2024年高考数学：填空题中之分类讨论思想(教师版)

高考复习材料

填空题中之分类讨论思想

.【中考考向导航】

目录

【直击中考】...................................................................................1

【考向一与等腰三角形有关的分类讨论问题】................................................1

【考向二与直角三角形有关的分类讨论问题】................................................7

【考向三与矩形有关的分类讨论问题】......................................................10

【考向四与菱形有关的分类讨论问题】......................................................18

【考向五与正方形有关的分类讨论问题】...................................................23

【考向六与圆的分类讨论问题】............................................................28

【考向七与相似有关的分类讨论问题】.....................................................33

尸门

.离【直击中考】

【考向一与等腰三角形有关的分类讨论问题】

例题：（2022・四川广安•统考中考真题）若（…）2+后有=0,则以。、b为边长的等腰三角形的周长为

【答案】11或13##13或11

【分析】根据平方的非负性，算术平方根的非负性求得。涉的值，进而根据等腰三角形的定义，分类讨论,

根据构成三角形的条件取舍即可求解.

【详解】解：（a-3）2+Jb-5=0,

二a=3,6=5,

当°=3为腰时，周长为：2a+6=6+5=ll,

当b=5为腰时，三角形的周长为。+26=3+10=13,

故答案为：11或13.

【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，掌握以上知识是解题的关键.

【变式训练】

1.（2022•辽宁朝阳•统考中考真题）等边三角形N2C中，。是边2C上的一点，BD=2CD,以4D为边作等

边三角形4DK,连接CE.若CE=2,则等边三角形4BC的边长为.

【答案】3或鼠叵.

13

【分析】分两种情况，先证明=再根据全等三角形的性质即可得出答案.

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【详解】解：如图，E点在4。的右边,

・••\ADE与\ABC都是等边三角形，

:.AC=AB,AE=AD,ZDAE=ABAC=60°,

ZDAE-/CAD=ABAC-/CAD,

即/CAE=/BAD.

在\CAE和\BAD中，

AC=AB

<ZCAE=ABAD,

AE=AD

ACAE=/^BAD(SAS),

:.CE=BD=2,

QBD=2CD,

.-.CD=1,

BC=BD+CD=2+1=3,

二•等边三角形/3C的边长为3,

如图，£点在/。的左边，

同上，MAE=ACAD(SAS),

:.BE=CD,ZABE=ZACD=60°,

/EBD=120。,

过点E作所交C5的延长线于点/，则NEM=60。,

:.EF=—BE=—CD,BF=gBE；CD,

2222

7

:.CF=BF+BD+CD=-CD,

2

在RtAEFC中，CE=2,

:.EF2+CF2=CE2=4,

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V3,7,

•••(^CZ))2+(-CZ))2=4,

誓或3-噜

（舍去）,

.•.等边三角形ABC的边长为巫,

13

故答案为：3或处.

13

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质，证明AC/EMAB/。是解题的

关键.

2.（2022•内蒙古通辽•统考中考真题）在RtV4BC中，ZC=90°,有一个锐角为60。，4B=6,若点P在直

线月8上（不与点A,B重合），且/PC3=30。，则/P的长为.

【答案】■或9或3

【分析】分乙43c=60、々5C=30。两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可.

【详解】解：当乙48C=60。时，贝i]N8/C=30。，

,-.BC=-AB=3,

2

•••AC=>JAB2-BC2=373，

当点P在线段48上时，如图,

；NPCB=30°,

；ZBPC=9O°,BPPCLAB,

■■AP=AC-cosABAC=3y/3x-=--,

22

当点P在42的延长线上时，

•••ZPCB=30°,^BC=^PCB+/.CPB,

.■.zCPS=30°,

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:.乙CPB=LPCB,

:.PB=BC=3,

；/P=AB+PB=9；

当乙48c=30。时，则AB/C=60。，如图,

2

ZPCB=30°,

：.^APC=60°,

“CP=60°,

；PC=APAC=AACP,

.•・△/PC为等边三角形，

：.PA=AC=3.

9

综上所述，/尸的长为5或9或3.

故答案为：，或9或3

【点睛】本题是解直角三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形，等边三角形的

判定和性质等，分类求解是本题解题的关键.

