2023届河北保定高考数学五模试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.将函数/（x）=sin2x的图象向左平移。个单位长度，得到的函数为偶函数，则9的值为（）

2.已知为非零向量，"a2b=62。,,为“同。=上,,,的（）

A.充分不必要条件B.充分必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

3.已知复数z满足兽下=2-，（其中1为z的共轨复数），则目的值为（）

1—1

A.1B.2C.73D.75

4.如图所示，为了测量4、3两座岛屿间的距离，小船从初始位置C出发，已知A在C的北偏西45°的方向上，B在

。的北偏东15°的方向上，现在船往东开2百海里到达E处，此时测得3在E的北偏西30°的方向上，再开回。处，

由C向西开2n百海里到达。处，测得A在。的北偏东22.5°的方向上，则A、3两座岛屿间的距离为（）

C.4D.4A/2

5.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

3216

A.32B.—C.16D.—

33

6.若则下列不等式不能成立的是(）

1111

A.—>-B.---->-C.\a\>\b\D.a2>b2

aba-ba

7.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在AABC中，角A,B,C所

1

对的边分别为“,仇c,则AABC的面积S=（向）2—.根据此公式，若

4I2JJ

acosB+(/?+3c)cosA=0,且/一02_。2=2，则AABC的面积为()

A.72B.272C.D.2G

8.波罗尼斯(古希腊数学家，的公元前262-190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲

线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0,

且导1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆三+丫=1(a>b>0),A,B为椭圆的长轴端

点'c.D为椭圆的短轴端点'动点M满足IM扁AI=2,AMAB面积的最大值为8,AMCD面积的最小值为1,则椭

圆的离心率为()

A.交B.BC.正D.B

3322

9.已知函数/(x)=g以2—(x—l)e'(ae0若对区间[0,1]内的任意实数和4、£，都有/(%)+/(%)2/(%),

则实数。的取值范围是()

A.[L2]B.[e,4]C.[14]D.[L2)o[e,4]

22

10.已知双曲线5-==1(。〉0力〉0)的左、右焦点分别为耳，F2,过工作一条直线与双曲线右支交于4B两

ab

点，坐标原点为。，若=/+/,忸4|=5。，则该双曲线的离心率为()

.Vi5RVw「亚nVio

2233

11.函数/(x)=sin[0x—(。>0),当x«0,回时，/(%)的值域为一与1,则。的范围为()

535524

6?26'3253

12.下图所示函数图象经过何种变换可以得到y=sin2x的图象（

A.向左平移二个单位B.向右平移g个单位

C.向左平移2个单位D.向右平移?个单位

O

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.过直线4x+3y—10=。上一点p作圆f+y2=i的两条切线，切点分别为a,B,则以.总的最小值是.

14.若直线近-V-左+2=。与直线x+6—2左一3=0交于点p,则。尸长度的最大值为.

15.某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物

理、化学各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节.若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节

和下午第一节不算相邻），则不同的排法有种.

16.若一个正四面体的棱长为1,四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉，观景喷泉的示意图如图所示，A3两点为喷泉，圆心。

为的中点，其中=a米，半径00=10米，市民可位于水池边缘任意一点C处观赏.

2万1

（1）若当NOBC=——时，smZBCO=~,求此时。的值；

33

（2）设y=G4?+CB2,且C4?+CB?忘232.

（i）试将V表示为。的函数，并求出“的取值范围；

（ii）若同时要求市民在水池边缘任意一点C处观赏喷泉时，观赏角度NACB的最大值不小于试求A3两处喷泉

间距离的最小值.

AH

18.（12分）某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习

惯的了解程度.在每一轮游戏中，主持人给出A,B,C,。四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后

由家长猜测小孩的排序结果.设小孩对四种食物排除的序号依次为XAXBXCXD,家长猜测的序号依次为其中

X4XBXCXD和了犷或。"都是1,2,3,4四个数字的一种排列.定义随机变量X=（XA-JA）2+（XB-2+（XC-JC）2+

（知-/）2,用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度.

