华中科技大学教学课件-工程传热学2王晓墨

第三章非稳态导热

§3-1

非稳态导热过程§3-2

集总参数法§3-3

一维非稳态导热的分析解第三章非稳态导热UnsteadyHeatConduction定义：导热系统内温度场随时间变化的导热过程为非稳态导热。特点：温度随时间变化，热流也随时间变化。自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t=f(

)例如：冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却；锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工况；自然环境温度；供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度非稳态导热：周期性和非周期性（瞬态导热）周期性非稳态导热：在周期性变化边界条件下发生的导热过程，物体温度按一定的周期发生变化。非周期性非稳态导热：在瞬间变化的边界条件下发生的导热过程，物体的温度随时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过程），在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温度，最终达到热平衡§3-1非稳态导热过程1温度分布一平壁初始温度为t0，令其左侧表面的温度突然升高到t1，右侧与温度为t0的空气接触。首先，物体紧挨高温表面的部分温度上升很快，经过一定时间后内部区域温度依次变化，最终整体温度分布保持恒定，当

为常数时，最终温度分布为直线。(a)

=

1

(b)

=

2

(c)

=

3

(d)

=

4非稳态导热的不同时刻物体的温度分布2两个阶段：非正规状况阶段（初始状况阶段）、正规状况阶段非正规状况阶段（初始状况阶段）：在

=

3时刻之前的阶段，物体内的温度分布受初始温度分布的影响较大。必须用无穷级数描述t0t1=3正规状况阶段：在

=

3时刻之后，初始温度分布的影响已经消失，物体内的温度分布主要受边界条件的影响，可以用初等函数描述。3热量变化：与稳态导热的另一区别：由于有温度变化要积聚或消耗热量，同一时刻流过不同界面的热流量是不同的。通过截面A的热流量是从最高值不断减小，在其它各截面的温度开始升高之前通过此截面的热流量是零，温度开始升高之后，热流量才开始增加。(a)

=

1

(b)

=

2

(c)

=

3

(d)

=

44边界条件对温度分布的影响x0xtt∞(b)(a)(c)环境（边界条件）对系统温度分布的影响是很显著的,这里以一维非稳态导热过程（也就是大平板的加热或冷却过程）为例来加以说明。图表示一个大平板的加热过程，并画出在某一时刻的三种不同边界情况的温度分布曲线（a）、（b）、（c）这实质上是表明在第三类边界条件下可能的三种温度分布。

按照传热关系式作一个近似的分析。

x0xtt∞(b)(a)(c)曲线（a）表示平板外环境的换热热阻远大于平板内的导热热阻,

即从曲线上看，物体内部的温度几乎是均匀的，这也就说物体的温度场仅仅是时间的函数，而与空间坐标无关。我们称这样的非稳态导热系统为集总参数系统（一个等温系统或物体）。x0xtt∞(b)(a)(c)曲线（b）表示平板外环境的换热热阻相当于平板内的导热热阻,

即

这也是正常的第三类边界条件x0xtt∞(b)(a)(c)曲线（c）表示平板外环境的换热热阻远小于平板内的导热热阻,

即从曲线上看，物体内部温度变化比较大，而环境与物体边界几乎无温差，此时可用认为。那么，边界条件就变成了第一类边界条件，即给定物体边界上的温度。

x0xtt∞(b)(a)(c)t0t

t01/h<</2t

/<<1/h2t

1/h~/2t0把导热热阻与换热热阻相比可得到一个无因次的数，我们称之为毕欧（Boit）数，即那么，上述三种情况则对应着Bi<<1、Bi

1和Bi>>1。毕欧数是导热分析中的一个重要的无因次准则，它表征了给定导热系统内的导热热阻与其和环境之间的换热热阻的对比关系。类似于Bi数这种表征某一类物理现象或物体特征的无量纲数称为特征数，特征数中的几何尺度称为特征尺度。§3-2集总参数法

(Lumpedheatcapacitymethod)1定义忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的分析方法。此时，，温度分布只与时间有关，即，与空间位置无关，因此，也称为零维问题。以下几种情况Bi很小，可用集总参数法：（1）导热系数相当大；（2）几何尺寸很小；（3）表面换热系数很小。2温度分布h,t

AQcΔΕρ,c,V,t0一个集总参数系统，其体积为V、表面积为A、密度为

、比热为c以及初始温度为t0，突然放入温度为t

、换热系数为h的环境中。

引入过余温度：初始条件为：能量守恒：单位时间物体热力学能的变化量应该等于物体表面与流体之间的对流换热量α,t0AQcΔΕρ,c,V,t0积分得：指数可写成：

是傅立叶数无量纲热阻无量纲时间Biv越小，表示内部热阻小或外部热阻大，则内部温度就越均匀，集总参数法的误差就越小。Fo越大，热扰动就能越深入传播到物体内部,物体各点地温度就越接近周围介质的温度。物体中的温度呈指数分布方程中指数的量纲：3时间常数称为系统的时间常数，记为

s，也称弛豫时间。

如果导热体的热容量（

Vc

）小、换热条件好（hA大），那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快，时间常数(Vc/h

A)小反映了系统处于一定的环境中所表现出来的传热动态特征，与其几何形状、密度及比热有关，还与环境的换热情况相关。可见，同一物质不同的形状其时间常数不同，同一物体在不同的环境下时间常数也是不相同。

如图所示，时间常数越小，物体的温度变化就越快，物体就越迅速地接近周围流体的温度。这说明，时间常数反映物体对环境温度变化响应的快慢，时间常数小的响应快，时间常数大的响应慢。用热电偶测量流体温度，总是希望热电偶的时间常数越小越好，时间常数越小，热电偶越能迅速地反映流体的温度变化，故热电偶端部的接点总是做得很小θ/θ0τ/τs0.368101当物体冷却或加热过程所经历的时间等于其时间常数时，即τ=τs，τ=4τs，工程上认为

