2024届河北省饶阳中学高考冲刺模拟数学试题 含解析VIP

2024届河北省饶阳中学高考冲刺模拟数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数z满足z(l-2i)=10,则复数2在复平面内对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为大圆柱底面半径为弓，如图1放置容

h

器时，液面以上空余部分的高为九，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为加，则：=()

九2

（、3

C.m

3.如图，平面e与平面£相交于BC,AB^a,CDu/3,点AeBC,煎D任BC,则下列叙述错误的是()

A.直线AQ与异面

B.过AO只有唯一平面与平行

C.过点。只能作唯一平面与垂直

D.过AD一定能作一平面与垂直

4.已知函数/（x）=x3+asinx,xwH,若/（—1）=2,则/⑴的值等于（）

A.2B.—2C.1+〃D.1—d

5.五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶，每个单位至少一人，则甲、乙两人不在同一个单位的概率为（）

213319

A.—B.—C.—D.—

525525

6.已知点工为双曲线—匕=1（。〉0）的右焦点，直线>=履与双曲线交于A,B两点,若NAM3=——，则

a43

的面积为（）

AF2B

A.2&B.26C.4夜D.473

7.已知加，九是两条不重合的直线，a是一个平面，则下列命题中正确的是（）

A.若mlla,nlla,则相〃"B.若m/la,“<=a,则加〃“

C.若mVa,则〃//aD.若nlla,则加_L〃

8.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）

S=0J-l

SnS+2：・(l罚

IT+11

/输Xs/

［结束］

A.16B.48C.96D.128

9.2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行.这次阅兵不仅展示了我

国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异.今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵.他们

是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建.若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、

硕士、博士学位.现知道：①甲不是军事科学院的；②来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是

博士学位；⑤国防科技大学的是研究生.则丙是来自哪个院校的，学位是什么（）

A.国防大学，研究生B.国防大学，博士

C.军事科学院，学士D.国防科技大学，研究生

10.正三棱锥底面边长为3,侧棱与底面成60°角，则正三棱锥的外接球的体积为()

16万32乃

A.4"B.16"C.-----D.-----

33

22

11.已知双曲线与-A=l(a〉0,b〉0),过原点作一条倾斜角为g直线分别交双曲线左、右两支P,Q两点，以线

段PQ为直径的圆过右焦点F,则双曲线离心率为()

A.72+1B.布+1C.2D.75

12.第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和

奖牌榜的首位.运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地提供服务，要求每个

人都要被派出去提供服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙恰好在同一组的概率是()

1119

A.—B.-C.—D.—

1054040

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在ABC中，角A,B,C所对的边分别边”,仇。，且缶=2c，设角。的角平分线交A5于点。，贝11cosc

辽e曰BD

的值最小1时，――=___.

AD

14.函数/(x)=Jlogo5(4x-3)的定义域是.

15.已知集合4={小《1,162},5={,0<%<2},则4B=.

16.已知实数满足一，,则的最大值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=e，-x2_h(其中e为自然对数的底，兀为常数)有一个极大值点和一个极小值点.

(1)求实数上的取值范围；

(2)证明：/>)的极大值不小于L

18.(12分)设函数/(x)=e*+2at-e,g(x)=-ln%+at+a.

(1)求函数/(%)的极值；

(2)对任意都有/(x)之g(x),求实数a的取值范围.

19.(12分)如图，在三棱锥P—ABC中，PA=PB=AB=2,BC=3,ABC=90，平面平面ABC,

D、E分别为AB、AC中点.

(1)求证：AB±PE；

(2)求二面角A—P5—石的大小.

20.（12分）如图，在四棱锥M—ABC。中，ABYAD,AB=AM=AD=2,MB=MD=2日

c

D

(1)证明：AM，平面ABC。；

(2)若CD//AB,2CD=AB,E为线段BAf上一点，且BE=2EM,求直线EC与平面瓦亚f所成角的正弦值.

lr「1一

10-0

21.(12分)试求曲线/=5，*在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M=,N=2

-2」［o1

22.(10分)已知变换T将平面上的点(0,1)分别变换为点2)设变换丁对应的矩阵为

(1)求矩阵〃;

(2)求矩阵"的特征值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

化简复数，求得z=2+4i,得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解.

