2023年湖南省中考数学真题分类汇编：一次函数、二次函数(含答案)

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2023年湖南省中考数学真题分类汇编：一次函数、二次函数

一、选择题

1．（2023·长沙）下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（）

A．=2+1B．=―4C．=2D．=―+1

2

2．（2023·邵阳）已知1(1，1)，2(2，2)是抛物线=+4+3（a是常数，≠0)上的点，现有

以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线=―2；②点(0，3)在抛物线上；③若1>2>―2，则1>

2；④若1=2，则1+2=―2其中，正确结论的个数为（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．（2023·株洲）如图所示，直线l为二次函数=2++(≠0)的图像的对称轴，则下列说法正确的

是（）

A．b恒大于0B．a，b同号

C．a，b异号D．以上说法都不对

2

4．（2023·衡阳）已知>>0，若关于x的方程+2―3―=0的解为1，2(1<2)．关于x的方

2

程+2―3―=0的解为3，4(3<4)．则下列结论正确的是（）

A．3<1<2<4B．1<3<4<2

C．1<2<3<4D．3<4<1<2

二、填空题

5．（2023·郴州）在一次函数=(―2)+3中，随的增大而增大，则的值可以是

（任写一个符合条件的数即可）．

6．（2023·郴州）抛物线=2―6+与轴只有一个交点，则=．

三、综合题

7．（2023·常德）如图，二次函数的图象与x轴交于(―1，0)，(5，0)两点，与y轴交于点C，顶点为

D．O为坐标原点，∠=1．

5

（1）求二次函数的表达式；

（2）求四边形的面积；

（3）P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠=∠，求P点的坐标．

8．（2023·株洲）某花店每天购进16支某种花，然后出售．如果当天售不完，那么剩下的这种花进行作废处

理、该花店记录了10天该种花的日需求量n（n为正整数，单位：支），统计如下表：

日需求量n131415161718

天数112411

（1）求该花店在这10天中出现该种花作废处理情形的天数；

（2）当<16时，日利润y（单位：元）关于n的函数表达式为：=10―80；当≥16时，日利润

为80元．

①当=14时，间该花店这天的利润为多少元？

②求该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率．

9．（2023·张家界）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数=2++的图象与x轴交于点(―2，

0)和点(6，0)两点，与y轴交于点(0，6)．点D为线段上的一动点．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图1，求△周长的最小值；

（3）如图2，过动点D作∥交抛物线第一象限部分于点P，连接，，记△与△的

面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．

10．（2023·郴州）已知抛物线=2++4与轴相交于点(1，0)，(4，0)，与轴相交于点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图1，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当△的周长最小时，求的值；

（3）如图2，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使tan∠=1？若存在，求出点的坐

2

标；若不存在，请说明理由．

11．（2023·邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线=2++经过点(―2，0)和点(4，0)，且与

直线：=――1交于、两点（点在点的右侧），点为直线上的一动点，设点的横坐标为．

（1）求抛物线的解析式．

（2）过点作轴的垂线，与拋物线交于点．若0<<4，求△面积的最大值．

（3）抛物线与轴交于点，点为平面直角坐标系上一点，若以、、、为顶点的四边形是菱形，

请求出所有满足条件的点的坐标．

12．（2023·株洲）已知二次函数=2++(>0)．

（1）若=1，=―1，且该二次函数的图象过点(2，0)，求的值；

（2）如图所示，在平面直角坐标系中，该二次函数的图象与轴交于点(1，0)，(2，0)，且1

<0<2，点D在⊙上且在第二象限内，点在轴正半轴上，连接，且线段交轴正半轴于点，

∠=∠，=3．

2

①求证：=2．

3

②当点在线段上，且=1．⊙的半径长为线段的长度的2倍，若4=―2―2，求2+

的值．

2

13．（2023·岳阳）已知抛物线1：=―++与轴交于(―3，0)，两点，交轴于点(0，3)．

（1）请求出抛物线1的表达式．

（2）如图1，在轴上有一点(0，―1)，点在抛物线1上，点为坐标平面内一点，是否存在点，

使得四边形为正方形？若存在，请求出点，的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，将抛物线1向右平移2个单位，得到抛物线2，抛物线2的顶点为，与轴正半轴交于

点，抛物线1上是否存在点，使得∠=∠？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理

由．

14．（2023·衡阳）如图，已知抛物线=2―2+3与x轴交于点(―1，0)和点B，与y轴交于点C，

连接，过B、C两点作直线．

（1）求a的值．

（2）将直线向下平移(>0)个单位长度，交抛物线于′、′两点．在直线′′上方的抛物线上是

否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线′′的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不

存在，请说明理由．

（3）抛物线上是否存在点P，使∠+∠=45°，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，

请说明理由．

15．（2023·怀化）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线=2+―8与轴交于(―4，0)、(2，

