中考数学圆与相似综合经典题

中考数学圆与相似综合经典题

一、相似

1.综合题

（1）【探索发现】

如图①，是一张直角三角形纸片，NB=90。，小明想从中剪出一个以ZB为内角且面积最大

的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随

后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为多

（2）【拓展应用】

如图②，在△ABC中，BC=a,BC边上的高AD=h,矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、

AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为多少.（用含a,h的代数

式表示）

（3）【灵活应用】

如图③，有一块"缺角矩形'ABCDE,AB=32,BC=40,AE=20,CD=16,小明从中剪出了一个

面积最大的矩形（NB为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积.

（4）【实际应用】

如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD,经测量AB=50cm,BC=108cm,CD=60cm,且

4

tanB=tanC=1,木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形

PQMN,求该矩形的面积.

【答案】（1）解：:EF、ED为△ABC中位线，

11

：.EDIIAB,EFIIBC,EF=2BC,ED=2；AB,

又NB=90",

•1.四边形FEDB是矩形,

11

S矩形FEDBEF,DE221

sABC112

-AS-SC-AB-BC

则/J

(2)解：PNIIBC,

AAPN-AABC,

PN_AtPNh-PC.

AL,即Th

PN=a"PQ,

设PQ=x,

hah

贝°S电般PQMN=PQ'PN=X(a-'x)=-"x2+ax=-"(X-2)2+4,

hah

当PQ=1时，scMz最大值为7.

矩形P11QMN

(3)解：如图1,延长BA、DE交于点F,延长BC、ED交于点G,延长AE、CD交于点

H,取BF中点I,FG的中点K,

由题意知四边形ABCH是矩形，

VAB=32,BC=40,AE=20,CD=16,

EH=20、DH=16,

AE=EH>CD=DH,

在^AEF和^HED中，

NFAE=/DHE

AE=AH

,/NAEF=/HED，

/.△AEa△HED(ASA),

/.AF=DH=16,

同理△CDG垩△HDE,

/.CG=HE=20,

AB+Ab

/.Bl=2=24,

,/Bl=24<32,

「•中位线IK的两端点在线段AB和DE上，

过点K作KL_LBC于点L,

1111

由【探索发现】知矩形的最大面积为2XBG・2BF=2X(40+20)xi(32+16)=720,

答：该矩形的面积为720；

(4)解：如图2,延长BA、CD交于点E,过点E作EH_LBC于点H,

E

,/tanB=tanC=3,

ZB=ZC,

・•・EB=EC,

,/BC=108cm,且EH_LBC,

J

：.BH=CH=2BC=54cm,

Eh4

tanB==3,

44

EH=JBH=Jx54=72cm,

在RtABHE中，BE=\^/游=90cm,

AB=50cm,

AE=40cm,

BE的中点Q在线段AB上,

CD=60cm,

ED=30cm,

•CE的中点P在线段CD上,

二中位线PQ的两端点在线段AB、CD±,

1

由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为4BC・EH=1944cm2,

答：该矩形的面积为1944cm2.

11

【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理可得EDIIAB,EFIIBC,EF-BC,ED=2

AB,根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形FEDB是平行四边形，而

NB=90。，根据一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形FEDB是矩形，所以

11

c-BC•-AB

SDFEDBEF•DE221

sABC112

-AB・BC-AB・BC

22.>

PN_At

则可得比例式而一无，即

(2)因为PNIIBC,由相似三角形的判定可得AAPN-AABC,

PNh-PGaa

---------PN=a—PQa—x

力，解得力，设贝（h）

aPQ=x,ljS“i；,PQMN=PQ'PN=X

a4人丫成‘力

--r*ax=—\x-0+——<―

h〃-/,因为h0,所以函数有最大值，即当PQ“时，

ah

。S短彩PQMN有旦最取■大八值以为人4;

