专题05 等腰三角形中的动态问题（解析版）

专题05等腰三角形中的动态问题【典例解析】【例1-1】（2020·安徽省泗县月考）如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝1．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有()A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个【答案】D【解析】解：如图，在OA、OB上分别截取OE=OP，OF=OP，作∠MPN=60°．∵OP平分∠AOB，∴∠EOP=∠POF=60°，∵OP=OE=OF，∴△OPE，△OPF是等边三角形，∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，∴∠EPM=∠OPN，∴△PEM≌△PON∴PM=PN，∵∠MPN=60°，∴△PNM是等边三角形，只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形，故这样的三角形有无数个．故答案为：D．【例1-2】（2020·贵州六盘水期末）如图，在中，，，点D在边BC上运动（点D不与点重合），连接AD，作，DE交边AC于点E．（1）当时，，（2）当DC等于多少时，，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出的度数；若不可以，请说明理由．【答案】（1）30，100；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）在△BAD中，∵∠B=50°，∠BDA=100°，∴∠EDC=30°，∠DEC=100°.（2）当CD=3时，△ABD≌△DCE，理由如下：∵AB=CD=3，∠B=50°，∠ADE=50°∴∠B=∠ADE∵∠ADB+∠ADE+∠EDC=180°，∠DEC+∠C+∠EDC=180°∴∠ADB=∠DEC又∠B=∠C∴△ABD≌△DCE（3）可以，理由如下：∵∠B=∠C=50°，∴∠BAC=80°①当AD=DE时，∠DAE=∠DEA=65°，∴∠BAD=∠BAC－∠DAE=15°∴∠BDA=115°②当AD=AE时，∠AED=∠ADE=50°∴∠DAE=180°－∠AED－∠ADE=80°又∵∠BAC=80°∴∠DAE=∠BAE∴点D与点B重合，不合题意．③当AE=DE时，∠DAE=∠ADE=50°∴∠BAD=∠BAC－∠DAE=30°∴∠BDA=100°.综上所述，当∠BDA的度数为115°或100°时，△ADE是等腰三角形．【变式1-1】（2019·霍林郭勒市期中）点A的坐标是（2，2），若点P在x轴或y轴上，且△APO是等腰三角形，这样的点P共有（）个A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C.【解析】解：分两种情况进行讨论，当OA是底边时，作OA的垂直平分线，和坐标轴的交点有2个；当OA是腰时，以点O为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴有4个交点；以点A为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴出现2个交点；∴满足条件的点P共有8个，故答案为：C．【变式1-2】（2020·山西初二月考）综合与探究：在中，.点从点出发以的速度沿线段向点运动．（1）如图1，设点的运动时间为，当______时，是直角三角形．（2）如图2，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，如果动点都以的速度同时出发，设运动时间为，求当为何值时，是直角三角形．（3）如图3，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，连接交点，且动点都以的速度同时出发．①设运动时间为，那么当为何值时，是等腰三角形？②如图4，连接.请你猜想：在点的运动过程中，和的面积之间的数量关系为______．【答案】（1）；（2）（3）见解析．【解析】解：（1）当△PBC是直角三角形时，则∠BPC=90°，∵∠B=60°，∴BP=AP=cm，∴t=，故答案为：；（2）①当∠BPQ=90°时，BP=BQ，即3-t=t，解得：t=2②当∠BQP=90°时，BP=2BQ，即3-t=2t，解得：t=1故当t=1或2s时，△PBQ是直角三角形；（3）①∵∠DCQ=120°∴当△DCQ是等腰三角形，CD=CQ，∴∠PDA=∠CDQ=∠CQD=30°∵∠A=60°∴∠APD=90°∴AD=2AP3-t=2t，解得：t=1②S△PCD=S△QCD，过点P作PE⊥AC于E，过点Q作QG⊥AC于点G，∴∠CGQ=∠AEP=90°∵AB=AC=BC∴∠A=∠ACB=∠QCG=60°∴△EAP≌△GCQ∴PE=QG∴△PCD与△QCD同底等高故S△PCD=S△QCD．