0)两点，与轴交于点．

（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；

（2）点为第三象限内抛物线上一点，作直线，连接、，求△面积的最大值及此时点的

坐标；

（3）设直线：=+―35交抛物线于点、，求证：无论为何值，平行于轴的直线：=―

142

37上总存在一点，使得∠为直角．

4

答案解析部分

1．【答案】D

2．【答案】B

3．【答案】C

4．【答案】B

5．【答案】3（答案不唯一）

6．【答案】9

7．【答案】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于(―1，0)，(5，0)两点．

∴设二次函数的表达式为=(+1)(―5)

∵=1，tan∠=1，

5

∴=5，即的坐标为(0，5)

则5=(0+1)(0―5)，得=―1

∴二次函数的表达式为=―(+1)(―5)；

（2）解：=―(+1)(―5)=―(―2)2+9

∴顶点的坐标为(2，9)

过作⊥于，作⊥于，

四边形的面积=△+矩形―△+△

=1×1×5+2×9―1×2×(9―5)+1×(5―2)×9=30；

222

（3）解：如图，是抛物线上的一点，且在第一象限，当∠=∠时，

连接，过作⊥交于，过作⊥于，

∵==5，则△为等腰直角三角形，∠=45°．

由勾股定理得：=52，

∵∠=∠，

∴tan∠=tan∠，

即1==，

552

∴=2

由⊥，得∠=90°，

∴∠=180°―∠―∠=180°―90°―45°=45°．

∴△是等腰直角三角形

∴==1

∴的坐标为(1，6)

所以过、的直线的解析式为=―3+15

22

=―3+15

令22

=―(+1)(―5)

=1

解得=5，或2

=0=27

4

所以直线与抛物线的两个交点为(5，0)，(1，27)

24

即所求的坐标为(1，27)

24

8．【答案】（1）解：当<16时，该种花需要进行作废处理，

则该种花作废处理情形的天数共有：1+1+2=4（天）；

（2）解：①当<16时，日利润y关于n的函数表达式为=10―80，

当=14时，=10×14―80=60（元）；

②当<16时，日利润y关于n的函数表达式为=10―80；

当≥16时，日利润为80元，80>70，

当=70时，70=10―80

解得：=15，

由表可知=15的天数为2天，

则该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率为2．

9．【答案】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为=(+2)(―6)，

将(0，6)代入上式得：6=(0+2)(0―6)，

1

=―

2

所以抛物线的表达式为=―12+2+6；

2

（2）解：作点O关于直线的对称点E，连接、，

∵(6，0)，(0，6)，∠=90°，

∴==6，

∵O、E关于直线对称，

∴四边形为正方形，

∴(6，6)，

连接，交于点D，由对称性||=||，

此时||+||有最小值为的长，

=2+2=82+62=10

∵△的周长为++，

=2，+的最小值为10，

∴△的周长的最小值为10+2=12；

（3）解：由已知点(―2，0)，(6，0)，(0，6)，

设直线的表达式为=+，

将，，，代入中，6+=0，解得=―1，

(60)(06)=+=0=6

∴直线的表达式为=―+6，

同理可得：直线的表达式为=3+6，

∵∥，

∴设直线表达式为=3+，

由（1）设(，―12+2+6)，代入直线的表达式

2

得：=―12―+6，

2

∴直线的表达式为：=3―12―+6，

2

=―+6=12+1

由12，得84，

=3――+6=―12―1+6

284

∴(12+1，―12―1+6)，

8484

∵P，D都在第一象限，

∴=△+△=△―△

1111

=||[(―2+2+6)―(―2―+6)]

2284

139

=×8(―2+)

284

33

=―2+9=―(2―6)

22

=―3(―3)2+27，

22

∴当=3时，此时P点为(3，15).

