【初中数学】第一章+特殊平行四边形++课件++北师大版九年级数学上册期末复习+

总复习期末复习课期末复习课（一）（第一章特殊平行四边形）数学九年级上册BS版知识梳理典例讲练目录CONTENTS数学九年级上册BS版01知识梳理1.特殊平行四边形的网络图（特殊平行四边形的判定）.2.菱形的性质.（1）边：菱形的四条边

⁠.（2）对角线：菱形的对角线互相

，并且平分每一

组

⁠.（3）对称性：①菱形是轴对称图形，有两条对称轴；②菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.注：菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形.相等

垂直平分

对角

3.矩形的性质.（1）角：矩形的四个角都是

⁠.（2）对角线：矩形的对角线

，

且互相

⁠.（3）对称性：①矩形是轴对称图形，有两条对称轴；②矩形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.直角

相等

平分

4.正方形的性质.（1）角：正方形的四个角都是

⁠.（2）边：正方形的四条边

⁠.（3）对角线：正方形的对角线

且互相

⁠.（4）对称性：①正方形是轴对称图形，有四条对称轴；②正方形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.注：正方形具有菱形、矩形的一切性质.直角

相等

相等

垂直平分

5.面积问题.（1）菱形的面积等于对角线乘积的一半；（2）矩形的面积等于长×宽；（3）正方形的面积等于边长的平方，也等于对角线乘积的

一半.6.直角三角形斜边中线定理.直角三角形斜边上的中线等于斜边的

⁠.一半

数学九年级上册BS版02典例讲练

①②③④

【思路导航】推出

FG

是△

ACD

的中位线，即可判断①是否正

确；证明四边形

ADBE

是菱形，得到

AD

＝

BD

，再利用Rt△

ACD

得到

AD2－

CD2＝

AC2，即可判断②是否正确；根据

FG

是

△

ACD

的中位线，证得

S△

AOD

＝2

S△

AOG

，即可判断③是否正

确；设

OA

＝

x

，根据

OA2＝

OF2＋

AF2，求出

OA

得到

AB

，进而

求得

BC

，再根据

BD2－

CD2＝

AC2，求出

BD

，即可判断④是否

正确.【解析】①由题意可知，

MN

垂直平分

AB

，∴

OA

＝

OB

，

ED

⊥

AB

.

又∵

OF

⊥

AC

，∠

ACB

＝90°，∴

OF

∥

BC

，

AF

＝

CF

，

∴

FG

是△

ACD

的中位线，∴

CD

＝2

GF

.

故①正确.②又∵

OE

＝

OD

，∴

DE

与

AB

互相垂直平分.∴四边形

ADBE

是菱形.∴

AD

＝

BD

.

在Rt△

ACD

中，

AD2－

CD2＝

AC2，∴

BD2－

CD2＝

AC2.

故②正确.③∵

FG

是△

ACD

的中位线，∴点

G

是

AD

的中点.

∴

S△

AOD

＝2

S△

AOG

.

易知

S△

AOD

＝

S△

BOE

，∴

S△

BOE

＝2

S△

AOG

.

综上所述，正确的结论有①②③④.故答案为①②③④.【点拨】本题考查了线段垂直平分线的作图方法、线段中垂线

的性质、菱形的判定及性质定理、勾股定理等，是中考的一个

常考点.熟练掌握并灵活运用相关定理是解题的关键.

BA.4个B.3个C.2个D.1个【解析】如图，设

AC

与

MN

的交点为点

O

.根据作图可得，

MN

垂直平分

AC

.

∴

AO

＝

CO

.

∵四边形

ABCD

是矩形，∴

AD

∥

BC

.

∴∠

EAO

＝∠

OCF

.

又∵∠

AOE

＝∠

COF

，

AO

＝

CO

，∴△

AOE

≌△

COF

（

ASA

），∴

AE

＝

FC

.

又∵

AE

∥

CF

，∴四边形

AFCE

是平行四边形.

∵

MN

垂直平分

AC

，∴

EA

＝

EC

，∴四边形

AECF

是菱形.故①正确.

综上所述，①②④正确，共3个.故选B.类型二

矩形的性质与判定

在四边形

ABCD

中，已知

AC

，

BD

相交于点

O

，

AD

∥

BC

，∠

ADC

＝∠

ABC

，

OA

＝

OB

.

