江苏省南京秦淮2024年九年级中考数学模拟试题（含答案解析）

江苏省南京秦淮外国语学校2024年九年级中考数学模拟试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列计算正确的是（）

A.a2+a2=2a4B.a2»a=aiC.（3a）~=60rD.a6+a2—as

【答案】B

【分析】

根据合并同类项，同底数幕的乘法，积的乘方，逐个进行判断即可.

【详解】A、•••4+/=2",故本选项不符合题意；

3

B,Va\a=a,故本选项符合题意；

C>V（3a）2=9a2,故本选项不符合题意；

D、：/、/不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意.

故选：B.

【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幕的运算等，熟练掌握这些知识是解题的关键.

2.5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上.用

科学记数法表示1300000是（）

A.13xl05B.1.3xl05C.1.3xl06D.1.3xlO7

【答案】C

【分析】本题考查科学记数法表示.科学记数法的表示形式为ax10”的形式，其中

1<|a|<10,"为整数.确定”的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位,

n的绝对值与小数点移动的位数相同.

【详解】解：,•,1300000=1.3x1（）6,

故选：C.

3.如果一组数据2,3,x,4,3,6（x为非负整数）的中位数为3,则x的值有几

种可能（）.

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】

本题考查了中位数的概念，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，

最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数.根据中位数的概

念求出可能的值即可.

【详解】解：将除X的数据从小到大排列为：2,3,3,4,6,这组数据的中位数为

3,

加入x后中位数为3,

x为非负整数，

・•.X的值可能为：。，1,2,3.

故选：C.

4.如图，矩形ABCZ）的顶点A、B、C的坐标分别为（0,6）,（0,2）,（1,2）.将矩形ABCD向

右平移相个单位，若平移后的矩形ABCD与函数y=?（无＞0）的图像有公共点，则机

的取值范围是（）

A.0<m<4B.l<m<6C.l<m<5D.2<m<6

【答案】B

【分析】先求出。（1，6）,再根据平移方式求出平移后点2和点。的对应点坐标分别为

（帆2）,（l+m,6）,再求出反比例函数恰好经过点（1+加,6）和点（相,2）时m的值即可得到

答案.

【详解】解：•••矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（。，6）,（0,2）,（1,2）,

ACD=AB=4,CD//AB,

•••平移后点2和点D的对应点坐标分别为（利，2）,（1+m,6）,

1?

当反比例函数恰好经过点（1+m,6）时，则6=--,

m+l

解得“2=1（已检验是原方程的解）；

1o

当反比例函数恰好经过点（相，2）时，贝IJ2=二，

m

试卷第2页，共30页

解得机=6(已检验是原方程的解)；

17

•••若平移后的矩形ABCD与函数y=—(x>0)的图像有公共点，则m的取值范围是

X

l<m<6,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，坐标与图形变化平移等

等，根据题意求出反比例函数经过平移后点D和点B对应点时m的值是解题的关键.

5.小嘉说：将二次函数y=V的图象平移或翻折后经过点(2,0)有4种方法：

①向右平移2个单位长度②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度

③向下平移4个单位长度④沿无轴翻折，再向上平移4个单位长度

你认为小嘉说的方法中正确的个数有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】根据二次函数图象的平移可依此进行求解问题.

【详解】解：①将二次函数向右平移2个单位长度得到：y=(x-2『，把点(2,0)代

入得：y=(2-2『=0,所以该平移方式符合题意；

②将二次函数y=V向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到：

j=(x-l)2-l,把点(2,0)代入得：y=(2-l?-l=0,所以该平移方式符合题意；

③将二次函数y=/向下平移4个单位长度得到：y=x2-4,把点(2,0)代入得：

>=2^4=0,所以该平移方式符合题意；

④将二次函数y=V沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到：y=-x2+4,把点(2,0)

代入得：>=-22+4=0,所以该平移方式符合题意；

综上所述：正确的个数为4个；

故选D.

【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关

键.

