2024年天津市南开区高考数学一模试卷及答案解析

2024年天津市南开区高考数学一模试卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.（5分）已知全集。={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,4},贝1]（CuA）U

B=（）

A.{0,2,4}B.[2,3,4}C.{1,2,4}D.{0,2,3,4}

2.（5分）若bWO,则“a,b,c成等比数列”是“b二血”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

3.（5分）若则a+工的最小值是（）

2y[a

4

A.a<b〈cB.c<b〈aC.b<a<cD.b<c<a

6.（5分）已知随机变量X〜N（R,。2）,丫〜B6p）,且P（X\4）=3，E（X）=E（Y）,

则p=（）

1112

A.-B."C.—D.-

6433

7.（5分）关于函数y=3cos（2%+5），则下列结论中：

①-IT为该函数的一个周期；

②该函数的图象关于直线X=髀称；

71

③将该函数的图象向左平移二个单位长度得到y=3cos2x的图象;

6

④该函数在区间［-9由上单调递减.

所有正确结论的序号是（）

A.①②B.③④C.①②④D.①③④

8.（5分）在长方体ABC。-A1B1C1D1中，AAi=2,ACi±BD,其外接球体积为36ir,则其

外接球被平面AB1O1截得图形面积为（）

53256519

A.-71B.-71C.-71D.-71

6393

_x2y2

9.（5分）已知。为坐标原点，双曲线C：---=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别是

V6

Fi,Fi,离心率为三，点尸是C的右支上异于项点的一点，过尸2作/为2尸2的平分线的

垂线，垂足是M,|M0|=&,则点尸到C的两条渐近线距离之积为（）

42

A.-B.-C.2D.4

33

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。

10.（5分）i是虚数单位，复数2=与”，贝吃的虚部为

11.（5分）若（x+选）6的展开式中/的系数为160,则实数。的值为.

12.（5分）直线如-厂2=0被圆/+（尹1）2=4截得的弦长的最小值为

13.（5分）已知编号为1,2,3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号

球和一个3号球;2号盒子内装有两个1号球，一个3号球;3号盒子内装有三个1号球，

两个2号球，若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的

盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1

号球的概率为,第二次抽到3号球的概率

为.

14.（5分）平面四边形A2C。中，AB=2,4BC=1，ACLAB,E为BC的中点，用旗

—>—>—>—>

和4E表示4C=；若皮>=2,则的最小值为

15.（5分）已知函数/（x）,g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且/Ge）+g（x）

="-■?,若函数h（x）=3^"20241-V（x-2024）-2入2有唯一零点，则实数人的值

为

三、解答题：本大题共5题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(14分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且6=3,c=l,a=6cosB.

(I)求a的值；

(II)求证：A=2B；

(III)cos2(B—仓■)的值.

17.(15分)如图，在四棱锥尸-ABCD中，CD_L平面B4D,AB||CD,CD=2AB=2PD=

24。=4,AP=2/，点E是棱尸C上靠近P端的三等分点，点P是棱以上一点.

(I)证明：E4〃平面BDE；

(II)求点F到平面BDE的距离；

(III)求平面与平面P3C夹角的余弦值.

18.(15分)已知椭圆C：=+三=l(a>b>0)的一个焦点与抛物线/=©的焦点厂重

z

ab乙

合，抛物线的准线被c截得的线段长为VL

(I)求椭圆c的方程；

(II)过点/作直线/交C于A,3两点，试问：在x轴上是否存在一个定点使加•

薪为定值？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由.

19.(15分)在正项等比数列｛丽｝中,ai+a3=20,a2a4=324.

(I)求｛a〃｝的通项公式：

(II)已知函数/'(x)=x+2代+1,数列｛加｝满足：瓦=1,%+i=f3n),nGN*.

(z)求证：数列｛限｝为等差数列，并求｛为｝的通项公式

n+1

—~x~yz---，九6N*

ckqzcn+l

Zk=l

20.(16分)已知a-2,。为函数/(x)=(/+mx+〃)/的极值点，直线/过点A(〃-2,

/((2-2)),B(a,f(«)),6lGR

(I)求/G)的解析式及单调区间;

(II)证明：直线/与曲线(x)交于另一点C；

(III)若71V母胃Vn+L71€N*f求九.

