【初中数学】第三章+概率的进一步认识第五章+投影与视图+课件+北师大版九年级上册数学期末复习课（三）+

总复习期末复习课期末复习课（三）（第三章概率的进一步认识，第五章投影与视图）数学九年级上册BS版知识梳理典例讲练目录CONTENTS数学九年级上册BS版01知识梳理1.用树状图或表格求概率.（1）求概率的两种基本方法：

和

⁠.画树状图法

列表法

（2）画树状图法和列表法的优缺点优点缺点画树

状图

法可以直观、形象地分析

问题，能够避免重复和

遗漏当一次试验参与的元素过多

时，用画树状图法就比较麻

烦列表

法可以清晰地表示出某个

事件发生的所有可能出

现的结果，从而较方便

地求出事件发生的概率易出现重复；当一次试验涉

及的分步过多（一般超过两

步）时，就不能用列表法

A

（2）频率与概率的关系.事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的.当试验次数

较少时，频率的大小摇摆不定；当试验次数增大时，频率的大

小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定

值，而频率是概率的近似值.（3）利用频率估计概率.当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相

等时，一般用统计频率的方法来估计概率.3.投影.（1）一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做

物体的投影，投影所在的平面叫做

⁠.（2）由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影.由平行光

线形成的投影叫做

.投影线垂直于投影面产生的投

影叫做

⁠.（3）同一时刻，在同一地点，物体的高度与

⁠成

比例.投影面

平行投影

正投影

影子的长度

4.视图.（1）对一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内由

前向后观察物体得到的视图，叫做

；在水平面内由

上向下观察物体得到的视图，叫做

；在侧面内由左

向右观察物体得到的视图，叫做

⁠.（2）三种视图的位置：主视图在左上方，它下方应是俯视图，

左视图在主视图的右边.画三种视图时，三个视图要放在正确的

位置，并且注意主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的

高平齐，左视图与俯视图的宽相等.主视图

俯视图

左视图

数学九年级上册BS版02典例讲练类型一

利用树状图或表格计算概率

（1）如图，转盘的红色扇形圆心角为120°.让转盘自由转

动2次，指针1次落在红色区域，1次落在白色区域的概率

为

⁠.

【思路导航】根据红色扇形圆心角为120°，得出白色扇形的圆

心角的度数，将圆等分成几个部分，画树状图或列表得出最后

的结果即可.

【点拨】利用等可能事件的概率公式计算事件的概率，需建立

在所有的结果都是等可能的基础上，利用画树状图法或列表法

求解.当转盘被分割成面积不等的扇形时，通常需要将其转化成

等面积的扇形，否则就会出错.（2）2022年冬奥会在中国举行，小明和小刚都去观看了冬奥项

目比赛.他们都喜欢的冬奥项目分别是A.短道速滑；B.冰球；C.

花样滑冰；D.跳台滑雪.小明和小刚计划各自在这四个冬奥项目

中任意选择一个观看，每个项目被选择的可能性相同.①小明选择观看项目“C.花样滑冰”的概率是多少？②用画树状图或列表的方法，求小明和小刚恰好选择同一项目

观看的概率.【思路导航】①根据概率的定义直接求解即可；②利用画树状

图或列表的方法，列出所有可能出现的结果，进而得出概率.

②画树状图（略图）如下：由树状图可知，共有16种等可能的结果，小明和小刚恰好选择

同一项目观看的结果有4种，

一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，把它们分别标

号为1，2，3，4.（1）随机摸取一个小球，标号是奇数的概率为

⁠；

（2）随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球，求两次

取出小球标号的和等于5的概率.（2）解：画树状图（略图）如下：

类型二

概率与统计的综合

（2023·辽宁）为了推进“优秀传统文化进校园”活动，学

校准备在七年级成立4个课外活动小组，分别是：A.民族舞蹈

组；B.经典诵读组；C.民族乐器组；D.地方戏曲组.为了了解

学生最喜欢哪一个活动小组，学校从七年级全体学生中随机抽

取部分学生进行问卷调查，每人必须选择且只能选择一项，并

将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息解答下列问题：（1）本次调查的学生共有

人；（2）在扇形统计图中，求“D组”所对应的扇形的圆心角度

数，并补全条形统计图；（3）在重阳节来临之际，学校计划组织学生到敬老院为老人表

演节目，准备从这4个小组中随机抽取2个小组汇报演出，请你

用列表法或画树状图法，求选中的2个小组恰好是“C组”和

“D组”的概率.100

【思路导航】（1）由样本中参加“C组”的人数以及占调查人

数的百分比可求出调查总人数；（2）求出样本中选择“D组”

的学生所占的百分比，进而可求出相应的圆心角度数，求出选

择“B组”的学生人数，即可补全条形统计图；（3）用树状图

或表格列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行

计算即可.（1）【解析】由统计图可知，本次调查的学生共有35÷35％＝

100（人）.故答案为100.

