2024届江苏省常州市高三年级上册期末监测数学试卷及答案

常州市教育学会学业水平监测

高三数学2024年1月

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写

在本试卷上无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.设集合4={xM=x},B=Wlnx<0},贝l]AUB=

A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(0,1)

1

2.在复平面内，复数z=--+Ji对应的向量为。4,复数z+1对应的向量为那么向

22

量A8对应的复数是

A.1B.-1C.giD.-在i

3.已知实数。，b满足等式lga=lnb,下列三个关系式中可能成立的个数为

①a<b<\',(2)1<a<b③。=b.

A.0B.1C.2D.3

4.对任意实数a,b,C,在下列命题中，真命题是

A.(iac2>bc2"是“a>b”的必要条件

B.%/=婷”是“a=b”的必要条件

C.“姆…”是“a=b”的充分条件

D.是的充分条件

5.已知扇形的半径为5,以。为原点建立如图所示的平面直角坐标系，。4=(5,0),

08=(4,3),弧A3的中点为C,则OC=

（第5题图）

93

'-（215）D.（2g,⑹

6.已知正三棱锥尸-ABC的侧棱长为3,当该三棱锥的体积取得最大值时，点A到平面PBC

的距离是

A.3MB.依C.3口.■

7.已知定义在R上的函数八尤）的导数为了（元），/（l）=e,且对任意的x满足了（无）-五劝<3；则

不等式於）>在，的解集是

A.（-00,1）B.（-00,0）C.（0,+oo）D.（1,+oo）

8.已知圆C的直径A2长为8,与C相离的直线/垂直于直线垂足为且0<A8<

2,圆C上的两点P,。到/的距离分别为4,诙且为不4.若4=”，d2=AQ,贝4

+4=

A.2B.4C.6D.8

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.已知一组样本数据尤1,%2,%（"24）,其中尤1<0<尤,，若由2尤*+1（左=1,

2,…，力）生成一组新的数据为，丝，…，y„,则这组新数据与原数据可能相等的量有

A.极差B.平均数C.中位数D.标准差

10.对某城市进行气象调查，发现从当天上午9:00开始计时的连续24小时中，温度。（单

1

位：°C）与时间r（单位：h）近似地满足函数关系。=Asincox+B（A>0,B>0,0<®<-）,

其中0WW24.已知当天开始计时Q=0）时的温度为25℃,第二天凌晨3：00时温度最

低为19℃,则

兀

A.①二——

12

B.当天下午3：00温度最高

C.温度为28℃是当天晚上7:00

D.从当天晚上23：00到第二天清晨5:00温度都不高于22℃

11.在棱长为2的正方体ABCD-AfiCQi中，尸在线段2必上运动（包括端点），下列说法

正确的有

A.存在点P,使得平面A1ZJ8

B.不存在点P,使得直线GP与平面MDB所成的角为30°

C.PC+P。的最小值为2g

D.以P为球心，B4为半径的球体积最小时，被正方形AOOHi截得的弧长是咨

2x+1

12.关于函数八x）=y=,下列说法正确的有

也+1

A.函数八x）的图象关于点（-；,0）对称

B.函数八功在（-*2）上单调递增，在（2,+◎上单调递减

C.若方程段）二1恰有一个实数根，则f=近

D.若VxdR,都有八龙）＞,71,则mW-2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

xy

13・已知双曲线的标准方程为三十三小则该双曲线的焦距是-

Va~X+x'尤＜0,市通）则实数a的值为_________

14.已知函数段）=logu-2,x＞0,）3

（第15题图）

15.如图，以等腰直角三角形54Ml的直角边B4i为斜边，在△BAMi外侧作等腰直角三角

形区4自2,以边8Ao的中点01为圆心，作一个圆心角是90。的圆弧AMi；再以等腰直角

三角形54^2的直角边胡2为斜边，在ABAA2外侧作等腰直角三角形胡幺3以边54

1

的中点。2为圆心，作一个圆心角是90。的圆弧44；…；按此规律操作，直至得到的

直角三角形氏4一4的直角顶点八首次落到线段54。上，作出相应的圆弧后结束.若BA

0

=4,则：,所有圆弧的总长度为.

