四川省眉山市2023届高三数学一轮讲义12零点函数与方程

函数与方程：知识梳理

一函数零点的定义

(1)对于函数丁=/(%)(%€。)，把使/(x)=0成立的实数x叫做函数y=/(x)(xe£>)的零点；

(2)方程7(%)=0有实根0函数丁=/(%)的图像与x轴有交点o函数y=/(x)有零点。

函数零点的理解：①函数的零点、方程的根、函数图像与x轴的交点的横坐标是同一问题的三种

不同表述形式，方程根的个数就是函数零点的个数就是图像与x轴交点的个数;

②函数y=/(x)的零点不是一个点，是一个实数，是一个使得函数的函数值为

零的实数，是方程/(x)=0的实根；

二函数零点的判定(即零点存在性定理)

如果函数y=/(尤)在区间口上的图像是连续不断的一条曲线，并且/(a)•/3)<0,那么

函数y=/(x)在区间(a,b)内有零点。

即存在ce(a,ZO,使得/Xc)=O,实数c就是f(x)=0的根，

注意：(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则F(x)至多有一个零点.函数的零点不是

一个“点”，而是方程f(x)=0的实根.

o|M-

(2)由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间［a,6］上有零点不一定能推出/1(a)•f(6)〈0,

如图所示，所以f(a)•f(6)<0是y=f(x)在闭区间［a,6］上有零点的充分不必要条件.

例1.已知函数F(x)=x2+(l—l)x—A的一个零点在⑵3)内，则实数4的取值范围是.

例2.二次函数f(x)=x2—16x+g+3.若函数在区间［―1,1］上存在零点，则实数。的取值范围；

例3.函数/1(x)=ax+l—2a在区间(一1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是.

三用二分法求函数y=7(%)零点近似值的步骤

第一步：确定区间勿，验证/(a)•/S)<0,给定精确度£；

第二步：求区间(a,。)的中点看，判断了(七)的正负；

A若/(不)=0,则/就是函数的零点；

B若/(办/(/)<0,则函数的零点与e(。,占)，此时把.赋值给b；

C若/伯)"(6)<0，则函数的零点与€(苞力)，此时把尤］赋值给a；

第三步：判断是否达到精确度£：若|a-匕|<£成立，则得到零点近似值a(或人);

1

否则重复第二、三步；

二分法求函数零点近似值的理解：二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法，其实质是通过不断地

“取中点”来缩小零点所在的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间内的

任意一点都是这个函数零点的近似值。

例.用二分法研究函数f(x)=v+3x—1的零点时，第一次经计算/(0)<0,A0.5)>0可得其中一个零点

,第二次应计算.

四函数零点的求法和函数零点所在范围的判断

求函数y=/(x)的零点只需求出方程/(%)=0的根即可；

求函数零点所在范围：先判断函数的单调性，然后用零点存在性定理判断该区间上是否有零点

例1.方程log3x+x—3=0的解所在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

例2.在下列区间中，函数/1(x)=e，+4x—3的零点所在的区间为()

11,11、13、

A.z0)B.z(0,-)C.(-,D.(Z-,-)

例3.已知函数F(x)=lnx—x+2有一个零点所在的区间为(4,4+1)(AeN*),则#的值为.

例4.设函数f(x)=e*+2x—4,g(x)=lnx+2x,—5,若实数a,6分别是f(x),g(x)的零点，贝！I()

A.g(a)〈0〈f(6)B./1(6)〈0〈g(a)C.0〈g(a)〈/'(6)D.f(6)〈g(a)〈0

例5.已知定义在R上的函数f(x)=(f—3x+2)g(x)+3x—4,其中函数y=g(x)的图象是一条连续曲

线，则方程f(x)=0在下面哪个范围内必有实数根()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

五函数零点个数的判断

y=F(x)与y=g(x)的交点个数o求方程/(%)=g(x)的实根个数

O求函数y=/(%)-g(x)的零点个数O两新函数图像的交点个数。

1.解方程：方程根的个数即为函数零点的个数；

例1.(2012•湖北)函数/U)=xcos系在区间［0,4］上的零点个数为()

A.4B.5C.6D.7

2

例2.设函数f(x)=/+-(殳。0).当a>l时，方程f(x)=f(a)的实根个数为.

X

2.图像与无轴的交点个数

例1.函数F(x)=sinx—x零点的个数是().