（1）如图1，求证：四边形

ABCD

为矩形；图1（2）如图2，点

P

是边

AD

上任意一点，

PE

⊥

BD

，

PF

⊥

AC

，

垂足分别是

E

，

F

，若

AD

＝12，

AB

＝5，求

PE

＋

PF

的值.图2

图1（2）解：如图，连接

OP

.

∵在矩形

ABCD

中，

AD

＝12，

AB

＝5，

【点拨】（1）判定矩形的关键要素：①平行四边形；②直角或

对角线相等.（2）矩形问题中涉及边长的和的求值或证明问题

时，一般通过全等三角形或等面积法解决.（3）关于中点的处

理，主要看中点所在的“环境”，如等腰三角形底边中点、直

角三角形斜边中点、双中点等，不同环境处理方法各不相同.

1.如图，在矩形

ABCD

中，

AB

＝3，

BC

＝6.若点

E

，

F

分别在

AB

，

CD

上，且

BE

＝2

AE

，

DF

＝2

FC

，点

G

，

H

是

AC

的三等

分点，则四边形

EHFG

的面积为

⁠.2

2.如图，已知▱

ABCD

的对角线

AC

，

BD

相交于点

O

，过点

A

作

AF

⊥

CD

，垂足为

F

.

延长

DC

到点

E

，使

CE

＝

DF

，连接

OE

，

BE

.

（1）求证：四边形

ABEF

是矩形；（1）证明：∵四边形

ABCD

是平行四边形，

∴

AB

∥

CD

，

AB

＝

CD

.

∵

CE

＝

DF

，∴

CE

＋

CF

＝

DF

＋

CF

，即

EF

＝

CD

.

∴

AB

＝

EF

.

∴四边形

ABEF

是平行四边形.又∵

AF

⊥

CD

，即∠

AFE

＝90°，∴▱

ABEF

是矩形.（2）若

AB

＝5，

CF

＝2，

AC

⊥

BD

，求

OE

的长.

类型三

正方形的性质与判定

（2022·邵阳）如图，在菱形

ABCD

中，已知对角线

AC

，

BD

相交于点

O

，点

E

，

F

在对角线

BD

上，且

BE

＝

DF

，

OE

＝

OA

.

求证：四边形

AECF

是正方形.【思路导航】菱形的两条对角线互相垂直且平分，再根据两条

对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形即可证明四边形

AECF

是正方形.证明：∵

四边形

ABCD

是菱形，∴

OA

＝

OC

，

OB

＝

OD

且

AC

⊥

BD

.

又∵

BE

＝

DF

，∴

OB

－

BE

＝

OD

－

DF

，即

OE

＝

OF

.

∵

OE

＝

OA

，∴

OA

＝

OC

＝

OE

＝

OF

，且

AC

＝

EF

.

∴四边形

AECF

是矩形.又∵

AC

⊥

EF

，∴四边形

AECF

是正方形.【点拨】掌握菱形的性质和正方形的判定定理是解题的关键.

1.如图，已知点

E

，

F

分别是正方形

ABCD

的边

CD

，

AD

上的

点，且

CE

＝

DF

.

连接

AE

，

BF

，交于点

O

.

下列结论：①

AE

＝

BF

；②

AE

⊥

BF

；③

S△

AOB

＝

S四边形

DFOE

；④

AO

＝

OE

；⑤∠

AFB

＋∠

AEC

＝180°.其中正确的有

⁠

（填序号）.①②③⑤

2.如图，在菱形

ABCD

中，已知点

E

，

O

，

F

分别为

AB

，

AC

，

AD

的中点，连接

CE

，

CF

，

OE

，

OF

.

（1）求证：△

BCE

≌△

DCF

.

（2）当

AB

与

BC

满足什么关系时，四边形

AEOF

是正方形？

请

说明理由.

【思路导航】先由线段比设参数，由轴对称的性质等表示出

DG

；再在四边形

DEGF

中，由等面积法列方程求出参数；然后

在△

BFH

中构造△

AEG

的相似三角形，求边长；最后由勾股定

理求出

BH

的长.

【点拨】翻折变换中产生的“十字架模型”，常结合勾股定理

等知识，利用参数构建方程解决问题.