16.已知二面角a-/-/为60。，a内一条直线机与/所成角为30。，/内一条直线w与/所

成角为45°,则直线m与直线n所成角的余弦值是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)

2

已知等差数列｛为｝的前n项和为Sn=n+cn+c.cGR.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)记6”为｛4｝在区间(0,2](%GN*)中的项的个数，求数列｛d｝的通项公式.

18.(12分)

某制造商生产的5000根金属棒的长度近似服从正态分布M6,『)，其中恰有114根金

属棒长度不小于6.04.

⑴求c；

(2)如果允许制造商生产这种金属棒的长度范围是(5.95,6.05),那么这批金属棒中不合格的

金属棒约有多少根？

说明：对任何一个正态分布X~Na,4)来说，通过Z=刍2转化为标准正态分布

(7

Z-M0,I),从而查标准正态分布表得到尸(X<X1)=①(Z).

可供查阅的(部分)标准正态分布表①⑦

Z1.11.21.31.41.51.61.71.81.9

⑦(Z)0.86430.88490.90320.91920.93320.94520.95540.96410.9713

Z2.02.12.22.32.42.52.62.72.8

我Z)0.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.9974

19.（12分）

71

记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,AC边上的图为/?,已知8="

⑴若b=回,求£的值；

a

⑵若c-a=〃，求sinA-gcosA的值.

20.（12分）

如图，在四棱锥P-ABCO中，底面ABC。是边长为2的正方形，PA=AD,PD=2®M

是A8的中点，N是线段PC上一点，且〃平面以。，MNLPC.

⑴求证：CD_L平面E4D；

（2）求平面MNC与平面PBD所成的二面角的正弦值.

（第20题图）

21.（12分）

已知函数/W=〃ze'+cosx+w,曲线y=/(x)在点(0,犬0))处切线方程为y=x.

⑴讨论函数/(x)在[-兀，+8)上的单调性；

(2)当xd[0,+8)吐病)\3sinx-"恒成立，求实数”的取值范围.

22.(12分)

xy

已知椭圆c：-+『=l(a>b>0)的左焦点为凡离心率为e,A,B是C上的相异两点,

ab

P(2a,0).

⑴若点A,B关于原点对称，且阴，所，求e的取值范围；

(2)若点A,B关于x轴对称，直线外交C于另一点。直线2。与x轴的交点。的横

坐标为1,过。的直线交C于M,N两点.已知e=：求ON的取值范围.

2

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高三数学2024年1月

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写

在本试卷上无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.设集合A={x|x2=x},B={x|lnx<0},则AUB=

A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(0,1)

【答案】A

【解析】J={0,1},8={x[0<x<l},DU8=[0J,选A.

2.在复平面内，复数z=+尚对应的向量为立，复数z+1对应的向量为心，那么向

量AB对应的复数是

3.已知实数a,b满足等式lga=lnb,下列三个关系式中可能成立的个数为

①a<b<1；②1<a<b；③a=b.

A.0B.1C.2D.3

【答案】(

【解析】"6=1时，lga=lgb=0,③可能成立

0<o<1,0<6<1时，lga=lnb,/.-^-=ln/>,lna<0,

In10

高三数学第1页(共16页)

lnlO>1,/.0<——<1,上巴>Ino,BPIn6>In,

In10InlO

此时,①可能成立.

时，I”。=in],ln<7>0,lnl0>0,0<—!—<1,

InlOInlO

—<\na,即Inbvlnq即，②不可能成立，选C.