A.0B.1C.2D.3

x+cosx,x<0

例2.函数/(%)=《13/1八的零点个数为()

J-x-4x+l,x>0

A4B3C2D无数个

例3.已知_f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0Wx<2时，f{x)=x—x,则函数尸F(x)的

图象在区间［0,6］上与x轴的交点的个数为().

A.6B.7C.8D.9

2

x+3,x)a

,,一,函数g(x)=F(x)—2x恰有三个不同的零点，则实数a的

{x2+6x+3,xWa

取值范围是()

A.[—1,3)B.[—3,—1]C.[—3,3)D.[—1,1)

3.转化为求两函数图像的交点个数问题判断。

例1.方程1g下COSX的实根个数是.

例2.若定义在R上的偶函数『(X)满足/1(x+2)=F(x),且当xe[0,1]时，F(x)=x,则函数旷=/(入)一

logs|x|的零点个数是()

A.多于4个B.4个C.3个D.2个

8%—8(%v1)

例3：已知函数/Xx)=,一，g(x)=lnx.则/'(X)与g(x)两函数的图像的交点个数为

%-6x+5(%>1)

A.1B.2C.3D.4

六.已知方程根的个数求方程中待定字母的范围

例L若方程X+左=，1一工2有且只有一个解,则左的取值范围是()

A.[-1,1)B.左=±V2C.[-1,1]D.k=叵或ke[-1,1)

例2.已知函数f(x)=\x-2\+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根，则k的取值范围

是()

A.(0,1)B.(1,1)C.(1,2)D.(2,+8)

例3.若函数f(x)=/—x—a(a〉0且aWl)有两个零点，则实数a的取值范围是.

例4.若函数/"(X)=f—TKOSX+以'+3m—8有唯一零点，则满足条件的实数nF.

[\x\,运也,

例5.(2016•山东)已知函数f(x)=晨其中而0,若存在实数6,使得关于x

〔才一2处¥十4/，x>m,

的方程广(x)=6有三个不同的根，则〃的取值范围是.

1,

例6.已知函数f(x)=<l则使方程x+F(x)=/有解的实数力的取值范围是()

一，x>0,

A.(1,2)B.(—8,-2]C.(—8,1)u(2,+8)D.(—8,1]u[2,+oo)

例7.已知xi,X2是函数F(x)=e-'—|Inx|的两个零点，则)

3

A」〈xix?〈lB.lQix,〈eC.IVzxKlOD.e〈xixK10

e

例8.设/(x)=|2—Vi，若0＜。＜6,且/(a)=/3),则。〃的取值范围是()

A.(0,2)B.(0,2]C.(0,4]D.(0,行)

例9.已知函数f(x)=*+3x］,xGR,若方程fU~a\x-l\=0恰有4个互异的实数根，则实数a的

取值范围是.

七.解方程；法一：分解因式后直接求解；法二：换元法。

例1.方程x/"—3/x/+2=0的实根个数是个.

例2.已知对一切AGR,都有f(x)=f(2—x),且方程f(x)=O有5个不同的实根，则这五个根的

和;

例3.已知关于x的方程|9一6x|=a(a>0)的解集为八则户中所有元素的和可能是()

A.3,6,9B.6,9,12C.9,12,15D.6,12,15

b

例4.函数/(%)=依+笈+。(〃力0)的图象关于直线％二——对称。据此可推测，对任意的非零实数a,

2a

b,c,m,n,p,关于x的方程相［/(%)『+W(%)+p=0的解集都不可能是()

A.{1,2}B{1,4}C{1,2,3,4}D{1,4,16,64}

例5.已知定义在R上的奇函数/(X),满足了(%-4)=-/(%),且在区间［0,2］上是增函数，若方程

f(x)=m(m>0)在区间［-8,8］上有四个不同的根斗,公，x3，x4，则

例6.已知函数其中匚□，若函数「一|有3个不同的零点,则0的

取值范围是.

a

例7.已知函数f(x)=X—1,若关于X的方程HMx))=0有且只有一个实数解，则实数a

JgX,£>0

的取值范围为.