3.（2022・浙江绍兴•统考中考真题）如图，在V4BC中，Z.ABC=40°,ZBAC=80°,以点A为圆心，AC

长为半径作弧，交射线诩于点。，连接C。，则48。的度数是.

【分析】分两种情况画图，由作图可知得/C=4D,根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即

可.

【详解】解：如图，点。即为所求;

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ZACB=l80°-40°-80°=60°,

由作图可知：AC=AD,

ZACD=ZADC=1(180°-80°)=50°,

NBCD=ZACB-NACD=60°-50°=10°；

由作图可知：AC=AD',

NACD'=ZAD'C,

AACD'+ZAD'C=ABAC=80°,

ZAD'C=40°,

ZBCZX=180°-NABC-ZAD'C=180°-40°-40°=100°.

综上所述：/BCD的度数是10。或100。.

故答案为：10°或100°.

【点睛】本题考查了作图-复杂作图，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握基

本作图方法.

4.(2022•青海西宁・统考中考真题)矩形48CD中，45=8,40=7,点E在48边上，AE=5.若点P

是矩形NBCD边上一点，且与点4£构成以NE为腰的等腰三角形，则等腰三角形NEP的底边长是

【答案】5也或4右

【分析】分情况讨论：①当NP=/E=5,点尸在边上时，由勾股定理可求得底边尸£的长；②当

尸£=/£=5,点尸在边3c上时，求出由勾股定理求出P8,再由勾股定理求出底边4P即可.

【详解】解：•.•矩形/BCD

•,•乙4二48=90°,

分两种情况：

当4P=AE=5,点P在边上时，如图所示：

B

・"40=90°,

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■■PE=yjAP2+AE2=A/52+52=572:

当PE=AE=5,点P在边8C上时，如图所示:

•；BE=AB-AE=8-5=3,N8=90°,

■■PB=^PE2-BE2=552-32=4,

二底边4P=yjAB~+PB2=782+42=475；

综上，等腰三角形/EP的底边长是5亚或4右

【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定，进行分类讨论是

解决问题的关键.

12

5.2022•江西・统考中考真题）已知点A在反比例函数y=—（x>0）的图象上，点2在x轴正半轴上,若V04B

【答案】5或2遍或加

【分析】因为等腰三角形的腰不确定，所以分三种情况分别计算即可.

【详解】解：①当/。=48时，48=5；

②当时，AB=5；

③当。1=02时，则。2=5,B（5,0）,

12

设4（。，一）（。>0）,

a

,•,CM=5,

解得：％=3,4=4,

・•/(3,4)或(4,3),

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■■AB=^（3-5）2+42=2右或AB=^（4-5）2+32=回;

综上所述，的长为5或2百或.

故答案为：5或2行或

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，考查分类讨论的思想，当时,

求出点的坐标是解题的关键.

【考向二与直角三角形有关的分类讨论问题】

例题：（2022•黑龙江哈尔滨•统考中考真题）在V48C中，4D为边8c上的高，AABC=30°,NCAD=20。,

则ZBAC是度.

【答案】40或80##80或40

【分析】根据题意，由于V/BC类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三角

形外部讨论求解.

【详解】解：根据题意，分三种情况讨论：

①高在三角形内部，如图所示：

•••在AABD中，4D为边8C上的高，AABC=30°,

ABAD=90°-AABC=90°-30°=60°,

•­•ACAD=20°,

ABAC=ABAD+ACAD=60°+20°=80°；

②高在三角形边上，如图所示：

C（。）

可知ACAD=0°,

­.•ZCAD=20°,

故此种情况不存在，舍弃；

③高在三角形外部，如图所示:

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•••在AA8D中，4D为边2C上的高，ZABC=30°,

ABAD=90°-AABC=90°-30°=60°,

•­•ACAD=20°,

ABAC=ABAD-/CAD=60°-20°=40°；

综上所述：N8/C=80。或40。，

故答案为：40或80.

【点睛】本题考查求角度问题，在没有图形的情况下，必须考虑清楚各种不同的情况，根据题意分情况讨

论是解决问题的关键.

