浙江省普通高等学校2024届高二数学第一学期期末检测试题含解析

浙江省普通高等学校2024届高二数学第一学期期末检测试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

315

1.数列1,二的一个通项公式可以是。

4216

Z2+1"+3

A-an=~^-B・4=可工

2.在平面区域｛（%,y）104x<1,—1KyK1｝内随机投入一点P,则点P的坐标（羽y）满足不等式x+y>l的概率是

()

13

A.-B.-

44

12

C.—D.-

33

3.圆/+9—2%=。和圆九2+y2+4y=。的位置关系是（）

A.内含B.内切

C.相交D.外离

22

4.已知曲线C：土+乙=1,下列命题错误的是（）

mn

A.若加>〃>0,则C是椭圆，其焦点在x轴上

B.若加=〃>0,则C是圆，其半径为薪

C.若加则。是双曲线，其渐近线方程为y=±

D.若m>0,n<0,P为C上任意一点，耳，心为曲线。的两个焦点，贝！11|尸EIT尸耳||=2加

5.若4（0,1,2）,5（2,5,8）在直线/上，则直线/的一个方向向量为（）

A.（3,2,l）B.（l,3,2）

C.（2,l,3）D.（l,2,3）

7.若指数函数y="（a>0且awl）与三次函数y=d的图象恰好有两个不同的交点，则实数。的取值范围是（）

C2\

A.1©)B.l,ee

k7

c.(l,e)D.(e,+oo)

8.已知圆C:x2+y2+2x+4y+4=0,则圆上的点到坐标原点的距离的最小值为（）

A.^/5-lB.6

C.布+1D.6

9.若圆£:（%-。）2+/=/土〉0）与圆。2：/+〉2=4/2。〉0）相切，则a的值为（）

A.±3rB.±r

C.±3r或土rD.3r或厂

10.下列命题中，结论为真命题的组合是（）

①，，机=；，，是，，直线（相+2）x+3/孙+1=0与直线（加—2）x+（帆+2）y—3=0相互垂直”的充分而不必要条件

②若命题"T7AF"为假命题，则命题T）一定是假命题

③8>&是lga>怛b的必要不充分条件

2

④双曲线必一2L=1被点8（1,1）平分的弦所在的直线方程为2x—y-1=0

2

⑤已知过点（3,0）的直线y=k（x—3）（keR）与圆必+丁=9的交点个数有?个.

A.①③④B.②③④

C.①③⑤D.①②⑤

11.设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(Xi,yi)(i=l,

2,n),用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是

A.y与x具有正的线性相关关系

B.回归直线过样本点中心(，工)

C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kg

D.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重必为58.79kg

12.有甲、乙两个抽奖箱，甲箱中有3张无奖票3张有奖票，乙箱中有4张无奖票2张有奖票，某人先从甲箱中抽出

一张放进乙箱，再从乙箱中任意抽出一张，则最后抽到有奖票的概率是()

25

A.—B.—

714

75

C.—D.一

307

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

120

13.已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为T(。=不+15,其中丁(。为蜥蜴的体温(单位：。C)/为太阳落

山后的时间(单位：min).当/=min时，蜥蜴体温的瞬时变化率为-1.2C/min

14.已知点尸是抛物线丁=2内5〉0)的焦点，点A(2,分别是抛物线上位于第一、四象限的点，若

|AF|=10,贝!J尸的面积为.

15.已知y=/(x)是定义在R上的奇函数，当xNO时/(x)=x—2'+1,则当尤＜0时/(%)=.

16.抛物线y=Y的准线方程为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数=-%2-3,g(x)=2%lnx-ax.

(1)若函数八%)与g(x)在x=l处的切线平行，求函数g(x)在(1，与1))处的切线方程;

(2)当xw(0,+8)时，若g(x)N/(x)恒成立，求实数。的取值范围.

18.(12分)如图甲是由正方形ABC。，等边△A3E和等边组成的一个平面图形，其中48=6,将其沿A5,

BC,AC折起得三棱锥P—A3C,如图乙.

(1)求证：平面K4C，平面ABC；

(2)过棱AC作平面AQ0交棱收于点且三棱锥P-ACM和3-AQ心的体积比为1:2,求直线40与平面

PBC所成角的正弦值.