（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解.

（1）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；

（ii）求X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；

（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足XV4,请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说

明理由.

19.（12分）已知函数/（x）=a+21nx,f（x）<ax.

⑴求。的值；

⑵令g（x）=^3在（a,+w）上最小值为加，证明：6</（m）<7.

x-a

20.（12分）已知函数/（%）=111（%+1）+£必.

（1）当a=—1时，求/（%）的单调区间；

rI2

⑵若函数/（九）有两个极值点X，%2,且不<々，/（九）为了（X）的导函数，设根=/（々）+」「"'（百+1）,

求机的取值范围，并求m取到最小值时所对应的a的值.

21.（12分）交通部门调查在高速公路上的平均车速情况，随机抽查了60名家庭轿车驾驶员，统计其中有40名男性

驾驶员，其中平均车速超过90初〃〃的有30人，不超过90切2/力的有10人；在其余20名女性驾驶员中，平均车速

超过90初的有5人，不超过的有15人.

（1）完成下面的2x2列联表，并据此判断是否有99.9%的把握认为，家庭轿车平均车速超过90初://?与驾驶员的性

别有关；

平均车速超过90的z/〃平均车速不超过

合计

的人数90kmi方的人数

男性驾驶员

女性驾驶员

合计

（2）根据这些样本数据来估计总体，随机调查3辆家庭轿车,记这3辆车中，驾驶员为女性且平均车速不超过90初z//?

的人数为自，假定抽取的结果相互独立，求占的分布列和数学期望.

金多八4Kn(ad-bc)2

参考公式：K=-------------------------其中〃=a+b+c+d

(〃+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

临界值表:

P(K2..k)

00.0500.0250.0100.0050.001

k°3.8415.0246.6357.87910.828

22W

22.（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:、+4=l（a〉6〉0）的离心率为火，以椭圆C左顶

-a2b22

点T为圆心作圆T:（x+2）2+/=r\r>0）,设圆7与椭圆C交于点M与点N.

（1）求椭圆C的方程；

（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；

（3）设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点,且直线MP,NP分别与x轴交于点R,S,0为坐标原点,求证：|O7?|-|OS|

为定值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

利用三角函数的图象变换求得函数的解析式，再根据三角函数的性质，即可求解，得到答案.

【详解】

将将函数=sin2x的图象向左平移。个单位长度，

可得函数g（x）=sin[2（尤+创=sin（2x+2。）

■rrk-rr

又由函数g（x）为偶函数，所以2夕=5+而次eZ,解得9=i+光-/eZ,

TT7T

因为0<夕《5,当上=0时，（p=~,故选D.

【点睛】

本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，合理应用

三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

2.B

【解析】

2

由数量积的定义可得=同2>0，为实数，则由a2b=ba可得\afb=卜（a,根据共线的性质，可判断a=b；再根据

|a|a=\b\b判断a=6,由等价法即可判断两命题的关系.

【详解】

若a2b=ba成立，则同2b=卜[a，则向量a与b的方向相同，且同用=忙同，从而“=,所以a=6;

若卜卜=„,则向量a与b的方向相同，且同2=从而口=忖，所以a

所以“优5=ba”为“，a=\b\b”的充分必要条件.

故选:B

【点睛】

本题考查充分条件和必要条件的判定,考查相等向量的判定，考查向量的模、数量积的应用.

3.D

【解析】

按照复数的运算法则先求出]，再写出Z,进而求出目.

【详解】

1+z_(l+i)2_2i__.

口—(1-z)(l+O-5一乙

——--z=2-z^>z-z=2-z^>z==-z(2-z)=-l-2z,

1-zi

z=—l+2i=>\z|=J(-if+2?=y/5.

故选：D

【点睛】

本题考查复数的四则运算、共朝复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.

4.B

【解析】

先根据角度分析出NC5E,NAC3,ND4C的大小，然后根据角度关系得到AC的长度，再根据正弦定理计算出的

长度，最后利用余弦定理求解出AB的长度即可.

