2022北京东城区高一下学期期末数学试题和答案

2022北京东城高一（下）期末数学一选择题共小题，每小题分，共分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.､330.1.复数z2i的虚部是（=−）A.1B.−1C.2D.−2D.−2.sin72cos42−cos72sin42=（）123312AB.C.−22=m=3.已知向量a=(1,2)，bm)，且a//b，那么（）A−5B.−4C.−2D.04.已知10)=，e=，那么与2e+e垂直的向量是（212）−A.212+5.已知tanA.−2−3e−2221−2e+2eD.12B.C.1π=，那么1+=（）)3B.2+3C.1+3D.1−36.设的内角,B,C所对的边分别为a,b,c，若a=3，b=1，A=60，则B等于（）A.30B.45C.D.7.如图，在正方体ABCDABCD中，与直线−互为异面直线的是（1）1111A.CDB.C.CD1DD.1114338.已知正四棱锥S−ABCD，底面边长是2，体积是，那么这个四棱锥的侧棱长为（）A.B.2C.5D.2239.已知五位同学高一入学时年龄的平均数，中位数均为16，方差为1，那么三年后，下列说法错误的是（A.这五位同学年龄的平均数变为19）B.这五位同学年龄的中位数变为19C.这五位同学年龄方差仍为1D.这五位同学年龄的方差变为410.如图，在△中，D是AB的中点，O是CD上一点，且CO=，则下列说法中正确的个数是（）①OA+OB+OC=0；334②过点O作一条直线与边AC,BC分别相交于点E,F，若=，=(0=，则；4323③若△是边长为1的正三角形，M是边AC上的动点，则BMMD的取值范围是−,−464A.0个B.1个C.2个D.3个､53分.二填空题共小题，每小题分，共z=1−iz=2+izz=11.已知复数，，那么___________.121212.a,b均为单位向量，且ab=−，那么|ab|___________.+=213.从甲､乙两个部门中分别任选5名员工统一进行职业技能测试，得到的测试成绩（单位：分）的数据统计表如下所示在这两个部门员工的测试成绩中，平均数较高的是___________部门，方差较大的是___________部门.员工分数1分数2分数3分数4分数5部门甲828686819093908592乙8914.已知锐角的内角,B,Ca,b,c，若a=bB+C)，则B=___________.的对边分别为15.如图，在正方体ABCDABCD中，点M为线段−BC1B,C上异于的动点，则下列四个命题：11111①△1等边三角形；AACC⊥A；1②平面平面11③设CM=x，则三棱锥AADM的体积随着增大先减少后增大；−x11M1M//A平面.1④连接，总有其中正确命题是___________.三解答题共小题，共分解答应写出文字说明演算步骤或证明过程.､5.､16.某校从高一年级学生中随机抽取名学生，将期中考试的数学成绩（均为整数）分成六组第一组为[40,50)第二组为[50,60)，以此类推，第五组为[80,90)，第六组为[90,100]得到如图所示的频率分布直方图.，（1）根据频率分布直方图，求的值，并直接写出众数､第80百分位数分别在第几组；a（2）若用分层随机抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为的样本，求在[70,90)分数段抽取的人数.π17.在中，,B,C所对的边分别为a,b,c，且a2，=A=，c2=2+2b−ab.a4（1）求C的大小；（2）求b的值.18.如图，在四棱锥PABCD−PD⊥ABCD，四边形ABCD是矩形，点为侧棱EPA的中点，过中，C,D,E三点的平面交侧棱PB于点F.（1）求证：AB平面CDEF；（2）再从条件①条件②这两个条件中选择一个作为已知，求证：､⊥CF.条件①：；条件②：=⊥平面PAB.､.注：如果选择条件①条件②分别解答，按第一个解答计分xx19.已知函数f(x)=−cos2x+sinx，（1）求函数f(x)的最大值；g(x)=2x−2sin.322F(x)=f(x)+g(x)F(x)的单调递增区间.（2）若函数，求函数12334nn+1，，，，其中P)P)P)P(,n)nN，+20.在平面直角坐标系中，已知一列点：，，1232向量j.=（1PPj和PPj的值；1223m（2）证明：对任意的正整数，都有mPjm1Pj；m1m+2k,,nkmn（3）若正整数满足，则下列结论中正确的有___________.