4

例8.(2016•衡水期中)若a>l,设函数广(x)=d+x—4的零点为m,函数g(x)=log/+x—4的零点为

n,

则的最小值为

mn

函数与方程：知识梳理

一函数零点的定义

(1)对于函数丁=/(%)(％€。)，把使/(x)=0成立的实数x叫做函数y=/(x)(xe£>)的零点；

(2)方程/(x)=O有实根o函数y=/(x)的图像与x轴有交点o函数y=/(x)有零点。

函数零点的理解：①函数的零点、方程的根、函数图像与x轴的交点的横坐标是同一问题的三种

不同表述形式，方程根的个数就是函数零点的个数就是图像与x轴交点的个数;

②函数y=/(x)的零点不是一个点，是一个实数，是一个使得函数的函数值为

零的实数，是方程/(x)=O的实根；

二函数零点的判定(即零点存在性定理)

如果函数y=/(x)在区间切上的图像是连续不断的一条曲线，并且/(a)•/(0)<0,那么

函数y=/(x)在区间(a,b)内有零点。

即存在ce(a,。),使得:(c)=0,实数c就是/(尤)=0的根,

注意：(1)若连续不断的函数/<x)在定义域上是单调函数，则/"(X)至多有一个零点.函数的零点不是

一个“点”，而是方程/5)=0的实根.

(2)由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间［a,6］上有零点不一定能推出f(a)•f(6)〈0,

如图所示，所以『(a)•丹加〈0是了=/5)在闭区间［a,6］上有零点的充分不必要条件.

例1.已知函数F(x)=Y+(1—4)x—次的一个零点在⑵3)内，则实数4的取值范围是.

答案：(2,3)

例2.二次函数/(x)=1—16x+g+3.若函数在区间［―1,1］上存在零点，则实数。的取值范围:

答案：［-20,12］

例3.函数/U)=ax+1—2a在区间(-1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是.

答案(I1)

解析:•函数f(x)的图象为直线，由题意可得『(一1)『(1)〈0,.♦•(—3a+l)•(1—a)<0,解得

J

5

•••实数a的取值范围是七，1

三用二分法求函数y=/(x)零点近似值的步骤

第一步：确定区间回，验证/(a)•FS)<0,给定精确度£；

第二步：求区间(。,。)的中点修，判断了(七)的正负；

A若/则%就是函数的零点；

B若/(a>/(/)<0,则函数的零点x()e(a,/),此时把与赋值给〃；

C若/S>/(Xi)<0,则函数的零点与6(国力)，此时把匹赋值给a；

第三步：判断是否达到精确度£：若|。-切<£成立，则得到零点近似值a(或b)；

否则重复第二、三步；

二分法求函数零点近似值的理解：二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法，其实质是通过不断地

“取中点”来缩小零点所在的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间内的

任意一点都是这个函数零点的近似值。

例.用二分法研究函数/U)=x3+3x—1的零点时，第一次经计算f(0)〈0,f(0.5)>0可得其中一个零点

x°e,第二次应计算.

四函数零点的求法和函数零点所在范围的判断

求函数y=/(%)的零点只需求出方程/(%)=0的根即可；

求函数零点所在范围：先判断函数的单调性，然后用零点存在性定理判断该区间上是否有零点

例1.方程log3x+x—3=0的解所在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

答案C

解析设/'(x)=log3x+x—3,则f(2)=log32—1〈0,/'(3)=log33+3—3=1>0,

.*"(x)=0在⑵3)有零点，

又/U)为增函数，.•"(x)=0的零点在⑵3)内.

例2.在下列区间中，函数f(x)=e'+4x—3的零点所在的区间为()

11Ari3、

A.z0)B.(z0,-)C.(-,D.(z-,-)

答案c

解析f(x)=e*+4x—3,f'(x)=e*+4〉0.

在其定义域上是严格单调递增函数.

1--11-

V/(--)=e4-4<0,f(0)=e°+4X0—3=—2〈0,=e4-2<0,/(-)=e2-l>0,

6

•吗)<0.

例3.己知函数/■(x)=lnx—x+2有一个零点所在的区间为("，A+l)("GN*),则"的值为.

答案3

解析由题意知，当x〉l时，/'(x)单调递减，因为f(3)=ln3—1〉0,f(4)=ln4—2〈0,所以该函数的

零点

在区间⑶4)内，所以A=3.

