2024年高考二轮复习测数学试卷（新高考Ⅰ卷专用）（解析版）

2024年高考数学二轮复习测试卷(新高考I卷专用)

第一部分(选择题)

一、选择题

1.已如集合4=1,2,3,4},集合8={#2_2尤一3<0卜则AB=()

A.{-1,0,1,2,3}B.{-1,0,1}

C.{0,1,2}D.{-1,0}

K答案XA

k解析』由题意集合8=H(x-3)(x+l)40}={HTW无43},AcB={-l,0』,2,3}.

故选：A.

2.若z是方程尤2+尤+1=0的一个虚数根，则z2_^=()

A.0B.-1C.V3iD.-1或8i

k答案XA

i3

(解析X方程/+%+i=0化为：(x+-)2=-|,

24

依题意，z=」+且i或z=」_立i,

2222

显然z+z=—1，又z?+z+l=0,z2=-z—1»

所以z?-z=-z-l-z=-(z+z)-l=0.故选：A.

3.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一个“重卦”由从下到上排列的6个爻组

成，爻分为阳爻“

”和阴爻“

”，如图就是一个重卦.在所有重卦中随机取一个重卦，则该重卦恰有2个阴爻的概率是()

A.—B.—C.—D.—

6464168

K答案UB

k解析X所有“重卦”共有2$种，恰有2个阴爻的情况有C；种，

C215

所以该重卦恰有2个阴爻的概率为p=,=?

故选：B.

4.设a=ln2,匕=耳，则b,。的大小关系为()

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

K答案1B

K解析X设〃x)=,，/'(尤)=^^令得0<x<e,

所以函数/(x)在区间(O,e)单调递增，因为6<2<e,

所以"卜〃2)<〃e),即喘―黑号T

不等式两边同乘2得，<ln2<j,

即》<a<c.

故选：B.

5.己知S“为等比数列㈤｝的前,项和，若寸=3,则尚=()

A.3B.6C.9D.12

K答案1C

k解析工因为S“为等比数列｛4｝的前〃项和,

所以邑,邑一邑，Sg_4，&一跖，九一&,九一&成等比数列,

由苓=3,得$6=3S3,则铝邑=2,

所以风一$6=4$3,所以员=7邑,

S12-S9=853,所以％=15S3,

九一&=16邑，所以几=3埼,

又一九=32邑，所以%=63$3,

S.o63Sc

所以肃=方骨3=9

故选：c.

6.抛物线C:9=2PMp>0）的准线与x轴交于点M,过C的焦点F作斜率为2的直线交C

于A、B两点,贝!!tanNAMB=（）

A.与B.275C.4君D.不存在

k答案1C

K解析I抛物线C：V=2px的焦点尸仁,0）,加,多0）,可知"方程y=21-，，

y=2$22（3土灼。

与抛物线方程联立I2jn4Y-6px+p2=0nx=^—屋匚，

y'=2Px

1+遥1-75_

.,__275_I__2A/5

AM

'-3+7511-3-75ir丁

424+2

tanNAMB=%一脑=，非

1+3小

7.已知点P（fJ-l）,feR,点E是圆元2+丁=；上的动点，点厂是圆（无一4y+（y+］）2=:上

的动点，则|尸尸|-|尸耳的最大值为（）

9

A.3B.4C.5D.-

2

K答案1c

K解析』如图，依题意得点尸“J—l）/eR,在直线广犬-1上，

点E关于直线y="i对称的点E',

点£在圆/+/关于直线y=X-1对称的圆。|上,

4

。+01Z?+0

------1二----

设q(a,b),则广02,

所以圆Oi：(x—l)2+(y+l)2=；,

■回=即,

9

设圆。-4)2+(〉+1)2=二的圆心为。2,

因为陛3尸0卜怪纵|尸尸闫尸勾+|尸0,

所以|尸尸卜|尸目=|尸耳—怛同

<(|PO2|+|FO2|)-(|POI|-|^O,|)

=|PO2|TPQj+2w|aQ|+2=5,

当尸，氏P,a,a五点共线，

E'在线段P。上，2在线段尸尸上时“=”成立.

因止匕|P^-|P国的最大值为5.