（填入所有正确选项的序号）①PPjPPj；②|nP||PP|；③|PP|PP|.m−kmmm+kn+k+km−kmnn+km21.用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.由平行光线形成的投影叫做平行投影，由点光源发出的光线形成的投影叫做中心投影.投影线垂直于投影面产生的平行投影叫做正投影，投影线不垂直于投影而产生的平行投影叫做斜投影物体投影的形状大小与它相对于投影､面的位置和角度有关.如图所示，已知平行四边形ABCD在平面内的平行投影是四边形ABCD.图1图2图3ABCD（1）若平行四边形ABCD平行于投影面（如图1），求证：四边形（2）在图2中作出平面ABCD与平面是平行四边形；的交线（保留作图痕迹，不需要写出过程）；ABCD与平面（3）如图3，已知四边形和平行四边形−−ABCD的面积分别为S,S，平面ABCD的交线是直12线l，且这个平行投影是正投影设二面角AlA的平面角为（为锐角），猜想并写出角的余弦值（用1,S表示），再给出证明.2参考答案一选择题共小题，每小题分，共分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.､330.1.复数z2i的虚部是（=−）A.1B.−1C.2D.−2【答案】B【解析】【分析】由复数的定义得出答案.【详解】复数z2i的虚部是1=−−故选：B2.sin72cos42−cos72sin42=（）123312A.B.C.−D.−22【答案】A【解析】【分析】直接用正弦和差角公式即可得到结果.sin72cos42−cos72sin42=sin72−42()【详解】因为1=sin30=2故选=m=（3.已知向量a=(1,2)，bm)，且a//b，那么）A.−5B.−4C.−2D.0【答案】C【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.【详解】解：因为a=(1,2)，bm)，且a//b，=所以−m=12，解得m=−2.故选：C4.已知10)=，e=，那么与2e+e垂直的向量是（）212−A.212+e−22121−2e+2eD.12B.C.【答案】B【解析】【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示及数量积的坐标表示计算可得.【详解】解：因为e=0)，e=，所以2e2+2,1=()，121()()2()−2e2+2,1=(−)2e+e2e+e=22+11=3，故A错误；对于A：，此时1121()()2()对于B：e−22=(−)2，则e−e22+e=21+1−2=0，故B正确；1121()()2()−1=(−)2e−ee+e=222+11=3C对于C：e2，此时，故错误；1121()()2对于D：e+22=()1,2，则则e+e22+e=21+12=4，故错误；D1121故选：Bπ5.已知tan=，那么1+=（)）3A.−−3B.2+3C.1+3D.1−32【答案】A【解析】【分析】利用和角正切公式即可求值.πtan+tanπ1+31−33π+)===−2−3.【详解】31−tantan3故选：A6.设的内角,B,C所对的边分别为a,b,c，若a=3，b=1，A=60，则B等于（）D.A.30B.45C.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理求出sinB，又sinAsinB，则B为锐角，结合选项得出答案．【详解】，b=1，A=60，311=sinB=，解得，sin60sinB2又sinAsinB，B为锐角，即B=30，故选：A7.如图，在正方体ABCDABCD中，与直线−互为异面直线的是（1）1111A.CDB.C.CD1DD.111【答案】D【解析】【分析】由异面直线的定义对选项一一判断即可得出答案.1CD=D【详解】对于选项A，A不正确；1//对于选项B，，故B不正确；1CD相交，故C不正确；1对于选项C，直线与直线1ADAD与直线是异面直线，故D正确.11对于选项D，因为直线故选：D.与直线不同在任意一个平面，所以直线1111438.已知正四棱锥S−ABCD，底面边长是2，体积是，那么这个四棱锥的侧棱长为（）3A.B.2C.5D.223【答案】C【解析】433【分析】设正四棱锥的高为h，由体积是，求出h=3.利用勾股定理求出侧棱长.22=4.【详解】因为正四棱锥SABCD，底面边长是，所以底面积为−2143设正四棱锥的高为，由V=4h=h=3.