广东省2024届高三年级下册广州一模考后提升卷数学试题

广东2024届高三广州一模考后提升卷

数学试题一

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合4={x|/一5%46},集合8={x|x之a},若8U（CR力），贝1Ja的取值范围

为（）

A.（—8,-1）B.（-00,1]C.[6,4-00）D.（6,+oo）

2.若复数a?—a—2+（|a—1|—l）i（aeR）是纯虚数，贝U（）

A.a=—1B.a7-1且a丰2C.a—1D.a42

3.己知等差数列{即}中，SR是它的前n项和，若Si6>O,S*<0,则当％最大时，n的

值为（）

A.8B.9C.10D.16

4.降水量是指水平地面上单位面积的降水深度（单位：mm）.气象学中，把24小时内

的降水量叫作日降雨量，等级划分如下:

降水量/mm0.1〜9.910〜24.925〜49.950〜99.9

等级小雨中雨大雨曝雨

某数学建模小组为了测量当地某日的降水量，制作了一个上口直径为20cm,底面直径

为8cm,深度为20cm的圆台形水桶（轴截面如图所示）.若在一次降水过程中用此桶接

了24小时的雨水恰好是桶深的^则当日的降雨所属等级是（

B.中雨C.大雨D.暴雨

22

5.已知椭圆E：京+a=l（a>6>0）的左焦点为此如图，过点尸作倾斜角为60。的直

线与椭圆E交于4B两点，M为线段A8的中点，若5|FM|=|OF|（。为坐标原点），则

椭圆E的离心率为（）

7.已知(a-b)2=c(b-c),若a,b,c€(0,+8),且a,仇c均不相等，现有如下说法:

2

①e2a>y；②log式力2+9)+log4(c+9)<0；<五基.则正确说法的个数为(

A.0B.1C.2D.3

8.已知：sin(20°-e)+sin(20°+6)+sin(40°-e)=0,则tan。=()

A.-V3B.--C.—D.A/3

33

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知单位向量出弦的夹角为。，则下列结论正确的有()

A.(a+b)1(a—b)

B.2在3方向上的投影向量为(港石注

C.若|2+山=1,则8=60°

D.若伍+1)*=0-南-优贝展〃3

10.已知4B为随机事件，PQ4)=0.5,P(B)=0.4,则下列结论正确的有()

A.若4,8为互斥事件，贝UPQl+B)=0.9

B.若4B为互斥事件,则P/+月)=0.1

C.若4B相互独立，则P（A+B）=0.7

D.若若P（B|4）=0.3,则=0.5

11.已知函数f（X）=二,久e（0,+8）,则（）

A./（©有且只有一个极值点

B./（X）在+8）上单调递增

C.不存在实数a€（0,+8）,使得f（a）=64

D./（©有最小值eT

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.数列｛的3中，Sn是数列｛%3的前n项和，已知%=1,03=7,数列｛log2（an+1）｝为

等差数列，则$5=.

13.现调查某地区某种野生动物的数量，将该地区分成面积相近的200个地块，从这些

地块中简单随机抽样的方法抽取20个作为样本，调查得到样本数据（和%）（i=

1,2,…,20）,其中孙力分别表示第i个样本的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动

物的数量，构造向量之=（久1一元孙一天…，久20-元），।=（丫1—可…，丫20一刃，

其中元卷上型，_=yi+y2^..+y2%并计算得£陷々=60,£区%=1200,

£言1%%=4400,m=9,\b\=100,由选择性必修二教材中的知识，我们知道打对

数据的相关系数r=cOS（d,b）,则上述数据=1,2,…,20）的相关系数

V—.

14.已知动点P在抛物线y2=8x上，过点P引圆（久-+必=4的切线，切点分别为4

B,则|48|的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本题13分）在中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△力BC的面

xnr-a2sinfisinC

积S=C0S4•

（1）求tanA；

（2）若sinBsinC=a=2,求炉+。2.

16.（本题15分）如图，P为圆锥的顶点，AB是底面圆。的一条直径，M,N是底面圆

弧加的三等分点，E,F分别为PM,尸。的中点.

p

(1)证明：点B在平面EFN内.

(2)若AB=P。=4,求平面P4M与平面PAB夹角的余弦值.