故选：C

sm却［Vx”，若存在实数*(，=1,2,3,4,5),当七<%(i=l,2,3,4)

8.已知〃幻=

时,满足〃石)=/(%)=〃W)=〃％)=〃尤5)，则！>/(%)的取值范围为()

C.(-8,4]D.T，4

k答案UD

(解析X作出=的图象如图，

e,%<0

所以§x1f(%)=(%+%+泡+匕+%)/(为)=(%+4)/(元1)=(玉+4)9,

令g(x)=(x+4)e*(x<0),则当x<—4时，g(尤)<0；当T<x<0时,g(x)>0.

g'(x)=(x+5)e*,当x<-5时，g'(x)<0,g(无)在(-8,-5)上单调递减;

当—5<x<。时，g'(x)>0,g(元)在(—5,0)上单调递增.

所以gOOmin=g(-5)=-J，且g(X)<g(0)=4,

所以9"看)的取值范围为一歹4.

故选：D.

二、选择题

9.第一组样本数据国,々，，斗，第二组样本数据%,为，…,%,其中%=2%-1(/=1,2,,〃),

则()

A.第二组样本数据的样本平均数是第一组样本数据的样本平均数的2倍

B.第二组样本数据的中位数是第一组样本数据的中位数的2倍

C.第二组样本数据的样本标准差是第一组样本数据的样本标准差的2倍

D.第二组样本数据的样本极差是第一组样本数据的样本极差的2倍

[答案XCD

k解析》设样本数据%，%，，%,的样本平均数为"样本中位数为加，样本标准差为s,

极差为Xmax-尤min，

对于A,C选项：由y=2%-1,根据平均数和标准差的性质可知，

样本数据H，%％的样本平均数为或-1，故A错误；

样本数据H，的样本方差为/S2=4S2,所以第二组数据的样本标准差2S,故C

正确；

对于B选项：根据中位数的概念可知，样本数据%,%，…,%的中位数为2加-1,故B错

误；

对于D选项：根据极差的概念可知，样本数据%，为，…，y”的极差为

D

•Vmax-gin=(2--1)一(2%,T)=2(X1mx-%)故正确.

故选：CD.

10.已知函数/(x)=cos4x+2j^sinxcosx-sin4x,则下列说法正确的是()

A.最小正周期为兀

B.函数/(x)在区间(-兀,兀)内有6个零点

C./⑺的图象关于点］|可对称

D.将“X)的图象向左平移;个单位，得到函数g(x)的图象，若g(x)在［0刃上的最大值为

g(0),则f的最大值为g

［答案XAD

［解析』/(x)=cos4x+273sinxcosx-sin4x

=(cos2x—sin2%)(cos？x+sin2%)+2近sinxcosx

=cos2x+^3sin2x

=2sin(2x+S),

27r

对于A：T=—=TI,A正确；

1Ijr7rl37rIT

对于B：当一兀＜X＜兀时，—乙竺＜2%+2＜空，则2x+V分别取—兀,0,兀,2兀时对于的X的值

6666

为函数/（X）在区间（-兀㈤上的零点，只有4个，B错误；

对于C：d3|=2sin［2xA+£］=2sing=石*0,故点信,o］不是/⑺的对称中心，C

错误；

对于D：由已知g（x）=2sin^2=2cos^2x+—,

jrjr冗

当OWxK/时，一42xH—K2/H—J>0,

666

因为g（x）在［o,r］上的最大值为g（o）=2cosm,

o

TT

所以2f+B41I¥jT，解得。SjTD正确.故选：AD.

666

11.正方体ABCD-AgGA中，E为AB的中点，P为正方体表面上一个动点，则（）

A.当P在线段BG上运动时，4尸与A2所成角的最大值是三

B.当P在棱与G上运动时，存在点尸使尸石=尸£>

C.当尸在面BBCC上运动时，四面体尸-A4t。的体积为定值

D.若「在上底面A4GR上运动，且正方体棱长为1,A尸与他所成角为:，则点尸的轨迹

长度是兀

K答案UBC

K解析》对于A,在正方体中，易知AR//BG，

所以4尸与AD,所成角等价于4P与BG所成的角，

当尸为8G中点时，A.P1BC,,此时所成角最大，为故A错误.