【变式训练】

1.（2022•辽宁抚顺•统考中考真题）如图，在RtV/8c中，乙4。8=90。,/8=60。,8c=2,点尸为斜边4g

上的一个动点（点尸不与点43重合），过点尸作垂足分别为点。和点E,连接。E,PC

交于点。，连接工。，当△/尸。为直角三角形时，4P的长是

【答案】3或

【分析】根据题意，由△/尸。为直角三角形，可进行分类讨论：①当乙4尸。=90。；②当440P=90。两种

情况进行分析，然后进行计算，即可得到答案.

【详解】解：根据题意，

•.•在RtV/BC中，NACB=90°,NB=60°,BC=2,

ABAC=30°,

AB=2BC=2x2=4,

AC=A/42-22=2c，

・・•当△/尸。为直角三角形时，可分情况进行讨论

①当N/PQ=90。时，如图：

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贝1]APLCP,

•••2百x2=4CP,

•••CP=V3;

在直角A4CP中，由勾股定理，则

/尸=’（2拘2T扬2=3；

②当乙4。尸=90。时，如图

■；PDLAC,PELBC,NACB=90°,

二四边形CDPE是矩形，

■■CQ=PQ,

"AQVCP,

・•.△ACP是等腰三角形，即AP=AC=2也

综合上述，/尸的长是3或26；

故答案为：3或26；

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，30度直角三角形的性质等

知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，运用分类讨论的思想进行解题.

2.（2022•河南•统考中考真题）如图，在放入42。中，乙4c2=90。，/C=BC=2近，点。为的中点，

点尸在/C上，且CP=1,将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点0,连接/。，DQ.当乙4。0=

90°时，的长为.

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【答案】据或汨##而或逐

【分析】连接C。，根据题意可得，当乙400=90。时，分。点在线段CD上和。C的延长线上，且

CQ=CP=1,勾股定理求得工。即可.

【详解】如图，连接。，

•••在必AABC中，乙4c2=90。，AC=BC=2也，

AB=4,CDVAD,

:.CD=-AB^2,

2

根据题意可得，当乙4。。=90。时，。点在C。上，且CQ=CP=1,

DQ=CD-CQ=2-1=1,

如图，在RtZ\/D0中，AQ=^AD2+DQ2=VF+F=V5.

在RtZ\/。。中，AD=CD=2,QD=CD+CQ=3

AQ=S]AD2+DQ2=V22+32=V13

故答案为：病或而.

【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，确定点0的位置是解题的关

键.

【考向三与矩形有关的分类讨论问题】

例题：（2022•辽宁锦州•中考真题）如图，四边形/BCD为矩形，AB=啦,AD=3,点、E为边BCk一点、,

将△DCE沿。£翻折，点C的对应点为点尸，过点尸作。E的平行线交4D于点G,交直线于点若

点G是边AD的三等分点，则FG的长是.

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【答案】心或逅

33

【分析】过点E作用以_LG/7于点”，根据题意可得四边形"即G是平行四边形，证明=等面积

法求得ME,勾股定理求得可得用'的长，进而即可求解.

【详解】①如图，过点E作〃于点

•/DE//GH,AD//BC

四边形HEQG是平行四边形

：.HE=GD=-AD=1

3

••・折叠

ZFED=ZCED

•・•/MED=90°

即ZEE"+/FED=90。

:.ZCED+ZHEM=90°

AHEM=/FEM

•・・ZEMF=AEMH=90。,ME1=ME

.,MHEM^IFEM

:.HM=MF,EF=HE=\

EF=EC=}

四边形/BCD是矩形

:.ZC=90°,DC=AB=42

RtVEDC中，DE=^DC2+EC2=J(0了+F=百

GH=DE=43

■：MEVHG,HG//DE

xx

SVvUni„L„r——2MEDE=SV.D,n匕CFr=2—DCEC

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_V2xl_V6

DE

RMffiWE中，HM=yjHE2-ME2=

:.FG=HG-HF=HG-2.HM=432届立

33

同理可得〃£1=6£>=40-/6=3-1=2,

EC=EF=HE=2,

DE=

:.ME=DCxECV2X2273

DE3

276

RMffiWE中，HMHE1-ME2

3

:.FG=HF-HG=2HM-HG=^--y[6=—

33

故答案为：立或返

33

【点睛】本题考查了勾股定理，折叠，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，掌握以上知识，注意分类

讨论是解题的关键.