【例2】（2020·江苏江阴月考）如图，在△ABC中，AB=AC=10cm；BC=6cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B出发都逆时针沿△ABC三边运动，直接写出经过多少秒后，点P与点Q第一次在△ABC的那一条边上相遇．【答案】（1）①△BPD与△CQP全等，②点Q的运动速度是cm/s．（2）经过30秒后点P与点Q第一次在△ABC的边BC上相遇．【解析】解：（1）①△BPD与△CQP全等，∵点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是1cm/s，∴运动1秒时，BP=CQ=1cm，∵BC=6cm，∴CP=5cm，∵AB=10，D为AB的中点，∴BD=5，∴BD=CP，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△BPD≌△CQP．②点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则BP≠CQ，若△BPD与△CQP全等，只能BP=CP=3cm，BD=CQ=5cm，此时，点P运动3cm，需3秒，而点Q运动5cm，∴点Q的运动速度是cm/s．（2）设经过t秒时，P、Q第一次相遇，∵P的速度是1厘米/秒，Q的速度是厘米/秒，∴10+10+t=t，解得：t=30，此时点Q的路程=30×=50（厘米），∵50＜2×26，∴此时点Q在BC上，∴经过30秒后点P与点Q第一次在△ABC的边BC上相遇．【例3-1】（2019·武汉市期中）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3、…在射线ON上，点B1、B2、B3、…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1=1，则△A9B9A10的边长为（）A．32 B．64 C．128 D．256【答案】D【解析】解：如图，∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16，…∴△AnBnAn+1的边长为2n-1，∴△A9B9A10的边长为29-1=28=256．故答案为D．【例3-2】（2020·浙江温州月考）如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的）后，得图③、④，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为Pn，则Pn－Pn－1等于…（）A． B．3－ C．1－ D．＋【答案】A【解析】解：P1＝1＋1＋1＝3，P2＝1＋1＋＝，P3＝1＋1＋×3＝，P4＝1＋1＋×2＋×3＝，…∴P3－P2＝－＝，P4－P3＝－＝，∴Pn－Pn－1＝，故答案为：A．【变式3-1】（2020·山东牡丹期末）如图，已知，点，，，在射线上，点，，，在射线上，，，，均为等边三角形．若，则的边长为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解:∵△A1B1B2是等边三角形，∴A1B1=A1B2，∠A1B1B2=∠A1B2O=60°∵∠O=30°∴∠A2A1B2=90°∴∠O=∠OA1B1=30°∴OB1=A1B1=A1B2=1同理可得：A3B3=4，A4B4=8，AnBn=2n-1∴△A8B8B9的边长为2=128.故答案为：B.【变式3-2】（2019·贵州印江月考）如图，已知……，若∠A＝70°，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：∵，∴∠AA1B=∠A=70°∵∴∠A1A2B1=∠A1B1A2∵∠AA1B=∠A1A2B1＋∠A1B1A2∴∠A1A2B1=∠AA1B==35°同理可得：∠A2A3B2=∠A1A2B1==∠A3A4B3=∠A2A3B2==∴=故答案为C．【习题精练】1.（2020·山东青州期中）如图，平面直角坐标系中，点A在第一象限，∠AOx=40°，点P在x轴上，若△POA是等腰三角形，则满足条件的点P共有______个．【答案】4.