【初中数学】特殊平行四边形中的最值问题+课件+北师大版数学九年级上册

第一章特殊平行四边形专题2特殊平行四边形中的最值问题数学九年级上册BS版专题解读典例讲练目录CONTENTS数学九年级上册BS版01专题解读◎问题综述四边形中的最值问题是近几年中考的热点问题，试题层出

不穷，形式多样，往往综合了几何变换，有一定难度，具有很

强的探索性.通过研究发现这类问题，常常利用“两点之间线段

最短”“垂线段最短”“斜边大于直角边”“三角形三边关系

定理”等来解决.数学九年级上册BS版02典例讲练类型一

“将军饮马”模型

如图，已知菱形

ABCD

的对角线

AC

＝12，面积为24，△

ABE

是等边三角形.若点

P

在对角线

AC

上移动，求

PD

＋

PE

的最

小值.【思路导航】连接

BD

.

连接

PB

.

推出

PD

＝

PB

，从而推出

PE

＋

PD

＝

PE

＋

PB

，由

PE

＋

PB

≥

BE

，推出当

E

，

P

，

B

三点共线

时，

PE

＋

PD

的值最小，最小值为

BE

的长，求出

BE

即可解决

问题.解：如图，连接

BD

交

AC

于点

O

，连接

PB

.

∴

BD

＝4.∵四边形

ABCD

是菱形，

∵

AC

与

BD

互相垂直平分，∴

PD

＝

PB

.

∴

PE

＋

PD

＝

PE

＋

PB

.

∵

PE

＋

PB

≥

BE

，∴当

E

，

P

，

B

三点共线时，

PE

＋

PD

的值最小，最小值为

BE

的长.∵△

ABE

是等边三角形，

【点拨】两定一动，动点在直线上的最值问题就是“将军饮

马”最值问题，常常利用轴对称来解决问题.

1.如图，正方形

ABCD

的边长为2，点

E

是

BC

的中点，点

P

是

AC

边上的一个动点，连接

BP

，

EP

，则

BP

＋

EP

的最小值

为

⁠.

2.如图，在矩形

ABCD

中，

AB

＝4，

BC

＝8，

E

为

CD

边的中

点，点

P

，

Q

为

BC

边上两个动点，且

PQ

＝2，当四边形

APQE

的周长最小时，则

BP

的长为

⁠.4

【解析】由题知

PQ

，

AE

的长均为定值，∴当四边形

APQE

的

周长最小时，

AP

＋

QE

最小.如图，在

AD

上截取线段

AF

＝

PQ

＝2，作点

F

关于

BC

的对称点

G

，连接

EG

与

BC

交于一点即为

点

Q

，过点

A

作

FQ

的平行线交

BC

于一点，即为点

P

，此时

AP

＋

QE

最小.过点

G

作

BC

的平行线交

DC

的延长线于点

H

.

则四边形

FGHD

为矩形.∴

CH

＝

AB

＝4.∵四边形

ABCD

是矩形，∴

AD

＝

BC

＝8，∠

D

＝90°，∠

QCE

＝90°.∵

PQ

＝2，∴

DF

＝

AD

－

AF

＝6.∴

GH

＝6.∵点

E

是

CD

的中点，∴

CE

＝2.∴

EH

＝2＋4＝6.∴

EH

＝

GH

.

∴∠

GEH

＝45°.设

BP

＝

x

，则

CQ

＝

BC

－

BP

－

PQ

＝8－

x

－2

＝6－

x

，在△

CQE

中，∵∠

QCE

＝90°，∠

CEQ

＝45°，∴

CQ

＝

CE

.

∴6－

x

＝2，解得

x

＝4.∴

BP

的长为4.故答案为4.类型二

垂线段最短

如图，在Rt△

ABC

中，已知

AC

＝2，

BC

＝4，点

P

为斜边

AB

上一动点，

PE

⊥

BC

，

PF

⊥

CA

，求线段

EF

长的最小值.【思路导航】连接

CP

，判定四边形

ECFP

是矩形，再根据当

CP

最小时，

EF

也最小，同时根据垂线段最短即可求解.解：如图，连接

CP

.

