湖北省十堰市2021年数学中考试题（解析版）

湖北省十堰市2021年数学中考试题

一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）

下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相

应的格子内.

1.-工的相反数是（）

2

11

A.—2B.2C.----D.—

22

【答案】D

【解析】

【详解】因为-4+3=。，所以-3的相反数是4.

2222

故选D.

2.如图，直线A3//CD,N1=55°,N2=32。，则N3=（）

【答案】A

【解析】

【分析】利用平行线的性质得到NC=N1=55°,再利用三角形外角的性质即可求解.

【详解】解：•••AS//CD,N1=55°,

AZC=Z1=55°,

Z3=Z2+ZC=87°,

故选：A.

【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角的性质，掌握上述基本性质定理是解题的关键.

3.由5个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图为（）

A-rrflB-庄ic-Fh-iD-LH

【答案】A

【解析】

【分析】根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案.

【详解】解：该几何体从上向下看，其俯视图是

rrfl，

故选：A.

【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的视图是俯视图.

4.下列计算正确的是()

A._2a3B.(-2a)~=4a~

C.(a+V)~—D.(a+2)(a-2)=-2

【答案】B

【解析】

【分析】根据同底数幕相乘、积的乘方、乘法公式逐一判断即可.

【详解】解：A.4./=46,该项计算错误；

B.(—2a)2=4",该项计算正确；

C.(a+b)2^a2+2ab+b2,该项计算错误；

D.(a+2)(a—2)=打_4,该项计算错误；

故选：B.

【点睛】本题考查整式乘法，掌握同底数幕相乘、积的乘方、乘法公式是解题的关键.

5.某校男子足球队的年龄分布如下表

年龄131415161718

人数268321

则这些队员年龄的众数和中位数分别是()

A.8,15B.8,14C.15,14D.15,15

【答案】D

【解析】

【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数,

众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个.

【详解】解：根据图表数据，同一年龄人数最多的是15岁，共8人，所以众数是15岁;

22名队员中，按照年龄从小到大排列，第11名队员与第12名队员的年龄都是15岁，所以，中位数是（15

+15)+2=15岁.

故选：D.

【点睛】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，众数是出现次数最多的数据，一组数据的众数

可能有不止一个，找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据

有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数，中位数不一定是这组数据

中的数.

6.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器

所需时间少1天，设现在平均每天生产无台机器，则下列方程正确的是（

400450,450400,400450“4504004

A.------------=1B.-------------=1C.-----------=50D.----------=5

x%-50x-50xx%+1x+1x

【答案】B

【解析】

【分析】设现在每天生产尤台，则原来可生产（x-50）台.根据现在生产400台机器的时间与原计划生产

450台机器的时间少1天，列出方程即可.

【详解】解：设现在每天生产了台，则原来可生产（x-50）台.

上小450400,

依题思侍：------------=1.

x-50x

故选：B.

【点睛】此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在生产400台机器的时间与原计划生产450台机

器的时间少1天”这一个条件，列出分式方程是解题关键.

7.如图，小明利用一个锐角是30°三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离为

15m,AB1.5m（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（

.4产工理D

B'----------C

A.^15\/3+^jmB.56mC.15GmD.^5^3+^jm

【答案】D

【解析】

【分析】先根据题意得出AD的长，在RtAAED中利用锐角三角函数的定义求出ED的长，由CE=CO+

DE即可得出结论.

【详解】解：'：AB±BC,DELBC,AD//BC,

，四边形ABC。是矩形，

：8C=15m,AB=1.5m,

.'.A£)=BC=15m,Z)C=AB=1.5m,

在RtAAED中,

,：ZEAD=30°,AD=l5m,

.•.ED=AD«tan30°=15又6=56,

3

CE=CD+DE=15若+野m.

故选：D.

【点睛】本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键，

属于基本知识的考查.

8.如图，ABC内接于0,/区4。=120°,45=4。,应)是一。的直径，若AD=3,则BC=()

A.2GB.373C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】首先过点。作。尸，BC于尸，由垂径定理可得2尸=。/=上8。，然后由/BAC=120。，AB=AC,

2

利用等边对等角与三角形内角和定理，即可求得NC与NBAC的度数，由2。为。。的直径，即可求得

与/。的度数，又由4。=3,即可求得8。的长，继而求得BC的长.