【解析】解：有OA=OP、AO=AP、PO=PA三种情况：①以O为圆心，OA长为半径画弧，于x轴有2个交点P2、P3，②以A为圆心，OA长为半径画弧，与x轴有2个交点O、P1，点O与OA不能构成三角形，P1符合条件，③作线段OA的垂直平分线，交x轴有1个交点P4，∴P4A=P4O，∴P4符合条件，综上所述：符合条件的点共有4个，故答案为：42.（2019·浙江宁波模考）如图，，点在上．以点为圆心，为半径画弧，交于点（点与点不重合），连接；再以点为圆心，为半径画弧，交于点（点与点不重合），连接；再以点为圆心，为半径画弧，交于点（点与点不重合），连接；……按照上面的要求一直画下去，得到点，若之后就不能再画出符合要求点了，则________．【答案】8【解析】根据题意可知，画出的三角形是等腰三角形，第一个底角；由三角形外角和定理可得，第二个等腰三角形的底角20°，第三个等腰三角形的底角30°，同理可得第n个等腰三角形的底角度数为10n，因为等腰三角形的底角小于90°，10n<90，即n<9.故答案为8.3.（2020·河北保定一模）如图，，点在上．以点为圆心，为半径画弧，交于点（点与点不重合），连接；再以点为圆心，为半径画弧，交于点（点与点不重合），连接；再以点为圆心，为半径画弧，交于点（点与点不重合），连接；……，按照上面的要求一直画下去，就会得到，则（1）_________；（2）与线段长度相等的线段一共有__________条（不含）．【答案】100,9.【解析】解：（1）由题意可知，，，…，则，，…，∵10°，∴20°，30°，40°，50°，60°，…，∴180°−40°−40°=100°，故答案为：100；（2）根据题意，10n<90，解得n<9．∵n为整数，故n=8．∵60°，，∴为等边三角形，∴与线段OP长度相等的线段一共有9条（不含OP），故答案为：9.4.（2020·福建连城期中）如图，在中，，，点是斜边的中点．点从点出发以的速度向点运动，点同时从点出发以一定的速度沿射线方向运动，规定当点到终点时停止运动．设运动的时间为秒，连接、．（1）填空：______；（2）当且点运动的速度也是时，求证：；（3）若动点以的速度沿射线方向运动，在点、点运动过程中，如果存在某个时间，使得的面积是面积的两倍，请你求出时间的值．【答案】（1）8；(2)见解析；（3）或4.【解析】解：（1）∵S△ABC=×AC×BC∴S△ABC=×4×4=8故答案为：8（2）如图：连接CD∵AC=BC，D是AB中点∴CD平分∠ACB又∵∠ACB=90°∴∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°∴CD=BD依题意得：BE=CF在△CDF与△BDE中，∴△CDF≌△BDE（SAS）∴DE=DF（3）过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，∵AD=BD，∠A=∠B=45°，∠AND=∠DMB=90°∴△ADN≌△BDM（AAS）∴DN=DM当S△ADF=2S△BDE．∴×AF×DN=2××BE×DM∴|4-3x|=2x∴x1=4，x2=综上所述：x=或4.5.（2020·广东佛山月考）如图，在等边中，厘米，厘米，如果点以厘米的速度运动．（1）如果点在线段上由点向点运动．点在线段上由点向点运动，它们同时出发，若点的运动速度与点的运动速度相等：①经过2秒后，和是否全等？请说明理由．②当两点的运动时间为多少秒时，刚好是一个直角三角形？（2）若点的运动速度与点的运动速度不相等，点从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都顺时针沿三边运动，经过秒时点与点第一次相遇，则点的运动速度是__________厘米秒．（直接写出答案）【答案】见解析．【解析】解：（1）①△BMN≌△CDM．理由如下：N、M速度相等，t=2∴CM=BN=6，BM=4∴BN=CM∵CD=4∴BM=CD∵∠B=∠C=60°∴△BMN≌△CDM②设运动时间为t秒，△BMN是直角三角形有两种情况：当∠NMB=90°时，∠BNM=30°，BN=2BM∴3t=2（10-3t）解得：t=当∠BNM=90°时，同理，BM=2BN，即10-3t=2×3t，解得：t=∴当t=或秒时，△BMN是直角三角形；（2）分两种情况，①若点M运动速度快，则3×25－10=25VN，解得VN=2.6；②若点N运动速度快，则3×25+20=25VN，解得VN=3.8．6.（2018·湖北广水期中）（阅读）如图1，等边△ABC中，P是AC边上一点，Q是CB延长线上一点，若AP＝BQ．则过P作PF∥BC交AB于F，可证△APF是等边三角形，再证△PDF≌QDB可得D是FB的中点．请写出证明过程．