2024年九年级中考数学复习：几何图形的最值问题

2024年九年级中考数学专题复习：几何图形的最值问题

一、单选题

1.如图，等腰三角形A8C的底边8c长为6,腰AC的垂直平分线EP分别交边AC、AB

于点E,F,若Z）为8c边的中点，〃为线段E尸上一动点，若三角形COW的周长的

最小值为13,则等腰三角形ABC的面积为（）

A.78B.39C.42D.3()

2.如图，在RJABC和RfVADE中，ZBAC=ZZME=90°,AC=AD=3,AB=AE=5.连

接BD,CE,将4A£>£绕点A旋转一周，在旋转的过程中当ND8A最大时，AACE的

面积为().

A.6B.6近C.9D.9&

3.如图，凸四边形ABC£＞中，NA=90o,NC=90o,ND=60o,AD=3,AB=,若点仞、

N分别为边C2A。上的动点，则BMN的周长最小值为（）

A.2娓B.3瓜C.6D.3

4.如图，AACB中，CA=CB=4,/AC8=90。，点尸为CA上的动点，连8尸，过点A

作AM_LBP于当点P从点C运动到点A时,线段&W的中点N运动的路径长为（）

B

A.----7cB.72nC.6兀D.2n

2

5.如图，四边形ABCD是菱形，AB=4,且NABC=NABE=60。，G为对角线BD（不

含B点）上任意一点，将4ABG绕点B逆时针旋转60。得到AEBF,当AG+BG+CG取

最小值时EF的长（）

3G

6.如图，在RtMBC中，ZC=90\AC=4,BC=3,点。是AB的三等分点，半圆O

与AC相切，M,N分别是8c与半圆弧上的动点，则的最小值和最大值之和是（）

A.5B.6C.7D.8

7.如图，菱形ABC。的边A8=8,ZB=60°,P是AB上一点，BP=3,。是CD边上一

动点，将梯形沿直线P。折叠，A的对应点4.当C4的长度最小时，CQ的长为

)

8.如图，在等腰RtAABC中，4c=8C=4夜，点P在以斜边AB为直径的半圆上,

M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（）

二、填空题

9.如图，点P是N49B内任意一点，OP=3cm,点M和点N分别是射线。4和射线。8

上的动点，4。8=30°,则一PMN周长的最小值是.

。是8c的中点，E为AB上一动点，点8关于

£>E的对称点"在△ABC内（不含△ABC的边上），则BE长的范围为

11.如图，等边三角形A8C的边BC上的高为6,是BC边上的中线，M是线段49

上的-一个动点，E是AC中点，则EM+CM的最小值为

12.如图，正△ABC的边长为2,过点B的直线LAB,且AABC与△4BC关于直线/

对称，。为线段BC上一动点，则AO+CO的最小值是.

外心为0,BC=18,Zft4C=60°,分别以A8,AC为腰向形

外作等腰直角三角形与△ACE,连接BE,C。交于点P，则0P的最小值是.

D

14.如图，边长为4的正方形，内切圆记为。O,P是。。上一动点，则&%+PB的

最小值为.

15.如图，已知正方ABC。的边长为6,圆8的半径为3,点P是圆8上的一个动点,

则PD-^PC的最大值为.

16.如图，AB是半圆。的直径，点。在半圆。上，AB=13,A£>=5,C是弧8。上的

一个动点，连接AC,过。点作O//LAC于H.连接2H,在点C移动的过程中，的

最小值是_.

三、解答题

17.如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、8、C在小

正方形的顶点上.

(1)在图中画出与43C关于直线/成轴对称的ARC.

(2)在直线/上找一点P,使P8+PC的长最短.

18.如图，在AABC中，AB^AC,AO是AABC底边BC上的中线，点P为线段AB上一

点.

(1)在A。上找一点E,使得PE+E8的值最小；

(2)若点尸为48的中点，当/8PE满足什么条件时，AABC是等边三角形，并说明理

由.

19.如图，等边.43C的边长为6,AO是5c边上的中线，M是A£＞上的动点，E是AB

边上一点，若AE=2,求EW+&W的最小值.

20.如图，等边三角形ABC内接于半径长为2的。。，点P在圆弧A8上以2倍速度从

8向4运动，点Q在圆弧8c上以1倍速度从C向8运动，当点P,0,。三点处于同

一条直线时，停止运动.

(1)求点。的运动总长度；

(2)若M为弦PB的中点，求运动过程中CM的最大值.