，所以332+(2)=+=325.所以侧棱长为l=h2即侧棱长为5.故选：C9.已知五位同学高一入学时年龄的平均数，中位数均为16，方差为1，那么三年后，下列说法错误的是（A.这五位同学年龄的平均数变为19）B.这五位同学年龄的中位数变为19C.这五位同学年龄的方差仍为1D.这五位同学年龄的方差变为4【答案】D【解析】【分析】利用平均数、中位数、方差的定义直接求解.【详解】五位同学高一入学时年龄的平均数，中位数均为16，方差为1，那么三年后，这五位同学年龄的平均数变为+3=，故A正确；这五位同学年龄的中位数变为+3=，故B正确；这五位同学年龄的方差不变，故C正确，D错误；故选：D.10.如图，在△中，D是AB的中点，O是CD上一点，且CO=，则下列说法中正确的个数是（）①OA+OB+OC=0；②过点O作一条直线与边334AC,BCE,F==(0=，则分别相交于点，若，；4323③若△是边长为1的正三角形，M是边AC上的动点，则BMMD的取值范围是−,−464A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【解析】CD=CA+CB=−CD,=+，=OD−DA，结合向量的运算判断①；由【分析】由，223E,O,F三点共线结合向量的数乘运算判断②；建立坐标系，利用坐标运算结合二次函数的性质判断③.CD=CA+CB=−CD,=+，=+=OD−DA，故【详解】对于①：，223OA++=−CD+=−CD+CD=0，故①正确；333=+CE=−CA+CB)+CA=CA−CB对于②：，34123OF=OC+CF=−CA+CB)+CB=−CA+−CBE,O,F，因为三点共线，所以=，即333513=−43512，解得=−=,，故②错误；115−=−3331212A−,0,B,0,C,D0)，对于③：以点D作为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系，2AC=,,AB=0)AM=tAC,t，因为，设223312BM=AM−AB=t,t−0)=t−t，22213113=AD−AM=,0−t,t=−t,−t，所以22222211322431338BM=t−1−t−t2=−t2+t−，当t=1时，BMMD=−，当t=时，242423323464BM=−，即BMMD的取值范围是−,−，故③正确；64故选：C､53分.二填空题共小题，每小题分，共z=1−iz=2+izz=11.已知复数，，那么___________.1212【答案】3−i##−i+3【解析】【分析】直接利用复数的乘法法则求解即可z=1−iz=2+i，【详解】因为，12zz=−i)(2+i)=2+i−−i2=3−i所以，12故答案：3−i12.a,b均为单位向量，且ab=−，那么|ab|___________.+=2【答案】3【解析】【分析】由模长公式计算即可.12【详解】ab+=a+4ab+b=14+−+4=3故答案为：313.从甲､乙两个部门中分别任选5名员工统一进行职业技能测试，得到的测试成绩（单位：分）的数据统计表如下所示在这两个部门员工的测试成绩中，平均数较高的是___________部门，方差较大的是___________部门.员工分数1分数2分数3分数4分数5部门甲82868689819093908592乙【答案】①.乙②.甲【解析】【分析】根据表中的数据利用平均数和方差公式计算进行比较1x1=(++++)=828681938585.4【详解】甲的平均数为51x2=(++++)=868990909289.4乙的平均数为，5所以乙的平均数较大，1S21=−85.4)2+−85.4)2+(81−85.4)2+(93−85.4)2+−85.4)2]=17.84]=3.84甲的方差为乙的方差为51S2=−89.4)2+−89.4)2+(90−89.4)2+(90−89.4)2+(92−89.4)2，25所以甲的方差较大，故答案为：乙，甲14.已知锐角的内角,B,C的对边分别为a,b,c，若abBC)，则___________.=+B=【答案】##603【解析】【分析】由正弦定理边化角，再利用中sin(B+C)=sinA即可化简求解.【详解】解：在锐角中，因为abBC)，=+所以由正弦定理可得3sinA=2sinBsin(B+C)=2sinBA，因为sinA0，3所以sinB=，2B因为所以，2B=，3故答案为：.315.如图，在正方体ABCDABCD中，点M为线段−BC1B,C上异于的动点，则下列四个命题：11111①△1是等边三角形；AACC⊥A；1②平面平面11③设CM=x，则三棱锥AADM的体积随着增大先减少后增大；−x11M1M//A平面.1④连接，总有其中正确的命题是___________.