对于B,以A为原点，ARA2,AA为MV/轴建立空间直角坐标系，

设正方体棱长为1,P（/U,O）,

因为PE=PD,

对于C,因为尸在面BBCC内，面BBgC到平面AAQ的距离等于G2，

而三角形肌。面积不变，故体积为定值，故C正确.

对于D,因为棱9垂直于上底面，且AP与A4所成角为:，

4

JT

所以在RtZXAAJ中，ZAiAP=ZAlPA=~,

jr

由圆锥的构成可知P所在的轨迹是以A为圆心1为半径的弧BR,轨迹长度是］，故D错误.

故选：BC.

12.己知定义域为R的函数/⑴满足〃工+丫)=〃x)+〃丫)+移(了+丫),/3为/(尤)的

导函数，且r⑴=2,贝u()

A./(X)为奇函数

B.“X)在％=-2处的切线斜率为7

C.43)=12

D.对\/七,/6(0,+co),%1丰x?"J

(答案1ACD

(解析X由题意定义域为R的函数/⑴满足/(x+y)=/(x)+/(y)+孙(x+y)

令x=y=O,贝"(。)=/(。)+/(0),，/(。)=。，

令尸T,则/(O)=/(X)+/(T),即o=〃x)+〃f),...〃_x)=—〃x),

故为奇函数，A正确；

由于〃T)=-〃X)，故3,即广C，

则/'(X)为偶函数，由广⑴=2可得/'(一1)=2,

由/(x+y)=/(x)+/(y)+移(x+y)，令y=i得〃x+i)=〃x)+/((+x(%+i),

故r(x+l)=J'(x)+2x+l,令X=—2,则2)—3,2)=5,B错误;

又/(x+y)=〃x)+/(y)+孙0+y)，

则/(x+y)一(x；y)+

令g(x)=〃x)-贝Ug(x+y)=g(x)+g(y),

33

由柯西方程知，g(%)=g(l>%,故/>(X)=g(x)+q~=：1~+g6・x，

贝!J/'(x)=x2+g(l),由于/，⑴=2,故l+g(l)=2,「.g⑴=1,

即/(x)=；+x,则"3)=12,C正确；

对Vx,,x2e(0,+oo),X1^x2,f[%；♦]_

司+%)3

2'石+九2|(y+^i+y+^)

32

=一(_-+%；%2+再%；)—...(X]-9产(%]+々)<0，

故D正确,

故选：ACD

第二部分（非选择题）

填空题

sina=-^-,贝l」tan[cz+[

13.已知兀

K答案》|

K解析U.sina=^-,ae

cosa-—y/1—sin^ex---------,

5

sina1

tancc--------——,

cos。2

(、1-1

)

.」呵\。+力7i=匚1+t高an6石Z=不口7=71故K答案X为：ji

14.(3》--］(1-％)1°展开式中，含V的项的系数为

K答案H-75

(解析H由二项式(17尸展开式的通项小=C；。(-针=(-

则在13x-1J(1-X)10展开式中，含/项的系数为3C；。一C：。=135-210=-75.

故［［答案》为：-75.

15.若。为坐标原点，过点P。』)的直线/与函数/(%)=与二的图象交于A8两点，则

2-2

(OA+OB^OP=.

R答案H4

23—x2左+142X+12X+1-4

k解析》因为y(2-%)+/(x)=-O-------1----------------------1------------

22-J-22'-22-2x2x-22-2

所以P(l,1)是函数〃X)图象的对称中心，则P为线段A3的中点,

可得。4+03=28=(2,2),则(OA+O孙OP=2+2=4.故(答案』为：4.

