山东省菏泽市2024届高三年级下册一模考试数学试题含答案

山东省荷泽市2024届高三下学期一模考

试数学试题2024年高三一模考试

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知样本数据为不、久2、%3、%4、&、X6、％7，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的

数据相比，下列数字特征一定不变的是

A.极差B.平均数C.中位数D.方差

2.已知复数z满足z(l+i)=i2024,其中i为虚数单位，贝Uz的虚部为

111,V2

AA.--BD.-Cr.——1Dn.一

2222

3.已知集合A=[x\x-3n,nEZ],B={x|0<%<6],则/nB=

A.{1,2}B.{3,6}C.{0,1,2}D.{0,3,6}

4.p:m=2,q:(mx+y)5的展开式中x2y3项的系数等于40,则p是q的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

5.已知向量a—(sin0,cosff),b=(V2,l),若a•b=\b\,则tan6-

A.—B.V2C.V3D.—

22

6.已知/(%)=x/i(x),其中h(x)是奇函数且在R上为增函数，则

A.7(log21)>/(2-I)>/(2-|)B.

C.7(log21)>/(2^)>/(2-l)D./(2-1)>/(2-l)>/(l0g2i)

2

7.已知圆C1：%+(y—3)2=8与圆C2:(x-a/+y2=8相交于A、B两点，直线AB交支轴

于点P,则S&C1PC2的最小值为

39

K

--27nV23

22TD--

8.若数列{an}的通项公式为an=(-ly^n,记在数列{an)的前n+2(nCN*)项中任取两数

都是正数的概率为Pn,则

2

A.尸1=目B.尸9VpioC.Pio<PiiD.Pii〈Pi2

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数/(%)=Asin(<DX+(p){A>0,o>>0,0<3<兀)的部分图像如图所示，令g(x)=

/(x)-2sin2(j+^)+则下列说法正确的有\

A./(%)的最小正周期为71/T

B.g(K)的对称轴方程为%=/C7T+j(/cEz)/晋/r

C.以光)在附上的值域为[-1.|]

D.9(久)的单调递增区间为[/C7T+|,/C7T+y](A：GZ)-V3p—

10.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为侧面ADD^上一点，Q为B©的

中点，则下列说法正确的有

Dy__________C{

A.若点P为AD的中点，则过P、Q、小三点的截面为四/刁

边形

B.若点P为A±D的中点，则PQ与平面BDD1B1所成角尸.5

L夕

的正弦值为等

C.不存在点P,使PQ1A±C

AB

D.PQ与平面ADD^所成角的正切值最小为y

H.如图，过点C(a,0)(a>0)的直线AB交抛物线y2=2px(p>0)于A,B两点，连接2。、BO,

并延长，分别交直线久=一a于M,N两点，则下列结论中一定成立的有

A.BM//AN，八

B.以AB为直径的圆与直线％=—a相切

C.S&AOB=S&MON

D.S^MCN=4s△4NC,S&BCM

三、填空题：本题共3小题，每小题5分,共15分.

12.如图，在正四棱台2BCD—2避1的。1中，4/1=企,43=2vx

该棱台体积V=噌，则该棱台外接球的表面积为________A_____c

Jt

AB

第2

13.已知斜率为V3的直线过双曲线C:m-台=l(a>0,b>0)的右焦点F且交双曲线右支于

4、B两点，A在第一象限，若\0F\=\AF\,则C的离心率为

14.关于X的不等式xe。*+6%-In%2l（a>0）恒成立，贝U，的最小值为

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）已知数列｛册｝的前n项和为Sn,且%=2an-2（nGN*）.

（1）求数列｛册｝的通项公式；

11

（2）若"=log2a2n-l，Cn=77-，求证：c1+c2+c3+--+c?l<-.

16.（15分）某商场举行“庆元宵，猜谜语”的促销活动，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子中

装有若干个标号为1,2,3的空心小球，球内装有难度不同的谜语.每次随机抽取2个小球，答对一

个小球中的谜语才能回答另一个小球中的谜语，答错则终止游戏.已知标号为1,2,3的小球个数比

为1:2:1,且取到异号球的概率为

（1）求盒中2号球的个数；

（2）若甲抽到1号球和3号球，甲答对球中谜语的概率和对应奖金如表所示，请帮甲决策猜谜语

的顺序（猜对谜语的概率相互独立）

球号1号球3号球

答对概率0.80.5

奖金100500

17.（15分）如图，已知ABCD为等腰梯形，点E为以BC为直径的半圆弧上一点，平面

ABCD1平面BCE.M为CE的中点，BE==4。=DC=2,BC=4.