InlO

4.对任意实数a,b,C,在下列命题中，真命题是

A."ac2>bc2”是“a>b”的必要条件

B."ac2=bc2”是“a=b”的必要条件

C."ac2=bc2”是“a=b”的充分条件

D.“ac2》bc2”是“a》b”的充分条件

【答案】B

【解析】a>b^>ac>bc2,"ac2>bc2"不是"a>b"的必要条件，A错.

a=bnac1=be2,"ac1=be2"是"a=b"的必要条件，B对，选B.

5.已知扇形AOB的半径为5,以0为原点建立如图所示的平面直角坐标系，0A=(5,0),

0B=(4,3),弧AB的中点为C,则次;=

高三数学第2页(共16页)

【答案】B

4I

【解析】令4A0C=a，则N/O8=2a,tan2a=—=——一,tana=-,

41-tan-a3

sin"噜‘必。=噜'c[x噜Ax*）‘即。[乎'平）‘选民

6.已知正三棱锥P-ABC的侧棱长为3,当该三棱锥的体积取得最大值时，点A到平面PBC

的距离是

A.3sB.#C.3D.岁

【答案】C

PM=J9f,九附W•汐J”+2=*出予.

令/(x)=9x、$3,八刈=18・犬=0,x=18,/(/,、=/(8)

91o

即=18时(J'PTM)11m=5,=5X3X3=5,

gin

月到面PBC距离。，则,h=3，选C.

232

7.已知定义在R上的函数f(x)的导数为f⑨，f(D=e,且对任意的x满足f但-f(x)<ex,则

不等式f(x)>xex的解集是

A.(一8,1)B.(一8,0)C.(0,+2D.(1,+°°)

高三数学第3页（共16页）

【答案】A

【解析】方法一：/V)-/U)<eT,二八刈二/(*)<[,即/叫/⑶一1<。,

ee

即(等—X)<0,8(刈=等—X,g(x)/,g⑴=0,

f(x)>xex,.-.g(x)>0=g(l),x<1

方法二:/(x)=e*满足/(l)=e,f(x)-f(x)<e.

贝！1/(x)>xe'=>eT>xex=>x<1.

方法三：/(幻=。满足/(1)=€,f(x)-f(x)<cx,

则/(x)>xer=>e>xe'nx<1,选A.

8.已知圆C的直径AB长为8,与C相离的直线1垂直于直线AB,垂足为H,且0<AH<

2,圆C上的两点P,Q到1的距离分别为山，d2,且diWch.若di=AP,d2=AQ,则

di+d2=

A.2B.4C,6D,8

【答案】D

【解析】方法一：如图建系P(N，y),。㈢,乃)，

圆C:(x-4)2+j?=]6,AP=d{,Jx：+y；=x1-t,

x；+16-(X[-4)~=x；—2/.Y|+1~,xf~(2/+8)X|+/〜=0,

同理x；-(2/+8)毛+/=0，二不凡是V-(2/+8口+/=0的两根

・\X+x2=2/+8t4+乩=$—/+w-/=8.

高三数学第4页(共16页)

方法二：以所在直线为x轴，以/1H中垂线所在直线为)，轴建系,

设力〃=2，〃，尸，。在/:x=-〃7上的射影分别为P',。'，

•••PA=PP',AQ=QQ',:.P(%,yJ,Q(x”乃)碰物线V=4心上砌，

V—4/〃丫

■nf-(8+2m)x+(4+m)2+4mx=16

{[X-(4+〃?)『+J，2=16

.,.x?+(2〃?-8)x+〃/+8〃)=0两根为x62,二4+4=M+占+8，选D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知一组样本数据Xi,X2,…，Xn(n24),其中xi<0<Xn,若由yk=2xk+l(k=1,2,•••,

n)生成一组新的数据yi,y2,yn,则这组新数据与原数据可能相等的量有

A.极差B.平均数C.中位数D,标准差

【答案】BC

【解析】极差2倍关系不可能相等，标准差2倍关系不可能相等，

还2口1有解，平均数可能相等，B对；中位数也可能相等，C对，选BC.