(参考数据：加5=1.609…)

2024年天津市南开区高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.（5分）已知全集。={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B=[2,4},贝（CuA）U

B=（）

A.{0,2,4}B.{2,3,4}C.{1,2,4}D.[0,2,3,4}

【答案】A

【分析】利用集合的补集与并集的定义求解即可.

【解答】解：因为全集。={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,4},

贝iJCuA={0,4）,

所以（CuA）UB={0,2,4）.

故选：A.

【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合的补集与并集的定义的理解与应用，

属于基础题.

2.（5分）若6W0,则“a,b,c成等比数列”是“6=底”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】可得“a,b,c成等比数列"ob=±疝.即可判断出结论.

【解答】解：6W0,则“a,b,c成等比数列"Qb=士疵.

因此》羊0,则“a,b,c成等比数列”是“b=W的必要不充分条件.

故选：B.

【点评】本题考查了等比数列的性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能

力，属于基础题.

3.（5分）若。＞1,则a+■的最小值是（）

CL—1

A.2B.aC.3D.---

Q—1

【答案】C

【分析】将a+富丁变形，然后利用基本不等式求出函数的最值，检验等号能否取得.

CL—1

【解答】解：因为。>1,

所以1>0,

所以。+含=。-1+6+122j(a—l)白+1=3

当且仅当a-1=白即a=2时取“=”

故选：C.

【点评】利用基本不等式求函数的最值，一定注意使用的条件：一正、二定、三相等.

【分析】利用函数的奇偶性排除选项，通过特殊值判断即可.

1

【解答】解：函数y=sin2炉加(—+2)是奇函数，排除选项C、D.

xz

711

当炬(0,-)时，y=sin2x•例(—+2)>0,函数的图象在x轴上方，排除8.

故选：A.

【点评】本题考查了函数图象变换，解析式与函数的图象的对应关系，是基础题.

5.(5分)已知。=2一1,，b=log：,c=log23,则()

A.a<b〈cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

【答案】A

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解.

【解答】解：Si'©「】©,."G，

Vlog23>log22=1,

111_

3=log43=2lo92^>2,又〈log43VlOg44=l,

1

A-VbVI,

2

:・a〈b〈c.

故选：A.

【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题.

6.(5分)已知随机变量X〜N(K，。2),Y〜B(6,p),且P(X24)=±,E(X)=E(Y),

则p=()

1112

A.—B.-C.一D.一

6433

【答案】D

【分析】根据正态分布以及二项分布相关知识可解.

【解答】解：因为随机变量X〜Ng,。2),丫〜B(6,p),且P(X24)=]E(X)=E(J),

则E1(K)=6p,R=4,

根据正态分布性质可知石(X)=|1,

贝!J6P=4,

则p=|.

故选：D.

【点评】本题考查正态分布以及二项分布相关知识，属于中档题.

7.(5分)关于函数y=3cos(2x+专)，则下列结论中：

①-IT为该函数的一个周期；

②该函数的图象关于直线X=5对称；

77

③将该函数的图象向左平移二个单位长度得到y=3cos2x的图象；

④该函数在区间[-看，勺上单调递减.

所有正确结论的序号是()

A.①②B.③④C.①②④D.①③④

【答案】C

【分析】根据余弦函数的周期性，对称性，单调性以及图象的变换分别判断即可.

【解答】解：设/(x)=3cos⑵+引，

V/(x-IT)=3cos[2(x-n)+刍=3cos(2x-2n+^)=3cos(2x+^)=f(x),-n

为该函数的一个周期，①正确；

27r27rTT57r万万

V/(——x)=3cos[2(—―x)+2]=3cos(——2x)=3cos[2n-(2x+w)]=3cos(2x+@)

=/G),・,•该函数的图象关于直线X=5对称，②正确；

将该函数的图象向左平移，个单位长度得到八x+看)=3cos[2(x+看)+刍=3cos⑵+鄂

Wy=3cos2%,③错误；

2

'/x6[-,>'.2x+[0,w]，而_y=cosx在[0,n]上单调递减，所以④正确.