2

=27．

最大值2

10．【答案】（1）解：∵抛物线=2++4与轴相交于点(1，0)，(4，0)，

∴++4=0，解得：=1，

16+4+4=0=―5

∴=2―5+4；

（2）解：∵=2―5+4，当=0时，=4，

∴(0，4)，抛物线的对称轴为直线=5

2

∵△的周长等于++，为定长，

∴当+的值最小时，△的周长最小，

∵，关于对称轴对称，

∴+=+≥，当，，三点共线时，+的值最小，为的长，此时点为直线

与对称轴的交点，

设直线的解析式为：=+，

则：4+=0，解得：=―1，

=4=4

∴=―+4，

当=5时，=―5+4=3，

222

∴(5，3)，

22

∵(1，0)，(0，4)，

2222

∴=(5―1)+(3)=32，=(5)+(4―3)=52，

222222

∴=3；

5

（3）解：存在，

∵为的中点，

∴(0，2)，

∴=2，

∵(4，0)，

∴=4，

在△中，tan∠==1，

2

∵tan∠=1=tan∠，

2

∴∠=∠，

①当点在点上方时：

过点作∥，交抛物线与点，则：∠=∠，此时点纵坐标为2，

设点横坐标为，

则：2―5+4=2，

解得：=5±17，

2

∴(5+17，2)或(5―17，2)；

22

②当点在点下方时：设与轴交于点，

则：=，

设(，0)，

则：2=2+2=2+4，2=(4―)2，

∴2+4=(4―)2，解得：=3，

2

∴(3，0)，

2

设的解析式为：=+，

=2=2

则：3+=0，解得：=―4，

23

∴=―4+2，

3

2

=―4+2=3=

联立3，解得：或3，

=2―5+4=―2=10

9

∴(3，―2)或(2，10)；

39

综上：(5+17，2)或(5―17，2)或(3，―2)或(2，10)．

2239

11．【答案】（1）解：∵抛物线=2++经过点(―2，0)和点(4，0)，

∴4―2+=0，

16+4+=0

=―1

解得：2，

=4

∴抛物线解析式为：=―12++4；

2

（2）解：∵抛物线=―12++4与直线：=――1交于、两点，（点在点的右侧）

2

=―12++4

联立2，

=――1

1414

解得：=2+或=2―，

=―3―14=―3+14

∴(2+14，―14―3)，(2―14，14―3)，

∴―=(2+14)―(2―14)=214，

∵点为直线上的一动点，设点的横坐标为．

则(，――1)，(，―12++4)，

2

∴=―12++4―(――1)=―12+2+5=―1(―2)2+7，当=2时，取得最大值为7，

222

∵=1(―)×，

△2

∴当取得最大值时，△最大，

∴=1×214×7=714，

△2

∴△面积的最大值714；

（3）解：∵抛物线与轴交于点，

∴=―12++4，当=0时，=4，即(0，4)，

2

∵(4，0)，(，――1)