（1）求证：DM//平面ABE;

（2）求平面ABE与平面DCE所成角的余弦值.

18.（17分）如图，已知椭圆C:1J+3=l（a>b>0）与y轴的一个交点为2（0,企），离心率为

y,Fi，F2为左、右焦点，M,N为粗圆上的两动点，且乙MAF]=LNAFI.

(1)求粗圆C的方程；

(2)设AM,AN的斜率分别为匕后求女住2的值;

(3)求AAMN面积的最大值.

19.(17分)帕德近似是法国数学家亨利.帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个

正整数m,n,函数/(%)在久=0处的|m,n]阶帕德近似定义为：

R(x)=二宵,且满足:f(°)=R(o)/(o)=R'(0)/'(0)=R"(0)，…，/(m+n)(o)=R"(O).

(注：/'(%)=[/'(%)],/"'(%)=[/"(%)]，/⑷(久)=[/"'(%)]/⑸(久)=[/⑷⑴],...;/叫%)为

的导数)

已知/(%)=In(%+1)在x-0处的[1,1]阶帕德近似为R(x)-

(1)求实数a,b的值；

⑵比较/(%)与/?(%)的大小；

(3)若九(久)=缁一G-7H)/(久)在(0,+8)上存在极值，求m的取值范围.

2024.03高三数学一模试题参考答案

一、单选题1—8.CADABCBC

二、多选题9—11.ACDABACD

三、填空题12.16〃13]+814.-1

3

四、解答题15题

解析：

⑴由%=2an-2①

当=1时，S]=2al—2=a1解得a1=2

当n>2时，=2an_1-2②

①—②得斯=2ayj_i

71n

an=a12T=2

经验证的符合上式，所以与=2n-------------------------------------------------------------6分

(2)证明：由(1)知ci2n_i=22"T=log2a2Ti-i=2n-1,bn+1=2n+1---------8分

16.(1)由题意可设1,2,3号球的个数分别为n,2n,n,则取到异号球的概率

p_2Cj|C271+_52分

^4n7

2・5/5口…

•••—T-----—=-即几2=2n

4n(4n—1)7

解得几=2——4分

所以盒中2号球的个数为4个.--5分

(2)若甲先回答1号球再回答3号球中的谜语，因为猜对谜语的概率相互独立，记X为甲

获得的奖金总额，则X可能的取值为0元，100元，600元，

p(x=0)=0.2

P{X=100)=0.8x(1-0.5)=0.4

P{X=600)=0.8X0.5=0.4

X的分布列为：--8分

X0100600

P0.20.40.4

X的均值为E(X)=280-—9分

若甲先回答3号球再回答1号球，因为猜对谜语的概率相互独立，记丫为甲获得的奖金总额,

则y可能的取值为。元，500元，600元，

P(Y=0)=0.5

P(Y=500)=0.5x(1-0.8)=0.1

P(Y=600)=0.8X0.5=0.412分

y的分布列为：

Y0500600

P0.50.10.4

丫的均值为E(y)=290-—13分

因为E(y)>E(X),所以推荐甲先回答3号球中的谜语再回答1号球中的谜语.--15分

17.(1)取BE的中点N,连接AN,MN,则MN〃工BC

=21_________n

A,rAx\

-\

X---AD//-BCMN//AD

—2—it

■.ANDM为平行四边形DM//AN-——3分8，--鼠-

'i/X

又DM,平面ABE/--,

产

ANu平面ABEz

•••DM〃平面ABE--5分

(2)取an中点为尸，过点。作直线BC的垂线交优于点G,分别以。G,OC,OF所在直线为x轴,

y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系

■:BC为直径，；.BE=迪

•••^BCE=30°,ZBOE=60",Z.EOG=30°,

在梯形4BCD中易求高为百--7分

•••£(V3,-1,0),C(0,2,0),D(0,1,V3),B(0,-2,0),2(0,-1,⑻

：.CE=(V3,-3,0),CD=(0,-1,V3),BE=(V3,1,0),BA=(0,1,V3)

--9分

设平面DCE的法向量为沆=(x,y,z)