17.(本题15分)记函数/(%)的导函数为尸(%),尸(%)的导函数为严(%),设。是f(x)的

定义域的子集，若在区间。上广(久)W0,则称/(久)在D上是“凸函数”.已知函数/(久)=

asi-nx—x2.

⑴若/⑺在［o］上为“凸函数”，求a的取值范围；

(2)若a=2,判断g(%)=/(%)+1在区间(0,TC)上的零点个数.

22

18.(本题17分)已知双曲线CJ-A=l(a>0,6>0)只经过点

azbz

4(5,2)，4(5,—2),4(-3,阴，4式-4,。)4(4,3),4(—5,2)中的两个点.

⑴求C的方程；

(2)设直线人:久=-a,l2-.x=a与x轴分别交于点Bi，B2，点P在C的右支上且与B2不重合，

过点P作C的切线与分别交于点D，E,直线与直线&D交于点Q,直线PQ与x轴交

于点M,判断耨是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由.

19.(本题17分)己知上学期间，甲每天7:30之前到校的概率为|,

(1)设M为事件“在上学期间随机选择三天，甲在7:30之前到校的天数恰为2天”，求事件M

发生的概率；

(2)已知乙每天7:30之前到校的概率为右且甲、乙两位同学每天到校情况相互独立..

①在上学期间随机选择两天，记X为甲7:30之前到校的天数，记丫为乙7:30之前到校的

天数，f=X-丫，求f的分布列和数学期望；

②在上学期间随机选择几天，若在这兀天中，甲7:30之前到校的天数多于乙,则记九=1,

否则记%=0,分别比较。(〃2)的大小和。(〃4)，。①5)的大小，直接写出结论.

参考答案：

1.D

【详解】因为/={x\x2—5%<6}={x\x2—5x—6<0}={x|—1<x<6},

CRA={x\x<-1或%>6],

因为集合8={%|%之a},Bc（CR24）,所以a>6,

故选：D.

2.A

【详解】由题意可得：a2-a-2=0,解得a=一1或a=2,又|a-1|一1H0,所以a=-1.

故选：A

3.A

【详解】

・・,等差数列{册}中,S16>0,S17<0,

16（%+。16）16（。8+。9）17（。9+的）＜Q

・・S16>0,S"

22一2

故他+的＞0,a9V0,继而他＞。，

根据等差数列的性质可知前8项均为正数项,

・••数列的前8项和最大;

故选：A.

4.C

【详解】

设上口半径为R,下口半径为丁，桶深为h,水面半径为q,

贝M=7cm,

降水量的体积V=|（irr2+Jir^+nrr^•|=等（r2+厅+丁q）=310ncm3,

降水深度为==鬻=3.1cm=31mm,属于大雨等级.

TIR210011

故选：C.

5.B

【详解】

依题意，椭圆的左焦点为F（—c,O）,\FM\=||OF|=|c,

过M作MM'1久轴，垂足为M',由NMFM'=60°,

得=^FM|=*,=争尸M=*,则M（/c湍O,

设401，%）,83必），则有泞1=tan60。=b，a詈=一看,左产=兴

Xi-%24.LUZJ.U

由与+写=1,写+著=1,两式相减得回+空⑴+仇+竺…=o,

a2-bza2-bza2-bz

6.A

【详解】因为/(%)=cos(e%-e-%-久)，%G[-2,2],

则f(―%)=cos(e-x—ex+%)=/(%)=cos(ex—e~x—x)=/(%),

所以/(%)为偶函数，函数图象关于y轴对称，故排除C、D；

又f(2)=cos(e2-e12一2),由于g<e?--2<2n,所以/(2)>0,故排除B；

故选：A

7.C

【详解】依题意，有小+62+c2=2ab+be.

因为M+fa2>2ab,所以小+b2+c2>2ab+c2,即2ab+be>2ab+c2,故b>c.

又M+/J2+C2=a2+-b2+-b2+C2>a2+-Z)2+be,当且仅当b=2c时等号成立；

444

所以2ab+be>a2+-h2+be,

4

故2ab>a2+jb2>|b2+ab,当且仅当b=2c=2a时等号同时成立，

但cHa,所以2ab>|b2+ab=>ab>|h2,

故2a>b,所以2a>b>c.

故①正确.

22

因为b>c,所以炉+9>c+9,即log/8?+9)>log4(c+9),

所以log式力2+9)+Iog4(c2+9)VO②正确.

4

因为2a>c,所以4a2+6>c2+6,

所以告〈捻，③错误.