参考答案：

1.D

【分析】连接AZ),由于丁ABC是等腰三角形，点。是BC边的中点，可得AD上BC,再根

据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线E尸的对称点为点A,故AD的长为

CM+MD的最小值，再根据三角形的面积公式即可得出结论.

【详解】解：如图：连接A。，交EF于点

是等腰三角形，点。是BC边的中点，

：.AD1BC,CD=-BC=3,

2

EF是线段AC的垂直平分线，

点C关于直线EF的对称点为点A,AM=CM,

，此时△CDM的周长最小，

：.CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=13,

r.4)=13—C£)=13—3=10,

■■-5zA-Ai/siorc=-2«CAD=-2x6xl0=30,

故选：D.

【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形的面积，熟知等

腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.

2.A

【分析】先分析出。的轨迹为以A为圆心A。的长为半径的圆，当与该圆相切时，NDBA

最大，过C作CPLAE于F,由勾股定理及三角函数计算出3D、C尸的长，代入面积公式求

解即可.

【详解】解：由题意知，。点轨迹为以4为圆心4。的长为半径的圆，

当8。与。点的轨迹圆相切时，NO8A取最大值，此时/BD4=90。，如图所示，

答案第1页，共21页

c、、、J

-----

过C作于凡

VZDAE=90°,ZBAC=90°,

：.ZCAF=ZBADf

在放△A3。中，由勾股定理得：BD=[52一乎=牛

：.由sinNCA尸二sinNBAD得：

CFBD

~AC~~ABf

哈4

12

解得：CF=-f

,此时三角形ACE的面积=6,

故选：A.

【点睛】本题考查了旋转的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识点.此题综合性较强，解

题关键是利用D的轨迹圆确定出/OBA取最大值时的位置.

3.C

【分析】由轴对称知识作出对称点，连接两对称点，由两点之间线段最短证明最短，

多次用勾股定理求出相关线段的长度，平角的定义及角的和差求出角度的大小，最后计算出

的周长最小值为6.

【详解】解：作点B关于CQ、40的对称点分别为点"和点B",

连接B7T交。C和A。于点M和点N,DB,连接MB、NB；

再DC和A£＞上分别取一动点M'和N'（不同于点A/和N）,

连接M'ff,N'B利N'B”,如图1所示：

答案第2页，共21页

EM'=BM',B"N'=BN',

X=ffM+MN+NIT,

MB=ME,NB=N『，

:.NB+NM+BM<BM'+MK+BN',

3MN=NB+NM+BM时周长最小；

连接过点8'作于*。的延长线于点H,

如图不2所不：

在/?心Afi£>中，A£>=3,AB=6,

DB=-JAD2+AB2=舟+(3y=2G,

.-.Z2=30o,

.•.Z5=30°,DB=DB",

又Z4ZX?=Z1+Z2=6O°,

答案第3页，共21页

.-.Zl=30o,

.•.Z7=30°,DB'=DB,

.•.Zfi,£)/r=Zl+Z2+Z5+Z7=120o,

DB'=DB"=DB=2y/3，

又NB'£)B"+N6=180°,

.•.Z6=60°,

HD=J5,HE=3,

在用△877B"中，由勾股定理得：

B'B"=-JHB'2+HB"2=旧+(3厨=x/27+9=6.

=NB+NM+BM=6,

故选：C.

【点睛】本题综合考查了轴对称一最短路线问题，勾股定理，平角的定义和两点之间线段最

短等相关知识点，解题的关键是掌握轴对称-最短路线问题，难点是构建直角三角形求两点

之间的长度.

4.A

【详解】解：设AB的中点为0,连接NQ,如图所示：

为Bm的中点，Q为AB的中点，

:.NQ为4BAM的中位线，

'：AMLBP,

:.QN1BN,

：.ZQNB=90°,

•••点N的路径是以Q8的中点。为圆心，;A8长为半径的圆交CB于。的Q£>,

：C4=CB=4,ZACB=90°,

:.AB=®CA=4h,NQBO=45。，

:.NDOQ=90。,

Q。为。。的《周长，

...线段的中点N运动的路径长为：竺作竺g=变兀，

180-2

故选：A.

答案第4页，共21页

5.D

【分析】根据“两点之间线段最短“，当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值

最小，即等于EC的长.

•.•将AABG绕点B逆时针旋转60。得到AEBF,

，BE=AB=BC,BF=BG,EF=AG,

...△BFG是等边三角形.

，BF=BG=FG,.

，AG+BG+CG=FE+GF+CG.

根据“两点之间线段最短”，

/.当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长,

过E点作EF±BC交CB的延长线于F,

.,.ZEBF=180o-120°=60°,

VBC=4,

，BF=2,EF=2g,在Rt^EFC中，

VEF2+FC2=EC2,

.♦.EC=4G.