6.我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据定义：

①等边三角形一定是奇异三角形；②在RdABC中，NC=90。，AB=c,AC=b,BC=

a,且6>a,若RdABC是奇异三角形，则a：b-.c=l：❷2；③如图，A8是。。的

直径，C是。。上一点（不与点A、2重合），D是半圆的中点，C、。在直径A8

的两侧，若在。。内存在点E,使AE=A。，CB=CE.则AACE是奇异三角形；④在③

的条件下，当AACE是直角三角形时，ZAOC=120°,其中，说法正确的有（）

r

【答案】B

【分析】①设等边三角形的边长为。，代入检验即可；②在RtAABC中，由勾股定理可

得储+匕2=。2,因为RtAA5c是奇异三角形，且6>a,所以4+°2=2廿，然后可得

2

6=亚°，c=6a,代入可求；③要证明△ACE是奇异三角形，只需证AC'+CEZ=2AE

即可；④由③可得AACE是奇异三角形，所以4。2+庭2=24序，当AACE是直角三角

形时，由②可得AC：AE：CE=1：叵拒或AC：AE：CE=A/3：A/2：1,然后分两种情况讨

论.

【详解】解：设等边三角形的边长为a,

则片+片=2〃，满足奇异三角形的定义，

二等边三角形一定是奇异三角形，

故①正确；

在RtAABC中，a2+b2=c2,

*.*c>/?>a>0,

2c2X22+b292a2<b2+c2,

若.ABC是奇异三角形，一定有2〃="+，，

lb1="+（/+/），

•**b1=2Q2,得/?=y/2a.

,•*c2=b2+a2=33,

c=^3a，

a：b：c=1：V2：V3，

故②错误；

在RtAABC中，储+〃=。2,

试卷第4页，共30页

是。。的直径，

，ZACB=ZADB=9Q°,

在RfAACB中,AC2+BC2=AB2;

在咫AAD3中，AD2+BD2=AB2.

。是半圆的中点，

AD=BD>

：.AD=BD,

AB2=AD1+BD2=2ADr,

又：CB=CE,AE^AD,

AC2+CE2=2AE2.

..•AACE是奇异三角形，

故③正确；

由③可得AACE是奇异三角形，

/.AC2+CE2=2AE2.

当AACE是直角三角形时，

由②可得AC：AE-.CE=I：叵6或AC：AE；CE=60：1,

(I)当AC：AE：CE=1：0：有时，

AC：CE=1:73,即AC：CB=1:73,

•/ZACB=90,

：.ZABC=3Q°,

：.ZAOC=2ZABC=60°.

(II)当AC：AE：CE=""l时,

AC：CE=73:1,即AC：CB=51,

:ZACB=90°,

：.ZABC=60°,

ZAOC=2ZABC=120°,

：.ZAOC的度数为60。或120°,

故④错误；

故选：B.

【点睛】本题主要考查了：L命题；2.勾股定理；3.圆周角定理及推论；4.直角三

角形的性质.能牢固掌握以上知识点并综合运用是做出本题的关键.

二、填空题

2

7.—在实数范围内有意义，则无的取值范围是

2x-l

【答案】

【分析】根据分式分母不为0列出不等式，解不等式即可.

【详解】解：由题意得，2/1知，

解得，洋1,

故答案为：

【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式分母不为0是解题的关键.

8.因式分解：ma2—6ma+9m—.

【答案】m(a-3)2

【分析】

本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前

提.先提取公因式加，再利用完全平方公式即可.

【详解】

原式=—6a+9)

=m^a—Sy,

故答案为：加(。-3)

9.如图，以边长为2的等边ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与8C边

相切，分别交AB,AC于。，E,则图中阴影部分的面积是.

试卷第6页，共30页

【答案】V3-j

【分析】

作A尸」BC,由勾股定理求出"，然后根据S阴影=SABC-S庸形ADE得出答案.

【详解】解：由题意，以A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与3C边相切,

设切点为R连接则

等边A6C中，AB=AC=BC=2,ABAC=60°,

：.CF=BF=1.

在RtACF中，AF=ylAB2-AF2=y/3,

60；rX（）2

-''S^=SABC-ADE=~x2xV3-^=A/3--,

阴影A8c屈形ADE23602

故答案为：A/3-|

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，求扇形面积，理解切线的性质，将阴影部

分的面积转化为三角形的面积-扇形的面积是解题的关键.

10.在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”,

在全国大规模推广，取得了很大成果.如图，利用黄金分割法,所做所将矩形窗框ABC。

分为上下两部分，其中£为边的黄金分割点，^BE-=AE-AB.已知AB为2米,

则线段助的长为米.

D

------------------1c

【答案】（6-1）/卜1+右）

【分析】根据点E是A8的黄金分割点，可得丝=—=理二1,代入数值得出答案.

