四川省百师联盟2024届高三冲刺卷（三）全国卷文科数学试题

2024届高三冲刺卷（三）全国卷

文科数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡

上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

考试时间为120分钟，满分150分

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.若U为实数（i为虚数单位），则实数（）

1+i

A.-2B.2C.-1D.1

2.设全集为N,集合A={0,l,2,3,4,5,6},B={^x=2k+l,k&N},贝A=()

A.{0,2,4,6}B.{2,4,6}C.{0,1,3,5}D.{1,3,5}

3.如图，平行四边形ABC。中，DE=EC,BF=2FC,设=AD=b,则所=（）

C.L3D.2/

A.—ci—bB.—a—b

32232332

4.某超市集团共有4家超市，2023年4家超市的年利润最小值和最大值分别为200万元和240万元，若

4家超市2023年年利润的平均数与中位数相等，则2023年该超市集团的总利润为（）

A.980万元B.920万元C.880万元D.840万元

5.已知/(x)=sinx+x3+1,若/(一〃)=加，贝()

A.—mB.l-mC.2-mD.m-1

/+：=10〉0）的离心率为左,贝（

6.若椭圆C：)

-11D-2或与

A.2B.2或一c.一

22

7.如图，网格纸上绘制了一个几何体的三视图，若网格中小正方形的边长为1,则该几何体的体积为

()

匕：IN

16兀28兀64兀112兀

A.——B.C.D.

3333

G若尸+则。一尸二(

8.已知a,p,y[0,-|-\,sino+sin/=sin〃，coscos/=cosa,)

7171兀71

A.B.一C.——D.—

366

9.已知直线/:y=Ax+3与圆C：(1『+(,_1)2=4交于A,8两点，若C4-C8=—2,则左=

()

3311

A.—B.一C.一D.——

4422

10.“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的，其具体内容为：设

m+lm+1/n+11>(4+%+%++aJ"M

m>0,则<+工+工+

an>Q,bn>0,〃£N*,当

印星"广他+…++bj"

且仅当?=答=答==3时，等号成立.根据权方和不等式，若xe(o,4],当上叵+，取得

4b2b3bti\2)smxcosx

最小值时，X的值为()

兀兀兀5兀

A.—B.-C.—D.—

126312

11.已知/(%)为定义在R上的单调函数，且对Vx$R,/[/(x)-ex]=2+ln2,则/(ln3)=

()

A.31n2B.3+ln2C.3-ln2D.In3

12.已知函数4x)=sins+2cos2学(G〉0)在［0,兀］上有且仅有4个零点，则/(%)图象的一条对称

轴可能为()

5兀

D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

'2x-y<0

13.若实数尤，y满足约束条件2x+y20,则上的最大值为

xI3

14.写出与函数〃x）=sinx在x=0处有公共切线的一个函数g（x）=

7T

15.在△ABC中，AB=5,C=-,且tanA=3,则A8边上的高丸=

4

16.已知双曲线C：必一/=4的左、右焦点分别为耳，B，过原点。的直线&丁=立仕W0）与C交

于A,8两点，O为坐标原点.若a=|甲讣则△AO鸟的面积为.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考

题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（-）必考题：60分.

17.（12分）生物病毒（Biologicalvirus,以下简称病毒）是一种个体微小、结构简单、只含一种核酸

（DNA或RNA）的非细胞型生物.一部分病毒可以感染人类，导致人类出现病毒性疾病.研究人员为了

研究某种病毒在常温下的存活时间与空气相对湿度（以下简称湿度）的关系，对100株该种病毒样本的存

活时间（单位：小时）进行统计，如果存活时间超过8小时，即认为该株病毒“长期存活”，经统计得到

如下的列联表.

X.存活

长期存活非长期存活

湿度

湿度40%以上15a

湿度40%及以下b45

（1）以频率估计概率，若在这100株病毒样本中随机抽取1株，该株病毒为“长期存活”的概率为",

求a,b；

（2）是否有95%的把握认为病毒“长期存活”与湿度有关:

2n^ad-bc^

附（a+Z?）（c+d）（〃+c）（b+d）

P（K2>k）

00.10.050.01

ko2.7063.8416.635

18.（12分）已知数列｛4｝的前〃项和为S,,,%=2,S2=8,且当2时，

S"+i=2S"-S〃T+2“+2.

⑴求a“；

（2）设数列工的前w项和为7；,证明：T“<1.

7T

19.（12分）如图，四棱锥S—ABCD中，底面ABC。为菱形，ZDAB=-,侧面△SCO是边长为4的

3

正三角形，SA=2标.

（1）证明：平面SCD,平面A8CD；

（2）求点A到平面S8C的距离.

2

20.（12分）已知函数/（X）=]-4x+61nx+2.

⑴当6=3时，求〃龙）的单调递减区间；

（2）若/（X）有两个极值点X],x2（%!<%2）.

①求实数b的取值范围；

②证明：/（%）+/（兀2）>lnb-6.