=4τs时导热体已达到热平衡状态4瞬态热流量导热体在时间0~

内传给流体的总热量：5集总参数系统的判定

如何去判定一个任意的系统是集总参数系统？V/A具有长度的因次，称为集总参数系统的特征尺寸。为判定系统是否为集总参数系统，M为形状修正系数。厚度为2

的大平板直径为2r的长圆柱体

直径为2r的球体复杂形体例：一温度计水银泡是圆柱形，长20mm，内径4mm，测量气体温度，表面传热系数h=12.5W/(m2·K),若要温度计的温度与气体的温度之差小于初始过余温度的10%，求测温所需要的时间。水银

=10.36W/(m·K),=13110kg/m3,c=0.138kJ/(kg·K).解：故可以用集总参数法。由上式解得：

=333s=5.6min为了减小测温误差，测温时间应尽量加长。§3-3一维非稳态导热的分析解

AnalyticalSolutiontoOne-DimensionalSystem

当几何形状及边界条件都比较简单时可获得分析解。1无限大的平板的分析解厚度2

的无限大平壁，

、a为已知常数；

=0时温度为t0;突然把两侧介质温度降低为t

并保持不变；壁表面与介质之间的表面传热系数为h。两侧冷却情况相同、温度分布对称。中心为原点。导热微分方程：初始条件：边界条件：(第三类)采用分离变量法求解：取只能为常数：只为

的函数只为x的函数对积分得到式中C1是积分常数，常数值D的正负可以从物理概念上加以确定。当时间τ趋于无穷大时，过程达到稳态，物体达到周围环境温度，所以D必须为负值，否则物体温度将无穷增大。令则有

以及以上两式的通解为：于是常数A、B和β可由边界条件确定。(1)(2)(3)由边界条件（2）得B=0（a）边界条件（3）代入(b)得(c)（a）式成为(b)将右端整理成：注意，这里Bi数的尺度为平板厚度的一半。显然，β是两曲线交点对应的所有值。式(c)称为特征方程。β称为特征值。分别为β1、β2……βn。….将无穷个解叠加：至此，我们获得了无穷个特解：利用初始条件求An解的最后形式为：令βnδ=μn傅里叶准则—无量纲距离定义无量纲的热量其中Qτ为0

时间内传导的热量（内热能的改变量）为

至无穷时间内的总传导热量（物体内能改变总量）设从初始时刻至某一时刻

所传递的热量为Q:是

时刻物体的平均过余温度。2非稳态导热的正规状况阶段当Fo时，采用级数的第一项计算偏差小于1%，故当Fo时:其中

1

是第一特征值，是Bi的函数。Bi0.010.050.10.51.05.01050100

1

0.09980.22170.31110.65330.86031.31381.42891.54001.55521.57083采用海斯勒（Heisler）图计算对于Fo0.2时无限大平壁的非稳态导热过程，温度场可按公式计算；也可用诺谟图计算，其中用于确定温度分布的图线称为海斯勒图。为平板中心的过余温度无量纲的热量如何利用线算图a）对于由时间求温度的步骤为，计算Bi数、Fo数和x/δ

，从图中查找θm/θ0

和θ/θm

，计算出，最后求出温度tb)对于由温度求时间步骤为，计算Bi数、x/δ和θ/θ0,从图中查找θ/θm,，计算θm/θ0然后从图中查找Fo,再求出时间

。

c）平板吸收（或放出）的热量，可在计算Q0和Bi数、Fo数之后，从图3-6中Q/Q0查找，再计算出Fo数及Bi数的影响：(1)当Bi数一定时，

随Fo的增加而减小，即随着时间的增加（Fo增加），物体温度越来越接近流体温度。(2)当Fo数一定时，Bi越大（1/Bi越小），

m/0就越小，这是因为Bi=h

/

越大，表面换越强，中心温度就越快地接近周围液体温度。当1/Bi=0时，表面温度一开始就达到液体温度，中心温度变化也最快，这条线代表第一类边界条件。(3)从图3-5可看出，当1/Bi>10，即Bi<时，所有曲线上的过余温度差值小于5%，这时可以用集总参数法求解而误差不大。一般为了得到更高精确度，可使Bi<为下限，误差极微。例：一块厚100mm的钢板放入温度为1000℃的炉中加热。钢板一面加热，另一面可认为是绝热。初始温度t0=20℃，求受热面加热到500℃所需时间，及剖面上最大温差。(h=174W/(m2·K),

=34.8W/(m·K),a=0.555×10-5m2/s)

解：这一问题相当于厚200mm平板对称受热问题，必须先求

m/0，再由

m/0、Bi查图求Fo。

w/m可查图3-5。而由

m/0和Bi从图3-4查得Fo（较困难）。又x/=1,从图3-5(p34)查得

w/m=0.8.求中心（绝热面）温度:求剖面最大温差:讨论:直接计算:查表得

1=0.6533,另：由温度分布式得Fo=1.196.第三章作业习题：3-1，3-3，3-7，3-10传热学主讲：王晓墨能源与动力工程学院华中科技大学§4-1

对流换热概述§4-2

层流流动换热的微分方程组§4-3

对流换热过程的相似理论§4-4

边界层理论§4-5

紊流流动换热第四章对流换热原理§4-1对流换热概述1对流换热过程①对流换热定义：流体和与之接触的固体壁面之间的热量传递过程，是宏观的热对流与微观的热传导的综合传热过程。对流换热与热对流不同，既有热对流，也有导热；不是基本传热方式对流换热实例：1)暖气管道;2)电子器件冷却②对流换热的特点：(1)导热与热对流同时存在的复杂热传递过程(2)必须有直接接触（流体与壁面）和宏观运动；也必须有温差③特征：以简单的对流换热过程为例，对对流换热过程的特征进行粗略的分析。图表示一个简单的对流换热过程。流体以来流速度u

和来流温度t

流过一个温度为tw的固体壁面。选取流体沿壁面流动的方向为x坐标、垂直壁面方向为y坐标。yt∞u∞

tw

qwxWhenthefluidmoleculesmakecontactwithsolidsurface,whatdoyouexpecttohappen?