【详解】解：过点0作。尸，3C于凡

1

：.BF=CF=—BC,

2

9

：AB=ACfZBAC=120°,

：.ZC=ZABC=(180°-ZBAC);2=30。，

・・・NC与NO是同弧所对的圆周角，

：.ZD=ZC=30°,

・・・5。为。。的直径，

AZBA£>=90°,

ZABD=60°,

ZOBC=ZABD-ZABC=30°,

VAD=3,

.•.B£>=A£>4-cos30°=3♦&=2丛,

2

OB=gBD—y/3，

n3

：.BF=OB-cos30°=J3x2^.=~,

22

；.8C=3.

故选：C.

【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函

数值等知识.此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意准确作出辅助线.

9.将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27,则位于第32行第

13列的数是()

A.2025B.2023C.2021D.2019

【答案】B

【解析】

【分析】根据数字的变化关系发现规律第〃行，第w列的数据为：2n(n-l)+l,即可得第32行，第32列的数

据为:2X32X(32-1)+1=1985,再依次加2,到第32行，第13列的数据，即可.

【详解】解：观察数字的变化，发现规律：第〃行，第“列的数据为：2〃5-1)+1,

.,.第32行,第32列的数据为：2X32X(32-1)+1=1985,

根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2,

.•.第32行,第13列的数据为：1985+2X(32-13)=2023,

故选：B.

【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题.

10.如图，反比例函数y=?x>0)的图象经过点42,1),过A作轴于点2,连OA,直线CDLQ4,

交x轴于点C,交y轴于点O,若点8关于直线CD的对称点8'恰好落在该反比例函数图像上，则。点纵

【答案】A

【解析】

【分析】设点B关于直线CD的对称点a,亍)，易得班，〃0A求出。的值，再根据勾股定理得到两点

间的距离，即可求解.

【详解】解：：反比例函数y=£k(x>0)图象经过点42,1),

X

:•k=2,

直线OA的解析式为y=gx,

CDLOA,

设直线CD的解析式为y^-2x+b,

则。(0,。),

设点B关于直线CD的对称点

则①，

且BBV/OA,

2-1r

即J=j_，解得a=6-1，

a2

代入①可得6=5/一1,

4

故选：A.

【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键.

二、填空题(本题有6个小题，每小题3分，共18分)

11.2021年5月11日，第七次全国人口普查结果公布，我国总人口大约为1412000000人,把数字1412000000

科学记数法表示为.

【答案】1.412xl09

【解析】

【分析】直接利用科学记数法表示数的方法即可求解.

【详解】解：1412000000用科学记数法表示为1.412x1()9,

故答案为：1.412x10"

【点睛】本题考查科学记数法，掌握用科学记数法表示数的方法是解题的关键.

12.已知孙=2,x—3y=3,贝1]2%为一12/丁+18盯3=.

【答案】36

【解析】

【分析】先把多项式因式分解，再代入求值，即可.

【详解】vxy=2,x-3y=3,

原式=2孙(x-3y)2=2x2x3?=36,

故答案是：36.

【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键.

13.如图，0是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5,AD=12,则四边形ABOM的

周长为.

【答案】20.

【解析】

【详解】；AB=5,AD=12,

•••根据矩形的性质和勾股定理，得AC=13.

：BO为RtAABC斜边上的中线

；.BO=6.5

是AC的中点，M是AD的中点，

.•.OM是AACD的中位线

.\OM=2.5

，四边形ABOM的周长为：6.5+2.5+6+5=20

故答案为20

14.对于任意实数。、b,定义一种运算：a®b=aI^一ab，若x⑤(x—1)=3,则x的值为.

【答案】—1或2

【解析】

【分析】根据新定义的运算得到x(8)(x—1)=无2+(x—if—龙(工—1)=3,整理并求解一元二次方程即可.

【详解】解：根据新定义内容可得：%0(X-1)=X2+(X-1)2-X(X-1)=3,

整理可得/%—2=0,

解得看=—1,=2,

故答案为：-1或2.

【点睛】本题考查新定义运算、解一元二次方程，根据题意理解新定义运算是解题的关键.

15.如图，在边长为4的正方形A3CD中，以A5为直径的半圆交对角线AC于点E，以C为圆心、长

为半径画弧交AC于点孔则图中阴影部分的面积是.

【答案】3万-6

【解析】

【分析】连接BE,可得△ABE是等腰直角三角形，弓形BE的面积="-2,再根据阴影部分的面积=弓形

8E的面积+扇形的面积-6CE的面积，即可求解.