16.如图，正方形4片G2与正方形ABC。的中心重合，边长分别为3和1,片，p2,p3,

P4分别为44，A耳，耳。，CA的中点，把阴影部分剪掉后，将四个三角形分别沿AD,

AB,BC,CD折起，使片，P2,P3,且重合于尸点，则四棱锥尸—ABCD的高为,

若直四棱柱432c23-4居c3A内接于该四棱锥，其上底面四个顶点在四棱锥侧棱上，下底

面四个顶点在面ABCD内，则该直四棱柱AB2C2D2-423c3A体积的最大值为

2#>

k答案H

2~zf

k解析X由题意可知，四棱锥P-ABCD为正四棱锥，25边A5上的高为PE=1,如下

图所示：

p

取AB的中点E,连接AC、BD交于点F,连接PE、EF、PF,

则F为AC、3。的中点，由正四棱锥的几何性质可知，尸尸_1_平面ABC。，

因为E、尸分别为A3、AC的中点，则EF〃BC且"=；2C=：,

因为EFu平面ABCD,则尸产_LEF,所以，PF=y/PE2-EF2=

在APEB中，得PB=yJPE2+EB2=^-,BF=-BD=-4BC?+CD2=—

2222

作出四棱柱A,B2C2D2-A3B3C3D3内接于该四棱锥在平面PBD上的平面图如图所示:

因为BB2B3~BPF,所以鬻=2,解得3也=立-渔龙，

23

BB2BF22

1l「

所以直四棱柱&B2cB-A323c3A的体积V(x)=54c2超2g星=一向3+氐2,

所以小⑴=一3弧2+2mx,

当时V")>0,当#卜寸V")<0,

所以函数V(x)在，，*］上单调递增，［日,孝J上单调递减，

所以当彳=当时体积最大，最大为

故K答案X为：昱,正.

227

四、解答题

17.在ABC中，角4民。的对边分别为a,b,c,已知AS。的面积为之红

(1)求sinC；

(2)若sin(8-,求tanA.

解：（）结合题意：的面积为工次?

1―ABC5=sinC=a2+b2-c2

2

sinC=3V7+Z，2~C-

lab

结合余弦定理可得：sinC=36cosC>0,

.「3不

sinC=-----

sinC=3A/7COSC8

所以22，解得V

sin2C+cos2C=1「1

cosC=—

8

所以sinC=

8

（2）因为sin（B-A）=笠>0,所以3>A,易得A为锐角,

所以cos(B-A)=Jl-sin2(3_A)=!|,所以tan(B-A)=二兴，

D/1Dz*IJJ.

3、万'1

由上问可知sinC=sin(A+B)=―-—,cos(A+=—cosC=——,

所以tan（/A+2、）=避sin（高A+B=）一3旨,

tan(A+B)-tan(B-A)

tan2A=tan[(A+5)-(3-A)]=________31_=3A/7,

1+tan(A+B)tan(B-A)1-3出义近

31

所以tan2A，整理得3，"tan2A+2tanA-3s'=（）,

1-tanA

BP（V7tanA+3）（3tanA-V7）=0,解得tanA=-乎（舍去），或tanA=1.

18.某平台为了解当代大学生对“网络公序良俗”的认知情况，设计了一份调查表，题目分为

必答题和选答题.其中必答题是①、②、③共三道题，选答题为④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、

⑩共七道题，被调查者在选答题中自主选择其中4道题目回答即可.为了调查当代大学生对

④、⑥、⑧、⑩四道选答题的答题情况，从同济大学在④、⑥、⑧、⑩四个题目中至少选答

一道的学生中随机抽取100名学生进行调查，他们选答④、⑥、⑧、⑩的题目数及人数统计

如表：

选答④、⑥、⑧、⑩的题目数1道2道3道4道

人数20303020

（1）学校还调查了这100位学生的性别情况，研究男女生中“公序良俗”达人的大概比例,

得到的数据如下表：（规定同时选答④、⑥、⑧、⑩的学生为“公序良俗”达人）

性别“公序良俗”达人非“公序良俗”达人总计

男性30

女性7

总计100

请完成上述2X2列联表，并根据小概率值a=0.05的独立性检验，分析“公序良俗”达人与性

别是否有关.

（2）从这100名学生中任选2名，记X表示这2名学生选答④、⑥、⑧、⑩的题目数之差

的绝对值，求随机变量X的数学期望；

n^ad-bcy

参考公式：力2=其中“=a+6+c+d.

(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)

附表:

a0.100.050.0100.001

Xa2.7063.8416.63510.828

解：（1）这100位学生中，“公序良俗”达人有20人,

由此补全2x2列联表如下:

性别“公序良俗''达人非“公序良俗”达人总计

男性133043

女性75057

总计2080100

100(13x50-7x30)\4937>384b

20x80x57x57

所以“公序良俗”达人与性别有关.