BEAB2

【详解】•••点E是A3的黄金分割点，

.AEBEA/5-1

•.=__------.

BEAB2

：A8=2米，

3£=（指-1）米.

故答案为：（6-1）.

【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键.

11.如图，四边形ABCD内接于C。，对角线AC是。的直径，ZACD=30°,连接对

角线BD,则/C3D的度数是.

【答案】60。/60度

【分析】

根据直径所对的圆周角是直角得ZADC=90°,结合三角形内角和定理求得ZCAD=60°,

最后依据同弧所对的圆周角相等可得结果.

【详解】解：AC是:_O的直径，

.-.ZADC=90°,

ZACD=30°,

ZC4D=60°,

:./CBD=NCAD=60°,

故答案为：60°.

【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，以及同弧所对的圆

周角相等；解题的关键是熟练掌握相关知识点.

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12.如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点A,B,P是网格线的交点,

则ZB4B+NPBA=.

【答案】45°/45度

【分析】过点尸作尸D〃AB,延长AP至点C,连接8c由平行线的性质可证明出

ZPAB+ZPBA=ZBPC.再求出PC=BC=J?,PB=M,即可判定△BPC为等腰直

角三角形，即得出4PC=45。，即/PAB+NPBA=45。.

【详解】如图，过点P作尸D〃AB,延长AP至点C,连接BC,

•/PD//AB,

：.ZPAB=ZCPD,ZPBA=ZBPD,

：.NPAB+NPBA=ZCPD+ZBPD=Z.BPC.

由图可知尸C=8C=\产+22=也,PB=712+32=710，

PC2+BC2=PB2,

...△3PC为等腰直角三角形，

/.NBPC=45°,即NPAB+NPBA=45°.

故答案为：45°.

【点睛】本题考查平行线的性质，勾股定理和勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定

和性质.正确的作出辅助线是解题关键.

fX=1

13.已知｛c是方程办+勿=3的解，则代数式2a+4b-5的值为__.

[y=2

【答案】1

(x—1

【分析】把J2代入〃x+by=3可得〃+2b=3,而2i+4b-5=2(a+2Z?)-5,再整体代

入求值即可.

（——]

【详解】解：把c代入ox+by=3可得：

[y=2

a+2b—3，

2a+4b-5

=2"+2/?）-5

=2?35=1.

故答案为：1

【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，利用整体代入法求解代数式的值，掌握“方

程的解的含义及整体代入的方法”是解本题的关键.

14.若关于尤的方程x2+2kx+k2+k+3=0有两个实数根,则上2+%+3的最小值为.

【答案】9

【分析】根据题意得到判别式△加，解不等式即可求出4的范围，再求出严+k+3最小

值，即可.

【详解】解：根据题意得，A=⑵¥-4（左2+左+3）=-4*12/0

左W-3

设坟=/+左+3,贝1|卬=1+「）+—,对称轴为4-L

I2；42

■:k0-3

在对称轴左侧

当左=一3时，/小=[_3+；]+[=9,

故填：9.

【点睛】本题考查根的判别式，和二次函数求最小值，解题的关键是熟练运用根的判别

式，本题属于基础题型.

15.如图，点。在射线3c上移动（不含8点），RtABCsRtADE,ZACB=90°,AB=10,

8c=8,若SAC0E=3.6时，贝l|3£>=.

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，解题的关键

试卷第10页，共30页

是找到BAD^C4E的条件.设BD=x,因为RtABC^RtADE,所以可设

CF=3a,EF=4a,则CE=5a,结合j.A40sC4E,得到〃与工之间的关系，根据面

积列方程即可得到答案.

【详解】解：VZACB=90°,AB=10,BC=8,

*'­AC7AB2-BC?=6,

VRtABC^RtADE,

,ABA(J

—,ZBAC=ADAE,

ADAE

ABAD

：.ZBAD=ZCAE,

ACAE

:.BAD^CAE,

：.ZABD=ZACE,

过点E作EFJ.BC于一点F,

A

B

：ZECF+ZACE=90°,ZABD+ZBAC=90°,

•・ZECF=/BAC,

OA

\tanZECF=tanZBAC=—=—二一，

AC63

设皮＞=无，CF=3a,EF=4a,

•・CE=yjCF2+EF2=5a^

：BAD^CAE,

.ABBD

~AC~~CE，

.10x

65a

3

♦a=—x,

25

,S丛CDE=3.6，

X—x=3.6,

225

解得％=5,%=3,

/.=3或5,

故答案为：3或5.