【变式训练】

1.（2022•辽宁盘锦•中考真题）如图，四边形/BCD为矩形，AB=3,AD=4,AC,AD为矩形的对角线，E

是/。边的中点，点尸是cr＞上一点，连接ER将△。跖沿斯折叠，当点G落在矩形对角线上时，则折

痕EF的长是

BC

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【答案】:或:

23

【分析】分两种情况，分别画出图形：当G在/C上时，连接。G交所于证明ZJGO=90。，从而

EFWAC,得是ZUDC的中位线，可得£/=2；当G在AD上，设BD交EF于N,证明入12。5八0环,

2

「•，门5310

可行=—，EF=—.

EF23

【详解】解：当G在4C上时，连接。G交跖于如图甲所示：

"是AD中点，

；.AE=DE,

•・•将△。跖沿斯折叠，

：.DE=GE,乙DME=^GME=90°,

：,AE=DE=GE,

・・/EAG=^EGA,乙EDG=^EGD,

•:乙EAG+乙EGA+乙EDG+乙EGD=180°,

••・24£G/+2"GD=180。，

；/EGA+AEGD=90°,即^4GD=90°,

-­-Z.AGD=Z-DME,

^EFUC,

•••K是ND中点，

；.£尸是—DC的中位线，

••.EF/AC,

■■AC=YJAB2+BC2=^AB2+AD2=,3?+4?=5,

5

：・EF=-；

当G在5。上，设BD交EF于N,如图乙所示：

•・•将△。斯沿斯折叠，

：/DNF=90°,

：/DFN=90°-乙FDN=UDB,

•・ZEDF=90°=UAD,

•,&BDMDEF,

BDAB

.•百一法’

•：BD=AC=5,DE=3AD=2,

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5_3

-EF~2

综上所述，折痕£尸的长是g或

故答案为：g或

图甲图乙

【点睛】本题考查矩形中的翻折问题，涉及相似三角形的判定与性质，三角形的中位线等知识，解题的关

键是掌握翻折的性质.

2.(2022•黑龙江绥化•统考中考真题)在长为2,宽为x(l<x<2)的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个

以矩形纸片宽为边长的正方形(第一次操作)；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形(第

二次操作)；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x的值为.

【答案】j或/

【分析】分析题意，根据尤的取值范围不同，对剩下矩形的长宽进行讨论，求出满足题意的x值即可.

【详解】解：第一次操作后剩下的矩形两边长为2-x和x,

x-(2-x)——2,

又Ql<x<2,

2.x—2>0,

/.x>2-x,

则第一次操作后，剩下矩形的宽为2-x,

所以可得第二次操作后，剩下矩形一边为2-x,

另一边为：x-(2-x)=2x-2,

•••第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，

・•・第二次操作后剩下矩形的长是宽的2倍，

分以下两种情况进行讨论：

①当2-x>2x-2,即时，

第三次操作后剩下的矩形的宽为2x-2,长是2-x,

则由题意可知：2-x=2(2x-2),

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解得：尤=1;

②当2-x<2x-2,即x>g时，

第三次操作后剩下的矩形的宽为2-x,长是2x-2

由题意得：2x-2=2(2-x),

3

解得：x=；

:.x=-或者x=3.

52

故答案为：1或3.

【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质以及分类讨论的数学思想方法，熟练掌握矩形，正方形性

质以及分类讨论的方法是解题的关键.

3.(2022•辽宁沈阳•统考中考真题)如图，将矩形纸片N8CD折叠，折痕为点M,N分别在边4D,

BC上，点C,D的对应点分别在£,尸且点尸在矩形内部，儿机的延长线交与点G,EF交边BC于点、

H.EN=2,48=4,当点〃为GN三等分点时，的长为.

【答案】2拒-4或4

【分析】由折叠得，LDMN=LGMN,EF=CD==4,CN=EN=2,乙EFM=KD=90°,证明AGHE:AWE得

竺野W，再分两种情况讨论求解即可.