VZCBE=120°,

NBEF=30°,

VZEBF=ZABG=30°,

，EF=BF=FG,

答案第5页，共21页

.\EF=-CE=^,

33

故选：D.

【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题,

正确的作出辅助线是解题的关键.

6.B

【分析】设。。与AC相切于点D,连接0Q,作QPL3c垂足为P交。。于F,此时垂线

段0P最短，PF最小值为OP-OF,当N在4B边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经

过圆心的弦最长，根据图形与圆的性质即可求解.

【详解】如图，设。。与AC相切于点。，连接。£>,作0PL3C垂足为P交。。于F,

此时垂线段0P最短，PR最小值为OP-OF,

VAC=4,BC=3,

：.A8=5

VNOPB=90°,

：.OPAC

,点。是AB的三等分点，

.2.10OPOB2

・・OB=-x5=—,=——=—,

33ACAB3

Q

：.OP=-

3f

TOO与AC相切于点。，

：.ODA.AC,

：.OD//BC,

.ODOAI

BCAB3

:.OD=lf

o5

.•.MN最小值为OP-OP=]-1=§,

如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长,

…，口」,士10,13

MN取大值=1+1=1,

513/

-+——=6,

33

・・・MN长的最大值与最小值的和是6.

答案第6页，共21页

故选股

【点睛】此题主要考查圆与三角形的性质，解题的关键是熟知圆的性质及直角三角形的性质.

7.B

【详解】作C7/LAB于"，如图.

:菱形ABCZ）的边AB=8,ZB=60°,

...△ABC为等边三角形，

同

；.CH=^-AB=4y/3,AH=BH=4.

2

'：PB=3,:.HP=1.

在RSC”P中，CP=«4而+F=7.

,/梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A，，

...点4在以P点为圆心，雨为半径的弧上，

二当点4在PC上时，C4的值最小，

，ZAPQ^ZCPQ,而CD//AB,

：.ZAPQ=ZCQP,

：.ZCQP=ZCPQ,

：.CQ=CP=1.

故选B.

【点睛】本题考查了菱形的性质.解答本题的关键是确定4在尸C上时C4的长度最小.

8.B

【详解】分析：取4B的中点0、AC的中点E、8c的中点尸，连结。C、OP、0M、0E、

答案第7页，共21页

OF、EF,如图，利用等腰直角三角形的性质得至ljAB=&BC=8,贝ljOC=-AB=4,OP=-AB=4,

再根据等腰三角形的性质得OM，PC,则NCMO=90。，于是根据圆周角定理得到点M在以

OC为直径的圆上，由于点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点,则

利用四边形CEOF为正方得到EF=OC=4,所以M点的路径为以EF为直径的半圆，然后根

据圆的周长公式计算点M运动的路径长.

详解：取4B的中点0、AC的中点E、BC的中点F,连结OC、OP、OM,OE、OF.EF,

如图,：在等腰RtZiABC中,AC=8C=4及，8c=8,.，.。。=；48=4,0P=；AB=4.

为PC的中点，.•.OMLPC,.•./CMO=90。，.•.点M在以0C为直径的圆上，点尸

点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在尸点，易得四边形CEO尸为正方形，

EF=0C=4,点运动的路径为以E尸为直径的半圆，.•.点M运动的路径长=g・4兀=2兀.故

选B.

点睛：本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹.解决此题的关健

是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以EF为直径的半圆.

9.3cm

【分析】分别作点P关于04、08的对称点C、D,连接C。，分别交。4、OB于点M、N,

连接。只OGOD、PM、PN,当点M、N在C。上时，的周长最小.

【详解】解：分别作点P关于0408的对称点C、D,连接C£>,分别交04OB于点M、

:点P关于0A的对称点为C,关于0B的对称点为D,

答案第8页，共21页

PM=CM,OP=OC,NCOA=ZPOA；

•••点P关于OB的对称点为D,

：.PN=DN,OP=OD,ZDOB=ZPOB,

；♦OC=OD=OP=3cm,

ZLCOD=Z.COA+NPOA+NPOB+NDOB=2ZPOA+2ZPOB=2ZAOB=60°,

：.△<%>£>是等边三角形，

CD-OC=OD=3（cm）.

，一PMV的周长的最小值=PM+MTV+PN=CM+ACV+NCD=3cm.

故答案为：3cm.

【点睛】本题主要考查最短路径问题和等边三角形的判定.作点尸关于OA、。8的对称点

C、。是解题的关键所在.