19.(12分)已知抛物线V=4x的焦点为尸，直线/交抛物线于不同的4、5两点.

(1)若直线/的方程为.v=x-l,求线段45的长；

(2)若直线/经过点P(-L0),点A关于x轴的对称点为⑷，求证：A\F、3三点共线.

20.(12分)如图，在直三棱柱ABC—A31G中，ZBAC=90°,A3=AC=A&=2,后是中点.

(1)求点A到平面AEG的的距离；

(2)求平面AEG与平面A3与4夹角的余弦值;

F,离心率e=g,且过点(J82)

21.(12分)已知椭圆C:三+%=1(。〉6〉0)的左、右焦点分别为月、2

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知过耳的直线/交椭圆C于A、B两点,试探究在平面内是否存在定点Q,使得。4是一个确定的常数?

若存在，求出点。的坐标；若不存在，说明理由

22.(10分)如图，四边形ABC。为矩形，BC=2A5=4,且平面ABCD，平面BCE.

⑴若F,G分别是A£）,鹿的中点，求证：FG//平面DCE；

（2）若一是等边三角形，求平面ABE与平面DCE夹角的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解题分析】根据各项的分子和分母特征进行求解判断即可.

21+132+1143+154+1

【题目详解】因为l=z=k，：=k，；=w=k，77=k，

2242-28231624

n+1

所以该数列的一个通项公式可以是4=3-;

53

对于选项B：所以本选项不符合要求;

-84

21

对于选项C：a3=-^~,所以本选项不符合要求;

32

53

对于选项D：所以本选项不符合要求,

84

故选：A

2、A

【解题分析】根据题意作出图形，进而根据几何概型求概率的方法求得答案.

【题目详解】根据题意作出示意图，如图所示：

于，所求概率P__SADE=2=1.

SABCD24

故选：A.

3、C

【解题分析】根据两圆圆心的距离与两圆半径和差的大小关系即可判断.

【题目详解】解：因为圆九2+丁2—2%=0的圆心为。"1,0）,半径为4=1,圆_?+/+—=（）的圆心为02（0,—2）,

半径为2=2,

所以两圆圆心的距离为|0021="（1-0）2+（0+2）2=下,

因为2—1（石＜2+1,即弓—4＜也（弓+4，

所以圆Y+/-2x=0和圆x2+y2+4y=0的位置关系是相交，

故选：C

4、D

【解题分析】根据椭圆和双曲线的性质以及定义逐一判断即可.

22

【题目详解】曲线C:土+匕=1,若加＞〃＞0,则。是椭圆，其焦点在X轴上，故A正确；

mn

若m=n＞0,则。：必+/=〃，即。是圆，半径为6,故B正确;

若侬＜0,则。是双曲线，当〃?＞0,〃＜0,则渐近线方程为产x=±,当机＜0,〃＞。，则渐近线方

程为y=x=±,故C正确;

若加>0,n<0,则C是双曲线，其焦点在X轴上，由双曲线的定义可知，|尸耳|一|07q=2而，故D错误；

故选：D

5、D

【解题分析】由题意可得首先求出直线上的一个向量A3,即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线(平行)

的坐标表示即可得出答案

【题目详解】•:A(0,L2),5(2,5,8)在直线/上,

...直线/的一个方向向量A3=(2,4,6),

又•••(l,2,3)=g(2,4,6),

(1,2,3)是直线I的一个方向向量

故选：D

6、B

【解题分析】利用函数的奇偶性排除选项A,C,然后利用特殊值判断即可

【题目详解】解：由题得函数/Xx)的定义域为｛x|x/。｝,关于原点对称.

所以函数/(-*)=以区=-/(彳)是奇函数，排除选项A,C.

-X

当时，/(%)>0,排除选项D,

故选:B

7、A

3InY

【解题分析】分析可知直线y=Ina与曲线y=/(%)在(0,+。)上的图象有两个交点，令罐=三可得出Ina=——，

JC

令〃X)=问题转化为直线y=lna与曲线y=/(x)有两个交点，利用导数分析函数”司的单调性与极值，

X

数形结合可得出实数。的取值范围.