GHHFGF

【详解】解：•••四边形/BCD是矩形,

:・AD//BC,CD=AB=4,zD=zC=90°,

:•(DMN=(GNM,

由折叠得，Z-DMN=Z.GMNfEF=CD==4,CN=EN=2,Z^EFM=力=90°,

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••.(GMN=〃3NM,(GFH=(NEH,

:・GM=GN,

又(GHE二(NHE,

/.\GHE\AATffi,

NHHENE

~GH~HF~~GF

•・•点"是GN的三等分点，则有两种情况:

G»NH1._HENE1

①若7^7=7时n，则mrl有：H=k=7

7GH2rHFGF2

iA28

:,EH=-EF=—,FH=—EF=—,GF=2NE=4,

3333

由勾股定理得，NH=EH2+NF2=+22=|V13,

.■.GH=2NH=-y/u

3

:.GM=GN=GH+NH=2屈,

：.MD=MF=GM-GF=2^/13-4；

②若NH=2时，则有：落=容=2

GHrlr（jr

■-EH=—EF=-,FH=—EF=—,GF二NE=\,

33332

10

由勾股定理得,NH=y/EH2+NF2

T

15

：.GH=-NH=-

：.GM=GN=GH+NH=5；

.-.MD=MF=GM-GF=5-1=4

综上，的值为2g-4或4.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性

质等知识，进行分类讨论是解答本题的关键.

4.（2022,黑龙江•统考中考真题）在矩形/BCD中，AB=9,4D=12,点E在边CD上，且CE=4,点P

是直线8c上的一个动点.若V/PE是直角三角形，则的长为.

【答案】曰31或15,或6

【分析】分三种情况讨论：当乙4P£=90。时，当乙4£P=90。时，当乙以£=90。时，过点P作尸尸1。/交ZX4延长

线于点尸，即可求解.

【详解】解：在矩形A8CZ）中，AB=CD=9,AD=BC=12,乙BAD=KB=KBCD=UDC=90°,

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:•乙4PBMcPE=90°,

•・ZBAP+UPB=9O°,

:,(BAP=(CPE,

vz5=zC=90°,

：&BPFPCE,

ABBP9BP

-------,即nn-------=---

PCCEn-BP4

解得：BP=6；

如图，当乙4£P=90。时，

,2DAE+UED=90°,

：・3AE=4EC,

vzC=z£>=90°,

••,MDEFECP,

ADDE口口129-4

•••——=——,即一=----,

CEPC4PC

解得：PC=1,

31

;.BP=BC—PC=——；

3

如图，当乙山E=90。时，过点尸作小交04延长线于点R

木艮据题意得乙£4/二乙489二乙F=90°,

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・•・四边形48。方为矩形，

；.PF=AB=9,AF=PB,

•・,乙P4F+乙D4E=90°,乙PAF+乙4P-

••/DAE二乙4PF,

vzF=zr)=90o,

；・AAPF〜AEAD,

AFPF口口AF9

-------,即....——，

DEAD9-412

解得：AF=^,即尸8=：；

44

综上所述，8P的长为£31或1?5或6.

故答案为：低31或15?或6

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩

形的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键.

【考向四与菱形有关的分类讨论问题】

例题：Q022秋・广东梅州•九年级校考阶段练习)如图，已知在菱形/BCD中，AB=5,/C=8,点P是NC

上的一个动点，过点P作所1/C交/。于点£,交48于点尸，将△/£尸沿E尸折叠，使点A落在点H处,

当△HCD是直角三角形时，/P的长为.

【答案】2或《7

O

【分析】分两种情形①当H与。重合时，VC04是直角三角形，此时==；/C=2.②当4。1C。

CDOC

时，VCZM'是直角三角形，此时8$/。。'=.=",列出方程即可解决问题.

【详解】解：如图，连接8。交/C于。.

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•••四边形A8CD是菱形，

：.AC1BD,

■.■EF1AC,LAEF是由AAEF翻折得到,

：.PA=PA',

①当H与。重合时，VC0H是直角三角形,

止匕时N尸=,O/=LNC=2.

24

②当HDLCD时，VCO4是直角三角形，

此时cos4>C4=*=",

5_4

'G?"5?

•・。’与

11257

・•・AP=-AAf=-(8——)

2248

7

综上所述，满足条件的/尸的长为2或

O

【点睛】本题考查翻折变换、菱形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思

考问题，是由中考填空题中的压轴题.