【详解】

1010(1+2，)

由题意，复数z满足z(l-2i)=10,可得z=:c=7r二七7r^=2+47,

l-2z(l-2z)(l+2z)

所以复数z在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解

是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

2^B

【解析】

根据空余部分体积相等列出等式即可求解.

【详解】

在图1中，液面以上空余部分的体积为町24；在图2中，液面以上空余部分的体积为万1初因为224二万瑁1所

)

故选：B

【点睛】

本题考查圆柱的体积，属于基础题.

3、D

【解析】

根据异面直线的判定定理、定义和性质，结合线面垂直的关系，对选项中的命题判断.

【详解】

A.假设直线AZ5与共面，则A,D,B,C共面，则A3,共面，与ABue,CDu,矛盾，故正确.

B.根据异面直线的性质知，过AQ只有唯一平面与平行，故正确.

C.根据过一点有且只有一个平面与已知直线垂直知，故正确.

D.根据异面直线的性质知，过AD不一定能作一平面与垂直，故错误.

故选：D

【点睛】

本题主要考查异面直线的定义，性质以及线面关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.

4、B

【解析】

由函数的奇偶性可得，/(1)=-/(-1)=-2

【详解】

V/(x)=x3+asinx

其中g(x)=13为奇函数，f(x)=asinx也为奇函数

•*./(X)=g(x)+“X)也为奇函数

••./(D=-/(T)=-2

故选：B

【点睛】

函数奇偶性的运用即得结果，小记，定义域关于原点对称时有：①奇函数土奇函数=奇函数；②奇函数x奇函数=偶函数;

③奇函数十奇函数=偶函数；④偶函数土偶函数=偶函数；⑤偶函数x偶函数=偶函数；⑥奇函数x偶函数=奇函数；⑦奇函

数+偶函数=奇函数

5、D

【解析】

三个单位的人数可能为2,2,1或3,1,1,求出甲、乙两人在同一个单位的概率，利用互为对立事件的概率和为1

即可解决.

【详解】

由题意，三个单位的人数可能为2,2,1或3,1,1；基本事件总数有高^M+会川

=150种，若为第一种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有种情况；若为第二

种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有母种，故甲、乙两人在同一个单位的概率

为至=色，故甲、乙两人不在同一个单位的概率为1—9=2.

150252525

故选：D.

【点睛】

本题考查古典概型的概率公式的计算，涉及到排列与组合的应用，在正面情况较多时，可以先求其对立事件，即甲、

乙两人在同一个单位的概率，本题有一定难度.

6、D

【解析】

设双曲线C的左焦点为耳，连接耳，由对称性可知四边形A耳3月是平行四边形，

设|A3=?|9|=矶得4c2=42+^—2.3不求出四的值，即得解.

【详解】

设双曲线C的左焦点为丹，连接A耳,34，

由对称性可知四边形是平行四边形，

所以SA6&=SAF?B>^-FlAF2=--.

设则4/3心”呜*+「。

又卜-引=2。.故44=4b-=16,

所以S=^^sin-=473.

故选：D

【点睛】

本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解

掌握水平.

7、D

【解析】

利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断.

【详解】

解：选项A中直线根，九还可能相交或异面，

选项B中相，”还可能异面，

选项C,由条件可得〃//a或〃ua.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题.

8、B

【解析】

列出每一次循环，直到计数变量i满足i>3退出循环.

【详解】

第一次循环：S=21(l+l)=4,z=2；第二次循环:5=4+22(1+2)=16,7=3；

第三次循环：5=16+23(1+3)=48,，=4,退出循环，输出的S为48.

故选：B.

【点睛】

本题考查由程序框图求输出的结果，要注意在哪一步退出循环，是一道容易题.

9、C

【解析】

根据①③可判断丙的院校；由②和⑤可判断丙的学位.

【详解】

由题意①甲不是军事科学院的，③乙不是军事科学院的；

则丙来自军事科学院；

由②来自军事科学院的不是博士，则丙不是博士；

由⑤国防科技大学的是研究生，可知丙不是研究生，

故丙为学士.

综上可知，丙来自军事科学院，学位是学士.

故选：C.