1.theywillreboundoffthesolidsurface2.theywillbeabsorbedintothesolidsurface3.theywilladheretothesolidsurface壁面对流体分子的吸附作用，使得壁面上的流体是处于不滑移的状态（此论点对于极为稀薄的流体是不适用的）。yt∞u∞

tw

qwx又由于粘性力的作用，使流体速度在垂直于壁面的方向上发生改变。流体速度从壁面上的零速度值逐步变化到来流的速度值。同时，通过固体壁面的热流也会在流体分子的作用下向流体扩散(热传导)，并不断地被流体的流动而带到下游（热对流），也导致紧靠壁面处的流体温度逐步从壁面温度变化到来流温度。yt∞u∞

tw

qwx2对流换热的分类对流换热：导热+热对流；壁面+流动①流动起因自然对流：流体因各部分温度不同而引起的密度差异所产生的流动（Freeconvection）强制对流：由外力（如：泵、风机、水压头）作用所产生的流动（Forcedconvection）②流动状态层流：整个流场呈一簇互相平行的流线（Laminarflow）湍流：流体质点做复杂无规则的运动（Turbulentflow）紊流流动极为普遍自然现象：收获季节的麦浪滚滚，旗帜在微风中轻轻飘扬，以及袅袅炊烟都是由空气的紊流引起的。

③流体有无相变单相换热相变换热：凝结、沸腾、升华、凝固、融化④

流体与固体壁面的接触方式内部流动对流换热：管内或槽内外部流动对流换热：外掠平板、圆管、管束⑤流体运动是否与时间相关非稳态对流换热：与时间有关稳态对流换热：与时间无关管内沸腾对流换热有相变无相变强制对流内部流动圆管内强制对流换热其它形状管道的对流换热外部流动外掠单根圆管的对流换热外掠圆管管束的对流换热外掠平板的对流换热外掠其它截面柱体的换热射流冲击换热自然对流大空间自然对流有限空间自然对流混合对流沸腾换热凝结换热大空间沸腾管内凝结管外凝结3对流换热系数与对流换热微分方程——当流体与壁面温度相差1℃时、每单位壁面面积上、单位时间内所传递的热量.①对流换热系数(表面传热系数)确定h及增强换热的措施是对流换热的核心问题②

对流换热过程微分方程式壁面上的流体分子层由于受到固体壁面的吸附是处于不滑移的状态，其流速应为零，那么通过它的热流量只能依靠导热的方式传递。

yt∞u∞

tw

qwx由傅里叶定律

通过壁面流体层传导的热流量最终是以对流换热的方式传递到流体中

或对流换热过程微分方程式h

取决于流体热导率、温度差和贴壁流体的温度梯度温度梯度或温度场与流速、流态、流动起因、换热面的几何因素、流体物性均有关。速度场和温度场由对流换热微分方程组确定：连续性方程、动量方程、能量方程4-2层流流动换热的微分方程组为便于分析，只限于分析二维对流换热假设：a)流体为不可压缩的牛顿型流体，（即：服从牛顿粘性定律的流体；而油漆、泥浆等不遵守该定律，称非牛顿型流体）b)所有物性参数（、cp、、）为常量4个未知量：速度u、v；温度t；压力p需要4个方程:

连续性方程（1）;动量方程（2）;能量方程（1）1连续性方程流体的连续流动遵循质量守恒规律。从流场中(x,y)处取出边长为dx、dy的微元体，并设定x方向的流体流速为u，而y方向上的流体流速为v

。M

为质量流量[kg/s]单位时间内流入微元体的净质量=微元体内流体质量的变化。

单位时间内、沿x轴方向流入微元体的净质量：单位时间内、沿y轴方向流入微元体的净质量：单位时间内微元体内流体质量的变化:单位时间：流入微元体的净质量=微元体内流体质量的变化连续性方程：对于二维、稳定、常物性流场：2动量微分方程作用力=质量

加速度（F=ma）动量微分方程式描述流体速度场—动量守恒动量微分方程是纳维埃和斯托克斯分别于1827和1845年推导的。Navier-Stokes方程（N-S方程）

牛顿第二运动定律：作用在微元体上各外力的总和等于控制体中流体动量的变化率①控制体中流体动量的变化率从x方向进入元体质量流量在x方向上的动量：从x方向流出元体的质量流量在x方向上的动量从y方向进入元体的质量流量在x方向上的动量为：从y方向流出元体的质量流量在x方向上的动量：x方向上的动量改变量：化简过程中利用了连续性方程和忽略了高阶小量。同理，导出y方向上的动量改变量：②作用于微元体上的外力作用力：体积力、表面力体积力：重力、离心力、电磁力设定单位体积流体的体积力为F，相应在x和y方向上的分量分别为Fx和Fy。在x方向上作用于微元体的体积力：在y方向上作用于微元体的体积力：表面力:作用于微元体表面上的力。通常用作用于单位表面积上的力来表示，称之为应力。包括粘性引起的切向应力和法向应力、压力等。法向应力

中包括了压力p

和法向粘性应力。在物理空间中面矢量和力矢量各自有三个相互独立的分量（方向），因而对应组合可构成应力张量的九个分量。于是应力张量可表示为

式中为应力张量，下标i表示作用面的方向，下标j则表示作用力的方向通常将作用力和作用面方向一致的应力分量称为正应力，而不一致的称为切应力。

对于我们讨论的二维流场应力只剩下四个分量，记为

σx为x方向上的正应力（力与面方向一致）；

σy为y方向上的正应力（力与面方向一致）；

τxy为作用于x表面上的y方向上的切应力；

τyx为作用于y表面上的x方向上的切应力。

作用在x方向上表面力的净值为:作用在y方向上表面力的净值为斯托克斯提出了归纳速度变形率与应力之间的关系的黏性定律

得出作用在微元体上表面力的净值表达式：

x方向上y方向上③动量微分方程式在x方向上y方向上惯性力体积力压力粘性力对于稳态流动：只有重力场时：3能量微分方程能量微分方程式描述流体温度场—能量守恒[导入与导出的净热量]+[热对流传递的净热量]+[内热源发热量]=[总能量的增量]+[对外作膨胀功]Q=