16.如图，菱形ABCO中，ZABC=60°,AB=4,点尸是直线AD上一动点，点E在

直线PB上，若ZBEC=NBCP,则CE的最小值是—.

【答案】递

3

【分析】连接作.45石的外接圆CO,连接OB,OC,OA,利用相似三角

形的性质判断出NAEB=120。，得出点£的运动轨迹，可得结论.

【详解】连接AE,作一石的外接圆।O,连接OE,OB,OC,OA,

・・•四边形ABCD是菱形，

AB=BC,AD//CB,

：.ZBAD=18O0-ZABC=120°,

•；/BEC=ZBCP,/CBE=/PBC,

；.EBCsCBP,

.BCEB

•・而一拓’

:.BC2=BEBP,

AB?=BEBP，

.ABEB

•・而一瓦’

试卷第12页，共30页

*.*ZABE=ZABP,

；・_ABEs.PBA,

：.ZAEB=ZBAP=120°,

在O任取一点尸，连接AT,BF,

•・•O是二ABE1的外接圆，

/.ZF+ZAEB=180°,

・••点E在］。上运动，ZAOB=120°f

：.ZOBA=ZOAB=30°,0A=08=逑，

3

・・・ZOBC=NOBA+ZABC=30°+60°=90°,

22

・,•由勾股定理得：OC=^OB+BC=4+42二虫I,

K3J3

•：EC+OENOC

・八口8A/34734g明”、4若

3333

的最小值为逑，

3

故答案为：生叵.

3

【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质以及面积法的运用，解决问

题的关键是利用相似三角形的对应边成比例得出当点。，E,C三点共线时，CE最短.

三、解答题

5x-l>3x-4

17.求不等式组12的解集，并写出它的自然数解.

——X<—X

133

【答案】-1.5<x<l,自然数解为0,1

【分析】

本题主要考查的是解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据口诀：同大

取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集，再写出它

的自然数解.

5x—1>3x—4(J)

【详解】解：124

——x<——Mg)

I33

由①式得x>—1.5,

由②式得xWl,

不等式组的解集为-L5<xVl.

它的自然数解为0,1

C3'r2-4x+4

18.先化简，后求值：上x-1———,然后在0,1,2三个数中选一个适合

\x-lJx-1

的数，代入求值.

X+2

【答案】-当x=0时，原式=1

x-2

【分析】

先计算括号里面进行通分运算，再进而利用分式的混合运算法则计算得出答案.

【详解】

x-Px2一4%+4

解:原式二

尤―1,x~l

2

-4-—--x--X----X-—--1-

)(x-2)7

(尤+2)(x-2)x-1

x-1

x+2

x—2

由题意知％W1且xw2,

x=0,

当％=0时，原式=一詈1=1.

【点睛】

本题主要考查了分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法以及分式

有意义的条件.

19.在科学实验复习备考中，王老师为本班学生准备了下面3个实验项目：A.测量物

质的密度：B.实验室制取二氧化碳：C探究凸透镜成像.并准备了如图的三等分转盘，

规定每名学生可转动一次转盘，并完成转盘停止后指针所指向的实验项目（若指针停在

等分线上，则重新转动转盘）.根据数学知识回答下列问题：

⑴请直接写出：小明同学转动一次转盘,正好选中自己熟悉的“A”实验的概率是

（2）请你求出小明和小红两名同学各转动一次转盘，都没有选中"C'实验的概率（用树状

图或列表法求解）.

试卷第14页，共30页

【答案】⑴g

4

(2)列表见解析，都没有选中“。'实验的概率为

【分析】

(1)根据概率计算公式求解即可；

(2)先列出表格找到所有的等可能性的结果数，再找到都没有选中“。'实验的结果数,

最后依据概率计算公式求解即可.

【详解】(1)解：；一共有A、2、C三个项目，每个项目被选中的概率相同，

小明同学转动一次转盘，正好选中自己熟悉的“A”实验的概率是:，

故答案为：-

(2)解：列表如下：

ABC

A(A,A)(B,A)(C,A)

B(A,B)QB,B)(C,B)

C(A,C)(B,C)(C,C)

由表格可知一共有9种等可能性的结果数，其中都没有选中“。'实验的结果数有4种，

4

都没有选中实验的概率为§.