故选：C.

【点评】本题考查余弦函数的性质，属于中档题.

8.(5分)在长方体ABC。-AiBCiD中，AAi=2,ACi±BD,其外接球体积为36ir,则其

外接球被平面AB\D\截得图形面积为()

53256519

A.—7rB.—兀C.—nD.-71

6393

【答案】B

【分析】外接球被平面AB1D截得图形为截面圆，建立空间直角坐标系，求出。到平面

AB\D\的距离即可.

【解答】解：如图建立空间直角坐标系，设DC=b(a,b>0),

则B(a,b,0),A(a,0,0),Ci(0,b,2),

D(0,0,0),所以品=(a,b,0),ACA=(—a,b,2),

->-»

因为ACi_LB。，所以AC1-DB=—a?+炉=0,所以。=匕，即ABC。为正方形,

又长方体ABC。-A1B1C1D1的外接球的直径为长方体的体对角线长|ACi|,

外接球的球心为体对角线的中点，不妨设为0,由外接球体积为36n,

所以3兀(’2])3=36兀，解得|ACi|=6,又|力句=Va2+a2+22=6,

解得a=4(负值舍去)，所以A(4,0,0),Di(0,0,2),

Bi(4,4,2),O(2,2,1),所以=(-4,0,2),

—>—»

幽=(0,4,2),4。=(-2,2,1),

设平面A51D1的法向量为品=(x,y,z),贝也,丝1=-4x+2z=0,

rt-ABX=4y+2z=0

T—厂

mn=(1,-1,2),所以点。到平面AB1D1的距离公也剪=刍=络

|n|3

所以外接球被平面AB1D1截得的截面圆的半径r=旧-(尧=后,

or25

所以截面圆的面积S=兀产-即外接球被平面A8IZ)I截得图形面积为二兀.

D3

故选：B.

【点评】本题考查空间向量的应用，考查点到面的距离，属于中档题.

%?y2

9.(5分)已知O为坐标原点，双曲线C：—--=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别是

azoz

V6

Fl,F2,离心率为I■，点P是C的右支上异于项点的一点，过尸2作/为尸/2的平分线的

垂线，垂足是M,|“。|=鱼，则点尸到C的两条渐近线距离之积为()

42

A.-B.-C.2D.4

33

【答案】B

【分析】由双曲线的定义，结合双曲线的离心率，得双曲线的方程及渐近线的方程，再

设P(a,v),由双曲线的方程求点到两条渐近线的距离之积.

【解答】解：设半焦距为c,延长尸2M交尸为于点N,

由于尸M是/尸山/2的平分线，F1MLPM,所以△NP/2是等腰三角形,

所以|PZ=|PP2|,且M是N尸2的中点，

根据双曲线的定义可知I尸为1Tpp2|=2°,即W尸i|=2a,

由于0是/近2的中点，所以是尸由2的中位线，所以|M0|=2囚&|=a=鱼,

V6LX2n

又双曲线的离心率为三，所以c=b=1,所以双曲线。的方程为万一y=1,

所以FI（—B,0）,F2（V3,0）,双曲线。的渐近线方程为％±/y=0,

设P（〃，v）,P到两渐近线的距离之积为S,则S=』+学」式-罗=^

V3V3、

“2

又点尸在双曲线的右支上，所以一一一=1,即/-2^=2,

2

则点P到C的两条渐近线距离之积为|.

故选：B.

【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题.

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。

10.（5分），是虚数单位，复数2=4割，则2的虚部为二.

J十41□

【答案】丁

【分析】根据已知条件，结合共辗复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解.

［解生］解.尸_|4-3i|_）4+（_3）―5（3_4i）―33.苴声叫为一2

【解口］解,z—百可—―3+41--（3+4i）（3-4i）-551'八虚琲力5-

故答案为：-

【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的概念，属于基础题.

11.（5分）若（x+养）6的展开式中/的系数为160,则实数a的值为2

【答案】2.

【分析】写出（X+卷）6的展开式中含一项，然后可解决此题.