10.对某城市进行气象调查，发现从当天上午9：00开始计时的连续24小时中，温度。(单

位：。。与时间t(单位：h)近似地满足函数关系。=Asinax+B(A>0,B>0,0<«<^),

其中0WtW24.已知当天开始计时(t=0)时的温度为25C,第二天凌晨3：00时温度最

低为19C,则

兀

A.s二一

12

B.当天下午3:00温度最局

C.温度为28C是当天晚上7：00

D.从当天晚上23：00到第二天清晨5：00温度都不高于22C

高三数学第5页(共16页)

【答案】ABD

【解析】1=0时，0~25℃,:.B=25℃，第二天凌晨3:00最低为19%：，此时/=18,

-J+25=19

A=6

+

18<y=~k7r,keZ,/.兀tA对.

0=一

12

八1

0<6）,-

2

/(x)=6si哈，+25,2=，即，=6时出取最大值，，=6对应下午3:00,B对.

/W=28,f=2或10，上午11:00或下午7:00,C错.

I44Z420时，19W/(/)<22,D对，选ABD.

11.在棱长为2的正方体ABCD-AiBiCiDi中，P在线段BDi上运动(包括端点)，下列说法

正确的有

A.存在点P,使得CPL平面A1DB

B.不存在点P,使得直线CiP与平面AiDB所成的角为30

C.PC+PD的最小值为2小

D.以P为球心，PA为半径的球体积最小时，被正方形ADDiAi截得的弧长是孚口

【答案】BCD

【解析】方法一：BP=ABD,，则P(2-24,2—24,22),

对于A,ACXJ■面48。,4G=(-2,2,2)是平面48。一个法向量

假设。尸，面4。8,则赤=(2-24-24,2/1)与(一2,2,2)共线矛盾，假设不成立，人错

对于B,若存在P,Cf与所成角为30°,则乙4Gp=60°,（C^,C7）=6O°,

高三数学第6页(共16页)

1C.A,CiP4-44+44-44+4,—4+，216_

1--=，%=一/一>1不满足条件，

2「』/『士用=2百r-/r-2--—---2-/1)丁2+4矛—+(2—4一2/：10

假设不成立，B对.

对于C,PC+PD=7(2-2Z)2+(-22)2+(2/l)2+7(2-2/t)2+(2-2/l)2+(2Z)2

PE+PF>EF=\,PC+PD>2>/3,C对.

对于D,"=7(-2A)2+(2-2A)2+(2A)2=J12/P—8巳+4,

1,442、，八半，唱。百

石工时"最小，尸不不彳

\JJJJ

丝为半径的圆上，

球与面交于。，。在以N为圆心,

1,5

在正方形内轨迹为半圆，长度=；.2乃•学乃=

乎％选项D正确；

方法二：对于A,若CP，平面4DB，则CP，30,由三垂线定理知P为6。中点，但此

时C?不与4。垂直，故不存在这样的?，A不正确；

高三数学第7页（共16页）

对于B,同法一，B正确；

对于C,可将面DDf与面摊平，:.PC+PD2CD=20C正确.

0。1=3,0在面上的射影为O「.••截面圆半径苧一(9]=容,

过。1作MV〃4。分别交力。,441于〃,N,。/=«"=。|%=孚，

.♦.球。被正方体力。。4截得的弧长是半圆弧A/N,长为万•一黄=(一万，D正确，

选：BCD.

2x+1

12.关于函数f(x)=F=,下列说法正确的有

A/X2+1

A.函数f(x)的图象关于点(-：0)对称

B.函数f(x)在(-8,2)上单调递增，在⑵+8)上单调递减

C.若方程f(x)=t恰有一个实数根，则t=」

D.若Vx£R,都有f(x)>m,贝ljmW-2

【答案】BD

【解析】方法一:/(-l-x)+/(x)=厂一1-2：J(x)不是关于

J(一l-xf+lJx:+I12；

对称，

A错.