4a2+6c2+6

故选:c.

8.D

【详解】由sin(20。一。)+sin(20°+。)+sin(40°-6)=0

n2sin2O°cos0+sin4O°cos0=cos4O°sin0,

UH召_sind_2sin20°+sin40°_2sin20°+sin(60o-20°)

、cos0cos40°cos40°

_|sin2(r+率os20。_V3sin(20°+30°)_

cos40°cos40°•

故选：D

9.AB

【详解】

因为a,3都是单位向量，所以m=\b\=1,

所以(a+石)•Q—另)=原一中=o,即0+3)1伍一方)，故A正确；

a在另方向上的投影向量为|d|cos。=|d|'-j|j=(a-b)b,故B正确；

若M+山=1,贝!］原+22•3+京=i,即之不=—义，即cos8=—之，

因为0°W8W180°,所以9=120°,故C错误；

若(2+b)-a=(a-b)-a,则济+&.习=*一d.

所以2i=0,即故D错误.

故选：AB

10.ACD

【详解】对于A,若4B为互斥事件，贝UPQ4+B)=PQl)+P(B)=0.9,即可得A正确；

对于B,由PQ4)=05P(B)=0.4可得P(I)=0.5,P(B)=0.6,

又48为互斥事件，则P(A8)=0,又P(才+月)=P(4u月)=P(而)=1—0=1,即B错

误；

对于C,若4B相互独立，则P(4B)=PQ4)P(B)=0.2,

所以PQ4+B)=PQ4)+P(B)-PQ4B)=0.5+0.4-0.2=0.7,即C正确；

对于D,若P(B|2)=符=等=0.3,所以P(2B)=0.15；

i(/I)U.5

可得P(ZB)=P(B)-P(4B)=0.25,

所以P但才）=需=嚅=镖=°.5,即D正确.

故选：ACD

11.ABD

【详解】由y=久“得Iny=%ln%,令z=%ln%,则函数z=%ln%可以看作为函数z=Iny与函

数y=/的复合函数，

因为z=lny为增函数，所以z=%1口%与）7=/单调性、图象变换等基本一致，

zf=Inx+1,由/=0得％=工，列表如下：

e

1

X（吟(")

zr-0+

1

Z/

e

由表知，z=xlnx在（0,》上单调递减，在C，+8）上单调递增，在久=：时，取得极小值（最

小值）一士

e

所以，八久）=/在6,+8）上单调递增，在傅,+8）上单调递增，即B正确；

在x=工时，取得唯一极值（极小值，也是最小值）eT<e。=1<64,即A、D都正确，C

e

错误.

故选：ABD.

12.57

【详解】令“=log2(an+1)，1的=l,a3=7,瓦=1,b3=3,

又数列｛%｝为等差数列，所以公差d=l,

6n=1+n—1=n,BPlog2(an+1)=n,

n

・•.an=2—1,

•*«S5=%+CI2+…+05=(2+22+…+2^)_5=-----—5—57.

1—2

故答案为：57.

13.8

9

【详解】由题干数据，£陷阳=60,E言1%=1200可得元=3/=60,

根据夹角公式的定义，r=cos(a,b)=而石,另=々一元)(%-办

根据£陷(々一元)(%-9)=2-xyt-yxt+x-y)=濯1久%-%濯1%-

yZf=iXz+Ef=iX-y=

£巴—20%-y—20%-y+20%-y=，巴勺%—20%-y=4400—20X3X60=

800,

TTT

-r曰J、ab8008

J=COS<%b>=I』=--=

|a||d|9009

故答案为：!

14•等

设圆心为0i(5,0),半径为2,则四边形ZPBOi的面积S=]2B|•|P。/=2S&4Poi=2x

-1

l\AP\-\A0r\^\AP\x2,

所以网=制

又在RTAPAOr中，|2P|=J|PO/2—优。/2=J|P0i|2_4,

所以BBU嗝m二4/二高，

2

设P(Xo，yo)，则|P0/2=(%o-5)2+yj=(%o-5)2+8x0-XQ-2x0+25=(x0-l)+

24,

所以当沏=1时,IP。/?有最小值24,

此时有最小值4=等

故答案为：字

15.(l)tan?l=|；

(2)20.