（3）延长BA、DE交于点F,延长BC、ED交于点G,延长AE、CD交于点H,取BF中点

I,FG的中点K,由矩形的判定可得四边形ABCH是矩形，根据矩形的性质和已知条件易得

AE=EH、CD=DH,于是用角边角可得△AEF^△HED,所以AF=DH=16,同理可得

AB+Ab

BI=----------

△CDG空△HDE,则CG=HE=20,所以2=24,BI=24<32,所以中位线IK的两端点

11

在线段AB和DE上，过点K作KL_LBC于点L,由（1）得矩形的最大面积为幺xBG・2BF=

11

-x（40+20）xE（32+16）=720；

（4）延长BA、CD交于点E,过点E作EH±BC于点H,因为tanB=tanC,所以NB=ZC,

144

则EB=EC,由等腰三角形的三线合一可得BH=CH=-BC=54cm；由tanB可求得EH=）BH=3

x54=72cm,在RtABHE中，由勾股定理可得BE=90cm,所以AE=BE-AB=40cm,所以BE的中

点Q在线段AB上，易得CE的中点P在线段CD上，由（2）得矩形PQMN的最大面积为

1

4BC«EH=1944cm2

2.阅读下列材料，完成任务：

自相似图形

定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形.例

如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG,HF交

于点0,易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方

形相似，故正方形是自相似图形.

任务：

A

圈3-2

图4-1国右2

（1）图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为

（2）如图2,已知△ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,小明发现△ABC也是“自相似图

形”，他的思路是：过点C作CD±AB于点D,则CD将4ABC分割成2个与它自己相似的

小直角三角形.已知△ACD-△ABC,则AACD与^ABC的相似比为;

（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a,宽AB=b（a>b）.

请从下列A、B两题中任选一条作答.

A：①如图3-1,若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则

a=（用含b的式子表示）；

②如图3-2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则

a=（用含n>b的式子表示）；

B:①如图4-1,若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割

成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=（用含b的式子表

示）；

②如图4-2,若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n

个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=（用含m,n,b的式子

表示）.

1

【答案】（1）2

4

⑵之

y[21ImImn-f-J

（3）•g；近76或3；（A-，或1n

【解析】【解答】（解：（1）♦.•点H是AD的中点，

1

AH=2AD,

正方形AEOH~正方形ABCD,

Ah1

相似比为：〃==2；

故答案为：2;

(2)在RtZkABC中，AC=4,BC=3,根据勾股定理得，AB=5,

AC_4

「.△ACD与△ABC相似的相似比为：而一

4

故答案为：5；

(3)A、①矩形ABEF-矩形FECD,

AF：AB=AB：AD,

1

BP^a：b=b：a,

3=\J2b；

故答案为：J?

i

②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和7a,

1

则b：na=a：b,

/.a=xjnb；

故答案为：7石

B、①如图2,

图2

由①②可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等,

1

：.DN=3b,

I、当FM是矩形DFMN的长时，

矩形FMND-矩形ABCD,

FD：DN=AD：AB,

1

即FD：Jb=a：b,

1

解得FD=3a,

12

•"AF=a一Ja=3a,

2

Ab5d1

/.AG=2=2=Ja,

矩形GABH-矩形ABCD,

/.AG：AB=AB：AD

1

即Ja：b=b：a

得：a=b；

II、当DF是矩形DFMN的长时,

,/矩形DFMN-矩形ABCD,

/.FD：DN=AB：AD

/

即FD：*3b=b：a

解得FD=3a,

j3/

AF=a-=3a,

竺3/-4

AG=2-3a,

1.,矩形GABH-矩形ABCD,

AG：AB=AB：AD

即3a：b=b：a,

更

得：a=3b；

故答案为：、万或3；

由①②可知纵向m块矩形全等，横向n块矩形也全等,

1

/.DN=/jb,

I、当FM是矩形DFMN的长时，

,/矩形FMND~矩形ABCD,

/.FD：DN=AD：AB,

即FD：nb=a：b,

解得FD=〃a,

1

AF=a-na.