（运用）如图2，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A，C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD＝30°时，求AP的长；（2）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：【阅读】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵PF∥BC，∴∠AFP＝∠APF＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∴AP＝PF，∵AP＝BQ，∴PF＝BQ，∵PF∥BQ，∴∠FPD＝∠DQB，∠PFD＝∠QBD，∴△PFD≌△QBD；∴DF＝DB．【运用】（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵∠BQD＝30°，∴∠QPC＝90°，设AP＝x，则PC＝6﹣x，QB＝x，∴QC＝QB+BC＝6+x，∵在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，∴PC＝QC，即6﹣x＝（6+x），解得x＝2，∴AP＝2；（2）过Q作QG⊥AB，交直线AB于点G，连接QE，PG，又∵PE⊥AB于E，∴∠PGQ＝∠AEP＝90°，∵点P、Q速度相同，∴AP＝BQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠GBQ＝60°，在△APE和△BQG中，∵∠AEP＝∠BGQ＝90°，∴∠APE＝∠BQG，∴△APE≌△BQG（AAS），∴AE＝BG，PE＝QG且PE∥QG，∴四边形PEQG是平行四边形，∴DE＝EG，∵EB+AE＝BE+BG＝AB，∴DE＝AB，又∵等边△ABC的边长为6，∴DE＝3，故运动过程中线段ED的长始终为3．7.（2020·乐清市月考）如图所示，△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．设运动时间为t秒．（1）M、N同时运动

秒后，M、N两点重合？（2）当0＜t＜5时，M、N同时运动几秒后，可得等边三角形△AMN？（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间，如果不存在请说明理由.【答案】见详解．【解析】解：（1）M、N同时运动10秒后，点M、N重合；故答案为10；（2）如图，根据题意得：AM=t，BN=2t，则AN=10-2t，t=10﹣2t，解得t=；当0＜t＜5时，M、N同时运动秒后，可得等边三角形△AMN；（3）M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，理由如下：由（1）知10秒时M、N两点重合，恰好在C处．如图，∴AN=AM∴∠AMN=∠ANM∴∠AMC=∠ANB∵AB=BC=AC∴△ACB是等边三角形∴∠C=∠B在△ACM和△ABN中∵AC=AB，∠C=∠B，∠AMC=∠ANB∴△ACM≌△ABN∴CM=BN设运动时间为y秒时，△AMN是等腰三角形∴CM=y﹣10，NB=30﹣2y∴y-10=30-2y，解得y=∴当运动时间为秒时，M，N在BC上使△AMN为等腰三角形．8.（2020·南京月考）在中，，的垂直平分线交于，交于，的垂直平分线交于，交于．（1）若，，求证；（2）由（1）可知是______三角形；（3）去掉（1）中的“”的条件，其他不变，判断的形状，并证明你的结论；（4）当与满足怎样的数量关系时，是等腰三角形？直接写出所有可能的情况．【答案】见解析.【解析】解：（1）连接AM，AN，∵AB=AC，∠BAC=120°∴∠B=∠C=30°∵AB的垂直平分线交BC于M，AC的垂直平分线交BC于N，∴BM=AM，CN=AN，∴∠C=∠CAN=30°，∠B=∠BAM=30°，∴∠AMN=60°，∠ANM=60°∴∠MAN=60°∴△AMN是等边三角形∴AM=AN=MN∴BM=MN=CN（2）等边；（3）等腰三角形，理由如下：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AB的垂直平分线交BC于M，AC的垂直平分线交BC于N，∴BM=AM，CN=AN，∴∠C=∠CAN，∠B=∠BAM，∴∠AMN=2∠B，∠ANM=2∠C∵∠B=∠C∴∠AMN=∠ANM，∴AM=AN∴△AMN是等腰三角形（4）∠AMN=2∠B，∠ANM=2∠C，∠MAN=180°－2∠B－2∠C，①当AM=AN时，∠B=∠C；②当MN=AN时，得2∠B+∠C=90°；③当MN=AM时，得∠B+2∠C=90°．9.