CL、6的展开式中含f项为盘•（号）3=/党/,

【解答】解:(x+北）

根据题意得//=160,解得。=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查二项式定理应用，考查数学运算能力，属于基础题.

12.（5分）直线〃比-y-2=0被圆一+（尹1）2=4截得的弦长的最小值为2V3.

【答案】2声.

【分析】求得圆的圆心C和半径，求得直线恒过的定点P,可得经过点P与线段CP垂

直的弦的长度最短，由勾股定理计算即可.

【解答】解：直线m-V-2=0恒过定点P(0,-2),

而圆/+(y+1)2=4的圆心为C(0,-1),半径r为2,

可得尸在圆C内，经过点尸与线段CP垂直的弦的长度最短，

此时弦长为2〃2_=2也;I=2遮.

故答案为：2%.

【点评】本题考查圆的方程和性质，以及直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能

力，属于中档题.

13.(5分)已知编号为1,2,3的三个盒子，其中I号盒子内装有两个1号球，一个2号

球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球,一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，

两个2号球，若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的

盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1

111

号球的概率为第二次抽到3号球的概率为—.

Z

111

【答案】.

248

【分析】根据已知条件，结合古典概型的概率公式，以及互斥事件的概率和公式，即可

求解.

【解答】解：在第一次抽到2号球的条件下,

则2号盒子内装有两个I号球，一个2号球，一个3号球,

故第二次抽到1号球的概率为3=

42

在第一次抽到2号球的条件下，

则2号盒子内装有两个1号球，一个2号球，一个3号球,

在第一次抽到1号球的条件下，

则1号盒子内装有两个1号球，一个2号球，一个3号球,

在第一次抽到3号球的条件下，

则3号盒子内装有三个1号球，两个2号球，一个3号球,

11111111

故第二次抽到3号球的概率为:-X-+-X-+-X-

24444648

、111

故答案为：2；

【点评】本题主要考查条件概率，属于基础题.

77"—>

14.(5分)平面四边形"CD中，AB=2,/4BC=京，ACLAB,E为BC的中点，用AB

—>—>—>—>—>—>

和4E表示4c=24E-48；若ED=2,则的最小值为-2.

—»—»

【答案】—-2.

【分析】根据中线的向量表示，写出=*(4B+力C),即可求出AC；根据AB=2,

—>—>—>—>

AC±AB,ED=2,计算即可求出4D♦力B的最小值.

【解答】解：平面四边形48C。中，E为BC的中点，所以4E=*(AB+4C),所以

—>—>—>

AC=2AE-AB；

—>—»

因为AB=2,AC±AB,所以/B・4C=0,

—>—»TTT

若即=2,贝！1AD・AB=(AE+EDyAB

TT->—>

=AE9AB+ED*AB

>TT

=j(4B+4C)•AB+|E01aBlcos<ED,AB>

=^AB2+^AB*AC+2X2cos<E£),AB>

1

/x4+0-4=-2,

当前、旗共线反向时取“=

所以的最小值为-2.

E

【点评】本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算问题，是基础题.

15.（5分）已知函数/（X）,g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且/（无）+g（x）

=/-;?,若函数/z（x）=3£20241_"（x-2024）-2入2有唯一零点，则实数入的值为-

1

【答案】-1或5

【分析】由已知可知〃(%)=3^20241_"(X-2024)-2人2的图象关于x=2024对称,

若//(无)有唯一零点，则必有/z(2024)=0,f(2024)=1,代入即可求解.

【解答】解：函数/(X),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且/(x)+g(x)

=/-%3,

所以/(-x)+g(-x)—ex+^,

1

所以/(尤)=W(/+/专，

因为了(X)为偶函数，图象关于y轴对称，

所以/(x-2024)的图象关于龙=2024对称，

又丫=3'-2024|_图象也关于2024对称，

所以〃(x)=3^20241_v(X-2024)-2#的图象关于x=2024对称，

若h(x)有唯一零点，则必有，(2024)=0,

h(2024)=1-入-2入2=0,

解得入=-1或入=发

故答案为：-1或

【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及对称性的应用，属于中档题.

三、解答题：本大题共5题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(14分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=3,c=l,a=6cosB.