【详解】连接BE,

,/在正方形ABCD中，以A5为直径的半圆交对角线AC于点E,

：.ZAEB=90°,即：AC1BE,

VZCAB=45°,

，AABE是等腰直角三角形，即：AE=BE,

1,1

弓形BE的面积=-7Tx2x2x2=yr—2,

42

•••阴影部分的面积=弓形BE的面积+扇形CBF的面积--3CE的面积

%—2+45竺4!」＞4x4=3乃6

36022

故答案是：3万-6.

【点睛】本题主要考查正方形的性质，扇形的面积公式，添加辅助线，把不规则图形进行合理的分割，是

解题的关键.

16.如图，在火力ABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=6,点尸是平面内一个动点，且AP=3,Q为BP

的中点，在尸点运动过程中，设线段CQ的长度为相，则相的取值范围是

【答案】—7WmW1上3

22

【解析】

【分析】作的中点连接CM、QM,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中

位线定理求得QM和CM的长，然后在△CQW中根据三边关系即可求解.

【详解】解：作A8的中点连接CM、QM.

AP=3,

・•・P在以A为圆心，3为半径的圆上运动,

在直角ZVIBC中，48=7AC2+BC2=A/82+62=10>

•/M是直角△ABC斜边A2上的中点，

1

：.CM=—AB=5.

2

；Q是BP中点，M是A8的中点，

13

.,.MQ=-AP=-

22

33713

...在△CM。中，5--WCQW—+5,即一W〃zW—.

2222

713

故答案是：一WmW—.

22

【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质，三角形三边长关系，勾股定理、直角三角形斜边上的中线等

于斜边的一半，作圆，作A2的中点连接CM、QM,构造三角形，是解题的关键.

三、解答题（本题有9个小题，共72分）

17.计算：Jicos45°+[£|-|-3|.

【答案】1

【解析】

【分析】利用特殊角的三角函数值、负整数指数事、绝对值的性质逐项计算，即可求解.

详解】解：原式=^x走+3-3

2

=1­

【点睛】本题考查实数的运算，掌握特殊角的三角函数值、负整数指数幕、绝对值的性质是解题的关键.

a+2u—1।u—4

18.化简:

/—2〃4—4〃+4Ja

1

【答案

【解析】

【分析】先算分式的减法，再把除法化为乘法运算，进行约分，即可求解.

a+2

【详解】解：原式=

^a(a-2)

(q+2)(a-2)、a

、—2)2a(a—2)。a-4

/—4—6+〃(J

一2)2〃一4

a-4a

a(a—2)2tz—4

1

(a—2)2

【点睛】本题主要考查分式的化简，掌握分式的通分和约分，是解题的关键.

19.为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行党史知识竞赛活动.赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得

分划分为A、B、C、。四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图.

等级成绩(X)人数

A90<x<10015

B80<x<90a

C70<%<8018

D%<707

根据图表信息，回答下列问题：

(1)表中。=；扇形统计图中，C等级所占百分比是；D等级对应的扇形圆心角为

一度；若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为A等级的学生共有—

人.

(2)若95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这4人中随机选出两人参加市级

比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有1人被选中的概率

【答案】(1)20,30%,42°,450人；(2)-

6

【解析】

【分析】(1)先由A等级的圆心角度数和人数，求出样本总数，作差即可得到。的值，再根据C和。占总

人数的比例，求出百分比或圆心角度数，利用样本估计总体的方法求出全校成绩为A等级的人数；

(2)先列出表格，将所有情况列举，利用概率公式即可求解.

【详解】解：⑴总人数为15+考;=60人，

360

.•.0=60-15-18-7=20,

1g

C等级所占的百分比一x100%=30%，

60

7

D等级对应的扇形圆心角丁x360=42。，

若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，成绩为A等级的学生共有1800><—=450人;

60

(2)列表如下:

甲乙丙T

甲甲乙甲丙甲丁

乙甲乙乙丙乙丁

丙甲丙乙丙丙丁

T甲丁乙丁丙丁

共有12种情况，其中甲、乙两人至少有1人被选中的有10种,

(甲、乙两人至少有1人被选中)=W=9.

126

【点睛】本题考查统计与概率，能够从扇形统计图和统计表中获取相关信息是解题的关键.

20.已知关于尤的一元二次方程X2-4X-2m+5=0有两个不相等的实数根.

