2022北京朝阳区高一下学期期末数学试题和答案

2022北京朝阳高一（下）期末数学2022.7（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．z=+i)(2−i)1.在复平面内，复数A.第一象限（其中i为虚数单位）对应的点位于（）B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知向量a(2,1),b(x,2)，且a∥b，则x的值为（==−）−4−2A.4B.C.2D.3.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论正确是（）A.=CDB.AB+=BDD.AD+BC=0C.AB−AD=DBabc4.中，角ABC所对的边分别为，，c==，则是ABcosC（）A.钝角三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形，但不是等腰三角形5.mn是两条不同的直线，,m,n是两个不同的平面，，下列结论中正确的是（）A.若m∥n，则∥B.若∥D.若∥，则m∥nC.若m与n不相交，则∥，则m与n不相交6.某西瓜种植基地种植了三个品种的西瓜共计1200亩，其中A品种亩，B亩，C品种200亩．为了解该西瓜种植基地的西瓜产量，按照各品种的种植亩数在总体中所占的比例进行分层随机抽样，从总体中抽出亩作为样本进行调查，测得样本中A品种总产量为吨，B品种总产量为吨，C品种总产量为吨，则这1200亩西瓜的总产量估计为（A.1200吨B.3000吨C.3560吨7.两位射击运动员在射击测试中各射靶次，每次命中的环数如下：）D.6480吨甲乙7895778857469106774710用x,x分别表示甲、乙两名运动员次射击成绩的第百分位数，用s,s分别表示甲、乙两名运动员121210次射击成绩的标准差，则有（）x=x,ssxx,ssx=x,ssxx,ss1212A.B.C.D.121212121212bc8.中，角ABC所对的边分别为，，c+1，则角A的取值范围是a+ca+b（）36,,A.B.C.D.36y|x|和y=2的图象围成的封闭平面图形绕x轴旋转一周，所得几何体的体积为（）9.把32A.B.C.D.42π33ABCD−ABCDBC,1,BB的中点，则下列结论中正确110.已知正方体的棱长为，，G分别为1111的是（）1DAG②直线1①直线③点C与点G到平面AEF的距离相等；A.①②B.与直线垂直；与平面AEF平行；9④平面AEF截正方体所得的截面面积为．2C.D.③④第二部分（非选择题共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．z=+i)i（其中iz=________.若复数12.在中，角ABC所对的边分别为，，cc=2,b=6,B=，C___________=．3=−=−−=t=___________，|b=13.已知向量a(4,b(2,t2)，且a(ab)2，则___________．14.一个袋子中有大小和质地相同4个红球和n个绿球，采用有放回方式从中依次随机地取出2个球，若4取出的2个球颜色不同的概率为n的所有可能取值为___________．9AB,AC15.如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台D．已知湿地夹在公路之间AB,AC长度均超过4km且BAC60．在公路AB,AC上分别设有游客接送点EF，=（AE=AF=2．若要求观景台D，F两点连线的右侧，并在观景台D与接送点EF之间建造两条观光线路DE与DF，EDF=120，则观光线路DE与DF之和最长为___________km．=满足e−b=eb，且xb+yb=e，其中x,yR，且ii1216.e是单位向量，向量bi2)ix+y=1．则下列结论中，正确结论的序号是___________．①xeb+yeb=1；12()1yx+xyb−b=②；22b−b=2③存在x，，使得；12b−bbb=0．④当取最小值时，1212三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17.为方便，B两地区的乘客早晚高峰通勤出行，某公交集团新开通一条快速直达专线．该线路运营一段时间后，为了解乘客对该线路的满意程度，从B两地区分别随机抽样调查了名乘客，将乘客对该线路的满意程度评分分成5组：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，整理得到如下频率分布直方图：根据乘客满意程度评分，将乘客的满意程度分为三个等级：[50,70)[70,90)[90,100]满意程度评分满意程度等级不满意满意非常满意（1A地区随机抽取一名乘客，以频率估计概率，估计该乘客的满意程度等级是非常满意的概率；（2A地区与B地区各随机抽取一名乘客，记事件C为抽取的两名乘客中，一名乘客的满意程度等级为非常满意且另一名乘客的满意程度等级为不满意，假设两地区乘客的评分相互独立，以频率估计概率，求事件C的概率；2（3为从A地区随机抽出的这名乘客的满意程度评分的平均数，B地区随机抽出的这1100名乘客的满意程度评分的平均数，为从AB两地区随机抽出的这名乘客的满意程度评分的平1−2−的大小，并说明理由．