2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区八年级(上)期末数学试卷及答案解析

2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区八年级（上）期末

数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰

有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.（2分）下列图案中，是轴对称图形的是（）

召楣

2.（2分）在实数、■,3/3,01，n中，无理数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.（2分）若x2=a（a>0）,则下列说法正确的是（）

A.a是x的平方根B.x是a的平方根

C.x是a的算术平方根D.a是x的算术平方根

4.（2分）若点P（m-1,m+1）在第二象限，则m的值可以是（）

A.-2B.-1C.0D.1

5.（2分）两家牛奶销售公司招聘送奶员，下面的海报显示两家公司的周薪计算方式:

甲公司

一星期内送出的前240瓶牛奶，每瓶牛奶0.5

元，此后，每多送一瓶每瓶多0.3元.

乙公司

底薪200元.此外，每送出一瓶牛奶将额外

有0.3元.

小明决定应聘当送奶员，下列正确表示两家公司的周薪计算方式的图是（）

周薪/元周薪阮

数量粉数量/份

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周薪而周薪/元

数量4分数量/份

6.（2分）如图，Z\ACB和4ECD都是等腰直角三角形，CA=CB,CE=CD,点A在ED

上.若AE=1,AD=3,则BC的长为（）

A.V5B.娓C.2.5D.我

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直

接填写在答题卡相应位置上）

7.（2分）64的平方根是，64的立方根是.

8.（2分）小亮称得一个罐头的质量为2.I&g,若精确到0.1kg,则这个罐头质量的近似值

为kg.

9.（2分）在等腰aABC中，AB=AC,ZA=70°,则NB=°.

10.（2分）比”历大且比五小的整数是（写出一个）.

11.（2分）电力公司想要估计某种风力发电塔的建造成本和所带来的利润，调查小组提出

用如图的公式估计财务营收，其中F（元）为财务营收，x（年）为时间.根据公式，至

少需要年才能收回成本.

F=4(XXXXh—320000()

每年发电所建造风力发

得的利润电塔的成本

12.（2分）如图，NA=ND=90°,要使aABC^ADCB，只需再添加一个条件即

可.

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13.（2分）如图，一架2.加长的梯子AB,斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子的底部B到

墙底端C的距离为1.5n,则梯子的顶端距地面为m.

14.（2分）风寒效应是一种因刮风所引起的使体感温度较实际气温低的现象，科学家提出

用风寒温度描述刮风时的体感温度，并通过大量实验找出了风寒温度和风速的关系.当

气温为52时.如表列出了风寒温度和风速的几组对应值，那么T与v的函数表达式可能

是

风速v(km/h)

风寒温度T（℃）

15.（2分）要使一次函数y=-3x+2的图象经过运动后过点（1,-7）,则以下该函数图象

的运动方式中，可行的是（只填序号）.

①向下平移9个单位长度；②绕点（0,-1）旋转180°；③沿着经过点（2,0）且平

行于y轴的直线翻折.

16.（2分）如图，在4ABC中，ZACB=135°,AC=&,BC=n，D,E分别是AB,BC

3

边上的点.把AABC沿直线DE折叠，若B落在AC边上的点B'处，则CE的取值范围

是_______________________.

三、解答题（本大题共10小题，共68分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤）

17.（4分）计算JH+丁互.

18.（6分）求下列各式中的x：

2

（1）4x2=1；（2）（x-1）-27=0.

第3页（共6页）

19.（7分）常见的折叠椅如图所示.

（1）在点A,B、O处设置螺栓后可以使得椅子牢固，其中的数学道理是

(2)若AC、BD相交于点0,且0是AC、BD的中点.求证AB=CD.

20.（5分）（1）如图①，方格纸中有2个格点A,B.仅用无刻度的直尺画出线段AB的垂

直平分线EF（E,F均为格点）;

（2）如图②，点A（1,1）,点B（3,1）.用直尺和圆规在第一象限内作出点C,使得

△ABC是等边三角形，其中点C的坐标为

21.（8分）在AABC中，/C=90°,BD是AABC的角平分线.