【点睛】

本题考查了合情推理的简单应用，由条件的相互牵制判断符合要求的情况，属于基础题.

10、D

【解析】

由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积.

【详解】

如图，正三棱锥A-BCD中，〃是底面ABCD的中心，则AM是正棱锥的高，是侧棱与底面所成的角，即

ZABM=60°,由底面边长为3得8"=2X28=6，

32

AM=BMtan600=Gx百=3.

正三棱锥A-BCD外接球球心。必在AM上，设球半径为E,

贝!1由BO?=0凹2+92得尺2=(3-7?)2+(A/3)2,解得尺=2,

.•.V=-^7?3=—x23=—.

333

故选：D.

A

【点睛】

本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系.掌握正棱锥性质是解题关键.

11>B

【解析】

求得直线PQ的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得两点坐标的关系，根据尸。，口列方程，化简后

求得离心率.

【详解】

设。（七,%）,。（%2，%），依题意直线PQ的方程为丁=后，代入双曲线方程并化简得

22c23a2bl_1>„—ci~b~c—3ci~b~上一，，.1、，

x=--------,y=3x=------f故%+%=。,％1"2=F-----------7，%•%=3x-x2=------9设焦点坐标为

b2-3a2b2-3a21212b2-3a22b2-3a2

F（c,O）,由于以PQ为直径的圆经过点R,^FPFQ=G,即（％—GX）—（％—G%）=0,即=0,即

6/k—3/=o,两边除以/得偿1—6仅］-3=0,解得偿］=3+2指.故

\a)\aJ\aJ

【点睛】

本小题主要考查直线和双曲线的交点，考查圆的直径有关的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.

12、A

【解析】

根据题意，五人分成四组，先求出两人组成一组的所有可能的分组种数，再将甲乙组成一组的情况，即可求出概率.

【详解】

五人分成四组，先选出两人组成一组，剩下的人各自成一组，

所有可能的分组共有c；=10种，

甲和乙分在同一组，则其余三人各自成一组，只有一种分法，与场地无关,

故甲和乙恰好在同一组的概率是

故选：A.

【点睛】

本题考查组合的应用和概率的计算，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、逅

3

【解析】

根据题意，利用余弦定理和基本不等式得出cosC2避二交，再利用正弦定理，即可得出殷.

4AD

【详解】

因为a+后=2c，则°=。+产,

由余弦定理得：

「a2+b2-c2〃+/—：（a+后产3a2+2b2-2yf2ab

cosC=---------------=----------------------------=-------------------------

2ab2abSab

2>j6ab—2y[lab巫—

>----------=------9

Sab4

当且仅当岛=@时取等号，

▼ridBDaADb

又因为----------=----------，----------=----------，

sinZBCDsinZCDBsinZACDsinZCDA

BDa后戈

ADb63

故答案为：显.

3

【点睛】

本题考查余弦定理和正弦定理的应用，以及基本不等式求最值，考查计算能力.

14、

【解析】

由于偶次根式中被开方数非负，对数的真数要大于零，然后解不等式组可得答案.

【详解】

解：由题意得，

x<1

；log05(4x-3)>0

，解得3,

4%-3>0

14

3

所叼＜龙《1,

故答案为：

【点睛】

此题考查函数定义域的求法，属于基础题.

15、{0,1}

【解析】

直接根据集合A和集合B求交集即可.

【详解】

解：A={x|尤＜1,尤eZ},

B=1x|0<2},

所以A5={0,1}.

故答案为：{051}

【点睛】

本题考查集合的交集运算，是基础题.

16、

【解析】

直接利用柯西不等式得到答案.

【详解】

根据柯西不等式：二二-二---二;=:二二-二一三:,故二二十二三.、：，

当二二一二二:二即一=,一=二时等号成立.

9•

故答案为：U.

【点睛】

本题考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角换元求得答案.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)e(2-21n2,-H»)；(2)见解析

【解析】

(1)求出广(%)=1—2x4,记g(x)=e'-2x,问题转化为方程g(x)=左有两个不同解，求导，研究极值即可得

结果；

⑵由(1)知，/(x)在区间(—8,In2)上存在极大值点引，且左=e*—2再，则可求出极大值/(%)=(1—七)-+不?,

记力«)=(1-f)e'+产«e(—8,如2)),求导，求单调性，求出极值即可.