AG=m-zzz=mna,

■：矩形GABHs矩形ABCD,

AG：AB=AB：AD

n-1

即加7a：b=b：a

口、当DF是矩形DFMN的长时,

矩形DFMN-矩形ABCD,

FD：DN=AB：AD

即FD：nb=b：a

生

解得FD=〃a,

£

AF=a-rm»,

Abnd-Ir

AG=m=mna,

•・,矩形GABH-矩形ABCD,

AG：AB=AB：AD

na2-g

即mna；b=b：a,

故答案为：或7

7"-/bnb.

【分析】由题意可知，用相似多边形的性质即可求解。相似多边形的性质是;相似多边形的

对应边的比相等。相似多边形的对应边的比等于相似比。

1

(1)山题意知，小正方形的边长等于大正方形的边长的一半，所以其相似比必；

(2)在直角三角形BC中，由勾股定理易得AB=5,而CD工AB,所以用面积法可求得

12

12CL~4

CD=5,所以相似比二/"=，二5;

a

2_b

,——

ba

(3)A、①由题意可得，解得。二、%

a

nb

②同理可得;％-Z解得，a=\lnb.

B、①最小的矩形的长和宽与大矩形的场和宽的对应方式有两种，所以分两种情况来解：

FDa

FD_AL~-1)1

I、当FM是矩形DFMN的长时，由题意可得成比例线段，~DN=7^3，解得FD=Z则

1

AF的长也可用含a的代数式表示，而AG=GF=-；AF,再根据矩形GABH-矩形ABCD,得到相

对应的比例式即可求得a=/b;

更

II、当DF是矩形DFMN的长时，同理可得@=3b;

②同①中的两种情况类似。

3.如图，AB是半圆0的直径，AB=2,射线AM、BN为半圆0的切线.在AM上取一点

D,连接BD交半圆于点C,连接AC.过。点作BC的垂线0E,垂足为点E,与BN相交于点

F.过D点作半圆。的切线DP,切点为P,与BN相交于点Q.

求BQ的长；

(2)求证：FQ=BQ

【答案】(1)解：•••AAB人ABF6,

AD=OB=-^B=1

VDP,DA均为半圆切线,

：.DA=DP=1

连接办,

则OP=OA-DA=DF,

「•四边形加”为菱形，

・•・DQIIAb，

,他朋均为半圆切线，

/.DAIIQb,

四边形〃仍4为平行四边形「•BQAD二1,

(2)证明：易得」/应〜」BF。9

BFAB

OB=AD,

9

・"二方

•••2%是半圆的切线，

：..W=DP,QB=QF.

过&点作QK工，必于点K,

则QK-AB-2.

在放4%中，旅=Kd+旅，

：.（AD+BQ/=（他-BQ）2+2s,

BQ--

解得：，

2

FQ=BF-BQ=—

ADADAL

・•.FQ=BQ

【解析】【分析】(1)连接0P,由AABDMABFO可得AD=OB,由切线长定理可得AD=DP,

于是易得OP=OA=DA=DP,根据菱形的判定可得四边形DAOP为菱形，则可得DQIIAB,易

得四边形DABQ为平行四边形，根据平行四边形的性质可求解；

BFAb

(2)过Q点作QKJLAM于点K,由已知易证得AABD-ABF。，可得比例式施•也可得

BF与AD的关系，由切线长定理可得AD=DP,QB=QP,解直角三角形DQK可求得BQ与AD

的关系，则根据FQ=BF-BQ可得FQ与AD的关系，从而结论得证。

4.如图1,在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=4,D是BC上一个动点，连接AD,以AD为

边向右侧作等腰直角△ADE,其中NADE=90。.

(1)如图2,G,H分别是边AB,BC的中点，连接DG,AH,EH.求证：

△AGD-△AHE；

(2)如图3,连接BE,直接写出当BD为何值时，△ABE是等腰三角形；

(3)在点D从点B向点C运动过程中，求△ABE周长的最小值.

【答案】(1)证明：如图2,由题意知AABC和AADE都是等腰直角三角形,

ZB=NDAE=45°.

H为BC中点，

AH±BC.

ZBAH=45°=ZDAE.

ZGAD=ZHAE.