【详解】

由题意可知：ZACB=60°,ZADC=67.5°,ZACD=45°,ZBCE=75°,ZBEC=60°,

所以ZCBE=180°—75。—60°=45°,ZDAC=180°-67.5°-45°=67.5°,

所以=所以6=8=2几，

又因为.B]=所以5c=2后x立=6，

sinZBECsinZCBE2

所以A5=VAC2+BC2-2AC-BC-cosZACB=，24+6—2x2&x&xg=36•

故选：B.

【点睛】

本题考查解三角形中的角度问题，难度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答问题的关键.

5.D

【解析】

根据三视图判断出几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，利用锥体和柱体的体积公式计算出体积并相加求得几何

体的体积.

【详解】

由三视图可知该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，该多面体体积为工X2义2义2+-x-x2x2x2=—.

2323

故选D.

【点睛】

本小题主要考查三视图还原为原图，考查柱体和锥体的体积公式，属于基础题.

6.B

【解析】

根据不等式的性质对选项逐一判断即可.

【详解】

选项A：由于a<3<0,即而>0,b-a>0,所以工―工=生工〉0,所以工〉工，所以成立；

ababab

116c11

选项B：由于a<Z><0,即a—Z?<0,所以一-——=—~-<0,所以——<-,所以不成立；

a-baa{a-b)a-ba

选项C：由于a<Z><0,所以—a>—。>0,所以|a|>屹I，所以成立；

选项D：由于a<6<0,所以一a>—6>0,所以|a|>屹I，所以所以成立.

故选：B.

【点睛】

本题考查不等关系和不等式，属于基础题.

7.A

【解析】

根据acosB+(Z?+3c)cosA=0,利用正弦定理边化为角得sinAcosB+cosAsinB+3sinCcosA=0,整理为

sinC(l+3cosA)=0,根据sinC^O,得cosA=—再由余弦定理得历=3,又£—廿一？=2,代入公式

【详解】

由acos5+(/?+3c)cosA=。得sinAcos5+cosAsin5+3sinCcosA=0,

即sin(A+B)+3sinCcosA=0,即sinC(l+3cosA)=0,

因为sinCwO,所以cosA=-,，

3

2

由余弦定理"一Z??—=-2Z?ccosA=—bc=29所以bc=3,

3

由AABC的面积公式得S=

故选：A

【点睛】

本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

8.D

【解析】

求得定点M的轨迹方程［x—=叱可得工x2ax±a=8,^x2/7><La=l,解得a,b即可.

L3J92323

【详解】

\MA\

设A(-a,0),B(a,0),M(x,y).,动点M满足=3=2,

\MB\

则J(x+a『+y2=2"a『+y2=2,化简得(x+y?=*.

VAMAB面积的最大值为8,AMCD面积的最小值为1,

—x2ax—<2=8,—x2bx—a=1,解得a=，

23232

.•.椭圆的离心率为Jl—2=Y3.

\a22

故选D.

【点睛】

本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题.

9.C

【解析】

分析：先求导，再对a分类讨论求函数的单调区间，再画图分析转化对区间［0,1］内的任意实数西、9、%，都有

/(%)+/(9)2/(七)，得到关于a的不等式组，再解不等式组得到实数a的取值范围.

详解：由题得/'(九)=。％-［6'+(九一1)力=依一九6"=x(a-ex).

当a<l时，f'(x)<0,所以函数f(x)在［0,1］单调递减,

因为对区间［0,1］内的任意实数和马、％3,都有/(%)+/(%2”/(%3)，

所以/(D+/⑴2/(0)，

所以一ClH-----

22

故叱1,与aVl矛盾，故aVl矛盾.

当Gave时，函数f(x)在［0,Ina］单调递增，在(Ina,1］单调递减.