26+1-(2x+1)—^X——

rw=-----------2小

x~+1

=2(x")-：(2x+l)=,2亨，,*>2时，"x)<0J(x)/,

(x:+l)vx2+1(x2+\)y/x2+\

x<2时，f'(x)>0,f(x)7,B对.

高三数学第8页(共16页)

时，/(x)<o,x>；时，/(x)>0，/<0如1=一1时，〃x)=/只有一个根，

C错，选BD.

1A,1人十人T-

VxeR,/(*)>〃?求/&)最小值，x<—；,/”)=丹3=—2\—丁/■>—2

2V.v:+1V犬+1

21

]X+X+—

(X~+XHVX"+1),1)14-2,X-»+8时，----——>1,/(X)--2.

4JT+1

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知双曲线的标准方程为」:十二二二1,则该双曲线的焦距是

k-4k-5

【答案】2

2

【解析】c=k-4+5-k=2,c=l,2c=2.

y3

-a-xz+—,x<A0,

14.已知函数f(x)=<°—若f[fg)]=a,则实数a的值为__________.

log3x-2,x>0,3

【答案】-2

15.如图，以等腰直角三角形BAoAi的直角边BAi为斜边，在ABAoAi外侧作等腰直角三角

形BA1A2,以边BA。的中点01为圆心，作一个圆心角是9G的圆弧AoAi；再以等腰直角

三角形BA1A2的直角边BA2为斜边，在ABAiAz外侧作等腰直角三角形BA2A3,以边BA

1

的中点。2为圆心，作一个圆心角是9G的圆弧A1A2；…；按此规律操作，直至得到的

直角三角形BAi」缶的直角顶点缶首次落到线段BA。上，作出相应的圆弧后结束.若BA

=4,贝1Ji=,所有圆弧的总长度为.°

高三数学第9页(共16页)

【答案］8;匕与户马

16

【解析】呜=2*.♦.”8,即T；

44=，2=万>4/1,=y-V2=—

711--y-

［彳，二）是以万为首项，孝为等边的等比数列，圆弧总长=」一，-15(2+应)万

16

1------

2

16.已知二面角a-1-B为6G,a内一条直线m与1所成角为3。，B内一条直线n与1所成

角为45,则直线m与直线n所成角的余弦值是

瓜土6

【答案】2

~T~

【解析】如图，过/上一点。作。EJJ交〃仔点E,。/1/交〃于点/

设PQ=&,:.QE=x,QF=y/3x,EF=&+(3)?一2乙.后・；=巧—底

/rDr4x?+6x2-4/+&2&S

：.cosZ£rF=----------------T=------------=-----------------

2・2x.如8

如图，设尸。=岳,：.QF=^x.PF=&,QE=x,PE=2x,ZEQF=\20°,

4x2+6x2-4/--Jix16-V3_2^-V2

2-2x-yf6x4y[68-

高三数学第10页（共16页）

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)

已知等差数列｛aj的前n项和为Sn=n^+cn+c,c£R.

⑴求数列｛an｝的通项公式；

⑵记上为｛aj在区间(0,2am](mdN*)中的项的个数，求数列也｝的通项公式.

【解析】

(1),.,Sn=if+cn+c，二〃22时，

22

an=Sn-S”_1=n+cn+c-(n-\)-c(n-1)-c=2〃-1+c

且q=H=1+2c也符合,/.1+c=1+2c,/.c=0,

an=2/z-1.

(2)九为｛/｝在区间(2,22"i]中项的个数，

^2m-\,i1

^0<2/7-l<22m-1,:.\<n<-~—=22m-2+-,

22

：A<n<22*2,.bm=22g2f...bn=221=4"-l

18.(12分)

某制造商生产的5000根金属棒的长度近似服从正态分布N(6,。9其中恰有114根金

属棒长度不小于6.04.

