2024年高考数学 复数 同步练习（解析版）

复数

目录一览

2023董题展现

考向一复数的运算

考向二复数的代数表示法及其几何意义

真题考查解读

近年真题对比

考向一.复数的代数表示法及其几何意义

考向二.复数的运算

考向三.共辗复数

命题规律解密

名校模拟探源

易错易混速记/二级结论速记

：2023年真题展现

考向一复数的运算

1.(2023・新高考I•第2题)已知z=则z-，=()

A.-zB.iC.0D.1

【答案】/

副IT1IT1(1-Q21.

角牛：Z-24-2i-2，l+i-2，(l+i)(l-0一一5'‘

贝亚=去,

故z-7=-z.

故选：A.

考向二复数的代数表示法及其几何意义

2.(2023•新高考H•第1题)在复平面内，(l+3z)(3-i)对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】4

解：(l+3z)(3-z)—3-z+9z+3—6+8z,

则在复平面内，(l+3z)(3-z)对应的点的坐标为(6,8),

位于第一象限.

故选：A.

真题考查解读

力—

【命题意图】考查复数的相关概念与四则运算，考查运算求解能力.

【考查要点】复数是高考考查热点之一，以选择题、填空题的形式出现.考查复数的相关概念

与复数的四则运算交汇.常考的命题角度①复数的概念问题②复数的四则运算③复数的几

何意义；④复数的模.

【得分要点】

1.复数的四则运算

(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算.

(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共辗复数.

2.复数的几何意义

(l)z=o+M(tz,bGR)=Z(a,b)Q.

(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系

在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.

近年真题对比］

考向一.复数的代数表示法及其几何意义

1.(2021•新高考II)复数2L在复平面内对应点所在的象限为()

1-31

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A.

解...2-i_(2-i)(l+3i)^2+6i-i-3i2_5+5i1.

,,l-3i(l-3i)(l+3i)=I2+(-3)2IF革节i，

二在复平面内，复数2^■对应的点的坐标为(工，工)，位于第一象限.

l-3i22

考向二.复数的运算

2.(2022•新高考II)(2+2力(1-2力=()

A.-2+4/B.-2_4zC.6+2zD.6-2z

【答案】D.

解:(2+2，)(1-2z)—2~4z+2z-4於=6-2z.

考向三.共舸复数

3.(2022•新高考I)若i(1-z)=1,则z+W=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D.

解：由i(1-z)=1,得1-z=—

i-2L

；・z=l+3则z=l-i，

z+z=l+i+l-i=2.

4.(2021•新高考I)已知z=2-3则z(zH)=()

A.6-2zB.4-2zC.6+万D.4+2/

【答案】C.

解：'：z=2-i,

：.z(z+z)=(2-z)(2+z+z)=(2-z)(2+2z)=4+4/-2/-2z2=6+2z.

命题规律解密

分析近三年的高考试题，可以发现复数考察四个考点：复数的概念、复数的运算、复数的代数表示法及其

几何意义、复数的模。预计2024年还是主要体现在这四个考点上出题。

名校模拟探源

一、单选题

3-i_

1.(2023•陕西咸阳•武功县模拟预测)己知复数2==，若z的共辗复数为1则z；=()

1+1

A.亚B.5C.V10D.10

【答案】B

2.(2023•安徽合肥•二模)设i是虚数单位，则复数二在复平面内所对应的点位于

1-Z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

2z2z(l+z).、

解：由题意得口T+i,所以在复平面内表示复数-1+i的点为在第二象限.

2

3.（2023•四川德阳•统考模拟预测）在复平面内，复数「（i是虚数单位）对应的点位于（

1-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

解：匕=（1，；1）=二="，在复平面内对应的点在第一象限.

4.（2023,江苏徐州模拟预测）已知复数z-2亍=l+3i,其中i是虚数单位，贝心=（）

A.1+iB.1—iC.—1+iD.—1—i

【答案】C

解：设z=a+6i,bwR,则z-2亍=一。+3历=1+3i,

故。=-1,b=l,z=-l+i,

5.(2023•全国校联考三模)已知复数z,z。满足|z-z0|=后,闻=收，贝||z|的最大值为()

A.V2B.2-\/2C.4D.3A/2

【答案】B

解：因为|2|-田斗-1=拒，所以所以|z区2vL所以⑶的最大值为2血.