在等腰直角△BAH和等腰直角△DAE中，

叱

AH=2AB=MAG,AE=A/^AD.

AHAt

**.AGALf

/.△AGD~△AHE；

(2)解：分三种情况：①当B与D重合时，即BD=O,如图3,此时AB=BE；

A

②当AB=AE时，如图4,此时E与C重合,

图4

■D是BC的中点,

BD=EBC=2；

③当AB=BE时，如图5,过E作EHJ_AB于H,交BC于M,连接AM,过E作EG_LBC于

G,连接DH,

AH=BH,

/.AM=BM,

ZABC=45°,

AM±BC,△BMH是等腰直角三角形,

,,,AD=DE,ZADE=90°,

易得△ADM合△DEG,

DM=EG,

,/ZEMG=ZBMH=45°,

…EMG是等腰直角三角形，

ME=xfiMG,

由（1）得：△AHD-△AME,且DH,

：.ZAHD=ZAME=135\ME=x/iDH,

ZBHD=45°,MG=DH,

.〔ABDH是等腰直角三角形，

/.BD=DH=EG=DM=W；

综上所述，当BD=O或屹或2屹时，△ABE是等腰三角形;

（3）解：当点D与点B重合时，点E的位置记为点M,连接CM,如图6,

此时，ZABM=ZBAC=90°,ZAMB=ZBAM=45°,BM=AB=AC.

四边形ABMC是正方形.

ZBMC=90°,

/.ZAMC=ZBMC-ZAMB=45°,

,/ZBAM=ZDAE=45°,

ZBAD=ZMAE,

在等腰直角△BAM和等腰直角△DAE中，

AM=V^AB,AE=\fiAD.

AM_Ab

AL.

/.△ABD〜△AME.

ZAME=ZABD=45°

.•・点E在射线MC±,

作点B关于直线MC的对称点N,连接AN交MC于点匕

1/BE+AE=NE+AENAN=NE'+AE'=BE'+AE',

△ABE7就是所求周长最小的△ABE.

在RtAABN中，

「AB=4,BN=2BM=2AB=8,

AN=qg+B卢-

△ABE周长最小值为AB+AN=4+4J3.

【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得NB=NDAE=NBAH=45。，所以

AH_Ab

NGADNHAE,计算可得比例式：AGAL,根据有两对边对应相等，且它们的夹角也相等

的两个三角形相似可得4AGD-AAHE；

（2）根据等腰三角形的定义可知分3种情况讨论：①当B与D重合时，即BD=O,此时

AB=BE；

②当AB=AE时，此时E与C重合，用勾股定理可求得BD的值；

③当AB=BE时，过E作EH_LAB于H,交BC于M,连接AM,过E作EG_LBC于G,连接

DH,由已知条件和（1）的结论可求解；

（3）当点D与点B重合时，点E的位置记为点M,连接CM,作点B关于直线MC的对称

点N,连接AN交MC于点F,由已知条件易证四边形ABMC是正方形，由已知条件通过计

AM_At

算易得比例式：益一元，根据有两对边对应相等，且它们的夹角也相等的两个三角形相似

可得AABDs△AME,则NAME=NABD=45。，于是可得点E在射线MC上，根据轴对称的性

质可得△ABE，就是所求周长最小的△ABE,在RtAABN中，用勾股定理即可求得AN的值，

则^ABE周长最小值=AB+AN即可求解。

5.如图，△ABC内接于。。，且AB=AC.延长BC到点D,使CD=CA,连接AD交。0于点

E.

(1)求证：△ABE2△CDE；

(2)填空：

①当NABC的度数为时，四边形AOCE是菱形；

②若AE=6,BE=8,则EF的长为.

【答案】(1)证明：,,,AB=AC,CD=CA,ZABC=ZACB,AB=CD.

,四边形ABCE是圆内接四边形，,NECD=NBAE,ZCED=ZABC.

ZABC=ZACB=ZAEB,/.ZCED=ZAEB,二△ABE合△CDE(AAS)

5

(2)60；2

【解析】【解答】解：（2）①当NABC的度数为60。时，四边形AOCE是菱形;

理由是：连接AO、OC.

