第1章 二次函数 浙教版数学九年级上册综合素质评价(含答案)

第一章二次函数综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1．下列各式中，y是x的二次函数的是()A．y＝3xB．y＝x2＋(2－x)xC．y＝(x－1)2D．y＝ax2＋bx＋c2．将抛物线y＝eq\f(1,2)x2向下平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为()A．y＝eq\f(1,2)x2－3B．y＝eq\f(1,2)x2＋3C．y＝－eq\f(1,2)x2－3D．y＝－eq\f(1,2)x2＋33．下列关于抛物线y＝－(x＋1)2＋4的判断中，错误的是()A．形状与抛物线y＝－x2相同B．对称轴是直线x＝－1C．当x＞－2时，y随x的增大而减小D．当－3＜x＜1时，y＞04.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为(－3，0)，当y＞0时，x的取值范围是()A．x＜－3B．x＞1C．－3＜x＜1D．x＜－3或x＞15．地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示(其中P是该抛物线的顶点)，则下列说法正确的是()A．小球滑行12秒停止B．小球滑行6秒停止C．小球滑行6秒回到起点D．小球滑行12秒回到起点6．如图，抛物线y＝ax2＋c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为()A．－1B．－2C．－3D．－47．同一坐标系中，二次函数y＝(x－a)2的图象与一次函数y＝a＋ax的图象可能是()8．已知二次函数y＝ax2－2(b－1)x＋1(a≠0)，当－2≤x≤－1时，y随x的增大而增大，则()A．当a＞0时，ab的最大值为eq\f(1,4)B．当a＞0时，ab的最大值为eq\f(1,8)C．当a＜0时，ab的最大值为eq\f(1,4)D．当a＜0时，ab的最大值为eq\f(1,8)9．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，对称轴是直线x＝1，下列结论错误的是()A．b2＞4acB．9a＋3b＋c＞0C．3abc＜0D．3a＋c＜010．定义：在平面直角坐标系中，对于点P(x1，y1)，当点Q(x2，y2)满足2(x1＋x2)＝y1＋y2时，称点Q(x2，y2)是点P(x1，y1)的“倍增点”．已知点P1(1，0)，有下列结论：①点Q1(3，8)，Q2(－2，－2)都是点P1的“倍增点”；②若直线y＝x＋2上的点A是点P1的“倍增点”，则点A的坐标为(2，4)；③抛物线y＝x2－2x－3上存在两个点是点P1的“倍增点”；④若点B是点P1的“倍增点”，则P1B的最小值是eq\f(4\r(5),5).其中，正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4二、填空题(每题4分，共24分)11．抛物线y＝(x－2)2－8的顶点坐标为________．12．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点A(－1，－2)，对称轴为直线x＝1，则9a＋3b＋c的值是________．13.已知点(－1，y1)，(－2，y2)，(－4，y3)在二次函数y＝－2x2－8x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是______________．14．如图，直线y＝kx＋h与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(－1，m)，B(5，n)两点，则关于x的不等式ax2＋(b－k)x＋c＞h的解集是____________．15．在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部(包括边界)，这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图是函数y＝(x－2)2(0≤x≤3)的图象(抛物线中的实线部分)，它的关联矩形为矩形OABC.若二次函数y＝eq\f(1,4)x2＋bx＋c(0≤x≤3)图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，则b＝________．16．某品牌水果冻的高为3cm，底面圆的直径为4cm，两个水果冻倒装在一个长方体盒子内，如图为横断面示意图，水果冻的截面可以近似地看成两条抛物线．以左侧抛物线的顶点O为原点，建立如图所示的直角坐标系．(1)以O为顶点的抛物线的表达式是____________________；(2)制作该长方体盒子所需纸张面积的最小值是____________cm2.(不计重叠部分)三、解答题(17～19题每题6分，20，21题每题8分，22，23题每题10分，24题12分，共66分)17．