(1)如图①，若AC=8,BC=6,求CD的长;

（2）如图②，过点D作DG//BC交AB于点G,求证：ZXGBD

①②

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22.(7分)数形结合是一种重要的数学思想方法，一般分为两种情形：借助于数学运算来

阐明“形”的某些属性；借助于几何直观来阐明“数”的某种关系.

(1)从“数”的角度：证明“点A(-3,7),B(-1,3)和C(5,-9)在同一条直

线上

(2)从“形”的角度：在方格纸中画出图形说明&W三〉月

23.(7分)如图，在aABC中，AB=AC,△ADC和AABE分别是以AC,AB为腰的等腰

直角三角形，BE与CD相交于点F.

(1)求证NFBC=ZFCB；

(2)连接AF,求证AFJ_BC.

24.(7分)在4ABC中，AB=c,AC=b,BC=a.

(1)若NC=90°,则a、b、c满足的数量关系为

(2)若aABC为钝角三角形，a=2,b=l,直接写出c的取值范围；

(3)如图，若aABC为锐角三角形，c为最长边.求证a2+b2>c2.

25.(8分)如图，在4ABC中，AB=AC=5,BC=6.

(1)求AABC各顶点的坐标；

(2)找一点P,使得APAB,APAC,APBC均为等腰三角形，画出所有满足条件的点P

(在图中用Pl，P2，…表示)，并直接写出点P的坐标.

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州出发匀速驶往南京，到达南京后停留1小时，然后原速返回苏州，两车同时到达目的

地.设货车行驶xh时，货车与苏州的距离为外加，轿车与苏州的距离为丫23，yry2

与x的函数图象如图②所示.

(1)货车的速度是km41,轿车的速度是km/h；

(2)通过计算，分别解释点G,II的实际意义；

(3)设轿车、货车的距离为skm,在图③中画出s与x的函数图象(标明必要的数据).

①

s/km

250

200

150

100

50

O1234Li/h

③

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2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区八年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰

有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可.

【解答】解：A,B,C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直

线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重

合，所以是轴对称图形；

故选：D.

【点评】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键.

2.【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，

有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数

是无理数.由此即可判定选择项.

【解答】解：在实数版,0.J”中，无理数有对，%共2个.

故选：B.

【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：“2晞；开

方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数.

3.【分析】根据平方根及算术平方根的定义解答即可.

【解答】解：；x2=a（a>0）,

；.x是a的平方根.

故选：B.

【点评】本题考查的是平方根的定义，熟知如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a

的平方根，也叫做a的二次方根是解题的关键.

4.【分析】利用第二象限内点的坐标特征得到［m-l'O,再解不等式组得到m的取值范围，

m+l〉O

然后对各选项进行判断.

【解答】解：...点P（m-1,m+1）在第二象限，

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(m-l<0

，

"lm+l>0

解得-lVmVI,

所以m可以取0.

故选：C.

【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其

中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分.也考查了第二象限内点的坐标特征.

5.【分析】根据题意判断出周薪与送奶数量的关系式即可得出答案.

【解答】解：由题意可知，甲公司的周薪与送奶数量是分段函数，当送奶数量小于或等

于240瓶是正比例函数，当送奶数量大于240瓶是一次函数；

乙甲公司的周薪是送奶数量是一次函数.

综上所述，只有选项A符合题意.

故选：A.

【点评】本题考查了函数的图象，正确判断周薪与送奶数量的函数关系是解答本题的关

键.

6.【分析】由“SAS”可证4ACE^ABCD,可得NCEA=/CDB=45°,AE=DB=1,由

勾股定理可求AB的长，由等腰直角三角形的性质可求解.

【解答】解：..•△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，

.\ZACB=ZECD=90°,ZE=ZCDE=45°,AB=&AC,

ZACB-ZACD=ZECD-ZACD,

即/BCD=NACE,

在AACE和ABCD中，

'CA=CB

"ZACE=ZBCD,

CE=CD

/.△ACE^ABCD(SAS),

AZCEA=NCDB=45°,AE=DB=1,

AZADB=90°,

"'-AB=VAD^+BD2=V9+1=VIO,

•••V2AC=71o.