95

10.-<BE<-

52

【分析】首先根据运动特点分析出点B'的运动轨迹在以。为圆心，为半径的圆弧上，然

后分点恰好落在A3边上和点B'恰好落在AC边上两种情况讨论，分别利用勾股定理以及

等腰三角形的性质和判定进行求解和证明即可得出两种临界情况下8E的长度，从而得出结

论.

【详解】解：•••点B与B'关于DE对称，

ABD=B'D,则点8'的运动轨迹在以。为圆心，为半径的圆弧上，

①如图所示，当点恰好落在AB边上时，此时，连接AO和OE,

由题意及“三线合一”知，AD±BD,BD=；BC=3,

.,.在中，AD=y/AB2-BD2=>/52-32=4>

此时，根据对称的性质，DEJ.AB,

，由等面积法，-AB.DE=-AD.BD,

22

.nc.12

5

在向8DE中，BE=>]BD2-DE2=1；

答案第9页，共21页

A

②如图所示，当点皆恰好落在AC边上时，连接A£＞、DE、,

由题意，BD=Dff=DC,

，ADBB=ZDffB,ZDB'C=ZDCB1,

ZDBff+ZDCB'=ADSB+ZDffC,

即：NBCB+NCBB1=/BBC,

：.Zfi5(C=90°,

叩：BB'1AC,

,点8与&关于。E对称，

:.DE1BR,BE=BE,

二DE//AC,

:.ZBED=NBAC,ADEB^ZABE,

由对称的性质，ABED=ADES,

：.ZAB'E=ABAC,

/.AE=B'E,

：.AE=BE^B'E,

即：此时点E为AB的中点，

.•.此时，BE=-AB=-,

22

95

故答案为：

【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，以及勾股定理解直角三角形等，能够根据题意

准确分析出动点的运动轨迹，并构建适当的三角形进行求解是解题关键.

答案第10页，共21页

11.6

【分析】连接BE交AD于M,则BE就是EM+CM的最小值，通过等腰三角形的“三线合一”,

可得BE=AD即可得出结论.

【详解】解：连接BE,与A。交于点M.

\'AB=AC,AO是8c边上的中线，

二8、C关于A。对称，则EM+CM=EM+BM,

则BE就是EM+CM的最小值.

♦.♦E是等边△ABC的边AC的中点，A。是中线

BE=AD=6,

.•.EM+CM的最小值为6,

故答案为：6.

【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质一“三线合一”、等边三角形的性质和轴对称等知

识的综合应用，解题关键是找到M点的位置.

12.4

［分析］根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到NABC=ZA'BC'=60°,4B=AB=BC=2,

证明△CB£＞也△A'8O,得到CD=A'Q,推出当A、D、A'三点共线时，AQ+CQ最小，此时

AD+CD=A'B+AB=4.

【详解】解：如图，连接AD,

•.•正△ABC的边长为2,△48。与4关于直线/对称，

：.ZABC=ZA'BC'=60°,A'B=AB=BC=2,

：.ZCBC'=60°,

.\ZCBC'=ZA'BC',

,:BD=BD,

答案第II页，共21页

：./\CBD^/\A!BD,

：.CD=A'D,

：.AD+CD=A'D+CD,

.,.当AD、,三点共线时,AD+CZ)最小，此时AO+CQ=AB+AB=4,

故答案为：4.

【点睛】此题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，最短路

径问题，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键.

13.9-36

【分析】由与AACE是等腰直角三角形，得到NBAD=ZCAE=90°,ADAC=/BAE,

根据全等三角形的性质得到NM>C=NABE,求得在以8C为直径的圆上，由/WC的外心

为。，N8AC=60。，得到N8OC=120。，如图，当PO1BC时，。尸的值最小，解直角三角

形即可得到结论.

【详解】解：“9与ZXACE是等腰直角三角形，

:.ZBAD=ZCAE=90°,

：.ZDAC=ZBAE,

在4c与中，

AD=AB

-ZDAC=ZBAE,

AC=AE

：.DAC^BAE(SAS),

:.ZADC=ZABE,

:.NPDB+NPBD=90。,

：.ZDPB=90°,

.•.P在以BC为直径的圆上，

..ABC的外心为。，44c=60。,

答案第12页，共21页

.\ZBOC=120°,

如图，当PO18C时，OP的值最小,

BC=18,

:.BH=CH=9,OH^-OB

2

BH=y]OB2-OH2=&OH

:.OH=3拒,PH=9,

OP=9-3也.