E+WW—体积力(重力)作的功表面力作的功

UK=0、

=0假设：（1）流体的热物性均为常量变形功=0Q内热源=0（2）流体不可压缩（3）一般工程问题流速低（4）无化学反应等内热源（1）压力作的功：

a)变形功；b)推动功（2）表面应力作的功：a)动能；b)Q=

E+W

W—体积力(重力)作的功表面力作的功一般可忽略（1）压力作的功：a)变形功；b)推动功

（2）表面应力（法向+切向）作的功：a)动能；b)

耗散热

假设：（1）流体的热物性均为常量变形功=0Q内热源=0（2）流体不可压缩（3）一般工程问题流速低（4）无化学反应等内热源

UK=0、

=0Q导热+Q对流=

U热力学能+

推动功=H耗散热（

）：由表面粘性应力产生的摩擦力而转变成的热量。对于二维不可压缩常物性流体流场而言，微元体的能量平衡关系式为：

ΔQ1为以传导方式进入元体的净的热流量；ΔQ2为以对流方式进入元体的净的热流量；ΔQ3为元体粘性耗散功率变成的热流量；ΔH为元体的焓随时间的变化率。①以传导方式进入元体的净热流量

dydx单位时间沿x轴方向导入与导出微元体净热量：单位时间沿y轴方向导入与导出微元体净热量：②以对流方式进入元体的净热流量单位时间沿x方向热对流传递到微元体净热量单位时间沿y方向热对流传递到微元体的净热量：③元体粘性耗散功率变成的热流量④单位时间内、微元体内焓的增量：⑤能量微分方程当流体不流动时，流体流速为零，热对流项和黏性耗散项也为零，能量微分方程式便退化为导热微分方程式，

所以，固体中的热传导过程是介质中传热过程的一个特例。流体能量随时间的变化对流项热传导项热耗散项4层流流动对流换热微分方程组（常物性、无内热源、二维、不可压缩牛顿流体）4个方程，4个未知量，可求速度场和温度场再引入换热微分方程(n为壁面的法线方向坐标)，最后可以求出流体与固体壁面之间的对流换热系数，从而解决给定的对流换热问题。

5求解对流换热问题的途径

分析求解。实验研究。数值求解。6对流换热单值性条件单值性条件：能单值反映对流换热过程特点的条件完整数学描述：对流换热微分方程组+单值性条件单值性条件包括：几何、物理、时间、边界①几何条件：说明对流换热过程中的几何形状和大小，平板、圆管；竖直圆管、水平圆管；长度、直径等②物理条件：说明对流换热过程物理特征，如：物性参数

、、c和μ

的数值，是否随温度和压力变化；有无内热源、大小和分布③时间条件：说明在时间上对流换热过程的特点，稳态对流换热过程不需要时间条件—与时间无关④边界条件：说明对流换热过程的边界特点，边界条件可分为二类：第一类、第二类边界条件（1）第一类边界条件：已知任一瞬间对流换热过程边界上的温度值（2）第二类边界条件：已知任一瞬间对流换热过程边界上的热流密度值传热学主讲：王晓墨能源与动力工程学院华中科技大学§4-1

对流换热概述§4-2

层流流动换热的微分方程组§4-3

对流换热过程的相似理论§4-4

边界层理论§4-5

紊流流动换热第四章对流换热原理§4-3对流换热过程的相似理论由于对流换热是复杂的热量交换过程，所涉及的变量参数比较多，常常给分析求解和实验研究带来困难。人们常采用相似原则对换热过程的参数进行归类处理，将物性量，几何量和过程量按物理过程的特征组合成无量纲的数，这些数常称为准则1无量纲形式的对流换热微分方程组首先选取对流换热过程中有关变量的特征值，将所有变量无量纲化，进而导出无量纲形式的对流换热微分方程组。出现在无量纲方程组中的系数项就是我们所需要无量纲数（或称：无因次数），也就是无量纲准则，它们是变量特征值和物性量的某种组合。流场中的任一无量纲变量均可表示为其余无量纲变量和无量纲准则的函数形式。

yu∞t∞PinPout0Lx以流体流过平板的对流换热问题为例来进行换热过程的相似分析。流体平行流过平板的对流换热过程如图所示，来流速度为u∞，来流温度t∞，平板长度L,平板温度tW，流体流过平板的压力降为Δp。如果为二维、稳态、流体物性为常数，且忽略黏性耗散项和体积力项，按图中所示的坐标流场的支配方程为yu∞t∞PinPout0Lxyu∞t∞PinPout0Lx今选取板长L，来流流速u∞，温度差Δt=tw-t∞和压力降Δp=pin-pout为变量的特征值用这些无量纲变量去取代方程组中的相应变量，可得出无量纲变量组成的方程组。

yu∞t∞PinPout0Lx惯性力粘性力热对流热量热传导热量对方程整理，可以得到无量纲化的方程组。

2无量纲准则的表达式和物理意义定义为欧拉数（Euler），它反映了流场压力降与其动压头之间的相对关系，体现了在流动过程中动量损失率的相对大小。称为雷诺数，表征了给定流场的惯性力与其黏性力的对比关系，也就是反映了这两种力的相对大小。利用雷诺数可以判别一个给定流场的稳定性，随着惯性力的增大和黏性力的相对减小，雷诺数就会增大，而大到一定程度流场就会失去稳定，而使流动从层流变为紊流。称为贝克莱准则，记为Pe，它反映了给定流场的热对流能力与其热传导能力的对比关系。它在能量微分方程中的作用相当于雷诺数在动量微分方程中的作用。用贝克莱数除以雷诺数，可得到:称为普朗特（Prandtl）数，它反映了流体的动量扩散能力与其能量扩散能力的对比关系。努塞尔（Nusselt）准则，它反映了给定流场的换热能力与其导热能力的对比关系。这是一个在对流换热计算中必须要加以确定的准则。