21.（12分）已知抛物线C：y2=2/（°>0）的焦点为R过点厂的动直线/与抛物线交于A,B两点，

M为4B的中点，且点M到抛物线的准线距离的最小值为2.

（1）求抛物线C的方程；

（2）设抛物线在A,8两点的切线相交于点。，求点。的横坐标.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第

一题计分.

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系尤Oy中，曲线C的参数方程为1（。为参数）.以坐标原点为极点，尤轴非

'y=l+sin。

负半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为「cos6-看=G.

(1)求曲线C的极坐标方程和直线/的直角坐标方程;

(2)若射线：。=］(夕》0)与曲线C和直线/分别交于A,2两点，求

23.［选修4-5：不等式选讲］(10分)

已知函数/(%)=,一4+忖+24.

(1)当，=2时，求不等式/(x)N2x+12的解集；

(2)若+a恒成立，求实数r的取值范围.

2024届高三冲刺卷(三)全国卷

文科数学参考答案

(a+i)(l-i)F+因为色"‘故j=°'得.j所以

1.D【解析】—

1+1(l+i)(I)

a=l.故选D.

2.A【解析】由题，8为全体正奇数构成的集合，故为全体非负偶数构成的集合，所以

@5)A={0,2,4,6}.故选A.

3.B【解析】EF=AF-AE=^AB+^BCj-^AD+^DCj=^a+^bj-\^b+^aj=^a-^b.故

选B.

4.C【解析】设4家超市2023年的年利润数从小到大依次为200,a,b,240,则

200+“+"+24°=j,解得。+〃=440,所以2023年该超市集团的总利润为880万元.故选C.

42

5.C【解析】设g(x)=sinx+Pg(x)为奇函数，〃—Q)=g(—Q)+l=阳，则

g(-a)=-g(a)-m-1,所以g(Q)=l—m,/(〃)=g(a)+l=l-加+1=2—加.故选C.

6.B【解析】当方>1时，离心率为也旦=显,解得6=2；当0<6<1时，离心率为

4b2

g二巨,解得〃综上所述，6=2或。=,，故选B.

222

7.B【解析】由三视图可知，该几何体为四分之一圆台，且圆台的上、下底面半径分别为2和4,高为

4,所以其体积为；xgx4（4兀+,4兀x16兀等.故选B.

8.A【解析】由sina+sin/=sin〃，cos/?+cos/=coscr,得sina-sin/?=-sin/,

22

cosa-cos/3=cosy,.,.(sina-si”n『+(cos。一cos尸J=(^-sin/)+cos/=1.即

2-2sinosin尸一2cosacos尸=1,12-2cos(a-/?)=1,解得cos1a-f3)=f又a，B,

兀)兀71兀

ye0,—I,工sina-sinQ=-sin/<0,工sina<sin〃，：.0<a<J3<—,：.--<a-/3<Q,

22

兀

(X—B----.故选A.

3

9.A【解析】CACB=|C4|x|CB|cosZACB=4cosZACB=-2,得cos/ACB=—解得

2兀

ZACB=—,所以圆心C（l,l）到直线/的距离为1,即\+2=1,解得上=—3.故选A.

3，1+左24

10.C【解析】由题，sinx>0,cos%>0,则

333

37313万P(3+1户231

------+-------T+—>=42=8,当且仅当——=——,即

sinxcosx5sin-xcos-x

sin2x2cos2X2sin2x+cos2x

］TT

cosx=—时等号成立，所以％=一.故选C.

23

11.B【解析】设“%)—y=£,则/(%)=.》,故/⑺=e'+I=2+ln2,故

er+lne?=2+ln2,设g(x)=x+lnx(x>0),易知g(尤)在(0,+<»)上单调递增，所以e'=2,即

1=ln2,故/(x)=e%+ln2,所以+In2=3+ln2.故选B.

271

12.D【解析】/(x)=sin(7;x+2cos^=A/2sin|s+二+1,令/(X)=0,得

4

=一^~，因为％一［。，司,所以8+7171

sinCDX+—一,〃?兀+一,若“X）在［0,兀|上有且仅有4个

[444

EJ兀,兀21兀E/口7,「人兀7717rg4防1+兀

零点，则---(①71H----<-----，斛付-WG<5,令COXH----—kjlH----,左£Z,付X---------

4442424。

keZ,因为所以4也+“<4.+*44也+兀，卜力,结合选项可知D正确.故选D.

2204a）14

13.1【解析】作出可行域如图所示，设）二・二:言,则上为可行域内动点（羽丁）与点（一3,0）

连线的斜率，当点（羽y）位于4（—1,2）时，左取得最大值1.

【解析】由题"0）=0,/,（x）=cosx,/'⑼=1，答案不唯一，满足

g(O)=O,g'(o)=l即可.