,/四边形ABCE是圆内接四边形，，NABC+NAEC=180。.

ZABC=60,ZAEC=120°=ZAOC.

•1,OA=OC,ZOAC=ZOCA=30".

AB=AC,J.AABC是等边三角形，CACB=60".

,/ZACB=NCAD+ZD.

,..AC=CD,J.NCAD=ND=30",NACE=180°-120°-30°=30°,，NOAE=NOCE=60°,...四

边形AOCE是平行四边形.

OA=OC,.,“AOCE是菱形；

②由(1)得：AABE^△CDE,r.BE=DE=8,AE=CE=6,，ND=NEBC.

ECCf6

•：ZCED=NABC=NACB,△ECD-△CFB,/.EDBC=8.

AEBC.6836

■：ZAFE=NBFC,ZAEB=NFCB,△AEF-△BCF,/.EF~CfEF=6,：.EF=8=

5

~2.

故答案为：①60。；②2.

【分析】(1)由题意易证NABC=ZACB,AB=CD；再由四点共圆和己证可得

ZABC=ZACB=ZAEB,ZCED=ZAEB,则利用AAS可证得结论；

(2)①连接A。、CO.宪政△ABC是等边三角形，再证明四边形AOCE是平行四边形，又

AO=CO可得结论；

②先证△ECD-△CFB,可得EC：ED=CF：BC=6:8：再证aAEFsABCF,则AE：EF=BC：

CF,从而求出EF.

6.如图，在矩形ABCD中，AB=2cm,ZADB=30°.P,Q两点分别从A,B同时出发，点P

沿折线AB-BC运动，在AB上的速度是2cm/s,在BC上的速度是2Bcm/s；点Q在BD

上以2cm/s的速度向终点D运动，过点P作PN±AD,垂足为点N.连接PQ,以PQ,PN

为邻边作叩QMN.设运动的时间为x(s),qPQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y

(cm2)

DCDC

(1)当PQj_AB时，x=；

(2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；

(3)直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分时，直接写出x的值.

2

s

【答案】⑴3

(2)解：①如图1中，当0<x4；时，重叠部分是四边形PQMN.

②如图②中，当时，重叠部分是四边形PQEN.

③如图3中，当l<x<2时，重叠部分是四边形PNEQ.

图3

1V3

y=2(2-x+2)X[\6X-2\G(x-1)]=2x2-3V^x+4

邓x2(0<xwm

A/J2

{—JT+y[3x(-<xW1)

23

-3\j3x+4^3(1<x<2)

综上所述，y=2Y

,当直线AM经过BC中点E时，满足条件.

图4

则有：tanNEAB=tanZQPB,

A/3%每

2=2-2x-x

2

解得x=?.

E时，满足条件.

此时tanzDEA=tanZQPB,

2\[3\[3x

1=2-2x-k,

4

解得x.,

24

综上所述，当x=2s或；时，直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分

【解析】【解答】解：⑴当PQLAB时，BQ=2PB,

2x=2（2-2x）,

2

x=3s.

2

故答案为三s.