（2020·长沙月考）点P是边长为3cm的等边△ABC的边AB上的动点，点P从点A出发．沿线段AB向点B运动．（1）如图1，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P，Q都以1cm/s的速度同时出发，设运动时问为t（s），连换AQ、CP交于点M，①当t为何值时，△PBQ是直角三角形？②在P，Q运动的过程中，∠CMQ会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．（2）如图2，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动，连接PQ交AC于点D，如果动点P，Q都以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），连接PC，①当t为何值时，△DCQ是等腰三角形？②在点P，Q的运动过程中，请探究△PCD和△QCD的面积之间的数量关系．【答案】（1）①t=1或2；②不发生变化，∠CMQ=60°；（2）①t=1；②面积相等【解析】解：（1）①当△PBQ是直角三角形时，∠B=60°，BP=3-t，BQ=t∠PQB=90°，此时BP=2BQ∴根据题意，得3-t=2t解得t=1②当∠BPQ=90°时，此时BQ=2BP∴根据题意，得t=2(3-t)解得：t=2∴当t=1或2时，△PBQ是直角三角形；②不发生变化，∠CMQ=60°在△ABQ与△CAP中，∴△ABQ≌△CAP∴∠BAQ=∠ACP∴∠MAC+∠MCA=∠MAC+∠BAQ=∠CAP=60°∵∠CMQ=∠MAC+∠MCA∴∠CMQ=∠CAP=60°故不发生变化，∠CMQ=60°；（2）①∵∠DCQ=120°，当△DCQ是等腰三角形时，CD=CQ∴∠PDA=∠CDQ=∠CQD=30°∵∠A=60°∴∠APD=90°∴AD=2AP，即AD=2t∵AC=AD+CD∴2t+t=3解得t=1故答案为t=1时，△DCQ是等腰三角形；②面积相等，如图所示：过P作PE⊥AD于E，过Q作QG⊥AD于G，则∴∠G=∠AEP易证△EAP≌△GCQ∴PE=QG∴△PCD和△QCD同底等高∴△PCD和△QCD面积相等故答案为△PCD和△QCD面积相等．10.（2020·广东惠来期末）如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长．【答案】（1）2；（2）存在，t＝3；（3）3cm【解析】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°，∴6+t＝2（6﹣t），∴t＝2，∴t＝2时，△BPQ是直角三角形．（2）存在．理由：连接BF交AC于M．∵BF平分∠ABC，BA＝BC，∴BF⊥AC，AM＝CM＝3cm，∵EF∥BQ，∴∠EFM＝∠FBC＝∠ABC＝30°，∴EF＝2EM，∴t＝2•（3﹣t），解得t＝3．（3）过P作PKBC交AC于K．∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠A＝60°，∵PK∥BC，∴∠APK＝∠B＝60°，∴∠A＝∠APK＝∠AKP＝60°，∴△APK是等边三角形，∴PA＝PK，∵PE⊥AK，∴AE＝EK，∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC，∴△PKD≌△QCD，∴DK＝DC，∴DE＝EK+DK＝（AK+CK）＝AC＝3cm．11.（2019·哈尔滨市月考）如图，，点B关于轴的对称点为C点，点D在x轴的负半轴上，△ABD的面积是30．（1）求点坐标；（2）若动点从点出发，沿射线运动，速度为每秒个单位，设的运动时间为秒，的面积为，求与的关系式.【答案】见解析．【解析】解:（1）由题意知，，∴AD=15，OD=9，∴点D坐标为（-9,0）；（2）∵点B(0,4)关于x轴的对称点为C点，∴点C坐标(0,-4)，∴当0<t≤8时，S=-3t+24，当t>8时，S=3t-2412.（2020·湖北襄州期末）已知等边△ABC的边长为4cm，点P，Q分别是直线AB，BC上的动点．图1图2（1）如图1，当点P从顶点A沿AB向B点运动，点Q同时从顶点B沿BC向C点运动，它们的速度都为lcm/s，到达终点时停止运动．设它们的运动时间为t秒，连接AQ，PQ．①当t＝2时，求∠AQP的度数．②当t为何值时△PBQ是直角三角形？（2）如图2，当点P在BA的延长线上，Q在BC上，若PQ＝PC，请判断AP，CQ和AC之间的数量关系，并说明理由．【答案】见解析.【解析】解:（1）①根据题意得AP＝PB＝BQ＝CQ＝2，∵△ABC是等边三角形，∴AQ⊥BC，∠B＝60°，∴∠AQB＝9