15.6【解析】tanA=3,可得sinA=±E0,cosA=,sinB=sin(A+C)=冬5,由正弦定

1010v'5

理得卫-=」^,得AC=2jIU,所以/?=ACxsinA=2jiUx"0=6.

sinCsin310

16.2【解析】由双曲线的对称性可知，四边形片4玛5为平行四边形，因为|人叫=闺耳所以

ZAF2B=^,/4A6=],不妨设点4在C的右支上，卜力，则•周=4+加，所以

m2+（4+m）2=|f；^|2=32,得加？+4m=8,所以

S5AxA=m24m2

AAOF2=1AA^2=!|^||^|1（+）=-

17.解：（1）若在这100株病毒样本中随机抽取1株，该株病毒为“长期存活”的概率为：，

则竺士2=L,所以15+力=20,解得6=5.

1005

又15+a+b+45=100,解得。=35,所以。=35,b=5.

（2）根据列联表中数据，计算得K?=100X（15X45—35X5）=6.25>3.841.

50x50x20x80

所以有95%以上的把握认为病毒“长期存活”与湿度有关.

18.(1)解：由52=。1+。2=8，〃i=2,得%=6,

当2时，Sn+i=2Sn-Sn_1+2n+2,故(5向—Sj—(S,z-5八_1)=2〃+2,

即。〃+i=2〃+2,所以〃i=2,%—%=4，a3-a2=6,a4-a3=S,…，an-an_x=In,

n(2+2n)

将等式左、右两边分别相加得4=2+4+6++2〃=-^—=/9+

%=2,%=6符合上式，所以42=〃2+〃.

(2)证明：由(1)知己-二=^一=------=------,

ann+nH(H+1)nn+1

所以T=1—L+JL—工+工―」+.+J—1=1-1

n22334n-1nn

*1

因为〃eN,所以1一一<1,所以<<1.得证.

n

19.(1)证明：取CD中点E,连接SE,AE,BE,

TT

易得SELCD,BELCD,因为AB=5C=4,ADAB=-,

3

所以CE=2,ZBCD=~,ZABE=-,故BE=SE=20，

32

XAE2=AB2+BE2=28,SA=2710,

所以SA2=A£2+S£2,故AELSE,

因为AEu平面ABC。，CDu平面ABC。，AECD=E,

所以SE_L平面ABC。，又因为SEu平面SCD

所以平面SCO_L平面ABCD

(2)解：由(1)知SE_L平面A8C£>,且SE=26,

在AABC中，AB=BC=4,

■t-|r\

所以S^ABC=上ABxBCxsinNABC=Lx4x4xsin臼=，

223

故匕-ABC=；*5少。*56=；*46*26=8.

在△SBC中，SC=BC=4,SB=^SE2+BE2=246,

所以SB边上的高/z=峋2=M,

所以SASBC=；x2"xJIU=2JI?•设点A到平面SBC的距离为d,

则^A-SBC=Vs-ABC,即§*S&SBCXd=8,解得d=—~—

所以点A到平面SBC的距离为邛^.

20.解：⑴Z?=3时，/(x)=y-4x+31nx+2,/(x)的定义域为(0,+<»).

/(+1+』―4-+3=(1)23)

XXX

令/'(x)<0,得l<x<3.所以"％)的单调递减区间为(1,3).

(2)0/z(x)=x-4+—=———4x+',%G(0,+OO).

XX

因为〃龙)有两个极值点X]，%，所以方程犬―4x+b=0有两个不等正根看，.

A=16—4Z?>0

所以(玉+%=4〉0,解得0<b<4.则实数b的取值范围为(0,4).

x[x2=b>0

②证明：/(石)+/(尤2)=；(%；+后)_4(石+x2)+Z?lnx1x2+4=blnb-b-4.

所以[/(%)+/(%2)]_仙6+6=(6-1)・lnb_b+2.

4,g(x)=(x-l)lnx-x+2(0<x<4),下面证明g(x)>0,

求导得g'(x)=lnx—L显然g[x)=lnx—,在(0,4)上单调递增.

因为g，⑴=—l<o,g12)=ln2—；>0,且g'(x)在(0,4)上连续，

所以，函数g'(x)=lnx-L存在唯一零点/e(l,2),即由「二,.

x/

并且)£(0,%)时,g'(x)〈o,%£(/0,4)时,g'(%)>0,

(1)

所以gGL,=(XoT)ln%_Xo+2=3-5+—•

(［、5

因为七)«L2),所以2<%+一<-,

IxoJ2

所以g(x)1nm>0,所以/(石)+>(/)>以/_6.命题得证.

21.解：(1)由题知直线/的斜率不为0,设直线/：x=my+^,与抛物线方程联立,

x=my-\——1-)—

2，得y-2pmy-p9=0,A=4p2m+Ap2>0,

y2=2px

设A(F，X)，5(%2，%)，则3+y2=227〃，%%=_p\

由抛物线的定义，知点M到抛物线准线的距离

dABx+x+mm2+1)

=^\\=^i2P)=-(y1+y2)+p=P(

所以当m=0时，4^="=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.

(2)由题易知抛物线在A,B两点处的切线与坐标轴不垂直，

设在点A(x,,yJ处的切线方程为4：x-\=n(y-yl),即x=期+西一"%,

与抛物线方程联立］无：•+玉一“X,得J_4町;_4%+4〃%=0,