（2）X的可能有（M23,

C20+C30+C30+C201250

尸(X=0)=

4950

C20c30+C30c30+C30c20_210°

P(X=1)=

4950

p(Y—O\C20c30+C30c20_12°°

(■)=一一砺

尸(X=3)=普400

Joo4950

所以X的分布列如下:

X0123

125021001200400

P

4950495049504950

眼+幽+也+40038

所以数学期望为E（X）=0x1X2X3X

495049504950495033

7T

19.在平行六面体ABC。-AB1GA中，底面A3CD为正方形，AB=AAi=2,AA.AB^,

侧面CDD£，底面ABCD.

（1）求证：平面ABC,平面CDDC；

（2）求直线A4和平面ABG所成角的正弦值.

（1）证明：因为底面ABCD为正方形，

所以8C，CD,又侧面CDDG1底面ABCD,

侧面CDDg1底面ABCD=CD,且3Cu平面ABCD,

所以3CL平面C£)2G，

又因为3Cu平面ABC,所以平面ABC,平面COAG.

jr

(2)解：因为AB=AA=2,ZA,AB=^,连接Cj,

则CO?为正三角形，取8中点。，则A。LCD,

由BC1平面CDD©及DtOu平面CDD©,得DQ1BC,

又CDcBC=C,所以2。，底面ABCD,

过点0作OMHBC交AB于M,

如图以。为原点建立如图所示的空间直角坐标系o-邙,

则4(2,-1,0),4(2,0,73),8(2,1,0),4(2,2,用,C,(0,2,73),

所以43=(。/,-百)，4G=(_2,2,0),A8=(0,3,g).

设平面A^G的法向量〃=(%y,z),

n-A,B=y-A/3Z=0,

所以A

n-AG——2x+2y=0.

令z=l,则x=y=G可得平面45G的法向量〃=(6,6,1)

所以如阴小心L,嗜2,

1」A4MV12-V3T37T7

故直线4耳和平面ABG所成角的正弦值为2互.

7

20.已知｛为｝是等差数列，a3+a6=0,a4-a2=4

30

(1)求｛%｝的通项公式和WKI；

2=1

⑵已知加为正整数，记集合｛〃•＜%+11｝的元素个数为数列也｝.若也｝的前〃项和为乂,

设数列匕｝满足q=1,(c„+*)S“=(3〃一2)・2〃(〃eN*),求匕｝的前2”+1项的和7；„+1.

解：（1）由题意/+%=0=2q+7d,a4-a2=4=2d（q,d分别是首项，公差），解得

%二—7,<7=2,

所以｛%｝的通项公式为a“=-7+2(〃-l)=2〃—9,〃eN*,

~/、/、26x(1+51)

所以2|4|=(7+5+3+1)+(1+3+5++51)=16+——-------'-=692.

*=i2

（2）由题意加＜%+11且为正整数，即加＜2〃+2,所以4=2”+1,

所以S,/”*=〃(3+；〃+1)=9+2),

(3~2)2(3〃一2)2_2"+2兰*

所以g+c.+i

Sn“(”+2)n+2n'

所以匕｝的前2〃+1项的和为以1=9+仁+。3）+&+。5）++（。2.+。2,+1）

2〃+2.

21.已知函数/(x)=x—V.

（1）求/（X）的极值；

，兀、兀3

（2）已知a外。,］｝〃矿（sina）+W（coscz）=tank,证明：m+n＞~.

（1）解：f（x）=x-x3,f'（x）=l-3x2,令广（x）=0,可得人土孝.

令/彳》）＞0,可得一日＜X＜,

令/'（x）＜0,可得x＞#,或x—当

所以/（X）在卜亭,1；上单调递增，在卜③-?［和］亭，+8上单调递减.

=¥，〃x）的极小值为了2百

所以的极大值为7%

~9~

\7

（2）证明：由可*（5111。）+棚（€05。）=1@11至，

可得根cos2asina+nsin2crcoscr=——，

3

、

所以mcoscr+nsina=­；--V--3------.

3sinacosa

由对称性，不妨设ae］。,：,

百

贝1Jmcosa+〃sina=--------------<(m+n)coscr，

3sinacosa

当且仅当sin