∴=42+42=42，

2=(4―)2+(――1)2=22―6+17，2=2+(+5)2=22+10+25，

①当为对角线时，=，

∴22―6+17=22+10+25，

解得：=―1，

2

∴(―1，―1)，

22

∵，的中点重合，

1

―=4

∴2，

―1=4

2

9

=

解得：2，

=9

2

∴(9，9)，

22

②当为边时，

当四边形为菱形，=

2

∴22―6+17=(42)，

解得：=3―39或=3+39，

22

∴――1=―3―39―1=―5+39或――1=―3+39―1=―5―39，

2222

∴(3―39，―5+39)或(3+39，―39―5)，

2222

由，的中点重合，

3―393+39

+4=+0+4=+0

∴2或2，

―5+39―5―39

+0=+4+0=+4

22

―5―39―5+39

==

解得：2或2，

3+393―39

==

22

∴(―5―39，3+39)或(―5+39，3―39)，

2222

当=时；

如图所示，即四边形是菱形，

点的坐标即为四边形为菱形时，的坐标，

∴点为(3―39，―5+39)或(3+39，―39―5)，

2222

综上所述，点为(3―39，―5+39)或(3+39，―39―5)或(―5―39，3+39)或(

222222

―5+39，3―39)或(9，9)．

2222

12．【答案】（1）解：∵=1，=―1，

∴二次函数解析式为=2+―1，

∵该二次函数的图象过点(2，0)，

∴4+4―1=0

解得：=―3；

2

（2）解：①∵∠=∠，∠=∠，

∴△∽△

∴=

∴=

∵=3

2

∴=2；

3

②∵该二次函数的图象与轴交于点(1，0)，(2，0)，且1<0<2，

∴=―1，=2，

∵=1．

∴=2―1，

∵⊙的半径长为线段的长度的2倍

∴=―21，

∵=2，

3

―2

∴1=2，

2―13

∴31+2―1=0，

即2=1―31①，

∵该二次函数的图象与轴交于点(1，0)，(2，0)，

2

∴1，2是方程++=0的两个根，

∴+=―，

12

∵4=―2―2，≠0，

2

∴4·+1+()=0，

2

即4(12)+1+(1+2)=0②，

2

①代入②，即41(1―31)+1+(1+1―31)=0，

22

即41―121+1+1+41―41=0，

2

整理得―81=―2，

∴2=1，

14

解得：=―1（正值舍去）

12

∴=1―(―3)=5，

222

+―1+5

∴抛物线的对称轴为直线=―=12=22=1，

222

∴=―2，

∴2+=0．

2

13．【答案】（1）解：∵抛物线1：=―++与轴交于(―3，0)，两点，交轴于点(0，3)，

2

∴把(―3，0)，(0，3)代入1：=―++，得，

―9―3+=0

=3，

解得，=―2，

=3

∴抛物线的解析式为：=―2―2+3；

（2）解：假设存在这样的正方形，如图，过点E作⊥于点R，过点F作⊥轴于点I，

∴∠+∠=90°，

∵四边形是正方形，

∴=，∠=90°，

∴∠+∠=90°，

∴∠=∠，

又∠=∠=90°，

∴△≅△，

∴=，=，

∵(―3，0)，(0，―1)，

∴=3，=1，

∴=1，=3，

∴=―=3―1=2，

∴(―2，3)；

同理可证明：△≅△，

∴==1，==3，

∴=―=3―1=2，

∴(1，2)；

（3）解：∵=―2―2+3=―(+1)2+4，

∴抛物线的顶点坐标为(―1，4)，对称轴为直线=―1，

令=0，则―2―2+3=0，

解得，1=―3，2=1，

∴(1，0)，

∴将抛物线的图象右平移2个单位后，则有：(―1，4)，对称轴为直线=―1+2=1，(1+2，0)，

即(3，0)，

∴点B在平移后的抛物线的对称轴上，

∴=―=3―1=2，=4，

∴=2+2=42+22=25，=2+2=32+12=10；=2+2=32

，

设直线的解析式为=+，

把，，，代入得，3+=0，

(30)(03)=3

解得，=―1，

=3

∴直线的解析式为=―+3，

当=1时，=―1+3=2，

∴(1，2)，此时=4―2=2，

∴=(0―1)2+(3―2)2=2，

∴=―=32―2=22，

252

又==2；==2；=22=2，

1022

∴===2，

∴△∼△，

∴∠=∠，

所以，当点P与点B重合时，即点P的坐标为(1，0)，则有∠=∠．

14．【答案】（1）解：抛物线=2―2+3与x轴交于点(―1，0)，

得+2+3=0，

解得：=―1；

（2）解：存在(―1，15)，理由如下：

24

设′′与轴交于点，由（1）中结论=―1，得抛物线的解析式为=―2+2+3，

当=0时，1=―1，2=3，即(―1，0)，(3，0)，(0，3)，

=，∠=90°，即△是等腰直角三角形，

∴∠=45°，

∵′′∥，

∴∠=∠′=45°，

设(，―2+2+3)，过点作∥轴交′′于点，作⊥′′于点，

∴∠=∠′=45°，即△是等腰直角三角形，

设直线的解析式为=+，代入(3，0)，(0，3)，

得3+=0，解得=―1，

=3=3

故直线的解析式为=―+3，

将直线向下平移(>0)个单位长度，得直线′′的解析式为=―+3―，

∴(，―+3―)，

=―2+2+3―(―+3―)=―2+3+=―(―3)2+9+，

24

当=3时，有最大值9+，

24

此时=2也有最大值，(3，15)；

224

（3）解：存在(―2，11)或(2，3)，理由如下：

39

当点在直线下方时，

在轴上取点(0，1)，作直线交抛物线于（异于点）点，

由（2）中结论，得∠=45°，

∴==1，=，∠=∠=90°，

∴△≌△()，

∴∠=∠，

∴∠+∠=∠+∠=∠=45°，

设直线的解析式为=1+1，代入点(3，0)，(0，1)，

=―1

得31+1=0，解得1，

=13

11=1

故设直线的解析式为=―1+1，

3

2

=―1+1=32=―

联立3，解得1（舍）3，

=―2+2+31=0=11

29

故(―2，11)；

39

当点在直线上方时，如图，在轴上取点，连接，过点作∥抛物线于点，

∠=∠，

==1，=，∠=∠=90°，

∴△≌△()，

∴∠=∠，

∴∠+∠=∠+∠=∠=45°，

设直线的解析式为=2+2，代入点(1，0)，(0，3)，

得2+2=0，解得2=―3，

2=32=3

故设直线的解析式为=―3+3，

∥，且过点(3，0)，

故设直线的解析式为=―3+9，

=―3+91=22=3

联立2，解得，（舍），

=―+2+31=32=0

故(2，3)，

综上所述：(―2，11)或(2，3)

39

15．【答案】（1）解：将(―4，0)、(2，0)代入=2+―8，得

16―4―8=0，

4+2―8=0

解得：=1，

=2

∴抛物线解析式为：=2+2―8，

∴对称轴为=―=―1

2

∴当=―1时，=（―1）2+2×（―1）―8=―9

∴顶点坐标为（-1，-9）；

（2）解：如图所示，过点作⊥轴于点，交于点，

由=2+2―8，令=0，

解得：=―8，

∴(0，―8)，

设直线的解析式为=―8，将点(―4，0)代入得，―4