【题目详解】当尤<0时，y=ax>0,丁=/<0,此时两个函数的图象无交点；

3Inx

当%>0时，由优=%3得xlnQ=31nx,可得lna=----,

x

令/(X)=——，其中％>0,则直线y=lna与曲线y=/(x)有两个交点，

X

J(x)=3(l[nx),当0<%<6时，/。)>0,此时函数〃%)单调递增，

3

当％〉e时,r(x)<0,此时函数/(X)单调递减,则〃x)max=/(e)=3,

e

且当龙〉1时，/(%)=—>0,作出直线y=lna与曲线y=/(x)如下图所示:

X

33

由图可知，当0<lna<一时，即当11时，

指数函数y=a*(a>0且awl)与三次函数y=式的图象恰好有两个不同的交点.

故选：A.

8、A

【解题分析】先求出圆心和半径，求出圆心到坐标原点的距离，从而求出圆上的点到坐标原点的距离的最小值.

【题目详解】。：/+/+2》+仃+4=0变形为(x+l)2+(y+2『=l,故圆心为(—1,—2),半径为1,故圆心到原

点的距离为J(-l『+22=石,故圆上的点到坐标原点的距离最小值为6-1.

故选：A

9、C

【解题分析】分类讨论：当两圆外切时，圆心距等于半径之和；当两圆内切时，圆心距等于半径之差，即可求解.

【题目详解】圆G的圆心为(。，°)，半径为「，圆的圆心为(0,0)，半径为2厂.

①当两圆外切时，有|a|=3乙此时。=±3八

②当两圆内切时，有|a|=r,此时。=土厂.

综上，当。=±3厂时两圆外切；当。=土厂时两圆内切.

故选：C

【题目点拨】本题考查了圆与圆的位置关系，解答两圆相切问题时易忽略两圆相切包括内切和外切两种情况.解答时注

意分类讨论，属于基础题.

10、C

【解题分析】求出两直线垂直时加值判断①；由复合命题真值表可判断②；化简不等式结合充分条件、必要条件定义

判断③；

联立直线与双曲线的方程组成的方程组验证判断④；判定点0,0)与圆好+y2=9的位置关系判断⑤作答.

【题目详解】若直线(m+2)x+3%+1=0与直线(机—2■+(机+2)丁—3=0相互垂直，贝！|

(m+2)(m—2)+3m(m+2)=0,

解得加二-2或加=工，

2

贝！|“根=；”是“直线+2)x+3/孙+1=0与直线(加―2)x+(m+2)y—3=0相互垂直”的充分而不必要条件，①正

确；

命题“「PAF”为假命题，则与r至少一个是假命题，不能推出一定是假命题，②不正确；

4a>4b<^a>b>Q，lga>lgba>b>0,则&>振是Iga>但人的必要不充分条件，③正确；

由［2x1-2y7-l2=20消去,并整理得:

2%2—4X+3=0，△=(—4)2—4义2义3=—8<0,

2

即直线2x—y-1=。与双曲线好一21=1没有公共点，④不正确;

2

点(3,0)在圆好+V=9上，则直线y=k(X-3)(keR)与圆好+y2=9至少有一个公共点，

而过点(3,0)与圆必+y2=9相切的直线为1=3,直线y=左(％—3)(keR)不包含％=3,

因此，直线丁=左(九—3)/eR)与圆好+/=9相交，有两个交点，⑤正确，

所以所有真命题的序号是①③⑤.

故选：C

11、D

【解题分析】根据y与x的线性回归方程为y=0.85x-85.71,则

%=0.85>0,y与x具有正的线性相关关系，A正确；

回归直线过样本点的中心(元歹)，B正确；

该大学某女生身高增加1cm,预测其体重约增加0.85kg,C正确；

该大学某女生身高为170cm,预测其体重约为0.85X170-85.71=58.79kg,D错误

故选D

12、B

【解题分析】先分为在甲箱中抽出一张有奖票放入乙箱和在甲箱中抽出一张无奖票放入乙箱，进而结合条件概率求概

率的方法求得答案.