12

所以/(x)max=/(ln〃)=5〃lna-aVaa+a,

因为对区间［0,1］内的任意实数和4、％3,都有/(石)+/(%"/(X3)，

所以7(0)+/(l)2/(lna),

112

所以l+—a2—alna-a］na+a,

22

121

即一aIna—QInciH—a—1V0

121

令g(a)=］alna-a\na+—a-1.(l<a<e),

所以g'(a)=g(ln2a—1)<0,

所以函数g(a)在(1,e)上单调递减，

所以g(a)max=g6=-；<0，

所以当lSa<e时，满足题意.

当aNe时,函数f(x)在(0,1)单调递增，

因为对区间［0,1］内的任意实数芭、％、%，都有/(%)+/(%?〃七)，

所以/(0)+/(。)2/⑴，

E1

故l+l>-a,

2

所以〃<4.

故e<。<4.

综上所述，aG［1,4］.

故选C.

点睛：本题的难点在于“对区间［0,1］内的任意实数七、马、》3,都有/(石)+/(七"/(X3)”的转化油于是函

数的问题，所以我们要联想到利用函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、极值等)来分析解

答问题.本题就是把这个条件和函数的单调性和最值联系起来，完成了数学问题的等价转化，找到了问题的突破

口.

10.B

【解析】

由题可知|。4|=c=；内司，玛=90。，再结合双曲线第一定义，可得四=|阴+2a,对及.95有

的「+|阴2=网『,

即（卜用+2"+（,用+34=（5。『，解得|伤|=m再对RtZiAEg,由勾股定理可得/+（3才=（2c）2,化简

即可求解

【详解】

如图，因为忸周=5°,所以|%|=5a—2a=3a.因为|。4|='=；内可所以/耳人鸟=90。.

在Rt4即中，,却2=忸周2,即（,用+24+上用+3。）2=（5。）2,

得,司=凡则|A用=a+2a=3a.在RtA4£K中，由"+（3"=口色得《，=巫.

【点睛】

本题考查双曲线的离心率求法，几何性质的应用，属于中档题

11.B

【解析】

首先由工«0,可，可得。x-g的范围，结合函数/（九）的值域和正弦函数的图像，可求的关于实数。的不等式，解

不等式即可求得范围.

【详解】

因为XG[0,»],所以。X—-^,Ct）7V,若值域为一

所以只需工—工K包，...。《。三3.

23363

故选：B

【点睛】

本题主要考查三角函数的值域，熟悉正弦函数的单调性和特殊角的三角函数值是解题的关键，侧重考查数学抽象和数

学运算的核心素养.

12.D

【解析】

根据函数图像得到函数的一个解析式为/(x)=sin2x+1,再根据平移法则得到答案.

【详解】

设函数解析式为/(%)=Asin(&>x+^9)+Z?,

T7171Tl

根据图像：A=1/=0,-=故7="，即0=2,

43124

n

sin£+°J=l,夕=3+2左",左eZ,取左=0,得到/(x)=sin12x+?J,

1233

函数向右平移个单位得到丁=sin2x.

o

故选：D.

【点睛】

本题考查了根据函数图像求函数解析式，三角函数平移，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.3

2

【解析】

由切线的性质，可知网=网，切由直角三角形MO,PBO,即可设网=x,NAPO=(z,进而表示cosa,由图

像观察可知进而求出x的范围，再用X，。的式子表示PA.P3,整理后利用换元法与双勾函数求出最小值.

【详解】

由题可知,|PA|=|PB|,设=由切线的性质可知PO=J7W，则

X2〜必

cosa-t,cosa=———

%+i

|4x0+3x0-10|

显然尸。2％_/=

A/42+32

因为PA•PB=pf.|pfi|cosZAPO=%2cos2a=x2

22")-2一”

2x2_2=，+i)+_

———=%■3

X+1x~+\x~+1'7x2+l

2

令r=x2+U»4,贝!!R4-P3=/+7—3,由双勾函数单调性可知其在区间［4,内)上单调递增，所以

(PAPB}=4+——3=_

V/min42

3

故答案为：-

2

【点睛】

本题考查在以直线与圆的位置关系为背景下求向量数量积的最值问题，应用函数形式表示所求式子，进而利用分析函

数单调性或基本不等式求得最值，属于较难题.