⑴求。；

⑵如果允许制造商生产这种金属棒的长度范围是(595,&05),那么这批金属棒中不合格的

金属棒约有多少根？

八产

说明：对任何一个正态分布X〜N(p,。今来说，通过Z」~转化为标准正态分布Z~N(0,

1),从而查标准正态分布表得到P(X<X1)=①(Z).

可供查阅的(部分)标准正态分布表①⑵

Z1.11.21.31.41.51.61.71.81.9

0(z)0.86430.88490.90320.91920.93320.94520.95540.96410.9713

Z2.0212.2232.42526272.8

①(Z)0.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.9974

高三数学第11页(共16页)

【解析】

114

(1)P(X>6,04)=^^=0,0228,/.P(%<6,04)=0.9772

=PZ〈等

:.P=0.992

66)

0.04

①=0.992,.-.—=2,?.o-=0.02.

a

(X-6

(2)尸(5.95<X<6.05)=P1-2.5<2,5

=2①(2.5)-1=2x0.9938-1=0.9876

.••不合格的金属棒有：5000x(1—0.9876)=62根.

19.(12分)

7T

记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,AC边上的高为h,已知B=?

o

⑴若b=3h,求&的值；

a

⑵若c一a二h,求sinA-3cosA的值.

【解析】

(I)a2+c2-2ac--=b2,-acsin-=-bh=>—ac=,:.b2=-ac.

22322G2

1

:.cr+C=—ac，,2仕)-5--+2=0一•.£=•!•或2.

2⑺aa2

(2)-ac—=-bh=>—ac=b(c-a)

2222

,73

sin/lsinlA+—]—=______<sinJ+--sin/1

,,232I3j

.1.sin/4f-sin/4+—cos/Jina

—cosJ-sin/1,

12222

7

n1n12/r

:.-sin\2A--+—=sin——A—cos-2A+—=sin

26432J4

高三数学第12页(共16页)

：.2l-2sin-4sin|--A+1=0,

(3J

4sin2《司+4sm

7T/7T

-万---AA=

366

.•.sin力一追cos力

20.（12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=AD,PD=2也

M是AB的中点，N是线段PC上一点，且MN〃平面PAD,MN±PC.

⑴求证：CD，平面PAD；

⑵求平面MNC与平面PBD所成的二面角的正弦值.

【解析】

（T）过N作NG[/CD交PD于点G，连接/G

•；卜仅II平面PAD,八小匚平面/仅小。，平面/MNGn平面P/O=/G,

MNHAG，，四边形4V/NG为平行四边形，.•.NG=/JM=gc。,

・•.N,G分别为PC/。的中点，

vMN1PC,:.AGLPC，又=,G为PQ的中点，

AG1PD,vPC[yPD=P,AG1平面PCD,

AG±CD，又•.•CQ1/O,AGC\AD=A，二。£>1平面P/O.

(2)如图建系,/.A/(l,0,0),C(2,2,0),P(0「l,由).

高三数学第13页（共16页）

.-.A7C=(1,2,0),而=(o,；,号,而=(0,3,-G),BD=(-2,2,0),

设平面MNC与平面PS。的一个法向量分别为1=(不出,二|),它们所成二面角为8,

N+ly2=0

%=区，力，二2),，11y/3n〃|=(2叔-亚1).

k+v-=0

P为一任2=°n元=(1,1,拘，

.Hs创一晨m―2也一屈sin”

.[卜丽一前一记’

21.(12分)

已知函数fGO=meX+cosx+n,曲线y=f(R在点(0,f(0))处切线方程为y=x.

⑴讨论函数f⑨在[-1+2上的单调性；

⑵当xd[0,+8)时，fQ)N3sinx-ax恒成立，求实数a的取值范围.

【解析】

[r(o)=im=1\m=1

(1)/'(%)=/»eT-sinx,■n=>\

/(0)=0加+1+〃=0[〃=—2

/(x)=e*+cosx-2,/'(x)=e*-sinx,

当xwHr⑼时,f\x)>0,/(