【答案】①②④【解析】⊥A，即可11【分析】对①：由正方体的面对角线相等即可判断；对②：由线面垂直的判断定理证明BD平面AACC⊥A；对③：由CM//1AADDA,可得点M到平面的距离d为定值，从而可得1得证平面平面平面1111三棱锥AADM的体积为定值；对④：由面面平行的判断定理证明平面−BDC//A平面，再根据面面平行的1111性质定理即可判断.ABCD−ABCD中，设边长为，则是等AD=AB=BD=2，所以△111【详解】解：对①：在正方体11111边三角形，故①正确；ABCD−ABCD中，1⊥，对②：在正方体111AA⊥1AA⊥，所以，1又平面ABCDAA1⊥A因为，所以BD平面，11又BD平面A，1AACC⊥A，故②正确；1所以平面平面11ABCD−ABCDAADD//BCCB,平面1B,1对③：在正方体中，因为平面平面11111111所以CM//平面AADD,11A1所以点M到平面的距离d为定值，1所以V1−ADM=V=Sd为定值，故③错误；M−1AD1AD3ABCD−ABCDBC//ADBCAADA平面，1对④：在正方体中，因为，平面，111111111BC//1A1BD//A1BCBD=B，又，1111所以平面，同理可得平面11BDC//A1所以平面平面，111M1M//BDC因为所以平面，11A1平面，故④正确.故答案为：①②④.三解答题共小题，共分解答应写出文字说明演算步骤或证明过程.､5.､16.某校从高一年级学生中随机抽取名学生，将期中考试的数学成绩（均为整数）分成六组第一组为[40,50)第二组为[50,60)，以此类推，第五组为[80,90)，第六组为[90,100]得到如图所示的频率分布直方图.，（1）根据频率分布直方图，求的值，并直接写出众数第百分位数分别在第几组；a､80（2）若用分层随机抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为的样本，求在[70,90)分数段抽取的人数.【答案】（1）a=，众数第百分位数分别在第四组第五组80､（2）11（人）【解析】【分析】（1）由频率分布直方图中所有的小矩形面积之和为1得到方程，即可求出，再由频率分布直方图判断众a数及第80百分位数所在位置.（2）首先求出抽样比，再根据频率分布直方图求出[70,90)【小问1详解】中的人数，从而计算可得.解：由题意可得(0.010+0.0152+a+0.025+0.00510=1)，解得a=.由图频率分布直方图可知小矩形最高的一组为第四组70,80)，所以众数位于第四组，又(0.010+0.0152+0.03010=0.70.8，)(0.0100.0152+0.0300.025100.950.8++)=，所以第百分位数在第五组.【小问2详解】201=.解：因为总体共名学生，样本容量为，因此抽样比例为603又因为在70,90)分数段共有60(+)=0.30.2533（人），1因此在70,90)分数段抽取的人数是（人）.33=113π17.在中，,B,C所对的边分别为a,b,c，且a2，=A=，c2=2+2b−ab.a4（1）求C的大小；（2）求b的值.【答案】（1）3（2）31+【解析】【分析】（1）由余弦定理求出C的值，再根据角C的取值范围即可求解；（2）由已知及（1）问结论，利用两角和的正弦公式可得B，再根据正弦定理即可求解.小问1详解】a2+b2−c212解：因为c2=a2+b2−ab，所以由余弦定理可得C==，2C0,()，又所以C=；3【小问2详解】ππππ6+2(+)=+=解：由（）知sinBsinAC=sin，434346+22abasinBsinA42=，得b===3+1.由正弦定理sinAsinB218.如图，在四棱锥PABCD−PD⊥ABCD，四边形ABCD是矩形，点为侧棱EPA的中点，过中，C,D,E三点的平面交侧棱PB于点F.（1）求证：AB平面CDEF；（2）再从条件①条件②这两个条件中选择一个作为已知，求证：､⊥CF.条件①：；条件②：=⊥平面PAB.､.注：如果选择条件①条件②分别解答，按第一个解答计分【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质得到线线平行，由线线平行证明线面平行.(2)选择条件，则线面垂直证得线线垂直即可.【小问1详解】四边形ABCD是矩形，∥CD.