第2页(共13页)

.".AC=V5,

故选：A.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全

等是解题的关键.

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直

接填写在答题卡相应位置上）

7.【分析】根据立方根和平方根的定义进行填空即可.

【解答】解：土病=±8,

加=生

故答案为：士8；4.

【点评】本题考查了立方根、平方根，掌握立方根、平方根的定义是关键.

8.【分析】根据四舍五入法可以将题目中的数据精确到0.kg.

【解答】解：2.l&g-2.余g（精确到0.1kg）,

故答案为：2.2

【点评】本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确题意，利用四舍五入法解

答.

9.【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理即可直接得出答案.

【解答】解：•；AB=AC,

AZB=ZC,

VZA=70",

；.NB=（180°-70°）+2=55°.

故答案为：55.

【点评】本题考查学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题.

10•【分析】先估算“历，百的大小，然后即可写出比一叵大且比五小的整数.

【解答】解：：1<-/3<2,

二比空大且比百小的整数是0（答案不唯一）.

【点评】本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算无理数的大小方法是解题的关键.

11.【分析】当x年发电累计利润与建造风力发电塔的成本正好相等时刚好收回成本，据此

作答即可.

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【解答】解：根据题意，刚好收回成本时，400000X-3200000=0,

解得X—8,

,至少需要8年才能收回成本，

故答案为：8.

【点评】本题考查一次函数的应用，根据函数值求自变量的值是解题的关键.

12.【分析】添加的条件是NABC=NDCB,根据全等三角形的判定定理AAS即可求出答案.

【解答】解：添加的条件是/ABC=/DCB,

理由是：在4ABC和4DCB中

2A=/D

'ZABC=ZDCB

BC=BC

.".△ABC^ADCB(AAS),

故答案为：ZABC=/DCB.本题答案不唯一.

【点评】本题主要考查对全等三角形的判定的理解和掌握，能熟练地根据全等三角形的

判定定理进行证明是解此题的关键.

13.【分析】直接根据勾股定理求解即可.

【解答】解：由勾股定理得，AC=VAB2-BC2=72.52-l.52=2(m),

即梯子的顶端距地面为2m,

故答案为：2.

【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键.

14•【分析】利用待定系数法求解即可.

【解答】解：由表格中数据可知，当气温为一定时，风寒温度T和风速v成一次函数关

系，

设风寒温度T和风速v的关系式为：T=kWb,

根据题意，得(b=5

I10k+b=3

解得(k=-0.2

lb=5

.\T=-0.2/+5,

：.T与v的函数表达式可能是T=-0.为+5,

故答案为：T=-0.为+5.

【点评】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键.

第4页(共13页)

15.【分析】分别求得变换后的函数解析式，再代入x=l判断即可.

【解答】解：①将一次函数y=-3x+2的图象向下平移9个单位长度得到y=-3x+2-7

=-3x-5,

当x=l时，y=-8,则经过点（1,~8）,

②将直线y=-3x+2绕点（0,-1）旋转180°得到y=-3x-4,

当x=l时，y--8,则经过点（1,-7）,

③将y=-3x+2沿着经过点（2,0）且平行于y轴的直线翻折得到y=3x-10,

当x=l时，y—~7,则经过点（1,-7）,

故答案为：②③.

【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌

握平移的规律和旋转的性质是解题的关键.

16.【分析】作AF_LBC交BC的延长线于点F,则/FAC=ZFCA=45°,所以AF=CF,

由AC=〃/式p2=&cF=&,求得AF=CF=1,当点B'与点C重合时，CE的

值最大，因为DE垂直平分BC,所以CE=2BC=」又区=皂；点B'与点D重合，CE

2236

的值最小，因为DE垂直平分AB,所以AE=BE=2-CE,而EF=1+CE,由勾股定理

3

得12+（1+CE）2=（5.-CE）2,求得CE=」^,所以CE的取值范围是j-WCE

348486

于是得到问题的答案.