补全条形统计图如下：

（3）解：画树状图（略图）如下：由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中2个小组恰好是

“C组”和“D组”的结果有2种，

【点拨】解决此类问题的关键是分析统计图，获取信息，并熟

练掌握用画树状图或列表的方法计算概率.

为提高学生的安全意识，学校就学生对校园安全知识的了解程

度，对部分学生进行了问卷调查，将收集到的信息进行统计并

分成了以下四个等级：A.非常了解；B.基本了解；C.了解很

少；D.不了解.将结果绘制成两幅不完整的统计图如图所示.请你根据统计信息回答下列问题：（1）求扇形统计图中“D”等级所在扇形的圆心角度数，并补

全条形统计图；

（2）若全校约有学生1500人，请估计“A”等级的学生人数；

（3）学校要从“A”等级的甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽

取2人参加竞赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到甲、

丁两名同学的概率.解：（3）画树状图（略图）如下：

类型三

概率与方程、函数等的综合

在一个不透明的口袋里装有四个大小、材质完全相同的小

球，上面分别标有数字1，2，2，3.

【思路导航】（1）直接用概率公式求解即可；（2）先画树状

图或列表，再分别求出小明胜的概率和小红胜的概率，比较两

个概率的大小，即可得出结论.

（2）画树状图（略图）如下：

∴小明胜的概率＝小红胜的概率.∴这个游戏公平.

在甲、乙两个不透明的口袋中分别装有大小、材质完全相同的

小球，其中甲口袋中的四个小球上分别标有数字1，2，3，4，

乙口袋中的三个小球上分别标有数字2，3，4.先从甲口袋中任

意摸出一个小球，记下数字为

m

，再从乙口袋中任意摸出一个

小球，记下数字为

n

.（1）请用列表或画树状图的方法表示出（

m

，

n

）所有可能的

结果.解：（1）画树状图（略图）如下：由树状图可知，共有12种等可能的结果.

（2）若

m

，

n

都是方程

x2－5

x

＋6＝0的解，则小明获胜；若

m

，

n

都不是方程

x2－5

x

＋6＝0的解，则小利获胜.问：他们两

人谁获胜的概率大？类型四

投影作图及计算

在公园有两个垂直于水平地面且高度不同的圆柱，两个圆

柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为120

cm.敏敏观察到高90cm的矮圆柱的影子落在地面上，其影长为

60cm；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示.已知落在地

面上的影子皆与墙面互相垂直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题：（1）若敏敏的身高为150cm，且此刻她的影子完全落在地面

上，则影长为多少？

（2）若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为150cm，则高圆柱的高度为多少？请详细解释或完整写出你的解题过

程，并求出答案.【思路导航】根据同一时刻的两个物体的高度与它们对应的影

长成比例进行计算.

∴

AC

＝

AB

＋

BC

＝150＋180＝330（cm）.∴高圆柱的高度为330cm.【点拨】本题运用了平行投影、平行四边形的判定和性质等知

识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型.

求平行投影中相关线段的长的方法：主要运用“同一时刻影长

与物体高度成比例”或“相似三角形的对应边成比例”求解，

另外，有时需作垂线构造直角三角形.

如图，在路灯

M

的照射下，甲的身高如图中线段

AB

所示，他在

地面上的影子如图中线段

AC

所示，乙的身高如图中线段

FG

所

示，路灯

M

在线段

DE

上.（1）请你确定路灯

M

所在的位置，并画出表示乙在灯光下形成

的影子线段；解：（1）路灯

M

的位置如图所示，

FN

为乙

在灯光下形成的影子.（2）若路灯

M

距离地面12m

，乙的身高为1.6m

，乙与灯杆的

距离为6.5m

，请求出乙影子的长度.

类型五

几何体的三种视图

（1）一个空心圆柱如图所示，其主视图是下列图中的

（

C

）CABCD【思路导航】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案.【解析】主视图是在几何体正面观察物体得到的图形.能够看见

的部分用实线表示，不能看见的部分用虚线表示.本题圆柱的主

视图整体是个矩形，中间包含两条竖直的虚线，∴C选项是空心

圆柱的主视图.故选C.【点拨】本题考查了简单组合体的三种视图，从正面看得到的

图形是主视图.注意：看不到的线画虚线.（2）一个几何体的三种视图如图所示，这个几何体的侧面积

为

⁠.200π

【思路导航】首先根据三种视图得出这个几何体的形状，再根

据侧面积公式列式计算即可.【解析】由题意可知，这个几何体是圆柱，侧面积是π×10×20

＝200π.故答案为200π.【点拨】由三种视图还原几何体的一般步骤：第一步，想象—

—根据各视图想象几何体的形状；第二步，定型——综合确定

几何体的形状；第三步，定大小——根据视图“长对正、高平

齐、宽相等”的关系确定轮廓线的位置及尺寸.当涉及求