均数，试比较与18.在中，角ABC所对的边分别为，，cb（1）求角B：2−c2=a−2ac．2（2）从①C=2B，②bA=aB中选取一个作为条件，证明另外一个成立；1BCD=B,=4，求△BCD的面积．（3D为线段AB上一点，且2ABCD−ABCD中，侧棱1AA1⊥19.如图，在四棱柱底面ABCDABCD，四边形为菱形，111AB=BAD=EFAA1,，，分别为的中点．13（1）证明⊥平面，并求点C到平面的距离；11B,F,1,E（2）证明：20.如图，在四棱锥PABC=90，E是PD的中点．四点共面．1−中，平面⊥平面ABCD,BC∥平面PAD,BC=AD，PAD2（1）求证：∥AD；（2）求证：平面PAB平面⊥PAD；（3M是线段CE上任意一点，试判断线段AD上是否存在点，使得MN∥平面PAB？请说明理由．A=12BB,B,,BBi1ijn)21.若集合，其中为非空集合，，则称集n12nB,B,,B为集合nAn合一个划分．12（1）写出集合A=的所有不同的2划分；（2）设2为有理数集Q2划分，且满足对任意B,B1xB，任意yBx，都有2y．则下列1四种情况哪些可能成立，哪些不可能成立？可能成立的情况请举出一个例子，不能成立的情况请说明理由；BB2①②③④中的元素存在最大值，中的元素不存在最小值；1B1B2中的元素不存在最大值，中的元素存在最小值；B1B2中的元素不存在最大值，中的元素不存在最小值；B1B2中的元素存在最大值，中的元素存在最小值．A=，对于集合A的任意一个3划分B,B,B，证明：存在i2,3，存3（3）设集合12a,bi，使得b−aB在．i参考答案第一部分（选择题共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】A【解析】z.【分析】根据复数的乘法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得解z=+i)(2−i)=3+i【详解】解：，则对应点的坐标为()，位于第一象限.故选：A.2.【答案】B【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示即可得出答案.【详解】解：因为a(2,1),b(x,2)，且a∥b，==−所以2(−2)−x=0x=4.，解得故选：B.3.【答案】C【解析】【分析】利用相等向量可判断A选项；利用平面向量的加法可判断选项；利用平面向量的减法可判断C选项.【详解】对于A选项，=，A错；对于B选项，AB+=，B错；对于C选项，AB−AD=DB，C对；对于D选项，+=2D错.故选：C.4.【答案】B【解析】【分析】先由正弦定理得tanA=tanB=tanC，进而得到AsinAsinBsinC==BC，即可求解.==，则tanAtanBtanC，又,B,C为三角形内角，==【详解】由正弦定理得ABcosC则A故选：B.5.【答案】D=B=C，则是等边三角形.【解析】【分析】根据面面平行的判定定理和性质定理对选项一一判断即可得出答案.【详解】若m∥n，则,可能平行、可能相交，故A不正确；若∥m,n，则可能平行、可能异面，故B不正确；若m与n不相交，则,也不一定平行，故C不正确；，故D正确若m与n不相交，则∥故选：D.6.【答案】C【解析】【分析】根据抽样方法是按照各品种的种植亩数在总体中所占的比例进行分层随机抽样即可求解.【详解】解：根据题意这1200亩西瓜的总产量估计为1200(++)=10850203560吨，60故选：C.7.【答案】D【解析】【分析】根据百分位数和方差的定义计算求解即可.【详解】将甲、乙两组数据分别从小到大排列：甲：，45，，，7，9，，10乙：，66，，，7，8，，109+98+8因为1080%=8，所以x=1=9，2==8.224+4+5+7+7+7+8+9+9+10x==7，甲的平均数乙的平均数1105+6+6+7+7+7+7+8+8+10x=2=7.1，10(4−7)2+(4−7)2+(5−7)2+−7)2+−7)2+−7)2+−7)2所以1==2，10s=1.32同理可得.xxss1所以，.122故选：D.8.【答案】A【解析】bc1+1化简得b2+−A【分析】先由c2a2bc，再由余弦定理得cosA≥，即可求得角a+ca+b2值范围.bc+1可得b(a+b)+c(a+c)(a+b)(a+c)，整理得b2+−2abc，【详解】由c2a+ca+bb2+cbc2−a212=AA()A由余弦定理得A，则，又，则.33故选：A.9.