【变式训练】

1.(2022秋•浙江金华•九年级义乌市绣湖中学教育集团校联考期中)已知，抛物线>=办2+2依+6上有两点

4(-2,4),5(1,0),将抛物线沿水平方向平移，平移后点4的对应点为4,点8的对应点为夕，且四边形

44幺B刚好为菱形，那么平移后的抛物线的顶点坐标为，

【答案】［吟16)或16,g

3

【分析】利用待定系数法求得函数的解析式得到顶点坐标，由四边形/H8Z为菱形，得出

AA'=BB'=AB=5,即可得出向右平移5各单位的得到新抛物线，进而即可求得平移后的抛物线的顶点坐

标.

4。―4。+6=4

【详解】解：根据题意得

a+2a+b=0

高考复习材料

4

解得好一

6=4

AB="2-if+（4-0）2=5，

•.•四边形&03为菱形，

AA'=BB'=AB=5,

484216

..V__T2r+4-_fr+n+

333V73

二顶点为,,

・•・当抛物线向右平移5个单位的抛物线的顶点为（4,.

当抛物线向左平移5个单位是抛物线顶点为1-6,gj

故答案为：或16，了）.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，菱形

的性质，求得抛物线的解析式是解题的关键.

2.（2022・河南信阳•校考一模）如图，在菱形/BCD中，乙D/3=45。，=4,点产为线段48上一动点,

过点尸作收，48交40于点E,沿尸£将—N折叠，点A的对称点为点产，连接EF、DF、CF,当YCDF

为等腰三角形时，/尸的长为.

【答案】0或2或行+1或2后或2亚+2

【分析】分类讨论：如图1,当DF=CD时，如图2,当CF=CD=4时，如图3中，当FD=FC

时，分别求出即可.

【详解】解：如图1,当。尸=CD时，点尸与A重合或在点F'处.

当尸与A重合时，P与A也重合，此时AP=0；

高考复习材料

图1

•••在菱形ABCD中，AB=4,

CD=AD=4

作ZW1/5于N,

在Rt^ADN中，-：AD=A,4DAN=45。,DN=AN=NF'=26，

AP=2日

如图2,当CF=CD=4时，点F与B重合或在F1处，

:.AP=^AB=2,

2

当尸在一处时，过C作坊J.用于M,

则可得MF'=2亚,

则/?=4也+4，

AP=2s/2+2;

AF=2四+2,

AP=-AF=.

2

综上所述：当7CDF为等腰三角形时，AP的长为。或2或V2+1或2亚或2亚+2

故答案为0或2或亚+1或2行或2亚+2.

高考复习材料

【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，分类讨论是解题关键.

3.（2022秋•广东梅州•九年级校考阶段练习）在矩形ABCD中，AD=5,AB=4,点、E,F在直线AD

上，且四边形BCFE为菱形，若线段EF的中点为点M,则线段AM的长为—.

【答案】5.5或0.5

【分析】两种情况：①由矩形的性质得出=/3=4,BC=AD=5,N4DB=NCDF=90°,由菱形的性

质得出CF=£F=8£=8C=5,由勾股定理求出得出々田，即可求出4W；②同①得出NE=3,求

出ME,即可得出NM的长.

【详解】解：分两种情况：

①如图1所示：

图1

•・•四边形是矩形，

.-,CD=AB=4,BC=AD=5,ZADB=ZCDF=90°,

•・•四边形5CEE为菱形，

...CF=EF=BE=BC=5,

；・DF=NCF2-CD2='52—42=3，

/.AF=AD+DF=8,

•；M是EF的中点，

:.MF==EF=25,

2

AM=AF-DF=8-2.5=5.5；

②如图2所示：同①得：4E=3,

图2

・・・M是E厂的中点，

：.ME=2.5,

・•.AM=AE-ME=0.5；

综上所述：线段的长为：5.5或0.5；

高考复习材料

故答案为：5.5或0.5.

【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形和菱形的性质，并能进行推理计

算是解决问题的关键.

【考向五与正方形有关的分类讨论问题】

例题：（2022秋•浙江绍兴•九年级统考期中）正方形48CD中，E,尸分别是4D,。。上的点，连结E尸交

DG4DF

对角线2。于点G,若BE恰好平分//£尸，—则-而的值为______.

