江苏省无锡市级2024届中考数学最后冲刺模拟试卷含解析

江苏省无锡市级名校2024届中考数学最后冲刺模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.为了纪念物理学家费米，物理学界以费米（飞米）作为长度单位.已知1飞米等于O.OOOOOOOOOOOOOOl米，把

0.000000000000001这个数用科学记数法表示为（）

A.1X1015B.0.1X1014C.0.01X1013D.0.01x1012

2.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=8,D是线段BC上的动点（不含端点B,C）.若线段AD长为正整数，则点

D的个数共有（）

B

A.5个B.4个C.3个D.2个

3.若关于x的一元二次方程x（x+2）=m总有两个不相等的实数根，则（）

A.m<-1B.m>lC.m>-1D.m<l

4.如图，直线45与直线CD相交于点O,E是NCOB内一点，且。EJ_A8,ZAOC=35°,则NEO。的度数是（）

5.如图，在四边形ABCD中，如果NADC=NBAC,那么下列条件中不能判定△ADC和△BAC相似的是（）

A.NDAC=NABCB.AC是NBCD的平分线C.AC2=BC»CDD.——=——

ABAC

6.超市店庆促销，某种书包原价每个x元，第一次降价打“八折”，第二次降价每个又减10元，经两次降价后售价为

90元，则得到方程（）

A.0.8x-10=90B.0.08x-10=90C.90-0.8x=10D.x-0.8x-10=90

7.随着服装市场竞争日益激烈，某品牌服装专卖店一款服装按原售价降价20%,现售价为。元，则原售价为（）

A.（a-20%）元B.（a+20%）元C・a元D.〃元

•）

%+1>0

8.不等式组C八的解集是（）

x-3>0

A.x>—1B.x>3

C.-l<x<3D.x<3

9.如图，二次函数y=ax?+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（-1）,下列结论：①acVl；②a+b=l；③4ac

-b2=4a；④a+b+cVL其中正确结论的个数是（）

尤+1>2

10.不等式组c,°的解集表示在数轴上正确的是（）

[3x-4<2

11.某反比例函数的图象经过点（-2,3）,则此函数图象也经过（）

A.(2,-3)B.(-3,3)C.(2,3)D.(-4,6)

12.如图是棋盘的一部分，建立适当的平面直角坐标系，已知棋子“车”的坐标为（-2,1）,棋子“马”的坐标为（3,-1）,

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是

14.如图，在RtAABC中，ZB=90°,NA=30。，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D,分别以点A、D

为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E,连接AE,DE,则NEAD的余弦值是.

15.用配方法解方程3好-6x+l=0,则方程可变形为G-_)2=_.

29

16.二次函数y=§厂的图象如图，点Ao位于坐标原点，点Ai,A2,A3…An在y轴的正半轴上，点Bi,B2,B3...Bn

在二次函数位于第一象限的图象上，点Ci,C2,C3…G在二次函数位于第二象限的图象上，四边形AoBiAiG,四边

形A1B2A2c2,四边形A2B3A3c3…四边形An-lBnAnCn都是菱形，NAOB1A1=NA1B2A尸/A2B3A3...=NAnlBnAn

=60°,菱形An-lBnAnCn的周长为.

17.如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC=2BF,连接AE,EF.若AB=2,AD=3,

则tanZAEF的值是.

18.从-2,-1,2这三个数中任取两个不同的数相乘，积为正数的概率是.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.(6分)如图，A5是。。的直径，点C在A8的延长线上，。与。。相切于点O,CELAD,交AO的延长线于

点E.

(1)求证：ZBDC=ZA；

(2)若CE=4,DE=2,求A。的长.

20.（6分）如图，△ABC中，D是AB上一点，DELAC于点E,F是AD的中点，FGLBC于点G,与DE交」于点

H,若FG=AF,AG平分NCAB,连接GE,GD.

求证：△ECG^^GHD；

21.（6分）（1）如图，四边形为正方形，BF±AE,那么8尸与AE相等吗？为什么？

⑵如图，在RAACB中，BA=BC,ZABC=90°,。为8C边的中点，AD于点E,交AC于P,求AE:EC

的值

（3）如图，HfAACB中，ZABC=9Q°,。为边的中点，BELAD于点E，交AC于歹，若AB=3,BC=4,

求cn

图1图2

22.（8分）平面直角坐标系中（如图），已知抛物线、=/+法+。经过点4（1,0）和6（3,0）,与y轴相交于点C,

顶点为P.