【解答】解：作AFLBC交BC的延长线于点F,则NF=90°,

VZACB=135°,AC=&，BC=$,

3

?.ZFCA=1800-ZACB=45°,

?.ZFAC=ZFCA=45°,

AAF=CF,

22=

•'-AC=VAFK：FCF=，

AAF=CF=1,

如图1,点B'与点C重合，此时CE的值最大,

:点B'与点B关于直线DE对称，

二点C与点B关于直线DE对称，图1

.".DE垂直平分BC,

第5页（共13页）

ACE=—BC=Ax—=—

2236

如图2,点B'与点D重合，此时CE的值最小,

•.•点A与点B关于直线DE对称,

ADE垂直平分AB,

•.•AF2+EF2=AE2,EF=1+CE,

A12+(1+CE)2=(5.-CE)2,

3

解得CE=工，

48

ACE的取值范围是二WCE

486

故答案为：—^CE

486

【点评】此题重点考查轴对称的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识,

正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

三、解答题(本大题共10小题，共68分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤)

17.【分析】原式利用平方根、立方根性质计算即可求出值.

【解答】解：原式=4-2=2.

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

18•【分析】(1)先把x的系数化为1,再利用平方根的定义解答即可；

(2)先移项，再利用平方根的定义解答即可.

【解答】解：(1)4x2=1,

X2=J1,

4

x=±信土/

故x=」■或X=

22

(2)(x-1)2-27=0,

(x-1)2=27,

xT=±V^7=±3百，

x—1±3-^3,

第6页(共13页)

故x=l+3>/^或x=l-3V3.

【点评】本题考查的是平方根，熟知如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根,

也叫做a的二次方根是解题的关键.

19.【分析】(1)根据三角形的稳定性即可解决问题；

(2)证明aAOB^ACOD,即可解决问题.

【解答】(1)解：根据题意可知：其中的数学道理是三角形的稳定性，

故答案为：三角形的稳定性；

(2)证明：是AC、BD的中点，

AOA=0C,OB=0D,

在AAOB和中，

rOA=OC

.ZAOB=ZCOD.

OB=OD

.♦.△AOB^ACOD(SAS),

.\AB=CD.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的稳定性，解决本题的关键是得

到△AOB^ACOD.

20.【分析】(1)取格点E,F,使四边形AEBF为正方形，则EF为线段AB的垂直平分线.

(2)作线段AB的垂直平分线，交AB于点【)，由等边三角形的性质可得点C的横坐标

为2,CD=62_]2=百,则点C的纵坐标为J5+1,即可得出答案.

【解答】解：(1)如图①，EF即为所求.

(2)如图②，作线段AB的垂直平分线，交AB于点D,

VAABC是等边三角形，

...点C在线段AB的垂直平分线上，AC=BC=AB=2,

第7页(共13页)

二点C的横坐标为2,AD=1,

CD=d22-12-V3,

:.点C的纵坐标为向+1,

.••点C的坐标为（2,V3+1）.

故答案为：（2,V3+1）.

【点评】本题考查作图一复杂作图、等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质，熟练

掌握等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键.

21.【分析】（1）过点D作DEXAB,进而得到CD=DE,勾股定理求出AB的长，等积法,

求CD的长即可；

（2）根据平行线的性质和角平分线定义证明/GDB=NGB1）,即可解决问题.

【解答】（1）解：如图①，过点D作DE±AB于点E,

①②

VZC=90°,AC=8,BC=6,BD是NABC的角平分线，

ADE-CD,AB=毋2啦2=10,

•：S小BC=S.ADB+S/DB，

A—ACEBCABDE+—BCQD=上(AB+BC)COD,

2222

.•.8X6=(10+6)CD,

ACD=3；

(2)证明：如图②，：DG〃BC,

AZGDB=ZCBD,

VBD是/ABC的角平分线，

AZGBD=ZCBD,

AZGDB=NGBD,

第8页（共13页）

.\GD=GB,

AGBD是等腰三角形.

【点评】本题考查勾股定理，角平分线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握

角平分线上的点到角两边的距离相等.