【分析】（1）由题意BQ=2x,PB=2-2x,当PQJLAB时，根据含30。直角三角形的边之间的关

系得：BQ=2PB,从而列出方程，求解即可；

2

（2）①如图1中，当0Vxs3时，重叠部分是四边形PQMN.由题意知：AP=2x,BQ=2x,

故平行四边形AP边上的高是、/⑦，根据平行四边形的面积计算方法得出y与x之间的函数

2

关系式；②如图②中，当3VXS1时，重叠部分的面积等于平行四边形APQM的面积减去

△AEM的面积，即可得出y与x的函数关系式；③如图3中，当l<x<2时，重叠部分是

四边形PNEQ.根据相似三角形的性质，分别表示出EQ,ME,NE的长，根据重叠部分等于平

行四边形NPQM的面积减去△MNE的面积，即可列出y与x之间的函数关系；

（3）①如图4中，当直线AM经过BC中点E时，满足条件.根据等角的同名三角函数值

相等，即tanNEAB=tanNQPB,再根据三角函数的定义即可建立方程，求解得出x的值；

②如图5中，当直线AM经过CD的中点E时;满足条件.根据等角的同名三角函数值相

等，即tanNDEA=tanNQPB,再根据三角函数的定义即可建立方程，求解得出x的值；综

上所述即可得出答案。

7.如图，正方形，伤a、等腰附4即C的顶点/在对角线〃上（点尸与月、C不重合），QF

与况交于£,。/延长线与R上交于点，，连接4.

(1)求证：，“CG,

(2)求证：P:二Af.AL

(3)^AP:PC1:3,求tanNZ说的值.

【答案】(1)解：四。是正方形，

二四二G,/ABC=90°,

放」屈％是等腰三角形，

PB=Qb,NPBQ=90。,

ZABP=NCBQ=90'-/PBC,

AABP=^CBQ,

：.AP=a

(2)解：•・•，始是正方形，

•••/CAB=ZPAF=45°,AD=AB=BC=S,

V放4小是等腰三角形，

NQPB=45°,

ZFPA=180°-/®B-/APB=180°-45°-NAPB=131°-ZAPb,

/ABP+ZPAB+NAPB=180：

・•./ABP=180°-ZPAB-ZAPB=180°-45°-/APB,

NABP=NFPA,

AAFP~△施,

AF:AP=AP:Ab,

APAF■,Ab,

AF2=AF'AL

(3)解：山⑴得O>=",NABP=NCB4,NPAB=NBCQ=45

NQCP=90°,

由⑵ZAPF=/ABF,

ZAPF=/函,

•••NAPF=/CPQ,

NCPQ=/函，

在放dPC6中，

QCAP1

tan^CPQ=-=-=-

PCPC3,

tan/%0--

J

【解析】【分析】(1)证出NABP=NCBQ,由SAS证明△ABP2△CBQ可得结论；

(2)根据正方形的性质和全等三角形的性质得到/CAB=NPAF=45。

ZAPF=ZABP,可证明△APF"△ABP,再根据相似三角形的性质即可求解；

(3)根据全等三角形的性质得到NBCQ=NBAC=45。，可得NPCQ=90。，根据三角函数和已

QCAP1

X^Xi^CPQ------

知条件得到PCPC3,由(2)可得NAPF二NABF,等量代换可得

ZCBQ=ZCPQ即可求解.

8.如图(1),P为4ABe所在平面上一点，且NAPB=NBPC=NCPA=120°,则点P叫做

△ABC的费马点.

5

(1)如果点P为锐角AABC的费马点,且NABC=60。.

①求证：△ABP-△BCP；

(2)已知锐角△ABC,分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD,CE和BD相交于P

点.如图(2)

①求NCPD的度数；

②求证：P点为△ABC的费马点.

【答案】(1)证明：①TZPAB+ZPBA=180°-ZAPB=60°,ZPBC+ZPBA=ZABC=60°,

ZPAB=NPBC,

又，ZAPB=ZBPC=120°,

△ABP"△BCP

2V3

②若PA=3,PC=4,则PB=_.

20

(2)解：如图,

E

A

BC

①;△ABE与AACD都为等边三角形，

ZBAE=ZCAD=60°,AE=AB,AC=AD,

・•.ZBAE+ZBAC=ZCAD+ZBAC,即NEAC=ZBAD,

在^ACE和^ABD中，

AC=AD

{NEAC=NBAL

EA=AB,

「.△ACE合△ABD(SAS),

Z1=Z2,

•/Z3=Z4,

・•・ZCPD=Z6=Z5=60°；

②证明：:△ADF-△CFP,

/.AF*PF=DF*CF,

•・,ZAFP=ZCFD,

/.△AFP-△CDF.

/.ZAPF=ZACD=60°,

ZAPC=ZCPD+ZAPF=120°,

/.ZBPC=120°,

ZAPB=360°-ZBPC-ZAPC=120°,

P点为△ABC的费马点.

