024年高考数学排列组合的13种套路简直不要

太赞

今天来我们总结一下排列组合概率及统计学，这个在高考中占

据17分左右，但是又不是很难的内容。这一块在高考中一般必

有一道大题，一般是第19题12分，基础题在选择填空题中一

般会考一题5分，不会很难，比较基础。

类型一、特殊元素和特殊位置优先策略

位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基

本的方法。

若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素；若以位

置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置；若有多

个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条

件。

1.由0,1,234,5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数.

解沫位和苜位有明要求,应优械排,

先脏腐有一

然后排首位共有一

最后总黑它位置共有一

3

4

这种首先确定排列还是组合的问题，对于首位和末位无须考虑

顺序，但是首位末位有优先需求。

所以先要排首位和末位，末位必须是奇数，也就是从1,3,5这

个里边去挑选一个即可，那首位还不能排0,在排除一个奇数,

只剩下4个数可以选择，所以剩下的三位我们直接全排列就可

以。

类型二、相邻/相间元素捆绑策略

要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问

题，即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作

排列，同时要注意合并元素内部也必须排列。

审题时一定要注意关键字眼。

2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.

解：先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素,

再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排.

由分步计数原理可得共有4口；=480种不同的排法.

一/幺

类型三、不相邻问题插空策略

先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和

两端。

3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱，舞蹈节目不能连续出场很。节目的出场顺序有

多少种？

解:分两步进行第"排2个相声和3个独唱共有一种，

第二步将4舞蹈插入第一步抖好的6个元素中间包含首尾两个空位共有不同的方法

由分步计数原理节目的不同顺序共有种

所以这两个方法的关键字都是相邻，以元素相邻为附加条件的

应把相邻元素视为一个整体，即采用“捆绑法”；

以某些元素不能相邻为附加条件的，可采用“插空法”。“插空”有

同时“插空”和有逐一“插空”，并要注意条件的限定。

类型四、定序问题倍缩空位插入策略

顺序固定问题用“除法”，对于某几个元素顺序一定的排列问

题，可先将这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的

排列数除以这几个元素的全排列数。

当然还可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理。

4.有4名男生,3名女生，3名女生高矮互不等，将7名学势威f,要求从左到右，女生

从瘦到高日汐J,有多少种排法？

（：三去）对于某几个元素顺序一定的旧例问也可先把这几个元素与其他元素H进行刊例，

然后用总膨瞰除以这几个元素之间的全膨瞰则共有不同排法种数是：白

（主位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有一种方法，

其余的三个位置甲乙丙共有一种坐法，则共有一种方法.

/4

虽然计算的方法不用，但是最后计算出来的结果是一致的，所以我们空位法的答案是‘一

类型五、重排问题求塞策略

分房问题又名：住店法，重排问题求幕策略，解决“允许重复排

列问题”要注意区分两类元素：

一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作

“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。

允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位

置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元

素没有限制地安排在m个位置上的排列数为mn种。

例：把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法

解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配

到车间有1种分法.把第二名实习生分配

到车间也有7种分法，依此类推,由分步计

数原理共有,种不同的排法

类型六、环排问题

一般地n个不同元素作圆形排列，共有(n-1)!种排法.

如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有£力；.

・5人围桌而坐共有多少种坐法?

解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成

圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从.4

此位置把圆形展成直线其余4人共有*1),4

种排法即

类型七、多排问题

一般地，元素分成多排的排列问题，可归结为一排考虑，再分段研

究。

8人排成前后两排，每排4人，其中甲乙在前排，丁在后排,共有多少排法

前排后排

解：8人排前后两排，相当于8人坐8把椅子，可以

把椅子排成一排.先在前4个位置排甲乙两

个特殊元素有在种,再排后4个位置上的

特殊元素有幺二^，其余的5人在5个位置

上任意排列有屋种,则共有,弋/种・

545

类型八、小集团问题

小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其他策略进行处

理。

用LZ3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹L5在两个奇数之间，这样的五位

数有多少个？

_小集团_

<35242

解:把1,5,2,4当作一个小集团与3排队

共有一种排法,再排小集团内部共有

—种排法.由分步计数原理共有

—种排法.

■

类型九、元素相同问题隔板策略

相同的元素分谣干部分，每部分至少一个.

将n个相同的元素分成m份（n,m为正整数），每份至少一个元素，可以用m-1块隔板,插入n

个元素排成一耳密）n-l个空隙中，所有分法数为。二■:.

.有10个运动员名额，在分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？

一二三四五六七

班班班班班班班

解：因为10个名额没有差别，把它们排成

一排.相邻名额之间形成9个空隙.

在9个空档中选6个位置插个隔板，

可把名额分成7份，对应地分给7个

班级，每一种插板方法对应一种分法

共有c2种分法•

类型十、正难则反总体淘汰问题

对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化

思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解。

有些排列组合问题，正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较

简捷,可以先求出它的反面，再从整体中淘汰。

对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的减

去，此时应注意既不能多减又不能少减。

从0,123,456,7,8,蜕十个数字中取出三个数,使其和为不小于10的偶数不同的取法有多少

1^1.__-___.____一.'：

013015017023025027045041043

解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很

困难，可用总体淘汰法.这十个数字中有5

个偶数5个奇数.所取的三个数含有3个偶数的取法有工X.

只含有1个偶数的取法有_（工和为偶数的取法共有

再淘汰和小于io的偶数共9

符合条件的取法共有-9

■

类型十一、平均分组除法问题

平均分成的也不管它们的顺版出可,都士-种情况，所以分组后要一定要除以，,(n为均分的

组物避免重复计数.

7.6本不同的书平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？

解:分三步取书得cc：c；种方法，但这里出现

重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF

若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF

该分法记为(AB,CD,EF),则C：CC中还有

(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)

(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有/俐取法，而

这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法，故共

有C：C；C；//种分法・

--/

类型十二、实际操作枚举问题

设有编号L234,5的五个球和编号L2,3,4,5的五个盒子，现将5个球投入这五个盒子内，要求

每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，有多少投法？

Ibi||3|||4|

解：从5个球中取出2个与盒子对号有工_种

还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际

操作法，如果剩下345号球,3,4,5号盒

3号球装4号盒时，则4,5号球有只有I种装法

同理3号球装5号盒时,4.5号球有也

只有1种装法，由分步计数原理有2c种

类型十三、具体问题具体分析

解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，

按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。

分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过

程的始终。

处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的

问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进

下一步解决原来的问题。

25人排成5乂5方队现/A中选3人要求3人不在同一行也不在同一列不同的选;力多少料?

孵：这个阿K退化成9人推成3x3方