6.（2023•河南开封•统考三模）在复平面内，复数z对应的点的坐标为（-3,-1）,则土=（）

1

A.-l-3iB.-3-iC.3-iD.-l+3i

【答案】D

解：因为复数z对应的点的坐标为（-3,-1）,

所以z=-3-i,

7-3-i_(-3-i)i_l-3i

所以*=-l+3i.

1

7.（2023•宁夏银川•统考一模）已知复数z在复平面内对应的点是（0,1）,则——=（）

z

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

【答案】B

解：复数Z在复平面内对应的点为（OJ）,则2=匕

所以上=1

Zi-ix(-i)1

8.（2023•福建厦门•统考模拟预测）已知（2-i）z=3,则在复平面内z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】A

/、33（2+i）6+3i63.

解：因为（2T）Z=3,所以z=12T（2+i）=—I—i

131555

63

所以复数z在复平面内所对应的点为,位于第一象限;

555

9.(2023•湖南常德市模拟预测)已知复数Z］与z=4-2i在复平面内对应的点关于实轴对称，则?=

1-1

（）

A.-l-3iB.-l+3iC.l-3iD.l+3i

【答案】D

解:由z=4-2i对应点为(4,-2),则Z］对应点为(4,2),故4=4+2i,

所以二=2(2+1)=2(2+DU+1)=］+不,

1-i1-i2

10.(2023•河北沧州•统考三模)若两个复数的实部相等或虚部相等，则称这两个复数为同部复数.已知

z=(l-i)3,则下列数是z的同部复数的是()

A.2+iB.3-2iC.4-iD.-3+2i

【答案】B

解：由于z=(l-i『(l-i)=-2i(l-i)=-2-2i,其实部和虚部均为-2,

而3-2i与z的虚部相等，其余选项均不符合题意，所以3-2i是z的同部复数.

11.(2023•海南海口模拟预测)设二7=，_i,其中a,6为实数，则()

1+21

A.a=-5,b=2B.a=5fb=-2

C.a=5,b=2D.a=—5,b=—2

【答案】A

角军：一山=(b+i)(l+2i)=(b-2)+(2b+l)i,

a-2=0

'\2b+l=-af

b=2,a=—5.

12.（2023•吉林长春模拟预测）复数2i的平方根是（）

A.1+i或—l—iB.2iC.1+iD.-1-i

【答案】A

解：设2i的平方根为x+yi（xj£R）,则（x+yi）2=2i,BPx2-y2+2xyi=2i,

x--1,

从而「"。'解得

2xy=2J,y=i

所以复数2i的平方根是1+i或-l-i,

13.(2023•陕西安康中学模拟预测)设复数z=(l-2i)(〃+i)(a£R),z的实部与虚部互为相反数，则。=

()

A.-3B.--C.2D.3

3

【答案】D

解：z=(l-2i)(a+i)=4+2+(l-2a)i,

由已知得。+2+1-2。=0,解得a=3,

14.(2023海南华侨中学一模)设i为虚数单位，复数z满足(l+i)z=(-l+i)2,则匕+2|=()

A.41B.2C.y/3D.1

【答案】A

解：•；z=(T+i『=刍=_一,...|z+2|=|l-i|=V2.

1+i1+i

15.(2023•广西模拟预测)已知复数z满足z+彳=8,zN=25,贝。2=()

A.3±4/B.±3+4zC.4±3zD.±4+3z

【答案】C

解：设2=°+现。/€尺)，

依题意得，2。=8,a2+b2-25-

解得”=4,b=±3,所以z=4±3i.

16.(2023•江西南昌十中模拟预测)如图，在复平面内，复数z对应的点为尸，则复数z.i=()

A.2-iB.l-2iC.-l+2iD.-2-i

【答案】D

解：由图可知，点尸的坐标为(-1,2),故z=T+2i,

贝5]z-i=(-l+2i)-i=-2-i.

17.(2023•河南郑州模拟预测)已知i为虚数单位，复数z满足2(l+i)=l+3i,贝丘+2i的虚部为()

A.2B.3C.2\D.3i

【答案】B

l+3i_(l+3i)(l-i)_4+2i

=2+i

解:由题可得2=1+i-(l+i)(l-i)-2

故z+2i=2+3i,其虚部为3,

♦♦2•2023

18.（2023•河南南阳中学三模）已知i为虚数单位，zJ+1+…+1，则复数I在复平面上所对应的点

1-i

在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

解：因为iW+i’z+i,N+i*=j_1_i+]=0,

..2.2023

1+1+•••+1T=Y+i)11.