斯坦顿（Stanton）数，修正的努塞尔数，流体实际的换热热流密度与可传递之最大热流密度之比。努谢尔特准则与非稳态导热分析中的毕欧数形式上是相似的。但是，Nu中的Lf为流场的特征尺寸，λf为流体的导热系数；流体侧固体侧LsLfλfλsNuBiΘ而Bi中的Ls为固体系统的特征尺寸，λs为固体的导热系数。它们虽然都表示边界上的无量纲温度梯度，但一个在流体侧一个在固体侧。在运用相似理论时，应该注意：只有属于同一类型的物理现象才有相似的可能性，也才能谈相似问题。所谓同类现象，就是指用相同形式和内容的微分方程（控制方程+单值性条件方程）所描述的现象。电场与温度场：微分方程相同；内容不同强制对流换热与自然对流换热：微分方程的形式和内容都有差异外掠平板和外掠圆管：控制方程相同；单值性条件不同判断两个现象是否相似的条件：凡同类现象、单值性条件相似、同名已定特征数相等，那么现象必定相似。据此，如果两个现象彼此相似，它们的同名准则数必然相等。3无量纲方程组的解及换热准则关系式从上式不难看出，在计算几何形状相似的流动换热问题时，如果只是求取其平均的换热性能，就可以归结为确定几个准则之间的某种函数关系，最后得出平均的表面传热系数和总体的换热热流量。由于无量纲准则是由过程量、几何量和物性量组成的，从而使实验研究的变量数目显著减少，这对减少实验工作量和实验数据处理时间是至关重要的。在研究该问题时，通常采用管道的内直径d作为特征尺寸，而用管道内截面上的平均流速um作为特征流速，相应的无量纲准则为:流体在管内流动时的换热问题，如图所示。uΘumum流体平均流速；Θ=(t-tw)/(tf-tw)无量纲温度4特征尺寸，特征流速和定性温度对流动换热微分方程组进行无量纲化时，选定了对应变量的特征值，然后进行无量纲化的工作，这些特征参数是流场的代表性的数值，分别表征了流场的几何特征、流动特征和换热特征。特征尺寸，它反映了流场的几何特征，对于不同的流场特征尺寸的选择是不同的。如，对流体平行流过平板选择沿流动方向上的长度尺寸；管内流体流动选择垂直于流动方向的管内直径；对于流体绕流圆柱体流动选择流动方向上的圆柱体外直径。特征流速，它反映了流体流场的流动特征。不同的流场其流动特征不同，所选择的特征流速是不同的。如，流体流过平板，来流速度被选择为特征尺寸；流体管内流动，管子截面上的平均流速可作为特征流速；流体绕流圆柱体流动，来流速度可选择为特征流速。定性温度，无量纲准则中的物性量是温度的函数，确定物性量数值的温度称为定性温度。对于不同的流场定性温度的选择是不同的。外部流动常选择来流流体温度和固体壁面温度的算术平均值，称为膜温度；内部流动常选择管内流体进出口温度的平均值（算术平均值或对数平均值），当然也有例外。由于对流换热问题的复杂性，实验研究是解决换热问题的主要方法。在工程上大量使用的对流换热准则关系式都是通过实验获得的。我们从无量纲微分方程组推出了一般化的准则关系式。但这是一个原则性的式子，要得到某种类型的对流换热问题在给定范围内的具体的准则关系式，在多数情况下还必须通过实验的办法来确定。5对流换热准则关系式的实验获取方法twqLBt∞u∞图中给出了平板在风洞中进行换热实验的示意图。

为了得出该换热问题的准则关系式，必须测量的物理量有：流体来流速度u∞,来流温度t∞,平板表面温度tw,平板的长度L和宽度B，以及平板的加热量Q（通过测量电加热器的电流I和电压V而得出）。可由得到必须在不同的工况下获得不同的换热系数值。如果认为准则关系式有这样的形式。这是一种先验的处理办法，但是，这给拟合准则关系式带来较大的方便。最小二乘法是常用的线性拟合方法。采用几何作图的方法亦可以求解。

αn=tgαlogNuLogc1

logRe对于几何结构比较复杂的对流换热过程，特征尺寸无法从已知的几何尺度中选取，通常的做法是采用当量尺寸。如异型管槽内的流动换热，其当量直径定义为Pf式中f为流体流通面积；P为流体的润湿周边。§4-4边界层（Boundarylayer）理论边界层的概念是1904年德国科学家普朗特提出的。1边界层定义①速度边界层(a)

定义Ridinginafastcar,you'reawareofairflowingfastoverthesolidmetalbody

流体流过固体壁面时，由于壁面层流体分子的不滑移特性，在流体黏性力的作用下，近壁流体流速在垂直于壁面的方向上会从壁面处的零速度逐步变化到来流速度。垂直于壁面的方向上流体流速发生显著变化的流体薄层定义为速度边界层。

普朗特通过观察发现，对于低黏度的流体，如水和空气等，在以较大的流速流过固体壁面时，在壁面上流体速度发生显著变化的流体层是非常薄的。流体流过固体壁面的流场就人为地分成两个不同的区域。twt∞u

δt

δ0x其一是边界层流动区，这里流体的黏性力与流体的惯性力共同作用，引起流体速度发生显著变化；其二是势流区，这里流体黏性力的作用非常微弱，可视为无黏性的理想流体流动，也就是势流流动。(b)边界层的厚度当速度变化达到时的空间位置为速度边界层的外边缘，那么从这一点到壁面的距离就是边界层的厚度

小：空气外掠平板，u

=10m/s：②热（温度）边界层(a)