已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2＋bx＋1经过点(2，3)．(1)求该抛物线的表达式；(2)将该抛物线向下平移n个单位，使得平移后的抛物线经过点(0，0)，求n的值．18．如图，抛物线y1＝－2x2＋2与直线y2＝2x＋2交于A，B两点．(1)求A，B两点的坐标；(2)若y1>y2，请直接写出x的取值范围．19．已知抛物线y＝ax2＋6x＋5a经过点(2，3)．(1)求抛物线的表达式和顶点坐标；(2)直线l与抛物线相交于点A(n，y1)，B(n＋3，y2)，若点P在抛物线上，且在直线l上方(包含点A，B)，点P纵坐标的最大值为3，求n的值．20．某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg，经市场调查发现每天的销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)之间的函数关系如图所示．(1)求y关于x的函数表达式；(2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润＝(销售价格－采购价格)×销售量】21．设二次函数y＝ax2＋bx＋1(a≠0，b是实数)．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：x…－10123…y…m1n1p…若m＝4，求二次函数的表达式；(2)写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小；(3)若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．22．嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编了一道数学题，请解答这道题．如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点A(6，1)处将沙包(看成点)抛出，其运动路线为抛物线C1：y＝a(x－3)2＋2的一部分，淇淇恰好在点B(0，c)处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线C2：y＝－eq\f(1,8)x2＋eq\f(n,8)x＋c＋1的一部分．(1)写出抛物线C1的最高点坐标，并求a，c的值；(2)若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．23．如图，抛物线过点O(0，0)，E(10，0)，矩形ABCD的边AB在线段OE上(点B在点A的左侧)，点C，D在抛物线上，设B(t，0)，当t＝2时，BC＝4.(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．24．已知点P(2，－3)在抛物线L：y＝a(x－1)2＋k(a，k均为常数，且a≠0)上，抛物线L交y轴于点C，连结CP.(1)用含a的式子表示k，并求抛物线L的对称轴；(2)当抛物线L经过点(4，－7)时，求此时抛物线L的表达式及其顶点坐标；(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当a<0时，若抛物线L在点C，P之间的部分与线段CP所围成的区域内(含边界)恰有5个整点，求a的取值范围．

答案一、1．C2．A3．C4．D5．B6．B7．D8．B【点拨】当a＞0时，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－eq\f(－2(b－1),2a)＝eq\f(b－1,a).∵当－2≤x≤－1时，y随x的增大而增大，∴eq\f(b－1,a)≤－2.∴b－1≤－2a.∴b≤1－2a.∴ab≤－2a2＋a＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,8)，即ab的最大值为eq\f(1,8)，故A错误，B正确；当a＜0时，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝－eq\f(－2(b－1),2a)＝eq\f(b－1,a).∵当－2≤x≤－1时，y随x的增大而增大，∴eq\f(b－1,a)≥－1.∴b－1≤－a.∴b≤－a＋1.∴ab≥－a2＋a＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,4)，易知－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,4)<0，故C，D错误．9．B【点拨】∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2－4ac＞0.∴b2＞4ac，故A正确；由图象可知当x＝3时，y＜0,∴9a＋3b＋c＜0，故B错误；∵抛物线开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，∴a＜0，c＞0.