【答案】A【解析】【分析】根据圆柱和圆锥的体积公式即可求解.【详解】解：由题意，该几何体可以看作一个圆柱挖去两个完全相同的圆锥，1323所以所得几何体的体积为V=224−2222=，3故选：A.10.【答案】C【解析】【分析】由AFC即为直线与直线1D所成的角，即可判断①；对于②，连接,DF,，由11线面平行的判定即可判断②；由平面AEF不过CG的中点即可判断③；先找出截面，再计算面积即可判断④.ABCD−ABCD1D//1，则AFC1D与直线所【详解】解：对于①，由正方体成的角，得即为直线1111连接AC，而1⊥平面ABCD，所以，所以在△中，则AFC不可能是直角，直线与直线1D不垂直，故①不正确；,DF,AG1D//BC//EFAD1AG平面AEF，平面1对于②，连接，则，所以11111FAG平面AEF，所以1AEF，∥平面AEF，故②正确；对于③，若点C与点G到平面AEF的距离相等，则平面AEF必过CG的中点，连接CG交EF于H，且H不是CG的中点，则平面AEF不过CG的中点，即点C与点G到平面AEF的距离不相等，③不正确；=1FAEFD即为平面AEF截正方体所得的截面，1对于④，因为AD1∥，，所以等腰梯形−2322则=22,=2,=DF=5，AD1,之间的距离为2−=，11121232292(22+2=AEFD则面积为，故④正确.1故选：C.第二部分（非选择题共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．【答案】1i−−【解析】z【分析】由复数乘法法则计算出后可得其共轭复数．z=+i)i=−1+i【详解】由已知得，，则z=1−i故答案为：1i．−−12.【答案】6【解析】【分析】直接利用正弦定理即可得出答案，注意大边对大角.c=2,b=6,B=【详解】解：因为，3bc=又正弦定理得，sinBsinC32csinB12所以sinC=2，==b6=6，得CB2b由c=，所以C=.6故答案为：.6①.3②.2913.【答案】【解析】t【分析】根据向量坐标的线性运算求出a−b，再根据数量积的坐标运算即可求出，再根据向量的模的坐标公式即可求出|b|.【详解】解：因为a(4,b(2,t2)，=−=−所以a−b=(2,−1−t)，a(ab)831t−=−(−−)=2，解得t=−3，则所以b(2,，=−所以|b=4+25=29.故答案为：3；29.14.2或8【解析】【分析】先求出取出2个球颜色不同的概率，再解方程求解即可.4nn449+=【详解】由题意知，取出的2个球颜色不同的概率为，(+)(+)(+)(+)n4n4n4n4化简得n2−10n160，解得+=n=2或8.故答案为：2或8.15.【答案】4【解析】【分析】利用余弦定理得到关于DE与DF的方程，借助基本不等式求的最大值.+【详解】在△AEF中，23；=,=n==DE2+DF−2DEDFcosEDF，2在中，设，由余弦定理可得：EFmn，即12=(m+n)2=2+n2+2−，即：12m(m+n)2(m+n)2，所以(m+n)2−12m+n4，，因为mn44当且仅当m=n=2时，故答案为：4.m+n取到最大值4，即DE与DF之和最长为4.16.【答案】①③④【解析】【分析】由xb+yb=e结合数量积运算得xeb+yeb=1；又由x+y=1，求得xb−b=eb，1221212()1yb−b=ebyx+xyb−b=1b−b2进而得；结合基本不等式求得；进而得到121212b+b=e，同时平方即得bb=0.1212()【详解】由xb+yb=e可得xb+ybe=ee=1，即xeb+yeb=1，①正确；121212()又xb+yb=e且x+y=1，则xb1xb+(−)=e，即xb−b=e−bxb−b=e−b，所以，1221212122e−2=ebxb−b=e−b=ebyb−b=e−b=eb，同理，1211又则由，则21222()1yxb−b+xyb−b=yeb+xeb=1yx+xyb−b=1，②错误；2，即121221()1x+y=1知x,y至少一正，若x,y一正一负，则yx+xy=0，显然不满足yxxyb2=1，+−x+y2211x,y=y=+=均为正，则yxxy22=x故，当且仅当时等号成立，则221b−b=2，12+yxxy1x=y=xyb1−2=2当且仅当时等号成立，则存在，，使得，③正确；21()1+2=4b−bx=y=xb+yb=eb+b=e当取最小值2时，，由，则，1212122()即b−b+bb=4，则bb=0，④正确.121212故答案为：①③④.