14.2A/2+1

【解析】

根据题意可知，直线6-y-%+2=。与直线为+6-2左-3=0分另U过定点，且这两条直线互相垂直，由此可知，其交

点P在以为直径的圆上，结合图形求出线段OP的最大值即可.

【详解】

由题可知,直线依_y_k+2=0可化为左(x_l)+2_y=0,

所以其过定点A。,2),

直线%+@-2左一3=0可化为x-3+左(丁一2)=0,

所以其过定点8(3,2)，且满足左•1+(―1)・左=0,

所以直线正一y—k+2=0与直线x+6一2左一3=0互相垂直,

其交点P在以为直径的圆上，作图如下：

结合图形可知，线段0P的最大值为|。。|+1,

因为。为线段的中点，

所以由中点坐标公式可得C（2,2）,

所以线段0P的最大值为2拒+1.

故答案为：2夜+1

【点睛】

本题考查过交点的直线系方程、动点的轨迹问题及点与圆的位置关系;考查数形结合思想和运算求解能力;根据圆的定

义得到交点P在以A6为直径的圆上是求解本题的关键;属于中档题.

15.1344

【解析】

分四种情况讨论即可

【详解】

解：数学排在第一节时有：C；xA：xC：=384

数学排在第二节时有：C；x/xC：=288

数学排在第三节时有：C；xA：xC：=288

数学排在第四节时有：C：x禺xC：=384

所以共有1344种

故答案为：1344

【点睛】

考查排列、组合的应用，注意分类讨论，做到不重不漏；基础题.

“3兀

16.——

2

【解析】

将四面体补成一个正方体，通过正方体的对角线与球的半径的关系，得到球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.

【详解】

如图所示，将正四面体补形成一个正方体，

则正四面体的外接球与正方体的外接球表示同一个球，

因为正四面体的棱长为1,所以正方体的棱长为正，

2

设球的半径为R,因为球的直径是正方体的对角线，

即2R=J(乌2+(乌2+(乌2=巫,解得氏二逅，

3兀

所以球的表面积为S==4"X

【点睛】

本题主要考查了有关求得组合体的结构特征，以及球的表面积的计算，其中巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的

直径等于正方体的对角线长，得到球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及运算与求解能力，属于基

础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.⑴a=⑵(i)y=200+2/,ae(0,4］；(ii)40-2073.

【解析】

(1)在AQBC中，由正弦定理可得所求；

(2)(i)由余弦定理得AC2=100+a2-20«cosZAOC,BC2=100+a2-20«cosZBOC,两式相加可得所求解析

式.(ii)在AABC中，由余弦定理可得cosZACB=二一>卜=1-萼=1一—丝^,根据ZACB

2CACBCA2+CB2100+a2

的最大值不小于可得关于。的不等式，解不等式可得所求.

O

【详解】

OCOB

(1)在AO5c中，由正弦定理得---------

sinZOBCsinZBCO

10x1

OC-sin/BCO2073

所以03=3

sinAOBC,2万

sin——9

3

即心型i

9

(2)(i)在AAOC中，由余弦定理得AC?=100+标—20acosNAOC，

在ABOC中，由余弦定理得BC2=100+«2-20acosZBOC，

又NAOC=%—NBOC

所以G42+CB-=200+2〃，

即y=200+2/.

XG42+CB1=200+2«2<232,解得Ova"

所以所求关系式为y=200+2/,«e(O,4].

(ii)当观赏角度NACB的最大时，cos/ACB取得最小值.

在AABC中，由余弦定理可得

西+4-4/CA2+CB2-4a2,2a2

cosZACB二>-------------------二］------------

2CACBCA2+CB2100+a2

因为ZACB的最大值不小于£，

O

所以1一一〈如，解得a220—10石，

100+a22

经验证知20-10月w(0,4],

所以2a240—206.