定义当流体流过平板而平板的温度tw与来流流体的温度t∞不相等时，在壁面上方也能形成温度发生显著变化的薄层，常称为热边界层。

Tw(b)热边界层厚度

当壁面与流体之间的温差达到壁面与来流流体之间的温差的0.99倍时，即，此位置就是边界层的外边缘，而该点到壁面之间的距离则是热边界层的厚度,记为层流：温度呈抛物线分布湍流：温度呈幂函数分布湍流边界层贴壁处温度梯度明显大湍流换热比层流换热强！2边界层微分方程组引入边界层概念可使换热微分方程组得以简化数量级分析orderofmagnitude：比较方程中各量或各项的量级的相对大小；保留量级较大的量或项；舍去那些量级小的项，方程大大简化无量纲形式的微分方程组对于流体平行流过平板形成的边界层流动换热问题也是同样适用的。

5个基本量的数量级：主流速度：温度：壁面特征长度：边界层厚度：x与L相当，即：0(1)、0(

)表示数量级为1和

，1>>

。“~”—相当于u沿边界层厚度由0到u

:主流方向上的无量纲速度的数量级为1由连续性方程:可以得出v’的数量级为δx方向上的动量方程变为：

这就使得动量方程和能量方程变成了抛物型的非线性微分方程；微分方程组经过在边界层中简化后，由于动量方程和能量方程分别略去了主流方向上的动量扩散项和热量扩散项，从而构成上游影响下游而下游不影响上游的物理特征。由于动量方程由两个变成为一个，而且项可在边界层的外边缘上利用伯努利方程求解，于是方程组在给定的边值条件下可以进行分析求解，所得结果为边界层的精确解。对于外掠平板的层流流动，主流场速度是均速u∞

，温度是均温t∞

；并假定平板为恒温tw。注意：层流

比较边界层无量纲的动量方程和能量方程：在忽略动量方程压力项后，温度边界层的厚度与速度边界层的厚度的相对大小则取决于普朗特数的大小。当Pr=1时，动量方程与能量方程完全相同。即速度分布的解与温度分布完全相同，此时速度边界层厚度等于温度边界层厚度。当Pr>1时，Pr=υ/a，υ>a，粘性扩散>热量扩散，速度边界层厚度>温度边界层厚度。当Pr<1时，Pr=υ/a，υ<a，粘性扩散<热量扩散，速度边界层厚度<温度边界层厚度。也可从公式得出T∞u∞T∞x0δδtu∞x0δδt(a)Pr<1(b)Pr>13边界层积分方程组及其求解①边界层积分方程组1921年，冯·卡门提出了边界层动量积分方程。1936年，克鲁齐林求解了边界层能量积分方程。所得的结果称为边界层问题的近似解。边界层积分方程一般可由两种方法获得：其一是将动量守恒定律和能量守恒定律应用于控制体；其二是对边界层微分方程直接进行积分。(a)边界层质量积分方程边界层质量积分方程是把质量守恒定律应用于一个控制容积导出的。取常物性、不可压缩流体的二维稳态强制对流为对象作分析。abcd在流体中划出控制容积，包括dx一段边界层，而z方向为单位长度。控制容积左侧面为ab右侧面为cd，顶面为bd，底面为壁面的ac部分，即取ac为dx。ConservationofMassabcdabcd(b)

边界层动量积分方程边界层动量积分方程是把动量定律应用于一个控制容积导出的。取常物性、不可压缩流体的二维稳态强制对流为对象作分析。abcdabcd由于在边界层内y方向上的流速很小，因此推导中只考虑x方向上的动量变化，不引入流速v。图中给出了速度的分布曲线。在距壁面y处流速为u，在y≥δ处u=u∞。先计算单位时间内出入控制容积的动量之差。为此计算以下各项：（1）穿过控制面ab进入控制容积的动量为而同时穿过cd面流出的动量为净流出的动量为abcd（2）没有流体穿过固体表面ac。但有流体质点穿过bd面。根据质量守恒，穿过bd面流入控制容积的质量流量等于流出cd面与流入ab面的质量流量之差：abcd相应带入控制体的动量（略去u∞沿x变化引入的高阶导数项）为根据动量定律，在x方向上的动量变化必须等于x方向上作用在控制体表面上外力的代数和。abcd作用在控制体表面上x方向上的外力，有作用于ac面上的切应力τwdx以及ab和cd两面压力之差abcdabcd于是动量定律可表达为由于存在以下关系：abcd于是式(c)可改写成为重新组合可得由伯努利方程知代入(e)式得abcd根据边界层理论，在边界层外的主流区u∞-u=0。改写上式积分上限得这就是卡门在1921年导出的边界层动量积分方程。由积分方程求出的分析解称为近似解，以区别于微分方程的精确解.(c)

边界层能量积分方程把能量守恒定律应用于控制容积可推导出边界层能量积分方程。x方向上为dx，y方向上大于流动边界层即热边界层厚度，而z方向上为单位长度的一个控制容积如图所示。abcd在常物性、流速不致引起耗散热的条件下，考察控制容积的能量守恒。在边界层数量级分析中已经得出结论abcd结论：推导中仅考虑y方向上的导热（1）单位时间内穿过ab面进入控制容积的热量为单位时间内穿过cd面带出控制容积的热量为（2）单位时间内穿过bd面进入控制容积的质量流量为由它带入控制容积的热量为abcd（3）穿过ac面，因贴壁流体层导热带出控制容积的热量为在稳态条件下，根据能量守恒进入与带出控制容积的热量相等，于是可得整理后得abcd因为在热边界层以外t∞-t=0，上式积分上限可改为δt，得(d)