GB13AE

【答案】g或4

【分析】延长E尸交3C于R,作GTLDE于7,不妨设Z）G=4,GB=13,DE=4x,可证得VRE3是等腰

三角形，可推出F黑G=芸DF=D=G=三4，进而表示出EG,然后解△DEG,从而求出x的值，进而可得结

RGrBRBCJ13

果.

【详解】解：如图，延长Eb交于心作67，。£于7，

DG__A_

・••不妨设DG=4,GB=13,贝ljBZ)=17,设JD£=4X,

••・四边形是正方形,

BC//AD,AD=&BD=小区

22

:./EBC=ZAEB,AE=AD-DE=^^-4x,EGDEDG_4

2而一而一而一百

*'-BR=13%,

高考复习材料

VBE恰好平分N4EF,

ZAEB=ZFEB,

，/EBC=/FEB,

ER=BR=13x,

459

，EG=—ER=—x,

1717

在RtVEGT中，GT=DT=—DG=272,ET=DE-DT=Ax-242，

2

由勾股定理得(20『+(4-2可=[*],

102r-17r-

角牛得X=—<2,

60224

£>^=4x=—V2^—V2,

156

当。£二感也时，^E=—V2-—V2=—V2,

1521510

DE

——=4A

AE

当。E=口后时，AE=-42-—yl2=-42,

6263

•DE_1

••=一，

AE2

综上所述，笔DF=：1或%

AE2

故答案为：*或4.

【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定，平行线分线段成比例，勾股定理等知识点，解题

的关键是作辅助线，构造出等腰三角形.

【变式训练】

1.（2022秋,山东日照•九年级校考期末）等腰V23C,AB=AC=\Q,BC=12,正方形尸Q"N的两个顶点

在V/8C的一边上，另两个顶点在V23C的另两边上，则正方形尸的边长为.

7、24_p,240

【r答a案】不或其

【分析】分两种情况讨论：①正方形的边在3c上，根据正方形的性质，证明△ZPNs/s/gC,得到

PNAF

—,再利用等腰三角形的性质，得到m=6,由勾股定理得到"0=8,即可求出正方形边长；②

正方形的边0M在上，作CGLA8,利用三角形的面积，求出CG=g,再证明VCPNSVC43,利用

高考复习材料

相似比浣==,即可求出正方形边长.

ADCCr

【详解】解：①如图1,正方形的边叫在2C上，尸、N分别在48、AC±,过。作/。工8c交PN于点

E,

设正方形边长为x,

正方形尸0龙亚，

PN//BC,

:VAPNs\/ABC,

.PN_AE

,,正一茄’

•/AB=AC=10,BC=12,AD1BC,

:.BD=-BC=6,

2

AD=>JAB2-BD2=V102-62=8，

.x_8-x

••一,

128

解得：x=g24；

②如图2,正方形的边。河在48上，尸、N分别在4C、BC上,过。作于点。，作CG_L4B于

点G,

设正方形边长为x,

\'-BCAD=-ABCG,AD=8,BC=12,AB=AC=10,

22

“BCAD12x848

CG=-------------=---------=—,

AB105

・・•PN//ABf

:YCPNs'CAB,

.PN_CF

''AB~~CG'

48

-----x

.A=J—

.•10一竺‘

T

解得：x=襄，

49

综上所述，正方形的边长为2§4或24登0，

549

故答案为：§24或2辞40.

549

高考复习材料

【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的额判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，

熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键.

2.（2022秋•江西宜春•九年级校考期中）在平面直角坐标系中，正方形Z8CZ）的/。在V轴正半轴上，边BC

在第一象限,且4（0,3）,3（5,3）.将正方形力绕点A顺时针旋转a（O°<aW9O。）,若点8对应点旦恰好

落在坐标轴上，则点C的对应点C'的坐标为.

【答案】（7,4）或（5,-2）

【分析】由正方形的/。在y轴正半轴上，边8C在第一象限，且40,3）,3（5,3）,先求出月8长，

进而得出。（5,8）,。（0,8）,画出图形：当正方形/BCD绕点/顺时针旋转a（O°<cW9O。），分两种情况，①

点5的对应点"恰好落在x轴正半轴上时，②点3的对应点9恰好落在y轴负半轴上时.