(1)求这条抛物线的表达式和顶点尸的坐标；

(2)点E在抛物线的对称轴上，且EA=EC,求点E的坐标；

(3)在(2)的条件下，记抛物线的对称轴为直线MN,点。在直线右侧的抛物线上，ZMEQ=ZNEB,求点

Q的坐标.

23.(8分)如图，在△ABC中，ZC=90°,以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D,分别

交AC,AB于点E,F.

(1)若NB=30。，求证：以A,O,D,E为顶点的四边形是菱形；

(2)填空：若AC=6,AB=10,连接AD,则。。的半径为,AD的长为.

24.(10分)如图，在规格为8x8的边长为1个单位的正方形网格中(每个小正方形的边长为1),△ABC的三个顶点

都在格点上，且直线m、n互相垂直.

(1)画出AABC关于直线n的对称图形△A，B，O；

(2)直线m上存在一点P,使AAPB的周长最小；

①在直线m上作出该点P；(保留画图痕迹)

②^APB的周长的最小值为.(直接写出结果)

25.（10分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0,其中a、b^c分别为AABC三边的长.如果x=

-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；如果方程有两个相等的实数根，试判断AABC的形状，并说明

理由；如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.

26.（12分）九（1）班同学分成甲、乙两组，开展“四个城市建设”知识竞赛，满分得5分，得分均为整数.小马虎根

据竞赛成绩，绘制了如图所示的统计图.经确认，扇形统计图是正确的，条形统计图也只有乙组成绩统计有一处错误.

1分

（2）若成绩达到3分及以上为合格，该校九年级有800名学生，请估计成绩未达到合格的有多少名？

（3）九（1）班张明、李刚两位成绩优秀的同学被选中参加市里组织的“四个城市建设”知识竞赛.预赛分为A、B、C、

D四组进行，选手由抽签确定.张明、李刚两名同学恰好分在同一组的概率是多少？

27.（12分）关于x的一元二次方程6"+2）=0有两个不相等的实数根.求，〃的取值范围；若“为符合条件

的最小整数，求此方程的根.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、A

【解析】

根据科学记数法的表示方法解答.

【详解】

解：把00瞰000?000?001这个数用科学记数法表示为1x10-5.

故选：A.

【点睛】

此题重点考查学生对科学记数法的应用，熟练掌握小于0的数用科学记数法表示法是解题的关键.

2、C

【解析】

试题分析：过A作AE_LBC于E,VAB=AC=5,BC=8,，BE=EC=4,；.AE=3,是线段BC上的动点（不含端

点B,C）,/.AE<AD<AB,即3WADV5,；AD为正整数，,AD=3或AD=4,当AD=4时，E的左右两边各有一个

点D满足条件，.•.点D的个数共有3个.故选C.

考点：等腰三角形的性质；勾股定理.

3、C

【解析】

将关于x的一元二次方程化成标准形式，然后利用A>0,即得m的取值范围.

【详解】

因为方程是关于x的一元二次方程方程，所以可得必+2^—〃尸=0公=4+4111>0,解得m>-1,故选D.

【点睛】

本题熟练掌握一元二次方程的基本概念是本题的解题关键.

4、D

【解析】

解：；ZAOC=35,

AZBOD=35,

'：EO±AB,

•••ZEOS=90,

:.ZEOD=ZEOB+ZBOD=90+35=125,

故选D.

5、C

【解析】

结合图形，逐项进行分析即可.

【详解】

在AADC和ABAC中，ZADC=ZBAC,

如果ZkADCsaBAC,需满足的条件有：①NDAC=NABC或AC是NBCD的平分线；

ADDC

②一=—,

ABAC

故选C.

【点睛】

本题考查了相似三角形的条件，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.

6、A

【解析】

试题分析：设某种书包原价每个X元，根据题意列出方程解答即可.设某种书包原价每个X元,

可得：0.8x-10=90

考点：由实际问题抽象出一元一次方程.

7、C

【解析】

根据题意列出代数式，化简即可得到结果.

【详解】

根据题意得：a+(l-20%)=a+=a(元)，

54

故答案选：c.

【点睛】

本题考查的知识点是列代数式，解题的关键是熟练的掌握列代数式.

8、B

【解析】

根据解不等式组的方法可以求得原不等式组的解集.

【详解】

%+1〉0①

[x-3>0②，

解不等式①，得x>-L

解不等式②，得x>l,

由①②可得，x>l,

故原不等式组的解集是x>l.

故选B.

【点睛】

本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是明确解一元一次不等式组的方法.