1.如图，有一个边长为2的正方形

ABCD

，点

M

，

N

分别是

AD

，

BC

边的中点，将点

C

折叠到线段

MN

上，落在点

P

的位

置，折痕为

BQ

，则

MP

的长为

⁠.（第1题图）

2.如图，四边形

OABC

是矩形，点

A

的坐标为（8，0），点

C

的

坐标为（0，4），将矩形

OABC

沿

OB

折叠，点

C

落在点

D

处，

则点

D

的坐标为

⁠.（第2题图）

类型五

特殊平行四边形中的旋转问题

如图，将矩形

ABCD

绕点

C

旋转得到矩形

FECG

，点

E

在

AD

上，延长

ED

交

FG

于点

H

.

（1）求证：△

EDC

≌△

HFE

.

（2）连接

BE

，

CH

.

【思路导航】（1）由旋转和矩形的性质可知

CD

＝

EF

，∠

CDE

＝∠

EFH

＝90°，再根据平行线的性质得出∠

DEC

＝∠

FHE

，

即可利用“AAS”证明△

EDC

≌△

HFE

.

（2）①解：四边形

BEHC

是平行四边形.证明如下：如图，连接

BE

，

CH

.

∵四边形

ABCD

是矩形，∴

AD

∥

BC

，即

EH

∥

BC

.

∵△

EDC

≌△

HFE

，∴

EC

＝

EH

.

∵将矩形

ABCD

绕点

C

旋转得到矩形

FECG

，∴

EC

＝

BC

.

∴

EH

＝

BC

.

又∵

EH

∥

BC

，∴四边形

BEHC

是平行四边形.②【解析】要使四边形

BEHC

是菱形，

∵将矩形

ABCD

绕点

C

旋转得到矩形

FECG

，

∴△

BCE

是等边三角形.∴∠

EBC

＝60°.∴∠

ABE

＝90°－∠

EBC

＝30°.

【点拨】解答本题时，要综合运用矩形的性质、旋转的性质、

全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的性质、

含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识.

1.如图，将矩形

ABCD

绕点

A

按逆时针方向旋转α（0°＜α＜

90°）得到矩形

AB

'

C

'

D

'，此时点

B

'恰好在

DC

边上，连接

BB

'.

若∠

B

'

BC

＝15°，则α的大小为

⁠.（第1题图）30°

（第2题图）（6，

4）

类型六

特殊平行四边形中的最值问题

如图，在矩形纸片

ABCD

中，已知

AB

＝8，

BC

＝6，点

E

是

AD

的中点，点

F

是

AB

上一动点.将△

AEF

沿直线

EF

折叠，点

A

落在点

A

'处.在

EF

上任取一点

G

，连接

GC

，

GA

'，

CA

'，则△

CGA

'周长的最小值为

⁠.

【思路导航】连接

AC

，交

EF

于点

G

，连接

A

'

G

，此时△

CGA

'

的周长最小，最小值为

A

'

G

＋

GC

＋

CA

'＝

GA

＋

GC

＋

CA

'＝

AC

＋

CA

'.当

CA

'最小时，△

CGA

'的周长最小，再求出

CA

'的最小

值即可解决问题.【解析】如图，当点

F

固定时，连接

AC

交

EF

于点

G

，连接

A

'

G

，此时△

CGA

'的周长最小，最小值为

A

'

G

＋

GC

＋

CA

'＝

GA

＋

GC

＋

CA

'＝

AC

＋

CA

'.∵四边形

ABCD

是矩形，∴∠

D

＝90°，

AD

＝

BC

＝6，

CD

＝

AB

＝8.

∴△

CGA

'的周长的最小值为10＋

CA

'.当

CA

'最小时，△

CGA

'的

周长最小.∵点

E

是

AD

的中点，∴

DE

＝

AE

＝

EA

'＝3.

∵

CA

'≥

CE

－

EA

'，

【点拨】翻折就会有定点、定长，将其放入三角形中利用三角

形三边长关系解决.特殊平行四边形中的最值问题一般有如下三

种：（1）两定一动，动点在直线上的最值问题，

常常利用轴

对称解决问题；（2）“两动点之间距离”最小值问题，可转化

为“一定一动”最值问题；（3）“一定一动”最值问题的关键

是找