∵抛物线的对称轴为直线x＝－eq\f(b,2a)＝1，即b＝－2a，∴b＞0.∴3abc＜0，故C正确；由图象可知当x＝－1时，y＜0，∴a－b＋c＜0.∵b＝－2a，∴a－b＋c＝3a＋c＜0，故D正确．10．C【点拨】①∵P1(1，0)，Q1(3，8)，∴2(x1＋x2)＝2×(1＋3)＝8，y1＋y2＝0＋8＝8.∴2(x1＋x2)＝y1＋y2，则点Q1(3，8)是点P1的“倍增点”；∵P1(1，0)，Q2(－2，－2)，∴2(x1＋x2)＝2×(1－2)＝－2，y1＋y2＝0－2＝－2.∴2(x1＋x2)＝y1＋y2，则点Q2(－2，－2)是点P1的“倍增点”，故①正确；②设点A(a，a＋2)．∵点A是点P1的“倍增点”，∴2×(1＋a)＝0＋a＋2，解得a＝0.∴点A(0，2)，故②不正确；③设抛物线上的点D(t，t2－2t－3)是点P1的“倍增点”，∴2(1＋t)＝t2－2t－3，整理得t2－4t－5＝0.∵(－4)2－4×1×(－5)＝36>0，∴方程有两个不相等的实根，即抛物线y＝x2－2x－3上存在两个点是点P1的“倍增点”，故③正确；④设点B(m，n)．∵点B是点P1的“倍增点”，∴2(m＋1)＝n.∵B(m，n)，P1(1，0)，∴P1B2＝(m－1)2＋n2＝(m－1)2＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2(m＋1)))eq\s\up12(2)＝5m2＋6m＋5＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(3,5)))eq\s\up12(2)＋eq\f(16,5).∵5>0，∴P1B2的最小值为eq\f(16,5).∴P1B的最小值是eq\r(\f(16,5))＝eq\f(4\r(5),5)，故④正确．综上，正确的结论有①③④，共3个．二、11．(2，－8)12．－213．y3<y1<y214．－1<x<515．eq\f(7,12)或－eq\f(25,12)【点拨】由y＝(x－2)2(0≤x≤3)知，当x＝0时，y＝4，∴C(0，4)．易知A(3，0)，∵四边形ABCO是矩形，∴B(3，4)．①当抛物线经过点O，B时，将点O(0，0)，B(3，4)的坐标分别代入y＝eq\f(1,4)x2＋bx＋c(0≤x≤3)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝0，,\f(1,4)×9＋3b＋c＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝\f(7,12)，,c＝0；))②当抛物线经过点A，C时，将点A(3，0),C(0，4)的坐标分别代入y＝eq\f(1,4)x2＋bx＋c(0≤x≤3)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝4，,\f(1,4)×9＋3b＋c＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－\f(25,12)，,c＝4.))综上所述，b＝eq\f(7,12)或b＝－eq\f(25,12).16．(1)y＝eq\f(3,4)x2(2)(28eq\r(2)＋80)【点拨】(1)设抛物线的表达式是y＝ax2(a≠0)．∵水果冻的高为3cm，底面圆的直径为4cm，∴E(2，3)．把E(2，3)的坐标代入y＝ax2(a≠0)，得3＝4a，解得a＝eq\f(3,4)，∴抛物线的表达式是y＝eq\f(3,4)x2.(2)如图①，设两抛物线的交点为K，过点K作KH⊥OC于点H，过右侧抛物线的顶点G作GM⊥x轴于点M.根据题意可设Keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(3,2))).则有eq\f(3,2)＝eq\f(3,4)x2，解得x1＝eq\r(2)，x2＝－eq\r(2)(舍去)，∴OH＝HM＝eq\r(2)cm.∴BC＝BO＋OH＋HM＋MC＝2＋2eq\r(2)＋2＝(4＋2eq\r(2))(cm)．∴S矩形ABCD＝AB·BC＝3×(4＋2eq\r(2))＝(12＋6eq\r(2))(cm2)．如图②，S矩形A′B′C′D′＝A′B′·B′C′＝(4＋2eq\r(2))×4＝(16＋8eq\r(2))(cm2)．∴2S矩形ABCD＋2S矩形A′B′C′D′＋4×3×2＝(28eq\r(2)＋80)(cm2)．∴制作该长方体盒子所需纸张面积的最小值是(28eq\r(2)＋80)cm2.三、17．解：(1)把点(2，3)的坐标代入y＝－x2＋bx＋1，得－4＋2b＋1＝3，解得b＝3，∴该抛物线的表达式为y＝－x2＋3x＋1.(2)将抛物线向下平移n个单位后得y＝－x2＋3x＋1－n.把点(0，0)的坐标代入y＝－x2＋3x＋1－n.得1－n＝0，解得n＝1.18．解：(1)根据题意，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－2x2＋2，,y＝2x＋2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝0.))