9、C

【解析】

①根据图象知道：aVl,c>l,...acVl,故①正确；

②,顶点坐标为(1/2,1),.,.x=--b/2a"="l/2",.\a+b=l,故②正确；

③根据图象知道：x=l时，y=a++b+c>L故③错误；

④•••顶点坐标为(1/2,1),...写三=1,...4ac-b2=4a,故④正确.

其中正确的是①②④.故选C

10、C

【解析】

%+1>2

根据题意先解出c,c的解集是：「2,

13%-4W2

把此解集表示在数轴上要注意表示、：时要注意起始标记为空心圆圈，方向向右;

表示，2时要注意方向向左，起始的标记为实心圆点，

综上所述C的表示符合这些条件.

故应选C.

11、A

【解析】

设反比例函数y="（k为常数，k邦），由于反比例函数的图象经过点（-2,3）,则k=-6,然后根据反比例函数图象上

x

点的坐标特征分别进行判断.

【详解】

设反比例函数y="（k为常数，片0）,

X

;反比例函数的图象经过点（-2,3）,

k=-2x3=-6,

而2x（-3）=-6,（-3）x（-3）=9,2x3=6,-4x6=24,

...点（2,-3）在反比例函数y=-9的图象上.

x

故选A.

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=4（k为常数，k#））的图象是双曲线，图象上的点（x,

x

y）的横纵坐标的积是定值k,即xy=k.

12、B

【解析】

直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系进而得出答案.

【详解】

解：根据棋子“车”的坐标为（-2,1）,建立如下平面直角坐标系：

【点睛】

本题考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题的关键.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

【解析】

求出黑色区域面积与正方形总面积之比即可得答案.

【详解】

图中有9个小正方形，其中黑色区域一共有3个小正方形，

31

所以随意投掷一个飞镖，击中黑色区域的概率是=§=§,

故答案为2.

【点睛】

本题考查了几何概率，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键.注意面积之比=几何概率.

6

【解析】

利用特殊三角形的三边关系，求出长，求比值.

【详解】

解：如图所示，设5C=x,

•.•在R3ABC中，NB=90°,ZA=30°,

：.AC=2BC=2x,A3=73BC=布x,

根据题意得：AD=BC=x,AE=DE=AB=6x,

如图，作EM_LAZ>于M,则

22

X

在RtAAEM中，cosNEAZ>=AM=_j_=也,

AE下）x6

故答案为：昱.

E

【点睛】

特殊三角形：30。-60。-90。特殊三角形，三边比例是1：73：2,利用特殊三角函数值或者勾股定理可快速求出边的实

际关系.

2

15、1-

3

【解析】

原方程为3X2-6X+1=0,二次项系数化为1,得X2-2X=-』，

3

1?

BPx2-2x+l=--+l,所以（xT）2=j.

2

故答案为：1,

3

16、4n

【解析】

试题解析：,••四边形AoBiAiC是菱形，NAoBiAi=6O。，

AAOBIAI是等边三角形.

设△AoBiAi的边长为mi,则Bi（息1,色）；

22

代入抛物线的解析式中得：

解得mi=o（舍去），mi=l；

故4AoBiAi的边长为1,

同理可求得△AiB2A2的边长为2,

依此类推，等边△AnlBnAn的边长为II,

故菱形An-lBnAnCn的周长为4n.

考点：二次函数综合题.

17、1.

【解析】

连接AF,由E是CD的中点、FC=2BF以及AB=2、AD=3可知AB=FC,BF=CE,则可证△ABFgZ\FCE,进一步

可得到AAFE是等腰直角三角形，贝!|NAEF=45。.

【详解】

解：连接AF,

D

——\尸---------Ip

F

・・，E是CD的中点,

.\CE=-CD=1,AB=2,

2

VFC=2BF,AD=3,

ABF=1,CF=2,

ABF=CE,FC=AB,

VZB=ZC=90°,

.•.△ABF^AFCE,

AAF=EF,ZBAF=ZCFE,ZAFB=ZFEC,

:.ZAFE=90°,

AAAFE是等腰直角三角形，

AZAEF=45°,

.*.tan/AEF=l.

故答案为：1.

【点睛】

本题结合三角形全等考查了三角函数的知识.

1

18、-

3

【解析】

首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与积为正数的情况，再利用概率公式求解即可求得答

案.

【详解】

列表如下：

-2-12

-22-4

-12-2

2-4-2

由表可知，共有6种等可能结果，其中积为正数的有2种结果，

所以积为正数的概率为,，

3

故答案为

3

【点睛】

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于

两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、（1）证明过程见解析；（2）1.