则,里・①=°./7^—?=°令丫=b则“=3,2=1

31,CD=01—y+V3z=0

m=(3,V3,1)同理求得平面ABE的法向量为元=(1,一百，1)——13分

设平面4BE与平面CDE所成的角为a

则cosa=|且已|=迤

Jl|m|.|n|l65

平面ABE与平面CDE所成角的余弦值为卑.--15分

65

b=42

cV2/=4

18.解：（1）由题意得，＜-=—，解之得

a2b-=2

a2=b2+c2

22

所以椭圆C的程为二+』-=L.・3分

42

⑵由（1）知6=c=0,所以NA4。=工

4

设直线AM、AFi、AN的倾斜角分别为

jra+y-0

a、。、(3、NA/AK=NKAN=y,则七二tana'k2二tan夕,6=1，贝!J<

f-Y=0

TT

所以a+p=20=-----------------------------------------------------6分

2

所以tana=tan(――0)=—-—,所以tanatanB=1,即4&=1

2tanp12

8分

y=k、x+V2

（）设直线：、+应'，解方程组＜

3AMy=kxV/得

——+—=1

I42

4®

(1+2婷+4行左/=0,xM=—■,Ck、，同理得/=-

1十Z/C]1+2V

由(2)知k、k?—1,/.x=———y,----------------------------------------10分

N2+%

:.SAMN=||AM||A^|sinAMAN=||AAf11A^|y/i-cos2ZMAN

=Iyj\AMf\ANf-(\AM\\AN\cosZMANf=；^\AMf\ANf-(AM-AN)2

22222

X|AAfp=xM+(yM-V2)=xM+V%M=(l+V)xM

22

同理|AAf=(]+42)/2=岩1靖，|4叫2|4Af=(1+fc)22

—71—均一演,

ki

XX22XX

AM-AN=(xM,yM-及)(赤，%-&)=MN+左述”左凝=MN^

、"2)2

21

(AM-AN)=4%/凝2,\AM「|AN|一(AM-AN)2=xJx；一©J》；

勺

(1+”2)21

2222

=(F——4)XM\=(^--)XMXN12分

K、rVj

)(_±^)

11=14后匕

匕\XMXN\\^一1(

..uAMN221+2短2+婷

16人」

16

132婷116V尢

2左(1+2婷)(2+婷)区2婷+5M+22靖+马+52(^-—)2+9

k、

“乐W理当吟明半Y时

令t=k--->o,则S

xk、

取等号，所以SAMN的最大值是¥

17分

19.解：(1)由“x)=ln(%+l),R(x)=-^-

1+bx

知八x）=W"〃（x）=-，，R（x）=

/7—11

由题意f(0)=R(0),/'(0)=R(0),所以<2"=-『所以•3分

(2)由(1)知，R(%)=2x,令0(%)=/⑴一R(X)=1rl(%+1)-2"(%>一1),

x+2x+2

2

14X

则9'(x)=>o,所以9（x）在其定义域（-1,+8）内为增函

x+1(x+2)2(x+l)(x+2)2

数又夕(0)=/(0)-火(0)=0,；々2。时，夕(x)=/(%)-R(x)>0(0)=0;

-1<x<0时。(无)=f(x)-R(x)<夕(0)=0

所以xNO时，/(x)>7?(x);

-1<x<0时J(x)<

R(x).7分

(3)由h(x)=~--(----m)f(x)=(—Frn)ln(x+1),

R(x)2x

[,,、1[/八/I、I+x-(x+l)ln(x+l)

/z(x)=一一ln(x+1)+(—+m)-----=------------------

X7Xx+1X9

ZW_(l_y在(0,+oo)上存在极值，所以"(X)在(0,+oo)上存在变号零点.

由力(%)=m)(%)

R(x)2

令g(%)-加%?+x-(x+l)ln(x+1),贝!Jgf(x)=2mx+l-[ln(x+1)+1]=2mx-ln(x+l),

g〃(…一匕

①当机<0时，g"(x)<0,g〈x)为减函数，8'(乃<8'(0)=0七(%)在(0,+8)上为减函数,

g(x)<g(0)=0,无零点，不满足条件.

②当2加>1,即加>;时，g"(x)>0,g'(x)为增函数，8'。)>8'(0)=0,8。)在(0,+8)上为增函数,

g(x)>g(0)=0,无零点，不满足条件.

③当0<2相<1,即0<冽<4时，令g"(x)=0即2m=—-—x=———1

2x+12m

当0<x<1-一1时，g"(x)<0,g'(x)为减函数；x>—--1时，g"(x)>0,g<x)为增函