边界层积分方程组求解示例作为边界层积分方程组求解的示例，仍以稳态常物性流体强制掠过平板层流时的换热作为讨论对象。壁面具有定壁温的边界条件。在常物性条件下。动量积分方程不受温度场的影响，可先单独求解，解出层流边界层厚度及摩擦系数，然后求解能量积分方程，解出热边界层厚度及换热系数。求解流动边界层厚度及摩擦系数在本问题中，u∞为常数，动量积分方程式（1）左边的第二项为0。再引入，式（1）为为求解上式，还需补充边界层速度分布函数u=f(y)。选用以下有4个任意常数的多项式作为速度分布的表达式:式中，4个待定常数由边界条件及边界层特性的推论确定，即由此求得4个待定常数为于是速度分布表达式为积分得分离变量，注意到x=0时δ=0，得无量纲表达式为其中Rex=u∞x/υ,其特性尺度为离平板前缘的距离x。在x处的壁面局部切应力要使边界层的厚度远小于流动方向上的尺度（即），也就是所说的边界层是一个薄层，这就要求雷诺数必须足够的大

因此，对于流体流过平板，满足边界层假设的条件就是雷诺数足够大。由此也就知道，当速度很小、黏性很大时或在平板的前沿，边界层是难以满足薄层性条件。随着x的增大，δ（x）也逐步增大，同时黏性力对流场的控制作用也逐步减弱，从而使边界层内的流动变得紊乱。把边界层从层流过渡到紊流的x值称为临界值，记为xc，其所对应的雷诺数称为临界雷诺数，即流体平行流过平板的临界雷诺数大约是

求解热边界层厚度及换热系数

先求解热边界层厚度。为从式（2）求解热边界层厚度，除u=f(y)已由式（4）确定外，还需要补充热边界层内的温度分布函数t=f(y)。对此，亦选用带4个常数的多项式：式中，4个待定常数由边界条件及热边界层特性的推论确定，即y=0时t=tw且y=δ时t=t∞且由此求得4个待定常数为g=0若用以tw为基准点的过余温度θ=t-tw来表达，则温度分布表达式为abcde=tw能量积分方程式（2）用过余温度表示为进一步求解中，令热边界层厚度与流动边界层厚度之比δt/δ=ζ，并假定ζ<1。这个假定对Pr>1的流体显然是适用的。最后得到：在同一位置上热边界层厚度与速度边界层厚度的相对大小与流体的普朗特数Pr有关，也就是与流体的热扩散特性和动量扩散特性的相对大小有关。由此式可以看出，热边界层是否满足薄层性的条件，除了Re×足够大之外还取决于普朗特数的大小，当普朗特数非常小时（Pr<<1）,热边界层相对于速度边界层就很厚，反之则很薄。热边界层也会因为速度边界层从层流转变为紊流而出现紊流热传递状态下的热边界层。按照普朗特的假设，在紊流状态下速度边界层与热边界层具有相同的数量级，即其次求解局部换热系数hx

其无量纲表达形式为：最后求解平均换热系数h

计算物性参数用的定性温度为边界层平均温度

例题5-1温度为30℃的空气以的速度平行掠过长250mm、温度为50℃的平板，试求出平板末端流动边界层和热边界层的厚度及空气与单位宽度平板的换热量。解：边界层的平均温度为空气40℃的物性参数分别为-6m22W/m.k,Pr=0.699,在离平板前沿250mm处，雷诺数为边界层为层流。流动边界层的厚度为热边界层的厚度为可见，空气的热边界层比流动边界层略厚。整个平板的平均表面传热系数1m宽平板与空气的换热量为对一固定x，将能量方程从y=0到y=

积分得：补充：积分方程的推导采用对微分方程积分得到积分方程能量方程为：由分部积分：（b）将v转化为u，利用式中的扩散项为：代入(b)式得：上式左边可进一步简化为：最后能量积分方程为：第五章对流换热计算§5-1管(槽)内流体受迫对流换热计算§5-2

流体外掠物体的对流换热计算§5-3

自然对流换热计算§5-4液体沸腾换热计算§5-5

蒸汽凝结换热计算§5-1管(槽)内流体受迫对流换热计算1管(槽)内流动换热的特点流体在管内流动属于内部流动过程，其主要特征是，流动存在着两个明显的流动区段，即流动进口（或发展）区段和流动充分发展区段

进口区：流动和热边界层从零开始增长，直到汇合至管子中心线。管子进口到边界层汇合处的这段管长内的流动称为管内流动进口区充分发展区：边界层汇合于管子中心线以后的区域，即进入定型流动的区域。如果边界层在管中心处汇合时流体流动仍然保持层流，那么进入充分发展区后也就继续保持层流流动状态，从而构成流体管内层流流动过程。入口段热边界层较薄，局部表面传热系数比充分发展段高，且沿主流方向逐渐降低。如果边界层在管中心处汇合时流体已经从层流流动完全转变为紊流流动，那么进入充分发展区后就会维持紊流流动状态，从而构成流体管内紊流流动过程。如果出现湍流，湍流的扰动与混合作用又会使表面传热系数有所提高，再逐渐趋向一个定值。当流体温度和管壁温度不同时，在管子的进口区域同时也有热边界层在发展，随着流体向管内深入，热边界层最后也会在管中心汇合，从而进入热充分发展的流动换热区域，在热边界层汇合之前也就必然存在热进口区段。随着流动从层流变为紊流，热边界层亦有层流和紊流热边界层之分。

流动进口段热进口段长度：2管内强制对流换热的准则关系式①管内紊流换热准则关系式

当管内流动的雷诺数Re≥104时，管内流体处于旺盛的紊流状态。此时的换热计算可采用迪图斯-贝尔特（Dittus-Boelter）准则关系式特征尺寸为d，特征流速为um，流体物性量采用的定性温度是为流体的平均温度；流体被加热n=0.4,流体被冷却n=0.3。使用范围：Ref=104