【解析】

试题分析：（1）连接OD,由CD是。O切线，得到NODC=90。，根据AB为。。的直径，得到NADB=90。，等量代

换得至|JNBDC=NADO,根据等腰直角三角形的性质得到NADO=NA,即可得到结论；（2）根据垂直的定义得到

NE=NADB=90。，根据平行线的性质得到NDCE=NBDC,根据相似三角形的性质得到至要，解方程即可得到结

DECE

论.

试题解析：(1)连接OD,VCD是。O切线，/.ZODC=90o,即NODB+NBDC=90。，

；AB为。O的直径，.*.ZADB=90°,即NODB+NADO=90。，/.ZBDC=ZADO,

VOA=OD,/.ZADO=ZA,/.ZBDC=ZA；

(2)VCE±AE,.•.NE=NADB=90。，：.DB//EC,AZDCE=ZBDC,VZBDC=ZA,.*.ZA=ZDCE,

VZE=ZE,.'.△AEC^ACED,.\EC2=DE»AE,11=2(2+AD),.*.AD=1.

DECE

C

AIoIB

考点：（1）切线的性质；（2）相似三角形的判定与性质.

20、见解析

【解析】

依据条件得出NC=NDHG=90。，ZCGE=ZGED,依据F是AD的中点，FG〃AE,即可得到FG是线段ED的垂直

平分线，进而得到GE=GD,ZCGE=ZGDE,利用AAS即可判定小ECG之△GHD.

【详解】

证明：VAF=FG,

ZFAG=ZFGA,

VAG平分NCAB,

；.NCAG=NFAG,

/.ZCAG=ZFGA,

；.AC〃FG.

VDE±AC,

/.FG±DE,

VFG±BC,

；.DE〃BC,

/.AC±BC,

VF是AD的中点，FG〃AE,

AH是ED的中点

•*.FG是线段ED的垂直平分线，

，GE=GD,ZGDE=ZGED,

/.ZCGE=ZGDE,

/.△ECG^AGHD.(AAS).

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键.

_40

21、(1)相等，理由见解析；(2)2；(3)—.

17

【解析】

(1)先判断出AB=AD,再利用同角的余角相等，判断出NABF=NDAE,进而得出△ABFg2XDAE,即可得出结论;

(2)构造出正方形，同(1)的方法得出△ABD^^CBG,进而得出CG=』AB,再判断出△AFBsaCFG,即可得

2

出结论；

(3)先构造出矩形，同(1)的方法得，ZBAD=ZCBP,进而判断出△ABDs^BCP,即可求出CP,再同(2)的

方法判断出△CFP^AAFB,建立方程即可得出结论.

【详解】

解：(1)BF=AE,理由：

,••四边形ABCD是正方形，

.\AB=AD,ZBAD=ZD=90°,

.\ZBAE+ZDAE=90°,

VAE1BF,

/.ZBAE+ZABF=90°,

:.NABF=NDAE,

'ZBAD=ZADC=90°

在4ABF和4DAE中，＜AB=AD

ZABF=ZDAE

/.△ABF^ADAE,

；.BF=AE,

⑵如图2,

过点A作AM〃BC,过点C作CM〃AB,两线相交于M,延长BF交CM于G,

/.四边形ABCM是平行四边形，

,.•ZABC=90°,

ABCM是矩形，

；AB=BC,

二矩形ABCM是正方形，

；.AB=BC=CM,

同（1）的方法得，AABD^^BCG,

/.CG=BD,

••,点D是BC中点，

11

.\BD=-BC=-CM,

22

11

/.CG=-CM=-AB,

22

VABZ/CM,

.,.△AFB-^ACFG,

AFAB

----=-----=2

CFCG

⑶如图3,

B.

郅

N<r

在RtAABC中，AB=3,BC=4,

/.AC=5,

•••点D是BC中点,

1

.*.BD=-BC=2,

2

过点A作AN〃BC,过点C作CN〃AB,两线相交于N,延长BF交CN于P,

•*.四边形ABCN是平行四边形,

VZABC=90°,二。ABCN是矩形,

同(1)的方法得，NBAD=NCBP,

VZABD=ZBCP=90°,

.,.△ABD^ABCP,

.ABBD

"'~BC^~CP

・3=2_

''4-CP

.,.CP=-

3

同(2)的方法，ACFPsaAFB,

.CFCP

**AF-AB

8

二CF=3

5-CF3

40

.,.CF=—.

17

【点睛】

本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质和判定，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，全等三角形的判定

和性质，相似三角形的判定和性质，构造出(D题的图形，是解本题的关键.