(1)求实数，”的取值范围；

(2)若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数机的值.

【答案】(1)m>-(2)1

2:

【解析】

【分析】(1)直接利用根的判别式即可求解；

(2)根据韦达定理可得=~2m+5>0,X]+々=4,得到;〈根<|,根据两个根和m都是整数,

进行分类讨论即可求解.

【详解】解：⑴•••一元二次方程V—4%-2加+5=0有两个不相等的实数根，

A=16-4(-2m+5)>0,

解得m>-；

2

(2)设该方程的两个根为占、x2,

•••该方程的两个根都是符号相同的整数,

/.芭82=—2m+5>0,%+々=4,

.15

・・一<M<—f

22

，加的值为1或2,

当根=1时，方程两个根为占=1、%2=3；

当m=2时，方程两个根毛与马不是整数；

'.m的值为1.

【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、韦达定理，掌握上述知识点是解题的关键.

21.如图，已知43c中，。是AC的中点，过点。作。石，AC交于点£,过点A作A尸/ABC交。E

于点F,连接AE、CF.

(1)求证：四边形AEC户是菱形；

(2)若CF=2,NE4C=30°,N5=45。，求AB的长.

【答案】(1)证明见解析；(2)思

【解析】

【分析】(1)通过证明△/W­△CDE得到A^=CE,即四边形AECV是平行四边形，再根据对角线互

相垂直的平行四边形是菱形即可得证；

(2)点A作通过解直角三角形即可求解.

【详解】解：(1)•：AF//BC,

：.ZFAD=ZECD,

是AC的中点，DELAC,

:.NFDA=/EDC,AD=CD,

：.AADF^ACDE,

：.AF=CE,

，四边形AEC尸是平行四边形，

•：DEVAC,

平行四边形AECP是菱形;

(2)•；AECC是菱形,

AF=CF=2,

,•AD=AF-cos30°=E，

•••AC=2AD=2A/3，

过点A作川

AM=AC-sin30°=73，

..AMFT

..AB=--------=v6.

sin45°

【点睛】本题考查菱形的判定与性质、解直角三角形等内容，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

22.如图，已知AB是（。的直径，C为（0上一点，NOCB的角平分线交（。于点。，厂在直线A5上,

且。垂足为E,连接A。、BD.

（1）求证：是:。的切线；

（2）若tanNA=^,，。的半径为3,求防的长.

2

Q

【答案】（1）证明见解析；（2）EF=-

【解析】

【分析】（1）连接0D通过等边对等角和角平分线的定义得到NODC=N3CE>,利用平行线的性质与判

定即可得证；

(2)通过证明AA力歹sADH△求出线段DF和BF的长度,再通过证明二OD/s,台班，利用相似三角

形的性质即可求解.

【详解】解：(1)连接OD,

OD=OC,

：.ZOCD=ZODC,

平分NOCB,

ZOCD=ZBCD,

：.ZODC=ZBCD,

：.OD//BC,

•:DF±BC

ODLDF,

二DR是O。的切线;

(2)VZADO+ZBDO^90°,ZFDB+ZBDO=90°,

/.ZADO=ZFDB,

•：ZADO=ZOAD,

：.ZOAD=ZFDB,

；•AADF^ADBF，

DBDFBF,41

----===tanZA=—,

ADAFDF2

：.DF=-AF=2BF,

2

即g(3B+6)=2BB,解得5尸=2,DF=4,

-：OD±DF,BE1DF>

ODFsBEF,

EFBF2.用尸尸8

——=——=----,解得所=一

DFOF2+35

【点睛】本题考查圆与相似综合，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

23.某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg,经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y

0.25%+30（1<%<20）/、

（元/kg）与时间天）之间的函数关系式为：y=j35（20<x<40）且X为整数，且日销量加（kg）

与时间X（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：

时间X（天）13610・・・

日销量加（kg）142138132124•・・

填空：

（1）m与x的函数关系为；

（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？

（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg商品就捐赠〃元利润（“<4）给当地福利院，后发现:

在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间尤的增大而增大，求”的取值范围.

【答案】（1）m=-2x+144；（2）第16天销售利润最大，最大为1568元；（3）0<n<2

【解析】

【分析】（1）设加=米+人将（覃42）,（3,138）代入，利用待定系数法即可求解；

（2）分别写出当1WXW20时与当20<x<40时的销售利润表达式，利用二次函数和一次函数的性质即可

求解；

（3）写出在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润表达式，根据二次函数的性质可得对称轴16+2”420,

求解即可.