【详解】解：,••正方形/BCD的/。在了轴正半轴上，边8C在第一象限，且4（0,3）,5（5,3）,/.

AB^5-0=5,C（5,8）,D（0,8）,

画图如下：

当正方形/3。。绕点/顺时针旋转。（0°<&490。），作。£，苫轴于石，分两种情况

①点3的对应点Q恰好落在x轴正半轴上时，如图，

■.-AB'=AB=5,OA=3,

OB'=后目=4，

高考复习材料

VZAB'O+ZOAB'=90°,ZAB'O+NC'B'E=90°,

:"OAB，=ZC'B'E,

在A4夕。和中，

ZAOB'=ZB'EC

<ZOAB'=ZEB'C,

AB'=B'C

；.VAB，O§VEBC（AAS）,

B'E=OA=3,EC'=OB'=4,

：.OE=OB'+B'E=4+3=J,

.••点C的对应点C的坐标为（7,4）；

②点3的对应点8'恰好落在y轴负半轴上时，如图,

贝UBC=AB=BC=5,

:.yQ=3—5——2,x^j—AB=5,

.・•点。的对应点C'的坐标为（5,-2）；

综上所述：点C的对应点C'的坐标为（7,4）或（5,-2）.

故答案为：（7,4）或（5,-2）.

【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，图形的旋转变换，三角形全等，掌握正方形的性质，勾股定

理，图形的旋转变换，三角形全等，利用分两种情况考虑点"的位置求点。坐标是解题关键.

3.（2021秋•北京东城•九年级校考期末）如图，正方形48co的面积为3,点E是DC边上一点，DE=1,

高考复习材料

将线段/E绕点A旋转，使点E落在直线8c上，落点记为尸，则尸C的长为

【答案】6-1或6+1

【分析】根据正方形的性质可得N8=/D=8C=6，ZABC=ZD=90°,再根据旋转的性质可得

AF=AE,然后利用"HL"证明RtV4RF和Rtz\4D£全等，根据全等三角形对应边相等可得AF==1,

然后分点尸在线段BC上和CB的延长线上两种情况讨论求解即可.

【详解】解：；正方形NBCD的面积为3,

AB=AD=BC=5NABC=ND=90°,

根据旋转的性质可得/斤=NE,

\AF=AE

在RtV/3尸和RS/OE中，,c，

yAB-AD

RtVABF丝RtVNDE(HL),

①点F在线段BC上时，FC=BC-BF=^-1,

②点尸在磁的延长线上时，FC=BC+BF=s5+l,

综上所述，”的长为6_1或6+1，

故答案为：6-1或G+1.

【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并求出全等三角

形是解题的关键，难点在于要分情况讨论.

【考向六与圆的分类讨论问题】

例题：(2022秋•江苏宿迁•九年级统考期中)如图，将一块三角板放置在e。中，点/、3在圆上，/C为直

角，ZABC=60°,点尸为夕8上一点，则//尸5的度数是.

高考复习材料

【答案】60。或120。

【分析】根据点尸的位置分两种情况讨论，即可得出答案.

【详解】解：如图：

P'

当点P在优弧九3上时，连接尸区,PB,

vZABC=60°,

••.Z8/C=90°-60°=30°,

•/OA=OB,

；,/OBA=/OAB=3。。,

：,AAOB=\80°—30。—30。=120°,

.-.ZAPB=-ZAOB=600■

当点P在劣弧无8上时，连接尸'/，P'B,

•••四边形尸为圆内接四边形，

：.ZAP'B+ZAPB=\?,0°,

.■.ZAP'B=nO°,

综上分析可知，/4P8的度数是60。或120。.

故答案为：60。或120。.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质，解题关键是利用分类

讨论的思想，数形结合.

【变式训练】

1.（2021秋•浙江湖州•九年级统考期末）在eO中，弦43和弦AC（AB,NC都不是直径）构成的

ABAC=50°,M,N分别是48和NC的中点，则NMON的度数为.

高考复习材料

【答案】130。或50°

【分析】连接。河，ON,利用垂径定理得ONVAC,再分类讨论，当