【题目详解】记片表示在甲箱中抽出一张有奖票放进乙箱，当表示在甲箱中抽出一张无奖票放进乙箱，A表示最后

抽到有奖票.

31331?31?15

所以，］，于是入田=］乂=五.

p(4)=k=QP(AI4)=P(B2)=^-,P(A\B2)^-,5*3+5

故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、5

【解题分析】求得导函数，令T")=-L2,计算即可得出结果.

120

【题目详解】T(f)=——+15,

7Z+5

T'(f)=T20

(f

-120

令T")=-1.2,得：——7=-1.2.

解得：t=5.

二时刻f=5min时，蜥蜴的体温的瞬时变化率为-1.2C/min

故答案为：5.

14、42

【解题分析】由焦半径公式求得参数。，得抛物线方程，从而可求得A3两点纵坐标，再求得直线A5与％轴的交点

坐标后可得面积

【题目详解】因为|”|=2+言=10,所以夕=16,抛物线的方程为V=32x,把x=1■代入方程，得y=-4(y=4

舍去)，

1

X—

即出,-4).同理4(2,8),直线AB方程为U

-即y=8x—8.所以直线A3与x轴交于点。。,0),

2——

2

所以SMF=gx(8—1)义|%—%|=42.

故答案为：42

15、/(x)=x+2T—l

【解题分析】当x<0时，利用—x>0及/(%)=—/(—£)求得函数的解析式.

【题目详解】当》<0时，—x>0,由于函数是奇函数，故/(x)=—/(—无)=—[―x—2-工+1]=尤+2-*—1.

【题目点拨】本小题主要考查已知函数的奇偶性以及》轴一侧的解析式，求另一侧的解析式，属于基础题.

1

16、y=—

4

【解题分析】由抛物线的标准方程为x2=y,得抛物线是焦点在y轴正半轴的抛物线，2p=l,

,其准线方程是y=-e,丁=-工

24

故答案为y=-■-

4

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)2x+y+2=0；(2)(—8,4].

【解题分析】(1)求出函数的导数，利用切线平行求出用即可求出切线方程；

33

(2)先把已知条件转化为〃+21n%+—,令//(%)=%+21n%+—(0,+a)),利用导数求出/z(x)的最小值，

即可求出实数a的取值范围.

【题目详解】⑴/(％)=-2x,故左=/■'⑴=—2,而g'(x)=2(lnx+l)—a,故g'⑴=2—a,故2—a=—2,解

得:a=4,故g(l)=—a=—4,故g(x)的切线方程是:y+4=—2(x—l),

即2x+y+2=0；

3

(2)当xw(O,+8)时，(?(%)2/(%)恒成立等价于。<%+2111%+—，

x

3231

令/z(x)=%+21n%+—,%£(0,+8)厕"(%)=11------=—(x+3)(x-l),

XXX

令解得：％>1；令解得：0<%<1；

所以“(x)=x+21nx+巳在(0,1)上单减，在(1,+8)上单增，

X

所以/z(x)1nm=l+21nl+；=4,所以aW4.

即实数a的取值范围为(-8,4].

18、(1)证明见解析；(2)叵.

7

【解题分析】(1)取AC的中点为。，连接60,PO,证明POJLAC,POLOB,即证平面ABC,即证

得面面垂直；

(2)建立如图空间直角坐标系，写出对应点的坐标和向量AM的坐标，再计算平面法向量”，利用所求角的正

弦为cos/AM,n\即得结果.

【题目详解】(1)证明：如图，取AC的中点为。，连接60,PO.

VPA=PC,：.PO±AC.

VPA=PC=6,ZAPC=9Q°,

/.=1AC=3A/2,同理30=30・

又PB=6,P()2+OB?=PB?,

：.PO±OB.'：AC\OB=O,AC,OBu平面ABC,

.•.POL平面ABC.

又POu平面PAC,

：.平面PAC_L平面ABC；

(2)解：如图建立空间直角坐标系，根据边长关系可知，A(3行,0,0),C(-372,0,0),6(0,3&,0),P(0,0,372),

•.•三棱锥P—ACM和3—ACM的体积比为1:2,

：.PM:BM=1:2,

:.M(QQ,2吟,

UUUL/厂L/—\

AM=(-3y/2,42,242).