【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率的相

关知识是解题的关键.

20.随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已成为更多人的自主学习选择某校计

划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论为了

解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查

(不可多选，也不可不选)，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图

中信息，解答下列问题：

A人数

48

42

36

30

24

18

12

6

0在线在线在线在线技

阅读听课答题讨论

(1)直接写出本次调查的学生总人数；

(2)补全条形统计图；

(3)求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；

(4)该校共有学生3000人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生有多少人?

【答案】⑴90

(2)见解析

(3)48°

(4)800人

【分析】(1)利用在线答题的学生人数除以其所占百分比即得出总人数；

(2)用总人数减去其它在线学习方式人数即得出在线听课学生人数，即可补全统计图;

(3)求出在线讨论学生所占的百分比，再乘以360。即得出答案；

(4)求出在线阅读学生所占的百分比，再乘以该校总人数即可.

【详解】(1)本次调查的学生总人数：18+20%=90,

故答案为：90；

(2)在线听课的学生有：90-24-18-12=36(人)，

补全的条形统计图如下图所示；

试卷第16页，共30页

(3)扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角是：360°x^=48°,

即扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角是48。；

24

(4)3000X—=800(人)，

90

答：该校对在线阅读最感兴趣的学生有800人.

【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图相关联，由样本估计总体.根据题意，从统

计图中找到必要的信息和数据是解题关键.

21.如图，在矩形ABCD中,对角线相交于点。，且NCOE=/3OC、ZDCF=ZACD.

⑴求证：DF=CF；

(2)若NCDF=60。，DF=6,求矩形ABCD的面积.

【答案】(1)见解析

⑵36g

【分析】(1)先证明△OC尸名AOCO得到。尸=OO,CF=CO,再由矩形的性质证明OC=OD,

即可证明DF=CF=OC=OD；

(2)由全等三角形的性质得到/CDO=/CDF=60。，OD=DF=6,即可证明是等

边三角形，得到8=0。=6,然后解直角三角形求出8C的长即可得到答案.

【详解】(1)解：在和小。。。中，

ZDCF=ZDCO

<CD=CD,

ZCDF=ZCDO

:ADCFmADCO(ASA),

：.DF=DO,CF=CO,

:四边形ABC。是矩形，

/.OC^OD=-AC^-BD,

22

：.DF=CF=OC=OD；

(2)解：:ADCF名ADCO,

：.ZCDO=ZCDF=60°,OD=DF=6,

又,：OD=OC,

...△OCD是等边三角形，

：.CD=OD=6,

:四边形ABC。是矩形，

ZBCD=90°,

：.BC=CD-tanZBDC=6V3,

•1•S^ABCD=BC-CD=36百.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，全等

三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质是解题的关键.

22.图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂AC是可伸缩

的(10mWACV20m),且起重臂AC可绕点A在一定范围内转动，张角为

ZC4£(90°<ZCAE<150°),转动点A距离地面8。的高度AE为4m.

①②

(1)当起重臂AC长度为12m,张角/C4E为:120。时，求云梯消防车最高点C距离地面的

高度CF；

(2)某日、一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为22m,请问该消防车能否实

施有效救援？(参考数据：72-1.414,73-1.732)

【答案】(1)10m

(2)无法实施有效救援.

【分析】

(1)根据矩形的性质知道边相等，再利用直角三角形的正弦值得到CP；

(2)根据矩形的性质知道边相等，再利用直角三角形的正弦值得到CB,进而得到该消

防车能否可以实施有效救援.

【详解】(1)解：如图，作AGLCF于点G,

试卷第18页，共30页

ZAEF=ZEFG=ZFGA=90°,

・・・四边形AEFG为矩形，

AFG=AE=4m,NE4G=90。，

・•・ZGAC=ZEAC-ZEAG=120°-90°=30°,

在RfACG中,sin/C4G=—

AC

・•・CG=AC.sinZCAG=12xsin30°=12x1=6（m）,

・・・CF=CG+GF=6+4=10（m）；

（2）解：如图，作AGLC齐于点G,

,/ZAEF=ZEFG=ZFGA=90°,

・・・四边形AEFG为矩形，

/.FG=AE=4mfNE4G=90。，

,//C4E的最大角度为150。，

・•・ZGAC=ZEAC-ZEAG=150°-90°=60°,

•/AC=20m,

・•・在心ACG中，sinZCAG=——

AC

：.CG=ACsinNC4G=20xsin6（T=20x2^=10^~17.32（m）,

・・・CF=CG+GF=17.32+4=21.32（m）；

最高救援高度为21.32m,

,该居民家距离地面的高度为22m,

22m>21.32m,

故该消防车无法实施有效救援.