即A,B两处喷泉间距离的最小值为40-20石.

【点睛】

本题考查解三角形在实际中的应用，解题时要注意把条件转化为三角形的边或角，然后借助正余弦定理进行求解.解

题时要注意三角形边角关系的运用，同时还要注意所得结果要符合实际意义.

18.(l)(i)?(ii)分布表见解析；(2)理由见解析

【解析】

(1)(0若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，家长的排序有禺=24种等可

能结果，利用列举法求出其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，由此能求出他们在一轮游

戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率.

(ii)根据G)的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，由此能求出X的分布列.

(2)假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，在一轮游戏中，P(X<4)=P(X=0)+P(X=2)=1,三轮游戏结果

都满足“X<4”的概率为▲</一,这个结果发生的可能性很小，从而这位家长对小孩饮食习惯比较了解.

2161000

【详解】

(1)(0若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，

则家长对小孩的排序是随意猜测的，

先考虑小孩的排序为心，XB,xc,如为1234的情况，家长的排序有父=24种等可能结果，

其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，分别为：

2143,2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321,

93

二家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率P=—=-.

248

基小孩对四种食物的排序是其他情况，

只需将角标A,B,C,O按照小孩的顺序调整即可，

假设小孩的排序XA,XB,XC,X。为1423的情况，四种食物按1234的排列为

再研究yAyBycyD的情况即可，其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的，

.••他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为9.

O

(»)根据⑴的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，

列出所有情况，分别计算每种情况下的x的值，

X的分布列如下表：

X02468101214161820

1111111]_1i1

p

248246121212624824

(2)这位家长对小孩的饮食习惯比较了解.

理由如下：

假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由(1)可知，在一轮游戏中，

P(X<4)=P(X=0)+P(X=2)=-,

6

三轮游戏结果都满足“XV4”的概率为(2)3='<!，

62161000

这个结果发生的可能性很小，

...这位家长对小孩饮食习惯比较了解.

【点睛】

本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

19.(1)。=2；(2)见解析.

【解析】

(1)将/(无)<公转化为21nxW0对任意%>0恒成立，令丸(幻=“一依+21nx,故只需义工号明<0,即可求

出。的值；

oYoyipX2(%—2Inx—4)

⑵由⑴知g(x)=---------------(X>2),可得g'(%)=-------------------，令s(x)=x—21n%—4,可证七°£(8,9),

x-2(x-2)

使得S(X0)=0,从而可确定g(©在(2,%)上单调递减，在(“o,+8)上单调递增，进而可得g。)*=<?(/)=%，即

m=xQ9即可证出/(加)=/(%)=2+21nx0=x0-2G(6,7).

【详解】

函数的定义域为(0,+s),因为/(%)<依对任意x>。恒成立，

即a—以+21nx«0对任意叵成立，

^h(x)=a-ax+2inx9则=+2=“。%+2,

xx

当〃<0时，〃(x)>0,故人(%)在(0,+8)上单调递增，

又力(1)=0,所以当X>1时，h(x)>h(X)=09不符合题意；

2

当〃>0时，令〃(尤)=0得%=—,

a

22

当0<%<—时，hf(x)>0；当x>—时，hr(x)<0,

aa

所以4Q)在上单调递增，在上单调递减，

(2、22

所以力(%)max=〃一\=ci-u卜21n—=〃一2+2In2—2Ina,

\a)aa

所以要使飘光)式。在x>0时恒成立，则只需〃⑴max<0,BP^-2+21n2-21na<0,

令F{d}=a-2+21n2-21na,a>0,

所以尸(〃)=1—*2=a-2

aa

当0<a<2时，尸(a)<0；当。>2时，F\a)>0,

所以尸(a)在(0,2)单调递减，在(2,+8)上单调递增，所以尸(a)2/(2)=0,

即a-2+21n2-21na»0,Xa-2+21n2-21na<0,所以a-2+21n2-21na=0,

故满足条件的。的值只有2

,.,.xf(x)2x+2xlnx，/、2(x-21nx-4)