【解析】【解答】⑴②解：,・・△ABP-△BCP,

PAPb

:•丽一元，

PB23PA・PC=12,

PB=2\/j；

【分析】⑴由已知可知NAPB=ZBPC=120：利用三角形内角和可知，

ZBAP+ZABP=60°,又因为NABP+ZCBP=60：所以可知NBAP=ZCBP,所以

△ABP-△BCP；

(2)①由等边三角形可知AD=AC,AB=AE,ZEAC=ZBAD=ZBAC+60、，所以

△EACM△BAD,由全等可知NCPO=60°；

②利用AADFs△CFP,可得对应边成比例，由对应边成比例夹角相等，得到

△AFP-△CDF,所以NAPC=120'，即点P为△ABC的费马点.

二、圆的综合

9.如图，A、B两点的坐标分别为（0,6）,（0,3）,点P为x轴正半轴上一动点，过

点A作AP的垂线，过点B作BP的垂线，两垂线交于点Q,连接PQ,M为线段PQ的中

点.

（1）求证：A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上；

（2）当OM与x轴相切时，求点Q的坐标；

（3）当点P从点（2,0）运动到点（3,0）时，请直接写出线段QM扫过图形的面积.

l63

【答案】⑴见解析;（2）Q的坐标为（3点，9）;（3）—.

O

【解析】（1）解：连接AM、BM,

AQ±AP,BQJ_BP；△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点

1

AM=BM=PM=QM=—PQ,

:.A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。

（2）解：作MGJLy轴于G,MC_Lx轴于C,

AM=BM

，G是AB的中点，由A(0,6),B(0,3)可得MC=OG=4.5

二在点P运动的过程中，点M到x轴的距离始终为4.5

则点Q到x轴的距离始终为9,即点Q的纵坐标始终为9,

当OM与X轴相切时则PQJLx轴，作QH±y轴于H,

HB=9-3=6,设OP=HQ=x

由△BOP-AQHB,得X2=3X6=8,X=342

二点Q的坐标为(3J7,9)

(3)解：由相似可得：当点P在P](2,0)时，Q](4,9)则M](3,4.5)

当点在时，则

PP?(3,0)Q2(6,9),(4.5,4.5)

93

M

XM2=--3=-,QR=6—4=2

线段QM扫过的图形为梯形M1M2Q2Q1

【解析】

【分析】

根据已知可得出三角形APQ和三角形BPQ都是直角三角形，再根据这个条件结合题意直接

解答此题.

【详解】

(1)解：连接AM、BM,

AQ_LAP,BQJLBP：△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点

AM=BM=PM=QM=,PQ,

:.A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。

(2)解：作MG_Ly轴于G,MC_Lx轴于C,

AM=BM

二G是AB的中点，由A(0,6),B(0,3)可得MC=OG=4.5

二在点P运动的过程中，点M到x轴的距离始终为4.5

则点Q到x轴的距离始终为9,即点Q的纵坐标始终为9,

当OM与X轴相切时则PQJLx轴，作QH±y轴于H,

由△BOP”AQHB,得X2=3x6=8,x=3亚

二点Q的坐标为(3方，9)

(3)解：由相似可得：当点P在P](2,0)时，Q](4,9)则M](3,4.5)

当点P在P?(3,0)时,生(6,9),则(4.5,4.5)

93

MM=—3=

,'I257，Q1Q2=6—4=2

线段QM扫过的图形为梯形M1M2Q2Q1

其面积为：TX(2+2)x4.5=,y-

【点睛】

本题主要考查学生根据题意能找到三角形APQ和三角形BPQ都是直角三角形，而且考验学

生对相似三角形性质的运用，掌握探索题目隐含条件是解决此题的关键

10.如图1,将长为10的线段OA绕点。旋转90。得到OB,点A的运动轨迹为翼8，P是

半径OB上一动点，Q是灭8上的一动点，连接PQ.