1.2×105,Prf=0.7

120,l/d

60；温差tw-tf较小，所谓小温差是指对于气体≤50℃；对于水≤20~30℃，对于油类流体≤10℃。当流体与管壁之间的温差较大时，因管截面上流体温度变化比较大，流体的物性受温度的影响会发生改变，尤其是流体黏性随温度的变化导致管截面上流体速度的分布也发生改变，进而影响流体与管壁之间的热量传递和交换。液体被加热或气体被冷却液体被冷却或气体被加热恒定温度的情况管内流动温度对速度分布的影响示意图大温差情况下计算换热时准则式右边要乘以物性修正项。对于液体乘以液体被加热n=，液体被冷却n=0.25(物性量的下标表示取值的定性温度)对于气体则乘以:气体被加热n=，气体被冷却n=（此处温度用大写字符是表示取绝对温标下的数值）。弯曲管道流动情况示意图弯曲的管道中流动的流体，在弯曲处由于离心力的作用会形成垂直于流动方向的二次流动，从而加强流体的扰动，带来换热的增强。在平直管计算结果的基础上乘以一个大于1的修正系数CR。流体为气体时：CR＝1+1.77(d/R)流体为液体时：CR＝1+10.3(d/R)3R为弯曲管的曲率半径当管子的长径比l/d<60时，属于短管内流动换热，进口段的影响不能忽视。此时亦应在按照长管计算出结果的基础上乘以相应的修正系数Cl。图5-5显示了不同的入口条件对入口段局部表面传热系数的影响②管内层流换热准则关系式

适用范围：Re<2200，，RePrd/L>10,用于平直管。特征尺寸、特征流速和定性温度与管内紊流换热准则关系式相同。当雷诺数Re<2200时管内流动处于层流状态，由于层流时流体的进口段比较长，因而管长的影响通常直接从计算公式中体现出来。这里给出Sieder-Tate的准则关系式：③管内过渡流区换热准则关系式当雷诺数处于Re<2200<104的范围内时，管内流动属于层流到紊流的过渡流动状态，流动十分不稳定。工程上常常避免采用管内过渡流动区段。气体:

液体:例1

空气以2m/s的速度在内径为10mm的管内流动，入口处空气的温度为20℃，管壁温度为120℃，试确定将空气加热至60℃所需管子的长度。[解]定性温度为tf

=(20+60)/2=40℃，查出空气的物性参数为：

=1.128kg/m3，Cp=1.005kJ/kg

℃，

10-2W/m

℃，

f

10-6kg/m

s，。而当tw

=120℃时，查得

w

10-6kg/m

s。雷诺数

103<2200，为层流。假设L

0.825m，则RePrd/L>10由能量平衡有:代入数据得hL=2.83比较上述两步得到的结果，有-1/3L=2.83，最后解得L=0.148m。由于L<0.825m，前述假设是正确的。得-1/3。§5-2流体外掠物体的对流换热计算1流体平行流过平板时的换热计算层流流动紊流流动0xcqwx流体流过平板换热示意图边界层层流流动换热可以通过边界层微分方程组的求解获得相应的准则关系式而紊流问题也可以通过求解边界层积分方程而得出相应的准则关系式。当雷诺数时，流动边界层为层流流动，其换热计算的准则关系式如下：局部换热系数计算式平均换热系数计算式当雷诺数时，流动边界层流动变为紊流流动，如果将整个平板都视为紊流状态，其换热计算的准则关系式如下：局部换热系数计算式平均换热系数计算式实际上流体流过平板时都是逐步从层流过渡到紊流的，因而计算整个平板的换热时，必须将前面一段按照层流计算，而后面一段按照紊流计算。于是综合计算关系式应为，以上准则关系式中的无量纲准则的特征尺寸为x，表示平板前沿的x=0到平板x处的距离，如果计算整个平板的换热，则特征尺寸x=L；特征流速为u∞；而定性温度为膜温度例题温度20℃的空气，以10m/s的速度流过平板，分别确定从平板前缘算起，进入过渡区（Re1=2

105）和进入紊流区（Re2=5

105）的距离。[解]查出20℃时空气的运动粘度为

10-6m2/s假设进入过渡区的距离为L1，由雷诺数Re1=uL1/

=2

105,计算出L1；假设进入紊流区的距离为L2,由雷诺数Re2=uL2/

=5

105,计算出L2。2流体横向掠过圆柱体(单管)时的换热计算分离流动速度分布边界层速度分布u∞t∞流体绕流圆柱体按照势流理论，流体在圆柱体的前部流速会逐步增大而压力会逐步减小；流体在圆柱体的后部流速会逐步减小而压力会逐步增大。但是，因流体的黏性力的作用，在圆柱体的前部会形成流动边界层，速度会从势流流速逐步改变到壁面上的零速度，这种速度改变以消耗流体动量为代价的，这一过程特征会保持到势流流速达到最大值。在其后的增压减速过程，流中由压力转变来的动量会逐步地再转变为流场的压力，此时近壁流体不但会因动量的耗散而没有足够的动量转化为压力，而且和会在逆向压力的作用下产生逆向流动，从而导致流体在边界层发生分离。分离流动速度分布边界层速度分布u∞t∞流体绕流圆柱体流体外掠一切非流线型物体时，都会发生边界层分离。实际上，由于边界层的发展，势流区的外形已经不是圆形，因而使流动的增压减速过程提前，也就使流动分离位置提前。如果流体在分离之前流动边界层已经从层流发展到紊流，由于紊流边界层中紊流动量交换的加强，从而使边界层流动的分离向后推移。绕流圆柱的流动当Re<10时流动不会发生分离现象；当10≤Re≤105时流动分离点在80º≤φ≤85º之间；而当Re>105时流动分离点在φ=140º处。雷诺数为，式中，u∞为来流速度，d为圆柱体外直径。在圆柱体的前端φ=0º处换热系数h最大，而在分离点φ=82º处换热系数h最小；如果在边界层从层流变为紊流，那么转变点φ=140º处有一个换热系数h的最低点，紊流边界层的分离点是另一个换热系数h的最低点计算流体绕流圆柱体的平均换热系数的准则关系式:准则的特征流速为流体最小截面处的最大流速umax；特征尺寸为圆柱体外直径d；定性温度除Prw按壁面温tw取值之外皆用流体的平均温度tf

；是在选用tf为定性温度时考虑热流方向不同对换热性能产生影响的一个修正系数。如