∵

PE

⊥

BC

，

PF

⊥

CA

，∴∠

PEC

＝∠

PFC

＝∠

ACB

＝90°.∴四边形

ECFP

是矩形.∴

EF

＝

PC

.

∴当

CP

最小时，

EF

也最小.∵垂线段最短，∴当

CP

⊥

AB

时，

CP

最小.

【点拨】“两动点之间距离”最小值问题，可转化为“一定一

动”最值问题.本题中运用矩形的对角线相等将

EF

长的最值转

化为

CP

长的最值是解决问题的关键.

1.如图，过边长为1的正方形的中心点

O

引两条相互垂直的射

线，分别与正方形的边交于点

A

，

B

，则线段

AB

长的最小值

是

⁠.

2.如图，菱形

ABCD

的对角线

AC

，

BD

相交于点

O

，点

P

为

AB

边上一动点（不与点

A

，

B

重合），

PE

⊥

OA

于点

E

，

PF

⊥

OB

于点

F

.

若

AC

＝20，

BD

＝10，求

EF

的最小值.解：如答图，连接

OP

.

∵四边形

ABCD

是菱形，

AC

＝20，

BD

＝10，

∴∠

AOB

＝90°.在Rt△

ABO

中，由勾股定理，得

∵

PE

⊥

OA

于点

E

，

PF

⊥

OB

于点

F

，∴∠

OEP

＝∠

OFP

＝90°.答图∴四边形

OEPF

是矩形.∴

EF

＝

OP

.

则当

OP

取最小值时，

EF

的值最小.

答图类型三

利用三点共线取最值

如图，点

M

，

N

是正方形

ABCD

的边

CD

上的两个动点，满

足

AM

＝

BN

，连接

AC

，交

BN

于点

E

，连接

DE

，交

AM

于点

F

，连接

CF

.

若正方形的边长为6，求线段

CF

长度的最小值.【思路导航】先判断出Rt△

ADM

≌Rt△

BCN

（HL），得出∠

DAM

＝∠

CBN

；判断出△

DCE

≌△

BCE

（SAS），得出∠

CDE

＝∠

CBE

，即可判断出∠

AFD

＝90°；根据直角三角形斜

边上的中线等于斜边的一半，可得点

F

到

AD

的中点

O

的距离不

变；利用勾股定理列式求出

OC

的长，再根据三角形的三边关系

可知当

O

，

F

，

C

三点共线时，

CF

的长度最小.

∴Rt△

ADM

≌Rt△

BCN

（HL）.∴∠

DAM

＝∠

CBN

.

∴△

DCE

≌△

BCE

（SAS）.∴∠

CDE

＝∠

CBE

.

∴∠

DAM

＝∠

CDE

.

∵∠

ADF

＋∠

CDE

＝∠

ADC

＝90°，∴∠

DAM

＋∠

ADF

＝90°.∴∠

AFD

＝180°－90°＝90°.如图，取

AD

的中点

O

，连接

OF

，

OC

，

在Rt△

ODC

中，

∵

OF

＋

CF

≥

OC

，

【点拨】“一定一动”最值问题的关键是找到动点的轨迹，或

者找动态过程中的不变量，利用三角形三边关系解决.本题中利

用全等三角形的判定与性质得到“动中有静”，直角三角形斜

边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定

出

CF

最小时点

F

的位置是解题关键.

如图，在边长为4的正方形

ABCD

中，点

E

，

F

分别为

AD

，

CD

边上的动点（不与端点重合），连接

BE

，

BF

，点

E

，

F

在运动

过程中，始终保持∠

EBF

＝45°，连接

EF

.

过点

B

作

BH

⊥

EF

，

垂足为

H

，连接

DH

，则

DH

的最小值为

⁠.

【解析】如答图，延长

DC

至点

G

，使

CG

＝

AE

，连接

BG

，

BD

.

∵四边形

ABCD

是正方形，∴

AB

＝

CB

，∠

A

＝∠

BCD

＝