设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),

3y/2x+3y/2y=0

令x=l,=(1,—1,—1).

3y/2x+3y/2z=

设直线AM与平面PBC所成角为0,

直线AM与平面PBC所成角的正弦值为叵.

7

【题目点拨】方法点睛：

求空间中直线与平面所成角的常见方法为：

(1)定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；

(2)等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；

(3)向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.

19、(1)8；(2)证明见解析.

【解题分析】(1)联立直线与抛物线方程，应用韦达定理及弦长公式求线段A3的长；

(2)设/为x=Ay-1,联立抛物线由韦达定理可得力+为=4左，力力=4,应用两点式判断左BF—左府是否为。即

可证结论.

【小问1详解】

由题设，联立直线与抛物线方程可得(x—1)2=4x,则J—6x+l=0，A=62—4xl=32>0,

AxA+xB-6,xAxB=1,

所以|AB|=y/l+k~­\xA~xB|=\/2--^CxA+xB)~—4XAXB=8.

【小问2详解】

由题设，F(1,O),又直线/经过点P(-1,O),此时直线斜率必存在且不为0,可设/为x=6-1,

联立抛物线得：/一4矽+4=0,则以+为=4左，力%=4,

%而k=%=%

又A'(%A,-%)，故kFA=-46「2'而"xB-l砥-2'

T

%+%=2(%+%)=8k-8k

所以^BF—^FA,

2

kyB~灼A—2左2力力-24(力+%)+44(1-左2)

所以⑷、F、5三点共线.

2。、(!)半

(2)

3

【解题分析】(1)以A为原点，AB为x轴，AC为V轴，A4为z轴建立空间直角坐标系，求出平面AEG的法向

量为〃，再利用公式四匚可计算即可；

\n\

(2)易得平面A3与4的法向量为a。，设平面AEG与平面A34A的夹角为夕，再利用cos。=|cos<AC,”>|计算

即可

小问1详解】

解：(1)以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，44]为z轴建立空间直角坐标系

所以4(0,0,0),40,0,2),5(2,0,0),4(2,0,2),C(0,2,。),£(0,2,2),E(l,l,0),

因为荏=(1,1,0),隔=(0,2,2),丽=(0,0,2)

AE-n=0fx+y=0

设平面AEG的法向量为〃=(x,y,z),则有…八，得■八，

■AQ-n=0[y+z=0

令y=T则x=i,z=i,所以可以取〃=(1,-1/),

设点A到平面AEC的距离为d,则d=|A4|-/?I=之=巫,

\n\733

所以点4到平面AECX的的距离的距离为其I；

3

【小问2详解】

(2)因为AC,平面取平面A34A的法向量为AC=(0,2,0)

设平面AEQ与平面ABB.A,的夹角为0,

所以cos。=|cos<AC,n>\-1"=—

|AC||“I3

平面AEG与平面ABBA夹角的余弦值—

3

（2）存在，定点1,0

【解题分析】（1）根据已知条件求得力,/,由此求得椭圆。的方程.

（2）对直线AB的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线AB的方程并与椭圆方程联立，结合QAQB是常数列方程,

从而求得定点。的坐标.

小问1详解】

2221

2ca-b,bb-2

,-—7---2—=1---9-T=-

aaaa3

b2_2

a7-3

由题可得：＜n<

卜6记4_=1

【小问2详解】

当直线A3的斜率存在时，设直线A8的方程为丁=左（尤+2）,设3（9,%），

y=k(x+2)

联立方程组《22,整理得（2+3左2）尤2+12左2%+i2（攵2_2）=0,

三+乙=1

1128

一殂T2E12（左2_2）

可得石+一江正，玉“下市

所以=-a.yx-Z?）-（x2-a.y2—b）=（%—。乂/-”）+（g+2左一+2左一Z?）

=（1+左2）%]%2+（2左2—bk—〃）（玉+/）+4k2—4kb+Z?2+tz2

—12£,+4公-4抄+/+。2

-bk-

2+3左2

3a2+3/+12"4—34=0

844

则8b=0，解得a、—