例4.设函数f(x)=e，+2x—4,g(x)=lnx+2f—5,若实数a,人分别是/1(x),g(x)的零点，贝!1()

A.g(a)〈0〈f(b)B./1(6)〈0〈g(a)C.0〈g(a)</(/))D.f(6)〈g(a)〈0

答案A

解析依题意，f(0)=—3〈0,f(l)=e—2>0,且函数f(x)是增函数，因此函数f(x)的零点在区间(0,1)

内，即0<a〈Lg⑴=—3<0,g(2)=ln2+3>0,函数g(x)的零点在区间(1,2)内，即1<从2,于

是有f(6)〉f(l)〉0.又函数g(x)在(0,1)内是增函数，因此有g(是<g(l)<0,g(a)<0<f(6),选A.

例5.已知定义在R上的函数f(x)=(f-3x+2)g(x)+3x—4,其中函数尸g(x)的图象是一条连续曲

线，则方程f(x)=0在下面哪个范围内必有实数根()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

答案:B

五函数零点个数的判断

y=F(x)与y=g(x)的交点个数o求方程/(x)=g(x)的实根个数

O求函数y=/(X)-g(x)的零点个数O两新函数图像的交点个数。

1.解方程：方程根的个数即为函数零点的个数；

例1.(2012•湖北)函数f(x)=xcosX?在区间［0,4］上的零点个数为()

A.4B.5C.6D.7

答案C

解析当x=0时，『5)=0.又因为为6［0,4］,

11JI

所以0W/W16.因为5Ji<16<-7~,

兀3兀5兀7兀9兀

所以函数〃=。0$/在/取丁，一厂，一厂，一厂，一5一时为0,

乙乙乙乙乙

此时F(x)=0,所以_f(x)=xcosf在区间［0,4］上的零点个数为6.

2

例2.设函数_f(x)=/+-(才70).当石>1时，方程_f(x)=/1(a)的实根个数为____.

x

答案：3

解析：令g(x)=F(x)—F口,

99

即g^X)=3+一—才一一，

xa

整理得：g(x)=—^x-a){axax—2^).

显然g®=0,令力(x)=axax—2.

7

VA(0)=-2<0,A(a)=2(a-l)>0,

；"(x)在区间(—8,0)和(0,a)各有一个零点.

因此，g(x)有三个零点，即方程f(x)=f(a)有三个实数解.

2.图像与x轴的交点个数

例1.函数f(x)=sinx—x零点的个数是().

A.0B.1C.2D.3

答案：B

X+COSX,%<0

例2.函数=3/1c的零点个数为()

J-X-4x+l,尤>0

A4B3C2D无数个

答案：B

例3.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0Wx〈2时，f(x)=x3—x,则函数y=f(x)的

图象在区间［0,6］上与x轴的交点的个数为().

A.6B.7C.8D.9

答案：B

fy-I—Qo

例4.已知函数f(x)=z]।一，函数g(x)=f(x)—2x恰有三个不同的零点，则实数a的

4+6x+3,x^a

取值范围是()

A.[—1,3)B.[—3,—1]C.［-3,3)D.［-1,1)

答案A

x+3,x>a‘所以鼠》］13-+x41+xy3a,I，又因为人)有三个不同的

解析因为f(x)=

x+6x+3,x^a

零点，则方程3—x=0,x>a有一个解，解得x=3,所以水3,方程f+4x+3=0,xWa有两个

不同的解，解得x=—1或x=-3,又因为xWa,所以a》一1.所以a的取值范围为［—1,3).

3.转化为求两函数图像的交点个数问题判断。

例1.方程1g下C0SX的实根个数是.

例2.若定义在R上的偶函数/"(X)满足/1(x+2)=F(x),且当XG［0,1］时，f(x)=x,则函数y=/(x)—

log31x|的零点个数是()

A.多于4个B.4个C.3个D.2个

答案B

解析：由题意知，/Xx)是周期为2的偶函数.

在同一坐标系内作出函数y=f(x)及y=log31x|的图象,如下:

8

观察图象可以发现它们有4个交点，

即函数y=f(x)—log31x|有4个零点.

例3：已知函数两函数的图像的交点个数为

A.1B.2C.3D.4

答案：C

六.已知方程根的个数求方程中待定字母的范围

例L若方程X+左=J1—心有且只有一个解,则左的取值范围是()

A.[-1,1)B.女=±V2C.[-1,1]D.左=叵或ke[-1,1)

例2.已知函数f(x)=|x—2|+1,g(x)=kx.若方程F(x)=g(x)有两个不相等的实根，则k的取值范围

是()

A.(0,1)B.(1,1)C.(1,2)D.(2,+8)

答案：B

解析：先作出函数F(x)=|x—2|+1的图象，如图所示，当直线g(x)=/x与直线46平行时斜率为1,

当直线g(x)=履过/点时斜率为玄故f(x)=g(x)有两个不相等的实根时，

A的取值范围为g,1).