(I)求。的值；

(II)求证：A=2B；

(III)cos2(B-务)的值.

【答案】(I)2代；(II)证明过程见解答；(III)28’.

6

【分析】(I)由余弦定理结合条件计算即可求得；

(II)由正弦定理结合条件式化简即可证明；

(III)由二倍角与和差角公式计算即可.

【解答】解：(I)由a=6cosB及余弦定理得：a=6♦幺联旦，

因为b=3,c=l,所以a2=12,a=2®

(II)证明：由〃=6cos5及。=3得：a=2bcosB,

由正弦定理得：sinA=2sinBcosB=sin2B,

因为OVAVm所以A=25或4+25=n.

若A+23=n,则3=C,与题设矛盾，因此A=28.

(Ill)由(I)得cosB=^==卓，

663

因为0<B<n,所以sinB=71—COS2B=卜—普=等,

所以sin2B=2sinBcosB=，cos2B=2cos2B—1=—

所以cos2(B—y2)=cos(2B—d)=cos2Bcos石+sin2,Bsin石=——々

2.2-..,,3

-6--

【点评】本题考查利用正余弦定理和三角恒等变换知识解三角形，属于中档题.

17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，C£)_L平面PAD,AB||CD,CD=2AB=2PD=

24。=4,ZP=2/，点E是棱PC上靠近尸端的三等分点，点尸是棱B4上一点.

(I)证明：B4〃平面BDE-,

(II)求点F到平面BDE的距离；

(III)求平面与平面尸BC夹角的余弦值.

P

2A/3V2

【答案】(I)证明过程见解答；(II)—;(III)—.

33

【分析】建立空间直角坐标系，(I)求出直线B4的方向向量和平面的法向量，由

两向量垂直且B4c平面BDE即可证得；

(II)由点到平面的距离的向量求法计算即可；

(III)求出平面BDE与平面P2C的法向量，由向量法求夹角即可.

【解答】解：由题可得，DP^DA2=4+4=8=AP2,所以。尸_LD4,

又因为CO_L平面以£>,所以D4,DC,。尸两两互相垂直，

故以点。为坐标原点，DA,DC,。尸所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

A4

则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),P(0,0,2),E(0,J).

IT>-4

为

蜂

7\证EB-2DE-

-，

(23

设平面BDE的一个法向量为租=(a,b,c),

/T「b

—D2+2o

j-a-

令

则

贝J

mT1T-

u-44-,-XP

)D-b+-oLC=1所以771=(1,-1,1).

\m.3-3c

TTTT

又

得

p/o可mo

=(22).PA=

因为R1U平面所以R1〃平面3DE；

(II)因为必〃平面出用，

所以点F到平面BDE的距离等于点A到平面BDE的距离.

—»

因为4B=(0,2,0),

则点A到平面BDE的距离为四"=W=—•

\m\V33

(III)因为鼠=(-2,2,0),PC=(0,4,-2),

设平面8DE的一个法向量为蔡=(%,y,z),

则:呼—2%+2y—0,令％=],则尸1,2=2,所以7=(1,1,2).

.n-PC=4y-2z=0

设平面BOE与平面PBC的夹角为a,

m-n2_V2

贝!Jcosa=\cos(m,n)\—>—>

\m\\n\A/3-763

V2

故平面BDE与平面PBC的夹角的余弦值为三.

【点评】本题考查线面平行的线面，点到平面距离的求法，平面与平面所成角的求法,

属于中档题.

18.(15分)已知椭圆C：==l(a>b>0)的一个焦点与抛物线尸=4元的焦点尸重

z

ab乙

合，抛物线的准线被C截得的线段长为夜.

(I)求椭圆C的方程；

(II)过点F作直线/交C于A,8两点，试问：在x轴上是否存在一个定点使易•

—>

MB为定值？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由.

工2

【答案】(I)万+/=1：

(II)存在，M4，0).

【分析】(I)根据抛物线的焦点坐标公式、准线方程，结合椭圆中小b,c的关系进行

求解即可；

(II)先讨论直线斜率存在的情况，设直线方程，联立之后写出韦达定理，代入数量积

—>—>

公式表示化简计算之后得分子分母的比值关系，求解出M的横坐标，再将点

M代入判断直线斜率不存在的情况是否成立.