【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，掌握正弦的定义是解题的关键.

23.如图，矩形ABC。中，AD>AB,

（如需画草图，请使用备用图）

DD

BC

（备用图）

（1）请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：（不写作法，保留作图痕迹）

①在8c边上取一点E,使AE=BC；

②在CD上作一点F,使点尸到点D和点E的距离相等.

⑵在（1）中，若A8=6,AD=10,贝!]ZkAEF的面积=_.

【答案】（1）①见解析；②见解析；

【分析】（1）①以A为圆心，8C的长为半径画弧与8c交于点E；

②连接DE,作DE的垂直平分线与0c交于点F；

（2）根据矩形的性质，^AE=AD,利J用SSSvE^AEF^^ADF,^ZAEF=ZADF=9Q°,

利用勾股定理得BE=8,再得EC=2,利用勾股定理求出进而得出面积.

【详解】（1）解：①如图所示

点E即为所求

②如图所示

点厂即为所求

（2）解:连接ERAF

在矩形ABCD中

试卷第20页，共30页

AD=BC=10

又AE=BC

：.AE=AD=10

又DF=EF

：.AAEF^AADF(SSS)

/.ZAEF=ZADF=90°

在RtAABE中

BE=yjAE2-AB2=>/102-62=8

：.EC=BC-BE=2

令DF=FE=x,则FC=6-x

在RtAFCE中

FE2=FC2+EC2

.■.x2=(6—x)2+22

解得x=T

AAEF的面积为5X7x10=1^

故答案为：

【点睛】本题考查了等线段的截取，垂直平分线的画法及性质，全等三角形的判定和性

质以及矩形的性质，利用勾股定理求边长等知识点，熟练地掌握基本作图是解决问题的

关键.

24.南京有着“天下文枢”“江南第一州”等美誉.美丽环境来之不易为了美化环境，我市

加大了对绿化的投资，2021年用于绿化投资100万元，截止到2023年，这三年的绿化

总投资为331万元，求我市2022、2023这两年绿化投资的年平均增长率.

【答案】10%

【分析】

本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键.

设这两年绿化投资的年平均增长率为X,根据三年的绿化总投资钱数列方程求解即可.

【详解】解：设我市2022、2023这两年绿化投资的年平均增长率为X,则2022年用于

绿化投资100（1+%）万元，2023年用于绿化投资100（1+疗万元，

依题意得：100+100（l+x）+100（l+x）2=331,

整理得：100%2+300X-31=0.

解得：再=0.1=10%,X2=-3.1（不合题意，舍去）.

答：我市2022、2023这两年绿化投资的年平均增长率为10%.

25.如图，AB为。。的直径，C为BA延长线上一点，C。与。O相切于点。.

【答案】（1）见解析;

（2）1A/6

【分析】（1）连接。。，根据切线的性质，得出OD_LCD,即NADO+NS4=90。，

根据直径所对的圆周角等于90。，得出ZADO+ZBDO=90。，根据OB=OD,得出

ZB=ZBDO,即可得出=即可证明△C4Ds^CD8；

（2）设圆的半径为广，根据sinC=；,表示出C。，用r即可表示出AC、BC、利用

即可得出的长,再利用勾股定理求出A8的长,即可求出圆的半径.

【详解】（1）证明：连接0，

与。。相切于点。,

:.OD±CD,

:.ZCDO=90°,

:.ZADO+ZCDA=90°,

AB为。。的直径，

:.ZADB^9Q0,

试卷第22页，共30页

:.ZADO+ABDO=90°,

:.ZCDA=ZBDO,

OB=OD,

:"B=/BDO,

:.NB=NCDA,

NC=NC,

:ACADsACDB.