例3.若函数=a，—x—a(a〉0且a#1)有两个零点，则实数a的取值范围是

答案：(1,+8)

解析：函数f(x)=a，—x—a(a〉0且a=l)有两个零点，即方程x—a=0有两个根，即函数y=a'与函

数y=x+a的图象有两个交点.

当0〈a〈l时，图象如图①所示，此时只有一个交点.

当a>l时，图象如图②所示，此时有两个交点.

9

，实数a的取值范围为(1,+co).

例4.若函数F(x)=x“一底OSX+R2+3〃-8有唯一零点，则满足条件的实数炉.

答案：2,偶函数，-4带入有其他零点

例5.(2016•山东)已知函数f(x)=L,其中而0,若存在实数b,使得关于x

[x—2/nx+4m,x>m,

的方程f(x)=6有三个不同的根，则m的取值范围是.

答案(3,+8)

解析如图，

当后"时，/U)=|x|；当x〉/时，f(x)=/—2〃x+4〃，在E,+8)上为增函数，若存

在实数6,使方程f(x)=6有三个不同的根，则以2—2〃•0+4成㈤.

解得ni>3.

1,

例6.已知函数则使方程x+f(x)=〃有解的实数力的取值范围是()

一，x>0,

A.(1,2)B.(—8,-2]C.(—8,1)u(2,+8)D.(-00,1]U[2,+°O)

答案D

解析当KO时，x+F(x)=m,即x+l=〃,解得mWl；当x>0时，x+F(x)=m,即x+-=m,解得

x

即实数0的取值范围是(-8,l]u[2,+8).故选D.

例7.已知荀，xz是函数f(x)=e-，一|lnx|的两个零点，贝U()

A.~<X1X2<1B.l〈xiX2〈eC.1〈荀也〈10D.e〈xi；e<10

e

答案A

解析在同一坐标系中画出函数尸葭'与y=|Inx|的图象，结合图象不难看出，它们的两个交点中，

其中一个交点的横坐标属于区间(0,1),另一个交点的横坐标属于区间(1,+8),即在国，X2中，

其中一个属于区间(0,1),另一个属于区间(1,+8).不妨设xiG(0,l),加6(1,+8),则有

-1,2-1

*'=|lnxJ=-InxiE(e1),e'—\Inx2\—ln加£(0,e),e—吊—e—xi=ln照+lnXi

=lnxiX2^(—1,0),于是有eT<xiX2〈e°,即一〈不加<1.

e

例8.设/(x)=|2—必I，若0<。<6,且/(a)=/3),则。〃的取值范围是()

A.(0,2)B.(0,2]C.(0,4]D.(0,0)

例9.已知函数f(x)=|V+3x|,xCR,若方程/U)—a|x—1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的

10

取值范围是.

答案：(0,l)u(9,+8)

解析：设yi=f(x)=|x2+3x|,y2=a\x-l\,

在同一直角坐标系中作出yi=\x+3x\,y2=a\x-l\的图象如图所示.

由图可知『⑺一a|x—1|=0有4个互异的实数根等价于K=，+3X|与乃=a|x—1］的图象有

4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1,

fy=­x_3x,

所以.有两组不同解，

1—x

消去y得/+(3—a)x+a=0有两个不等实根，

所以4=(3—a)2—4a〉0,即a—10a+9>0,

解得a<l或a>9.

又由图象得a〉0,.♦.(Ka。或a>9.

七.解方程；法一：分解因式后直接求解；法二：换元法。

例1.方程x|x|—3|x|+2=0的实根个数是个.

例2.已知对一切xeR,都有f(x)=f(2-x),且方程f(x)=0有5个不同的实根，则这五个根的

和;

例3.已知关于x的方程|丁一6x|=a(a>0)的解集为户，则户中所有元素的和可能是()

A.3,6,9B.6,9,12C.9,12,15D.6,12,15

答案：B

例4.函数

b,c,

答案：D

例5.已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间