【点睛】本题关键点在于由xeb+yeb=1结合x+y=1得到xb−b=eb，yb−b=eb进而12112122()1yx+xyb−b=1b−b2b+b=e，最后由平方即可求解.12得，再结合基本不等式求得212三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17.）0.2；−=−，理由见解析（2）0.1；（）12【解析】）先由频率和为1解出a=0.02，再求是非常满意的概率即可；（2）分别求出AB地区非常满意和不满意的概率，再由独立事件乘法公式求解即可；,1，进而求出，计算求解即可.（3）由频率分布直方图求得【小问1详解】2由频率分布直方图知，(0.005+0.015+0.03+0.03+a10=1)，解得a=，则估计该乘客的满意程度等级是非常满意的概率为0.0210=0.2；【小问2详解】从A地区随机抽取一名乘客，该乘客的满意程度等级是非常满意的概率为0.0210=0.2，是不满意的概率为(0.005+0.01510=0.2；)从B地区随机抽取一名乘客，该乘客的满意程度等级是非常满意的概率为0.015=，是不满意的概率为(0.015+0.0210=0.35；)则P(C)=0.20.35+0.20.15=0.1；【小问3详解】−=−=550.05+650.15+750.3+850.3+950.2=79.5，1，理由如下：122=550.15+650.2+750.3+850.2+950.15=75，112因则，B两地区人数比为1:1，则=+=77.25，1221−=2.25，2−=2.25，则−=−.1218.）B=4（2）见解析（）4【解析】）利用余弦定理即可得解；（2）选①，根据C=2B结合（）求出C,A，可得AB，则有=tanA=tanB，再根据正弦定理化角为边即可得证；选②，利用正弦定理化边角，再结合（）即可得出结论；（3）利用正弦定理求得，再利用三角形的面积公式结合诱导公式及倍角公式即可得出答案.【小问1详解】解：因为b所以b2−c2=a−2ac，22=a2+c2−2ac=a2+c−2acB，22所以B=，2B0,()，又B=所以；4【小问2详解】证明：选①，因为C=2B，B=，4所以C=,A==B，24sinAsinB所以tanA=tanB，即所以bA=aB；=，AB选②，因为bA=aB，所以sinBA=sinAB，sinBcosA−sinAcosB=sinB−A=0，所以(),B0,()，则−()BA,，又所以B−A=0，A=B=即，4所以C==2B；2【小问3详解】1BCD=B=，则=解：由（）得，288BCCD==42sin因为，所以sinBDCsinB81S=BCCDsinBCD2=82sinsin88=82sin88=42sin=4，4所以△BCD的面积为．19.）证明见解析，距离为（2）证明见解析；；3【解析】⊥⊥AC,交于OCO；设）由ACBD及⊥即可证得平面，即为点C到11平面的距离，再由三角形知识求解即可；11D中点GAGFBAG1，进而证得，即可（2，先证得四边形为平行四边形，得到证得结论.【小问1详解】AA⊥ABCD，AC底面ABCD因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，又侧棱1⊥底面，则平面1，DD1∥AA1⊥DDBD=DDD1,BD，所以1⊥又，所以，又，平面11；1AC,交于OAB=BAD=的距离，又设，则CO即为点C到平面，则13CO=AO=AB=3，6即点C到平面的距离为3；1【小问2详解】AG,FG,BF,1E，易得GF=ABAGFB1D中点G取，连接，则四边形B,F,1,E，所以四点共面．为平行四边形，则AG，又1E，则120.）见解析（）见解析（3N为AD中点时，MN∥平面PAB.【解析】）由线面平行的性质定理即可证明.（2）由面面垂直的性质定理证得BA平面⊥PAD，又因为BA平面PABPAB⊥，所以平面平面PAD.（3AD的中点N，连接CN,EN，由线面平行的判定定理证明CNEEN∥平面PAB，CN平面PAB，所以平面【小问1详解】平面PAB，再由面面平行的性质定理可证得MN∥平面PAB.PAD,BCABCD,ABCD=平面PAD平面,∥平面平面所以∥AD.【小问2详解】⊥ABCD,PADABCD=平面，因为平面PAD平面平面⊥，所以BA⊥平面PAD，又因为BA平面PAB，所以平面PAB平面⊥PAD.【小问3详解】取AD的中点N，连接CN,EN，E,NPD,EN∥PA的中点，所以，分别为ENPAB，PA平面平面PAB，所以EN∥平面PAB，1BC=AD∥AD又因为，，所以四边形ABCN为平行四边形，2所以CN∥，CN平面PAB，AB平面CNNE，所以平面CNE平面PAB，又因为线段AD上存在点N，使得MN∥平面PAB.，所以CN平面PAB，PAB平面CNE，所以MN∥平面PAB.1,2,3,3,2,2,3,121.）（2）①可能成立，例子见解析；②可能成立，例子见解析；③可能成立，例子见解析；④不可能成立，证明过程见解析；（3）证明过程见解析.【解析】）根据题意写出含有3个元素的2划分即可；（2）①②③可以举出反例，④可以利用反证法进行证