则2=---------1

1-il-i-(l-i)(l+i)22

所以三=—+gi在复平面上所对应的点为位于第二象限.

19.（2023江苏省镇江中学三模）已知复数Z1=l+2i,Z2=2-i（i为虚数单位），Z3在复平面上对应的点

分别为若四边形为平行四边形（O为复平面的坐标原点），则复数公为（）

A.l-3iB.l+3iC.-l+3iD.-l-3i

【答案】B

解：因为复数Z=l+2i、z?=2-i（i为虚数单位）、Z3在复平面上对应的点分别为4B、C,

所以4（1,2）/（2,T）,

设C（xj）,因为0/8C为平行四边形（。为复平面的坐标原点），

所以罚=。心，

fx=1

所以（1,-3）=（x,y）,所以

b=-3

所以Z3=l-3i,所以兀=l+3i,

20.（2023•河南郑州模拟预测）已知（3+叫（-l+i）=4+2i（°,beR,i为虚数单位），则复数

a--bi=()

2

A.2B.V5C.gD.6

【答案】B

解：•.•(3+ai)(-l+i)=-6+2i,

.•.(3-a)i-Q-3=2i-b,

-a-3=-ba=1

3・2'解得

6=4

所以a——bi=|1—2i|=V5.

21.（2023•河南,校联考模拟预测）已知复数2=a+bi,其中a,6为实数，且满足（2+a）（l-2i）=5-5历,

则Z的虚部为（）

A.-2iB.2iC.-2D.2

【答案】D

解：依题意，（2+。）（1一2i）=（2+a）-（4+2a）i=5-5历，而a力为实数,

[2+。=5

则”.“，解得“=3,6=2,所以复数z=3+2i的虚部为2.

[4+2。=56

22.（2023・河南模拟预测）已知ZMTR+I则在复平面内，复数z所对应的点位于（）

（J）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

M23

解：•.-Z=^+i-（5-i）=^+（-i）.（5-i）=1i+2-5i-l=l-|i；

（1-1）-2122

・••复数z所对应的点为，，-T]，位于第四象限.

Ii2023111

23.（2023•云南曲靖模拟预测）已知复数2="!—（i是虚数单位），则H=（）

l+2i|z|

A.—B.WC.V5D.V3

53

【答案】C

解：4一州一『一’.

24.（2023•河北沧州模拟预测）已知复数z满足Z2+2Z+2=0,则复数，在复平面内对应的点位于（）

A.第一、二象限B.第三、四象限C.第一，四象限D.第二、三象限

【答案】D

解：设z=a+6i,a,bwR,所以z?+2z+2=0na?-b?+2abi+2a+2bi+2=0,

所以I：J：?：*2°,解得a=；T8=±l,所以z=-l土i,

[2ab+2b^0

25.（2023•安徽•合肥一中模拟预测）若复数z满足z（cos6（F+isin60o）=T+Gi,贝1的共辗复数的虚部

是（）

A.-V3B.-V3iC.也D.后

【答案】A

+i*=-l+®

解：因为Z

_-1+V3i_rr.

所以“「NF’

5+1了

所以彳=1-戊，

所以彳的虚部是-石,

26.（2023・湖南益阳安化县第二中学三模）已知复数z满足Z（l+2i）=5,则复数z的虚部为（）

A.-2B.5C.-2iD.2

【答案】A

5

解：因为z（l+2i）=5,所以z=1-2i,

l+2i(l+2i)(l-2i)

故复数z的虚部为-2.

27.（2023•江苏・金陵中学三模）已知复数z满足z（l+i）=5+i,则复数z在复平面内所对应的点位于

)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

»r5+i（5+i）（l—i）6—4i

解：因m为z=——-----——L=---------=3-21,

1+i22

所以点（3,-2）位于第四象限.

28.（2023•湖南长沙倜南中学二模）若复数z=三，则|z+2-3i|=（）

1+1

A.V13B.V17C.4D.5

【答案】D

所以i+2-3i=l-i+2-3i=3-4i,

所以|z+2_3i|=|3_4i|=小32+（-4）2=5.