∴A，B两点的坐标分别是(－1，0)，(0，2)．(2)当y1>y2时，x的取值范围是－1＜x＜0.19．解：(1)将点(2，3)的坐标代入y＝ax2＋6x＋5a，得4a＋12＋5a＝3，解得a＝－1，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋6x－5＝－(x－3)2＋4.∴顶点坐标为(3，4)．(2)当y＝3时，－(x－3)2＋4＝3，解得x1＝2，x2＝4.∵ymax＝3，∴n＋3＝2或n＝4.∴n＝－1或n＝4.20．解：(1)当22≤x≤30时，设y关于x的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)．将(22，48)，(30，40)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(22k＋b＝48，,30k＋b＝40，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝70，))∴y＝－x＋70(22≤x≤30)；当30＜x≤45时，设y关于x的函数表达式为y＝k1x＋b1(k1≠0)．将(30，40)，(45，10)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(30k1＋b1＝40，,45k1＋b1＝10，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝－2，,b1＝100，))∴y＝－2x＋100(30＜x≤45)．综上，y关于x的函数表达式为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋70(22≤x≤30)，,－2x＋100(30<x≤45).))(2)设销售利润为w元．当22≤x≤30时，w＝(x－20)(－x＋70)＝－x2＋90x－1400＝－(x－45)2＋625.∴当22≤x≤30时，w随着x的增大而增大．∴当x＝30时，w取得最大值400；当30＜x≤45时，w＝(x－20)(－2x＋100)＝－2x2＋140x－2000＝－2(x－35)2＋450，∴当x＝35时，w取得最大值450.∵450＞400，∴当销售价格定为35元/kg时，销售利润最大，最大销售利润为450元．21．解：(1)把(－1，4)，(2，1)代入y＝ax2＋bx＋1(a≠0)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＋1＝4，,4a＋2b＋1＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－2，))∴二次函数的表达式为y＝x2－2x＋1.(2)∵(0，1)，(2，1)在二次函数y＝ax2＋bx＋1的图象上，∴抛物线的对称轴为直线x＝eq\f(0＋2,2)＝1.∴当a＞0，x＜1时，y随x的增大而减小，当a＜0，x＞1时，y随x的增大而减小．(3)把(2，1)代入y＝ax2＋bx＋1，得1＝4a＋2b＋1，∴b＝－2a.∴y＝ax2＋bx＋1＝ax2－2ax＋1.把(－1，m)代入y＝ax2－2ax＋1，得m＝a＋2a＋1＝3a＋1，把(1，n)代入y＝ax2－2ax＋1，得n＝a－2a＋1＝－a＋1，把(3，p)代入y＝ax2－2ax＋1，得p＝9a－6a＋1＝3a＋1，∴m＝p.∵m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－a＋1>0，,3a＋1≤0，))解得a≤－eq\f(1,3).22．解：(1)∵抛物线C1：y＝a(x－3)2＋2，∴抛物线C1的最高点坐标为(3，2)．∵点A(6，1)在抛物线C1：y＝a(x－3)2＋2上，∴1＝a(6－3)2＋2，解得a＝－eq\f(1,9).∴抛物线C1的表达式为y＝－eq\f(1,9)(x－3)2＋2.∵点B(0，c)在抛物线C1上，∴c＝－eq\f(1,9)(0－3)2＋2＝1.(2)设嘉嘉在点D处接到沙包，易知点D的坐标范围为(5，1)～(7，1)．当在点(5，1)处接到沙包时，有1＝－eq\f(1,8)×52＋eq\f(n,8)×5＋1＋1，解得n＝eq\f(17,5)；当在点(7，1)处接到沙包时，有1＝－eq\f(1,8)×72＋eq\f(n,8)×7＋1＋1，解得n＝eq\f(41,7)，∴eq\f(17,5)≤n≤eq\f(41,7).∴符合条件的n的整数值为4和5.23．解：(1)根据题意设抛物线的函数表达式为y＝ax(x－10)(a≠0)．∵当t＝2时，BC＝4，∴点C的坐标为(2，－4)．将点C(2，－4)的坐标代入表达式，得2a(2－10)＝－4，解得a＝eq\f(1,4).∴抛物线的函数表达式为y＝eq\f(1,4)x(x－10)＝eq\f(1,4)x2－eq\f(5,2)x.(2)由抛物线的对称性得AE＝OB＝t，∴AB＝10－2t.当x＝t