发现：NPOQ=时，PQ有最大值，最大值为________；

思考：(1)如图2,若P是OB中点，且QPLOB于点P,求片。的长；

(2)如图3,将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B，恰好落在。A的延长线上，

求阴影部分面积；

探究：如图4,将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的弧QB，恰好与半径OA相切，切点为

C,若OP=6,求点。到折痕PQ的距离.

【答案】发现：90°,10yf2；思考：(1)；(2)25n-lOo7T+100；(3)点0

到折痕PQ的距离为而

【解析】

分析：发现：先判断出当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，即可得出结

论；

思考：(1)先判断出NPOQ=60。，最后用弧长用弧长公式即可得出结论；

(2)先在RtZ\B'OP中，OP2+(10―-10)2=(10-OP)2,解得OP=10j^-10,最后用面积

的和差即可得出结论.

探究：先找点。关于PQ的对称点0',连接0。'、O'B、0(、O'P,证明四边形OCCTB是矩

形，由勾股定理求O'B,从而求出。。，的长，则OM=]CXy=啊.

详解：发现：rp是半径0B上一动点，Q是为8上的一动点，

,当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，

此时，ZPOQ=90°,PQ.=JOA2+OB2=10^；

思考：（1）如图，连接0Q,

QP±OB,

ZOPQ=90°

OP1

在RtAOPQ中，cosZ=y,

/.ZQOP=60°,

,6071x1010

I=----------=—71;

BQ1803

(2)由折叠的性质可得，BP=B'P,AB'=AB=10j2,

在RtAB'OP中，OP2+(10JT-10)2=(10-OP)2

解得OP=IOJI-:LO,

90KX1021

S=S-2S=---------------2x-xl0x(l(\/2-10)

阴影场形AONBA△AOP3602

=25n-100V2+100；

探究：如图2,找点。关于PQ的对称点。，，连接0。'、O'B、CTC、。「,

则0M=CTM,OO-XPQ,0,P=0P=3,点0,是后。所在圆的圆心，

O'C=OB=10,

■■■折叠后的弧QB，恰好与半径0A相切于C点,

O,C±AO,

OTIIOB,

A四边形OCOB是矩形,

在RtACTBP中，O，B=j62-42=2邪,

在RtAOBO-K,0（7="102一（2我2=2回,

11一—

一OM=-oO,=-x2V30=730，

即。到折痕PQ的距离为屈.

点睛：本题考查了折叠问题和圆的切线的性质、矩形的性质和判定，熟练掌握弧长公式

nnR

上而~（n为圆心角度数，R为圆半径），明确过圆的切线垂直于过切点的半径，这是常

考的性质；对称点的连线被对称轴垂直平分.

11.已知：如图，在矩形ABCD中，点。在对角线BD上，以0D的长为半径的00与

AD,BD分别交于点E、点F,且NABE=ZDBC.

（1）判断直线BE与O。的位置关系，并证明你的结论;

CD=2,求。。的半径.

/T

【答案】（1）直线BE与O0相切，证明见解析；（2）O。的半径为7

2

【解析】

分析：（1）连接。E,根据矩形的性质，可证N8EO=90。，即可得出直线8E与。。相切；

（2）连接EF,先根据已知条件得出8。的值，再在ABE。中，利用勾股定理推知8E的

长，设出。。的半径为r,利用切线的性质，用勾股定理列出等式解之即可得出r的值.

详解：（1）直线8E与0。相切.理由如下：

连接0E,在矩形A8C。中，ADWBC,ZADB=ZDBC.

---OD=OE,：.ZOED=ZODE.

又；ZA8E=NDBC,ZABE=ZOED,

■：矩形ABDC,ZA=90°,ZABE+NAEB^90°,

ZOED+ZAEB=90。，ZBEO=90。，/.直线8E与。。相切；

...四边形A8CD是矩形，8=2,NA=NC=90°,AB=CD=2.

ZABE=Z.DBC,sinZCBD=sin^ABE=V,

3

"=』=2/,

在RSAEB中，1.CD=2,二BC=2yJl.

DC