(2)由(1)知g(x)=,一=-------一(x>2),所以g(x)=---六----，

x-ax-2(x—2)

2r-2

令s(x)=x-21nx-4,贝！Js'(x)=l——=----,

XX

当x>2,时s'(x)>0,即s(x)在(2,+8)上单调递增；

又s(8)<。，5(9)>0,所以玉z(8,9),使得s(尤。)=0,

当2<X<Xo时，5(x)<0；当X〉/时，5(x)>0,

即g(x)在(2,%)上单调递减，在(X。,+8)上单调递增，且%-2111%-4=0

所以ga)w=g(x。)=2"2丁=2…。(：-4)=上学=%,

即加=%,所以f(m)=/(x0)=2+21n玉；=玉；一2e(6,7),即6<f(jn)<7.

【点睛】

本题主要考查利用导数法求函数的最值及恒成立问题处理方法，第⑵问通过最值问题深化对函数的单调性的考查，同

时考查转化与化归的思想，属于中档题.

20.(1)单调递增区间为1-单调递减区间为［£^,+3］(2)〃?的取值范围是［g+lnWJ-ln21；对

I2JI2J^24J

应的。的值为电■.

3

【解析】

(1)当a=—1时，求/Xx)的导数可得函数的单调区间；(2)若函数/(无)有两个极值点再，x2,且占<马,利用导

函数(⑴=—L+依="X+1,,可得。的范围，再表达加=/(/)+W-a+i),构造新函数可求心的取值范

围，从而可求m取到最小值时所对应的a的值.

【详解】

(1)函数/(x)=Z”(尤+1)+£X2

由条件得函数的定义域：{x|x>-l},

当〃二一1时，/(%)=加(％+1),

所以：(叱士”

…时,人”

当时，f'(x)>0,当尤+℃)时，f(x)<0,

则函数F(x)的单调增区间为：(-1，】经)，单调递减区间为：(咛^，+S>；

ar+ax

(2)由条件得：x>-l,f'(x)=—+ax=tl:,

x+1x+l

由条件得。(幻=62+办+1=0有两根：再，x2,满足一

△>0,可得：。<0或。>4；

由<7.例-1)>。，可得：<7>0.

a>4,

函数0(x)的对称轴为x=-;，-1<%!<x2,

所以：x26(--,0);

,应+但+1=0,可得：a=---,

一一无2(4+1)

/(%)=/〃(％+l)+|xf=ln{x2+1)-2(：+]),

x,+x2=-1,贝！j：xx=—x2—1,

所以：好・ra+i)=不广(一々)ax^-ax2+11

-

OO84(X2+1)

所以：

2r-31

令h(x)=Inx------,x=x+1G(―,1),

4x22

.,...134x—3

则n〃(x)Z一彳=▽，

3133

因为："(%)=0时，x=-9所以：领犬)在《，/上是单调递减，在(1,1)上单调递增,

因为：/?(—)=1—ln2,h(1)=—>/z(—)=—+/w—)/?(—)>h(1),

13

所以〃(元)+1-ln2).

13

即m的取值范围是：［；+历\,1-Z«2)；

33

%=一，所以有x=x,+1=：,

44

皿1116

贝(1%2=一'a=~

4x2(x2+1)3，

所以当他取到最小值时所对应的0的值为g；

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的极值和单调区间问题，考查利用导数求函数的最值，体现了转化的思想方法，属于

难题.

21.(1)填表见解析；有99.9%的把握认为，平均车速超过90如〃/z与性别有关(2)详见解析

【解析】

(1)根据题目所给数据填写2x2列联表，计算出K?的值，由此判断出有99.9%的把握认为，平均车速超过90Z〃〃/z

与性别有关.

(2)利用二项分布的知识计算出分布列和数学期望.

【详解】

(1)

平均车速超过90初〃力平均车速不超过

合计