(2)设圆的半径为八

，C0=3r,

/.AC=CO—AO=3r—r=2r,

CB=CO+BO=3r+r=Ar,

ACAD^ACDB,

.ADCDAC

,BD~BC~CD9

;.CD~=ACBC=2r-4r=?,r2,

:6=府=2。，

AD2万

---=-----，

64r

【点睛】本题主要考查了切线的性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理、解直角三

角形，准确作出辅助线是解题的关键.

26.定义：在平面直角坐标系中，有一条直线工=机，对于任意一个函数，作该函数自

变量大于加的部分关于直线x=机的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于加的部

分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x的"镜面函数

”.例如：图①是函数y=x+i的图象，则它关于直线X=o的“镜面函数”的图象如图②

所示，且它的“镜面函数”的解析式为黑）,也可以写成尸N+1.

⑴在图③中画出函数y=2x+l关于直线x=i的“镜面函数”的图象.

(2)函数y=+2》+5关于直线x=-l的“镜面函数”与直线丫=彳+%有三个公共点，求

m的值.

(3)已知4-1,0),B(3,0),C(3,-2),0(-1,-2),函数y=尤?-2〃x+2(">0)关于

直线x=0的“镜面函数”图象与矩形ABCD的边恰好有4个交点，求〃的取值范围.

【答案】(1)图象见解析

⑵加的值为3或亍21

313

(3)”的取值范围为二<"<2或

26

【分析】

(1)根据“镜面函数”的定义画出函数y=2x+1的“镜面函数”的图象即可；

(2)分直线y=x+7找过“镜面函数，，图象与直线x=_l的交点和与原抛物线相切两种情况

求解即可；

(3)先求出y=f—2办+2伍>。)关于x=o的“镜面函数”解析式，再分x=T以及顶点

在产-2上的情况和尤=3时，列出不等式求解即可.

【详解】⑴解：如图③，即为函数函数y=2无+1关于直线x=l的“镜面函数”的图象,

试卷第24页，共30页

(2)对于y=-x2+2x+5,当x=0时，y=5,

二函数y=-d+2x+5与y轴的交点坐标为(0,5),

当x=-l时，j=-(-l)2+2x(-l)+5=2,即函数y=-x?+2x+5与尸一1的交点为(T,

2),

当直线y=x+机经过点(T,2)时，m=3,

根据对称性，此时，函数y=-/+2x+5关于直线x=-l的“镜面函数”与直线y=x+有

三个公共点；

当直线y=x+〃z与原抛物线只有一个交点时，也有三个公共点，

,,X-\-YYl——X2+2x+5，

整理得，X2—x+2+m-5=0,

止匕时，A=(-l)2-4x(m-5)=0,

21

解得，m=；,

4

y=0时，A=(-1)2-4X(；77-5)>0,

71

综上，加的值为3或?；

4

(3)解：函数y=f—2依+2(心0)关于1=0的“镜面函数”解析式为

X2-2nx+2(〃>0,x<0)

y=〈c,

x+2nx+2(n>0,x>0)

当了二—1时，y<0,

1—2fl+2<0,

3

解得，n>~；

2

cR-4n2

当y=x-2依+2(〃>0)的顶点在8上时，------=-2

4

解得〃=2或〃=-2(舍),

此时，函数y=f—2砒+2(〃>0)关于直线x=0的“镜面函数”图象与矩形ABCD的边有

5个交点，不合题意，

3_

—v〃<2,

2

当％=3时，yv—2,

/.9—6M+2v—2,

13

解得，;

6

综上，〃的取值范围为23〈几<2或〃>y13.

试卷第26页，共30页

【点睛】本题考查一次函数、二次函数的综合应用；理解并运用新定义“镜面函数”，能

够将图象的对称转化为点的对称，数形结合是解题的关键.

27.(1)【操作发现】

CG1

如图1,在矩形ABC。和矩形CEG尸中，一=-,AB=9,AD=12,小明将矩形CEG尸

AG2

绕点C顺时针转一定的角度，如图2所示.

①问：器4G的值是否变化?若不变，求A黑G的值；若变化，请说明理由.

BEBE

②在旋转过程中，当点2、E、尸在同一条直线上时，求AG的长度.

(2)【类比探究】

如图3,在ABC中，AB=AC=2,45,ZBAC=a°,tanZABC=1,G为BC中点，

点。为平面内一动点，且£>G=如，将线段班>绕点。逆时针旋转得到DE,则四

5

边形54CE面积的最大值为.

（图1）（图2）（图3）