【解答】解：(I)抛物线的焦点F(1,0),准线方程为x=-1,

%2y2

因为椭圆C：—+—=l(a>b>0)的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点B重合，

所以〃2-庐=1,

因为抛物线的准线被C截得的线段长为近，

V2

所以点(-1,±-)在椭圆上，

11

所以=+=1，

a22b2

解得。2=2,b2=l,

x2

所以椭圆C的方程为万+y2=1.

(II)假设存在符合条件的点M(m,0),设A(xi,yi),B(%2,”)，

—>—»

则MA=(%i—m,yi),MB=(%2—租，丫2)，

—»—>

MA-MB=(%i—m)(x2—m)+y1y2—x1x2—+x2)++y1y2，

①当直线/的斜率不为0时，设直线/的方程为x=<y+l,

x2~+2y2=2'得(*+2)/+2沙-1=0,则为+y2=彳豆，为刈=区内，

所以=(5+l)(ty2+1)=12yly2+t(71+丫2)+1=t2+2，％I+%2=t(Yl+

4

y)+2=-n—

‘2,t2+2

因此忌,痛B=52-2)叶2m2-4m+l,若对于任意的「值，上式为定值，

产+2

则2机2-4机+1=2(m2-2),解得巾=9，此时，忌•诂=-4为定值.

41O

->-»q7

②当直线/的斜率为0时,M2•MB=(-V2-m)(V2-m)=m2-2=Q)2-2=-

综合①②知，符合条件的点M存在，其坐标为4，0).

【点评】本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于

难题.

19.(15分)在正项等比数列｛斯｝中,.1+43=20,42a4=324.

(I)求｛斯｝的通项公式:

(II)已知函数/(x)=x+2y+1,数列｛加｝满足:瓦=1,bn+1=f(bn),nGN*.

(i)求证：数列｛疯｝为等差数列，并求｛尻｝的通项公式

n+1

—〈彳-n------，nEN*

ck4zcn+l

Zk=l

【答案】(I)%=2・3九一1;

2

(II)(z)证明见解析，bn=n(nE?V*)；

(n)证明见解析.

【分析】(I)根据等比数列的性质列方程即可求解；

(II)(?)由题匕+1=f(g)=+1)2,即工一=1(九€N*)即可证明和求

解通项；

⑺由题可得瓦=加左=一一功;/"*然后通过通项放缩结合

裂项相消即可得证.

【解答】(I)解：因为正项等比数列｛板｝中,

由题有『2a4=(。3)2—(aQ2)3=324

t又〃i>0,q>0,

+。3==18

解得。1=2,q=3,

所以a九=2-3n-1；

(II)证明：(力因为/(%)=%+2Vx+1=+l)2>0,

所以e+1=代阮)=(五+1产，即J/?n+l-/=1(nGN*),

所以数列｛历｝是以亚=1为首项，公差为1的等差数列.

所以=n,即，i=层(?1eN*)；

n-12

(n)由题c九=an—bn=2-3—n,

左式右式=左式=右式,

当n=l时,=1=1,1=1,

n2

2.3n-(n+l)22.3-|(2n+l)-(n-n-|)3

当时,n1<,

4-3n-1-(2n+l)4-3--(2n+l)2

112-3k-(/c+l)2

nil—=---------------=----------------------------------------

kr2kr2k2

ck2-3--k(2-3--k'-y\2-3-(k+V)}

=2-3k(k+l)2__1_____________1______1<3._1____________1______]

fc1fc-12/c22fc-12k2

2.3--(2fc+l)2-3-fc2-3-(/c+l)2.3-fc2-3-(fc+l)

所以£2=i

=1+5](7—77)+(----7----2-------5----2)+…+(----n~7----------2

22-3-222-32-32V2-32-322-33-422-3n-2-(n-l)2

111

2・3"Tf2)+(2-3n-lf22-3n-(n+l)2^

311731

=1+2[京H—2.3~什1)2]=厂2,时'

ccc

JkI