29.（2023・福建泉州•五中模拟预测）已知复数z满足|z+i|=l,则匕+1］的最大值为（）

A.V2B.2C.V2+1D.3

【答案】C

解：设2=。+〃,4,6wR,

因为|2+“二,+(6+1)4=1,

所以1+e+1）2=1,

因为|z+11=卜+1+历|=++/，

所以匕+1|相当于圆/+伍+1）2=1上的点到点（TO）距离，

所以匕+1|的最大值为圆心（O,T）到点（T,0）距离与圆的半径1的和，即夜+1.

30.（2023•云南模拟预测）己知Z1,Z?是方程/一2x+2=0的两个复根，则忖一z,=()

A.2B.4C.2iD.4i

【答案】B

解：已知％,Z2是方程》2一2》+2=0的两个复根，所以z=生石=斗&=1土i,

-22

则设Z]=l+i,z2=l-i,所以忖-z4=|（zi+z2）（z1-z2）|=|2x2i|=|4i|=4,

31.（2023・全国•模拟预测）设z是复数且匕-l+2i|=l,则目的最小值为（）

A.1B.V3-1C.V5-1D.V5

【答案】C

解：根据复数模的几何意义可知，|-1+切=1表示复平面内以（1,-2）为圆心，1为半径的圆，而目表示复

数z到原点的距离，

22

由图可知，|z|mm=^1+（-2）-1=V5-1.

32.（2023•新疆喀什模拟预测）已知目=5,z+彳=8则z在复平面内的坐标是（）

A.（4,3）B.（4,-3）

C.（4,3）或（4,一3）D.（4,3）或（一4,3）

【答案】C

解：设2=。+研氏b^R）,由忖=5,z+亍=8得

22

yja+b=5，a+bi+a-bi=Sf解得Q=4,b=3,或a=4,b=—3,

所以z=4+3i,或z=4-3i,则z在复平面内的坐标是（4,3）或（4,-3）.

二、多选题

33.（2023・重庆•统考二模）已知复数句，Z2，则下列结论中正确的是（）

A.若z/zcR,则Z2=Z]B.若2必2=0,则4=0或Z2=0

C.若Z/2=Z]Z3且2]#0,贝!|Z2=Z3D.若z；=z；,则㈤=22|

【答案】BCD

解：对于A,若2]Z2eR,例如：4=1/2=2,贝I]马W马，故A错误;

对于B,若空2=0,则匕闵二阂㈤二。，所以归|=0或"|=0至少有一个成立，即4=0或Z2=0,故B正

确;

对于C,由Z[Z2=Z]Z3，则Z](Z2-Z3)=0,z^O,z2=z3,故C正确;

对于D：若z：=z；,则㈤=%|,故D正确.

34.（2023•重庆一中模拟预测）定义复数的大小关系：已知复数%=%+恒，z2=a2+b2i,%,a2,b1,

%eR.若为＞。2或（％=。2且4＞打），称4＞22.若％=出且称4=4.共余情形均为

2

Z1<Z2•复数〃，V,W分别满足：W2+l/+l=0,V=|w+l|=l,则()

A.u<w<vB.ii=v-wC.v>u=wD.w<u<v

【答案】ACD

解：设复数n=a+6i(a,6eR),若6=0,因为aeR,贝！I/+.+1=0无解,

所以a,bwR,6wO,将M=a+6i代入〃2+〃+1=0,可得,

a2-b2+2abi+Q+bi+]=0,BPa2-b2+«+l+(2«+l)M=0,

1

a=----

Z)2+q+l=0

所以，丹r以〃=—土—1，

(2a+l)6=0入)322

b=±——

2

2

'6+1|4+273=z,

又因为v=

242

设卬=x+yi(x,yeR),所以|校+1|=J(x+iy+y2=1,

所以（x+iy+r=i,

所以复数卬=工+加对应的点在以（-1,0）为圆心，1为半径的圆上,

所以-24xW0,-l4〉（l,从而v最大，故B错误;

若x=_:，y=±^-,则土乌,

2,222

所以当“=一!+91,心」+近।或16

U=-----------1

222222

时〃=w,则v>〃=w,C正确;

若」<xWO,此时〃<w,

贝A正确;

2

若无<_g,此时则v>“>w,D正确；

35.（2023・全国•模拟预测）已知z是复数，且二■为纯虚数，则（）

z-1

A.|z|=1B.z-z=1

C.z在复平面内对应的点不在实轴上D.匕-2-24的最大值为行

【答案】ABC

/、z+1（x+l+yz）（x-l-^z）x2-1+y2-2yiz+1

解：由题意设2=苫+”.5了©1i）,则口=（x_i+”）（x7f「（xT『+V•因为"为纯虚数,

所以--1+/=0,且y力0,因此问="一+.=1,z在复平面内对应的点不在实轴上，所以A,C正

确;z-z=x2+y2=l,所以B正确;匕-2-24表示圆Y+/=i（"0）上的点到点（2,2）的距离，且最大距

离为20+1，所以D不正确.