【详解】(1)由题意可知，S=-absinC=^^

2cos?l

由sinC。0,得bcosA=2asinB,

由正弦定理可知，sinBcos/=2sinAsinB,

由sinB>0,得cos/=2sin4即tanZ=列”■=-

C0Si42

2

/_17.AasinBsinC

(或S=-bcsmA=------------

2cos4

由正弦定理可知：工sinBsinCsin/=sinAsinBsinC

2cos/

因为sin/sinBsinCW0,所以tanZ==-.)

cos7l2

(2)由tanA=%可知角力为锐角，

所以｛cosA~2,得sin/=w，cos/=——,

lsin224+cos2A=1°

因为sinBsinC=1,

22

由余弦定理。2=b+c-2bccosAf

得炉+。2=。2+2bccosA=4+8V5x誓=20

16.(1)证明见解析

⑵理

'719

【详解】(1)连接0N,MN,BN,如图，

因为M,N是底面圆弧脑的三等分点,

・•・^AOM=乙MON=乙BON=

3

v0A=0M=ON=OB,

.­.AOAM,△OMNAOBN均为等边三角形，

OM=MN=OB=BN,则四边形。MN8为菱形，，OM〃BN,

因为E,F分别为PM,P。的中点，EF〃M。，

BN//EF,故点B在平面EFN内.

（2）作。xlAB,以。x,OB,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图,

因为4B=P0=4,贝必(0,—2,0),P(0,0,4),M(—

故方=(0,-2,-4),PM=(-V3,-l,-4),

设平面P4M的法向量沆=(x,y,z),贝-4z=°,

[PM•m=-V3x—y—4z=0

令y=2V3,得x=2,z=—V3,所以布=(2,2g,一百)，

易知平面PAB的一个法向量为元=(1,0,0),

设平面PZM与平面P4B的夹角为仇

则cos。=|cos(fn71)1=团划=-----------=2^^,

人JI''"\m\\n\,4+12+3x119'

故平面P2M与平面P4B夹角的余弦值为警.

17.(1)[-2,+8)

(2)1个

【详解】(1)由/(%)=asin]——可得其定义域为R,且/(%)=acos%-2%,

所以/"(%)=—asinx—2,

若f(x)在[o,3上为“凸函数”可得/⑺=-asinx-2<0在[。"恒成立，

当a20时，显然符合题意；

当a<0时，需满足—asin；-2<0,可得—2<a<0；

综上可得a的取值范围为［-2,+8）；

(2)若a=2,可得g(%)=2sinx—x2+1,所以g'(%)=2cosx—2%,

令九(%)=2cosx—2x,则h'(%)=-2sinx—2；

易知"(%)=-2sinx-2<0在区间(0,n)上恒成立，

因此可得九(%)=g'(%)=2cosx—2%在(0,TI)上单调递减；

显然"C)=2cos合2x”8话>0,“(2=2COS：-2x^=V2-=<0；

根据零点存在定理可得存在久oE使得g'(%o)=2cosx0-2%0=0,

因此可知当久e(0,&)时，“(%)>0,即g(%)在(O,%o)上为单调递增;

当%e(%o，n)时，g'(%)<0,即g(%)在(%()m)上为单调递减;

又。(。)=2sin0-02+1=1,显然在(O,%o)上g(%)不存在零点；

而g(n)=2sirm-IT2+1=1-TT2<0,结合单调性可得在(刈冗)上g(%)存在一个零点;

综上可知，g(%)=/(%)+1在区间(0用)上仅有1个零点.

18.(1)V-T=1

(2)是定值，定值为2

【详解】(1)根据双曲线的对称性可知：&(5,2),4(5,-2)，4(-5,2)不在双曲线(；上，

且4式一4,0),4(4,3)有且仅有一个在双曲线C上，

若&(-3,甯，4(-4,0)在双曲线C上,

15

—---^-=1fa2=16

a?b2,解得60,不合题意；

(916―c0=1Y(b=----7

若&(—3,手)，4(4,3)在双曲线C上，

15

2—工=12_

9一正一，解得｛:2=3

16__9__1=3

(/一记

综上所述：｛,二:，C的方程为9—1=1.

(2)翳为定值，定值为2,理由如下：

设P(%o，yo),%o>2,切线PD:y=mx+n,

ry=mx+n

联立方程，次,消去y得(3-4血2)%2一87rm%一(4/+12)=0,

I43一

m

则(AAA22工二4l2I19An，整理得几2