【详解】解：（1）设加=区+人将（U42）,（3,138）代入可得:

142=k+b[k=-2

"Leen>解得]，

138=3k+b[b=144

m=-2x+144；

（2）当l«x<20时，

销售禾润UW=my-20m=（-2x+144）（0.25%+30-20）=--（x-16）+1568,

当x=16时，销售利润最大为1568元；

当20<x<40时，

销售利润W=my-20m=-30%+2160,

当x=21时，销售利润最大为1530元；

综上所述，第16天销售利润最大，最大为1568元；

（3）在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润为:

W'=my—20m—nm=（0.25x+10—«）（—2x+144）=--,尤2+（16+2W）X+1440—144〃,

••,1KXW20时，W'随x的增大而增大，

，对称轴16+2/420,解得0<〃W2.

【点睛】本题考查二次函数与一次函数的实际应用，掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键.

24.已知等边三角形ABC,过A点作AC的垂线/,点P为/上一动点（不与点A重合），连接CP,把线

段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ,连

-AI

AP1API

（S1）（图2）（图3）

1

（1）如图1,直接写出线段AP与3Q的数量关系；

（2）如图2,当点P、8在AC同侧且AP=AC时，求证：直线PB垂直平分线段CQ；

3分别位于直线AC异侧，且，APQ的面积等于且,

（3）如图3,若等边三角形ABC的边长为4,点P、

4

求线段"的长度.

【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）26+且

33

【解析】

【分析】（1）根据旋转的性质以及等边三角形的性质，可得CP=CQ,ZACP=ZBCQ,AC=BC,进而即可

得到结论；

（2）先证明△■BCQ是等腰直角三角形，再求出/圆。=45°,根据等腰三角形三线合一的性质，即可得到

结论;

(3)过点8作BEL,过点。作。尸」，根据△AC。名ZkBC。，可得AP=BQ,ZCAP=ZCBQ=90°,

设AP=x,贝I]BQ=x,MQ=x-^-43,QF=（x-g百）X二＞,再列出关于x的方程，即可求解.

332

【详解】（1）证明：..•线段CP绕点C逆时针方向旋转60。得到CQ,

：.CP=CQ,ZPCQ=60a,

:在等边三角形ABC中，ZACB=60°,AC=BC,

：.ZACP=ZBCQ,

：.4ACP当ABCQ,

...AP=BQ-

⑵VAP=AC,CALI,

△ACP是等腰直角三角形，

.•.△3CQ是等腰直角三角形，ZCBQ=90°,

;在等边三角形ABC中，AC=AB,ZBAC=ZABC=60°,

：.AB=AP,ZBAP=90°-60°=30°,

：.ZABP=ZAPB=^SQ°-30°）4-2=75°,

.•.ZCBD=180°-75°-60°=45°,

:.PD平分/CBQ,

直线PB垂直平分线段CQ；

（3）过点8作BELl,过点Q作QB,I,

由（1）小题，可知：AACP^ABCQ,

：.AP^BQ,ZCAP=ZCBQ=90°,

ZACB=60°,ZCAM=90°,

：.ZAMB=360°-60°-90°-90°=120°,BP：ZBME=ZQMF=60°,

ZBAE=90°-60°=30°,AB=4,

：.BE=-AB=2,

2

：.BM=BE^sm60°=2^—=-A/3,

23

设AP=x,贝!J5Q=x,MQ=x-^y/3,QF=MQXsin60°=(E)X亘

32

•••-APQ的面积等于苴，

4

:.^APXQF=昱,即：JXX(X-1G)><@=3,解得：％=2百+亘或％=2百—亘(不合

2423243333

题意，舍去)，

：.AP=-y/3+^~.

33

【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，根据

题意画出图形，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键.

25.已知抛物线ynaV+bx—S与x轴交于点A（-1,O）和5（-5,0）,与y轴交于点C,顶点为尸，点N在

抛物线对称轴上且位于1轴下方，连AN交抛物线于连AC、CM.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1,当tanNACM=2时，求M点的横坐标;

(3)如图2,过点尸作无轴的平行线/,过M作又D_L/于。，若MD=-^MN，求N点的坐标.

【答案】⑴y=-犬-6x-5；(2)-—；(3)N—3,-2-n)

【解析】

【分析】(1)将点A(—L0