则。P的最小值是9-36，

故答案为：9-35/3.

【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的

性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

14.2>/5

【分析】&PA+PB=a（%+交P8）,利用相似三角形构造"PB即可解答.

22

【详解】解：设。。半径为，，

OP=r=BC=2,OB=72r=2y[2»

取。8的中点/,连接P/,

OI=IB=y/2,

答案第13页，共21页

•.•条寻曰空=迪=血，

OIV20P2

...第=器，/0是公共角，

:.△BOPSRPOI,

.PI01叵

^~PB~~OP~^2"

:.PI=&PB,

2

・・.AP+正PB=AP+P/,

2

.,•当A、尸、/在一条直线上时，AP+正P3最小,

2

作/£J_A8于E,

,?NA3O=45。，

：・IE=BE=—BI=1,

2

：.AE=AB-BE=3f

・・・"/="+产=加，

JAP+注PB最小值=AI=如,

2

・・・血弘+尸3=收（雨+—P3）,

2

・・・gPA+PB的最小值是0A/=&x屈=2后.

故答案是2不.

【点睛】本题是“阿氏圆''问题，解决问题的关键是构造相似三角形.

15.史

2

3

【分析】如图，连接BP,在8c上取一点M,使得BM==,进而证明△BRVfs/XBCP,

则在点P运动的任意时刻，均有PM=；PC,从而将问题转化为求PD-PM的最大值.连接

PD,在△「£)〃中，P£)-PM<OM,故当。、M、P共线时，PZ)-PM=£>M为最大值，勾股定

理即可求得DM.

3

【详解】如图，连接BP,在BC上取一点M,使得8M=5，

答案第14页，共21页

AD

.BMBP

/PBM=/CBP

•.ABPMS/\BCP

.MP_BM1

'^C~~BP~2

:.MP=-PC

2

:.PD--PC=PD-MD

2

在△POM中，PD-PMVDM,

当D、M、尸共线时，PO-PM=OM为最大值,

四边形ABC。是正方形

/.ZC=90°

15

在用8W中,DM=>JDC2+MC2=

~2

答案第15页，共21页

故答案为：

【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造gpc是解题的

关键.

167^1-5

--T~

【分析】连接BO,取4。的中点E,连接8E,由题意先判断出点H在以点E为圆心，AE

为半径的圆上，当B、H、E三点共线时，BH取得最小值,然后在直角三角形中，利用勾股

定理求出8E的长，利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出EH的长，由

=即可算出的长度.

【详解】解：连接BO,取4。的中点E,连接BE,如下图：

D

...点，在以点E为圆心，4E为半径的圆上，当8、H、E三点共线时，取得最小值

•••AB是直径

ZBDA=90

在用J3ZM中，AB=13,AD=5

由勾股定理得：BD2=AB2-AD2

即：BD2=169-25=144

•/BD>0

：.30=12

为A£>的中点

DE=-AD^-

22

在RfBOE中，BA12,DE=-

2

由勾股定理得：BE2=DE2+BD2

即：B£2=—+144=—

44

•••BE>0

答案第16页，共21页

•即-时

•・DtL=--------

2

又AC,且点E为AO的中点

EH=)

2

5

BH=BE-EH=-——

222—一

故答案为:V60I-5

2

【点睛】本题考查勾股定理解三角形，直径所对的圆周角为直角，直角三角形斜边上的中线

等于斜边的一半，隐圆问题的处理等相关知识点，能够判断出从动点的运动轨迹是解题的关

键.

17.(1)见解析

(2)见解析

【详解】(1)解：如图，△AQC即为所求.

【点睛】本题考查作图-轴对称变换、轴对称一最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解

答本题的关键.

18.(1)见解析；(2)ZBPE=90°,理由见解析

【分析】(1)根据等腰三角形三线合一的性质可知A。垂直平分BC,再根据两点间线段最

短的性质，连接CP交AO于点E,并连接BE,即可得解；

(2)因为尸为AB的中点，要使△ABC是等边三角形，则需BC=AB,根据等腰三角形三线

合一的性质，所以CPLAB,即NBPE=90。.

答案第17页，共21页

【详解】解：（1）如图，连接CP交A8于点E,则点E为所求;

（2）NBPE=9。。,理由如下：

ZBPE=90°

C.CPVAB,

•点P为AB的中点，

垂直平分A8

CA=CB

"：AB=AC

.'.AB=AC=BC

.♦.△ABC是等边三角形

【点睛】本题主要考查等腰三角形三线合一的性质以及对称、两点间线段最短、线段中垂线

定理，熟练掌握这些性质定理