36.（2023•河北石家庄三模）己知复数4=1+27,复数z满足|z-zj=2,则（）

A.4•4=5

B.V5-2<|z|<V5+2

C.复数引在复平面内所对应的点的坐标是（-1,2）

D.复数z在复平面内所对应的点为ZG，y）,则（x-l）2+（y-2）2=4

【答案】AD

解：由已知1=1-2i,其对应点坐标为（1,-2）,C错;

22

zI-zI=1+2=5,A正确；

由|z-zj=2知z对应的点在以句对应点为圆心，2为半径的圆上，匕|=6,

因此逐一24目W6+2,B错误；

Z对应点坐标为（1,2）,因此D正确.

37.（2023■江苏苏州•模拟预测）已知i是虚数单位，复数句=（加-l）+"+l）i.eR）,

z2=cos^+isin^(^eR),贝"()

A.任意〃zeR,均有团＞"|B.任意加21,均有zRO

C.存在〃zeR,使得Z[=2D.存在“zeR,使得匕112|=拒-1

【答案】AD

解：根据复数的概念可知4=（加-l）+（/+l）i（加21）不能与实数比大小，故B错误;

由复数的模长公式可得闵=J（加-I）。+（〃/+i）~，㈤=Vcos20+sin20=1,

(777-1)2>0

易知＜且不能同时取得等号，故团＞1="|,即A正确;

(m2+l)2>1

%-2脚动点E（m-l,m2+l）到动点F（cos^,sin^）的距离，显然E在抛物线＞=（》+炉+1上,尸在单位圆

上，如图所示，

当防=0,。=_45。时，,-22|=后一1，故D正确；

fm-l=cos0

若存在mER,使得弓=z,贝U2।4

12[m+l=sm0

由上知（加-l）2+（/+l）2＞l=cos*+sin*,即上述方程组无解，故C错误；

三、填空题

38.（2023福州第一中学三模）已知复数4,Z2满足4=1,归一21=3,则㈤的最大值为.

【答案】4

解：设z?=。+&(。eR,6eR),

则Zj_z?—i_(q+6i)=—a+(1-b)i,

所以|z「Z2|=击2+仅_1/=3,即"+(6-1)2=9,吐卜2,4],

222

|z2|=>Ja+b=+b=126+8,

当6=4时，则㈤取得最大值，最大值为j2x4+8=4.

39.（2023・上海华师大二附中模拟预测）复数z满足2+1=1,卜-4=2,则目=.

【答案】当

解：设z=a+6i(a,6eR),则［=°_历，

〃+历+Q-bi=2。

所以z+z=l,i(z-z)=2^lj

i(a+bi-a+bi)=-2b

ci=­

所以2,所以z丁i,

b=-\2

故书后J+(->学

40.(2023•福州第一中学二模)已知复数z=l+2i,若i”-z(〃eN*)在复平面内对应的点位于第四象限，

写出一个满足条件的n=.

【答案】3(4〃+3,〃eN中的一个均可)

解：复数z=l+2i,可得i"-z=i"-(l+2i)=i"+2严I

当”=4后+3时，可得i软+3.z=i«+3+2i软+4=2—i，

此时复数i".z对于点点位于第四象限，

当先=0时，”=3符合题意.

41.(2023•广东佛山模拟预测)已知2i-3是关于x的方程2x2+px+g=0的一个根，其中P,0为实数，

贝”+4=.

【答案】38

解：因为2i-3是关于x的方程2x2+px+g=0的一个根，

所以-3-2i也是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，

所以(2i—3)+(—3-2i)=_"^■且■^■=(2i—3〉(—3—2i),

所以p=12,j=(-3)2-(2i)2=13,<7=26,

所以p+q=38.

42.(2023•安徽蚌埠三模)已知aeR,i为虚数单位，若复数z=i(a-i),忖=2,则。=.

【答案】土百

解：因为z=i(a-i)=l+ai

由匕|=2,得+]=2,得°=±6.

43.(2023・上海华师大二附中三模)在复平面内，复数z所对应的点为