又平面CDEF,平面CDEF，AB平面【小问2详解】选择条件①.D且点E为侧棱PA的中点，⊥.PD⊥平面ABCD,CD平面ABCD，PD⊥CD.CD,PDAD=D又，故⊥平面PAD.又平面PAD，CD⊥.又，PA⊥平面CDEF.又平面CDEF，PA⊥CF.选择条件②：PAB,平面平面PAB，⊥.ABCD,CDPD⊥平面ABCD，平面PD⊥CD.D,PDAD=D又，故⊥平面PAD.又平面PAD，CD⊥.又，PA⊥平面CDEF.又平面CDEF，PA⊥CF.xx19.已知函数f(x)=−cos2x+sinx，（1）求函数f(x)的最大值；g(x)=2x−2sin.322F(x)=f(x)+g(x)F(x)的单调递增区间.（2）若函数，求函数【答案】（1）2−,+,kZ（2）63【解析】【分析】（1）有二倍角的余弦公式化简()，t=x,t−，由二次函数的性质求数f(x)的最大值；fx（2）由三角恒等变换化简()，令+(Z)，即可求出函数的单调递增区间.Fx2k−2x−2kkF(x)262【小问1详解】()=−fxcos2x+x()=−1−2sinx+sinx2=2sin2x+sinx−1设t=x,t1.12498y=t2+t−1=2t+−于是，.当t=1时，y=2.【小问2详解】()=()+()Fxfxgxxx=−cos2x+sinx+3sin2x−2sincos22=x+x+x−x=3sin2x−cos2x6=2x−2k−2x−2kk+(Z)，令则262k−+(Z).xkk63因此，函数()的单调递增区间为−,+,kZ.Fx63123nn+1，，，，其中P)P)P)P(,n)nN，+20.在平面直角坐标系中，已知一列点：，，123234向量j.=（1PPj和PPj的值；1223m（2）证明：对任意的正整数，都有mPjm1Pj；m1m+2k,,nkmn（3）若正整数满足，则下列结论中正确的有___________.（填入所有正确选项的序号）①PPjPPj；②|nP||PP|；③|PP|PP|.m−kmmm+kn+k+km−kmnn+km161【答案】（1），（2）证明见解析（3）①③【解析】【分析】(1)写出向量的坐标，利用坐标进行运算；(2)用坐标表示出向量的数量积，再对数量积进行作差，比较大小；(3)对于①，用坐标表示出PPj,PPj，再判断大小；m−kmmm+k对于②③，用坐标表示出向量的模长，再比较大小.【小问1详解】1,j0,1,PPj=()=.6112612=(),j0,1PPj=，2.312【小问2详解】1==(),j0,1，(+)(+)m1m21mm1j=.(+)(+)m1m21==(),j0,1，2(+)(+)m2m31PPj=m1m+2(+)(+)m2m311mPj−PPj=m1m1m+2−(+)(+)(+)(+)m1m2m2m32=(+)(+)(+)m1m2m3mPjPPj.m1m1m+2【小问3详解】m−kmm+1mm+1m−kmm+1m−km−k+对于①，P(mk,−m(,)，Pm−km=(k,−)，Pm−kmj=−，m−km−k+1m−k+11m+km+km+m+km+Pm+k(m+k,)，所以mm+k=(k,−)，mm+kj=−，m+k+1m+k+1m1m+k+1m1mm−km+km2mm−km+kPj−PPj=mmm+k−−+=−(+)Pm−km+1m−k+1m+k+1m+1m+1m−k+1m+k+1+−2[(m+2−k2]−(m+m(m+−k2](m+m−k+m+k+k22m2m(m2km+1(m−k+m+k+=−=2=20，所以(m+m−k+m+k+Pm−kPjPPj，故①正确；mmm+kn+knn+1n+knk对于②，P(nk,+n(n,)，所以PP=(k,−)=(k,)，n+knn+kn+k+1n+1(n+n+k+n+k+1k2|nP|=k2+，n+k[(nn++kk+2k2PP=(k,)，|mm+k=k2+同理，，mm+k+++(mmk[(mmk++2+因为nmk，所以(n+n+k+(m+m+k+，|nP|mP|，所以②错误；n+km+kmm+1m−kkPm−km=(k,−)=(k,)对于③，，m−k+1(mm+1−k)+k2|PP|=mk2+，m−k++−2[(mm1kk2|nP=k2+，n+k[(nn++k+2因为nmk，所以(n+n+k+(m+m−k+，k2k2所以k2+k2+，[(mm+1−k+2[(n+n+k+2即|PP|PP|，所以③正确m−kmnn+k所以正确选项的序号为：①③.21.用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.由平行光线形成