22.【分析】(1)设直线AB的表达式为y=kx+b,将A(-3,7),B(-1,3)代入求出直

线AB的表达式为y=-2x+l,再将点C(-5,9)代入y=-2x+l,得点C在直线AB

上，据此即可得出结论；

(2)设方格纸中每个小正方形的边长为1,在方格纸上构造AABC,使BC=&,AC=

后,AB=V13,进而根据三角形三边之间的关系可得出结论.

【解答】(1)证明：设直线AB的表达式为：y=kx+b,

将A(-3,7),B(-1,3)代入y=kx+b,

得：-3k+b=7,解得：(k=-2,

I_k+b=3Ib=l

二直线AB的表达式为：y=-2x+l,

对于y=-2x+l,当x=5时，y=-2X5+1=-9,

:.点C(-5,9)在直线AB上，

二点A(-3,7),B(-1,3),C(-5,9)在同一条直线上；

(2)解：设方格纸中每个小正方形的边长为1,如图所示：

2222=

由勾股定理得：BC=[F+]2=&,AC=yj|+2=V5,AB=-^2+3V13,

根据三角形三边之间的关系得：BC+AC>AB,

.\V2W5>713.

【点评】此题主要考查了数形结合思想的应用，解决问题1的关键是熟练掌握待定系数

法求一次函数的表达式，理解满足一次函数表达式的点都在函数的图象上；解决问题2

的关键是在方格纸上正确地构造三角形使三角形的三边分别为瓜V13.

23.【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质证明aABD之△AEC,(SAS),得BD=CE,再

证明ABCD^ACBE(SSS),即可解决问题；

(2)由(1)知：BF=FC,根据AB=AC,得AF是BC的垂直平分线，即可解决问题.

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【解答】证明：(1)：AB=AC,AADC和4ABE分别是以AC、AB为腰的等腰直角三

角形，

AAD=AE=AB=AC,ZDAC=/EAB=90°,BE=CD,

AZDAB=90°-ZDAE=ZEAC,

.,.△ABD^AAEC,(SAS),

ABD=CE,

VCD=BE,BC=BC,

」.△BCD^ACBE(SSS),

AZBCD=ZCBE,

ABF=FC；

(2)由(1)知：BF=FC,

TAB=AC,

•*.AF是BC的垂直平分线，

.\AF±BC.

【点评】本题利用了全等三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性质求解.

24.【分析】(1)根据勾股定理即可得出结论；

(2)根据三角形的三边关系求解即可；

(3)过点A作ADJ_BC于点D,设Cl)=x,在RtZ\ADC与RtaADB中，根据勾股定理

推出a2+b2=c2+2ax,即可推出结论.

【解答】(1)解：在AABC中，AB=c,AC=b,BC=a.

若/C=90°,则a、b、c满足的数量关系为a2+b2=c2,

故答案为：a2+b2=c2；

(2)解：若^ABC为钝角三角形，a=2,b=l,则2<c<2+l,

即2<c<3；

(3)证明：如图，过点A作ADLBC于点D,设CD=x,

AB

第10页(共13页)

在RtZ\ADC中，AD2=b2-x2,

在RtZkADB中，AD2=C2-(a-x)2,

a2+b占c2+2ax,

Va>0,x>0,

/.2ax>0,

a?+b2>c2,

.,.若AABC为锐角三角形，c为最长边.a2+b2>c2.

【点评】本题考查了勾股定理，三角形三边关系，熟记勾股定理是解题的关键.

25•【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及勾股定理求解即可;

（2）由题意，点P在y轴上或第一象限或第二象限，分情形分别求解即可.

【解答】解：(1)VAB=AC=5,AO±BC,

AOB=0C=—BC=1x6=4,

22

•••OA=VAB2-OB2=V52-32=4-

；.A(0,4),B(-3,0),C(3,0)；

(2)•；APAB,APAC,APBC均为等腰三角形，

.♦.点P在y轴上或第一象限或第二象限，

当AB=AP=5时，Pi(0，9),P2(0,-1),

当PA=PB时，设PA=PB=x,则有x2=32+(4-x)2,

•X=25

8

.♦.OP=0A-AP=4-空=,

8

.\P3(CO,工)，

8

当BA=BP时，P6(0,-4)；