22、(1)y=x2-4x+3,顶点P的坐标为(2,4)；(2)E点坐标为(2,2);(3)。点的坐标为6,8).

【解析】

(1)利用交点式写出抛物线解析式，把一般式配成顶点式得到顶点P的坐标；

(2)设石(2,力，根据两点间的距离公式，利用EA=EC得到(2-1)2+产=2?+GT＞，然后解方程求出t即可得到

E点坐标；

(3)直线后交x轴于八作直线尸2于4，如图，利用3ZNNE5=；得到设

QCm,m2-4/n+3),则HE=n?-4根+1,QH=m-2,再在中利用正切的定义得至！ItanNHEQ=翌=L

HE2

即m2-4m+l=2(m-2),然后解方程求出m即可得到Q点坐标.

【详解】

解：(1)抛物线解析式为丁=(%-1)(%-3),

即y=x2_4x+3,

■y=(X-2)2-1,

顶点P的坐标为(2,-1)；

(2)抛物线的对称轴为直线后2，

设E(2,t),

EA^EC,

(2-1)2+12H+(广3)2,解得t=2,

••.E点坐标为(2,2)；

(3)直线%=N交x轴于F,作MN,直线x=2于H,如图，

ZMEQ=ZNEB,

BF1

而tanNNEB=——=-,

EF2

tanZMEQ=g,

设Q(m,m~~4-m+3),则HE=m2-4m+3-2=m~-4-m+1,QH—m-2,

在RjQHE中,tanNHEQ="=L

HE2

m2-4m+1=2(m-2),

整理得〃，一6m+5=0，解得mi=l(舍去)，冽2=5，

.•.Q点的坐标为(5,8).

【点睛】

本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和锐角三角函数的定义；会

利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式.

23、(1)见解析；(2)

4

【解析】

(1)先通过证明△AOE为等边三角形，得出AE=OD,再根据“同位角相等，两直线平行”证明AE//OD,从而证得四边

形AODE是平行四边形，再根据“一组邻边相等的平行四边形为菱形”即可得证.

22,

(2)利用在RtAOBD中，sinNB=理咯可得出半径长度，在RtA0DB中BD=JOB-OD可求得BD的长，由

OD5"

CD=CB-BD可得CD的长，在RTAACD中，AD=;藐可于，即可求出AD长度.

【详解】

在RtAABC中，,:NB=30。，

.\ZA=60°,

,/OA=OE,:.AAEO是等边三角形,

.\AE=OE=AO

,-,OD=OA,

.\AE=OD

：BC是圆O的切线，OD是半径，

/.ZODB=90°,XVZC=90°

/.AC/ZOD,又；AE=OD

四边形AODE是平行四边形,

VOD=OA

二四边形AODE是菱形.

在RtAABC中，VAC=6,AB=10,

sinZB=-^-=—,BC=8

AB5

；BC是圆O的切线，OD是半径,

/.ZODB=90°,

在RtAOBD中，sinZB=—=—,

OB5

5

AOB=­OD

3

VAO+OB=AB=10,

5

AOD+—OD=10

3

15

AOD=—

4

.*.OB=—OD=—

34

ABD=VOB2-OD2

=5

/.CD=CB-BD=3

AAD=VAC2+CD2

=V62+32

=3■底.

【点睛】

本题主要考查圆中的计算问题、菱形以及相似三角形的判定与性质

24、(1)详见解析；(2)①详见解析；②®+3也.

【解析】

(1)根据轴对称的性质，可作出AABC关于直线n的对称图形△

(2)①作点B关于直线m的对称点B",连接B"A与x轴的交点为点P；

②由△ABP的周长=AB+AP+BP=AB+AP+B”P,则当AP与PB”共线时，AAPB的周长有最小值.

【详解】

解：(1)如图△为所求图形.

(2)①如图：点P为所求点.

@VAABP的周长=AB+AP+BP=AB+AP+B”P

.•.当AP与PB”共线时，AAPB的周长有最小值.

.,.△APB的周长的最小值AB+AB”=VIU+3&

故答案为所+372

【点睛】

本题考查轴对称变换，勾股定理，最短路径问题，解题关键是熟练掌握轴对称的性质.

25、(1)△ABC是等腰三角形；(2让ABC是直角三角形；(3)xi=O,x2=-1.

【解析】

试题分析：(1)直接将x=-1代入得出关于a,b的等式，进而得出2=1),即可判断△ABC的形状;

(2)利用根的判别式进而得出关于a,b,c的等式，进而判断^ABC的形状；

(3)利用△ABC是等边三角形，则