【详解】

rxx

(1)f(x)=e-2x-k9由f\x)=Q^>e-2x=k,

xrx

记g(尤)=e-2x9g(x)=e-29

由g'(x)=0nx=ln2,且xvln2时，g\x)<0,g(%)单调递减,g(x)G(2-21n2,+oo),

x>ln2时，g'(x)>0,g(%)单调递增，g(x)G(2-21n2,+oo),

由题意，方程g(H=上有两个不同解，所以左e(2—21n2,+s)；

(2)解法一：由(1)知，Ax)在区间(—8,In2)上存在极大值点再，且左

X1x>

所以/(x)的极大值为f(x^=e-x^-(e-2x1)x1=(l-x1)-+

记7z«)=(l-t)er+?2(?e(-co,In2)),则h'(t)=-tef+2t=t(2-e1^,

因为/e(-8,ln2),所以2—e'>0.

所以/<0时，/?(0<0,丸«)单调递减，0</<ln2时，〃'«)>0,以。单调递增,

所以/⑺>/7(0)=1,即函数/(尤)的极大值不小于1.

解法二：由(1)知，/(X)在区间(—8,In2)上存在极大值点再，且左=ef—2%，

所以f(,x)的极大值为/(%1)=ex'-%；~(ex'-2%)为=(1一%])ex'+工；,

因为[-X]〉0,ex'>1+,所以/'(xj'a_xja+xj+x：=1.

即函数f(x)的极大值不小于1.

【点睛】

本题考查导数研究函数的单调性，极值，考查学生综合分析能力与转化能力，是一道中档题.

18、(1)当420时,](X)无极值;当a<0时,/(%)极小值为-2a+2alli(-2a)-e；(2)

【解析】

(1)求导，对参数。进行分类讨论，即可容易求得函数的极值；

(2)构造函数/?(%)=/(x)-g(x),两次求导，根据函数单调性，由恒成立问题求参数范围即可.

【详解】

(1)依题/'(x)=e，+2a,

当时，/'(x)>0,函数/(九)在E上单调递增，此时函数/(%)无极值；

当°<0时，令/'(x)=e*+2a>0,得x〉ln(-2a),

f'(x)=ex+2a<0,得尤<ln(-2a)

所以函数/(X)在(in(—2a),转)上单调递增，

在(T»,In(-2a))上单调递减.

此时函数/(%)有极小值，

且极小值为/(in(-2a))=-2a+2aIn(-2a)-e.

综上：当。上0时，函数/(%)无极值；

当。<0时，函数/(%)有极小值，

极小值为f(ln(-2a))=-2a+2aIn(-2a)-e.

(2)令〃(x)=/(x)-g(x)=e*+ar+lnx-a-e(x>l)

易得网1)=0且"(力=/+1+/卜。1),

X

令《九)=/(%)=ex+—+di(x>l)

JC

所以/'(%)=/—《(Ml),

JC

因为e*ie，0<3<1,从而/(x)>。,

X

所以，/(X)在［1,+8)上单调递增.

又/'⑴=a+e+l

若aN-e-l,则/(%)=〃(％)»［1)=0+6+120

所以妆%)在［1,+<»)上单调递增，从而h(x)>/z(l)=0,

所以a2-e-1时满足题意.

若CL<一€—1，

所以=《l)=a+e+l<。，t(-a)=e~a+a~—,

在/(龙)中，令。=-)，由⑴的单调性可知，

=有最小值/⑼=l—e,从而e*Nx+l.

所以％(―a)=e"+a—N—Q+1+Q=1>0

aaa

所以a)<0,由零点存在性定理：

3x0e(l,-cz),使《4)=0且

勿>)在(1,%)上单调递减，在［%，+8)上单调递增.

所以当xw。,5)时，/z(x)</z(l)=0.

故当a<—e—1,〃x"g(x)不成立.

综上所述：。的取值范围为［-e-1,+s).

【点睛】

本题考查利用导数研究含参函数的极值，涉及由恒成立问题求参数范围的问题，属压轴题.

19、(1)证明见解析；(2)60°.

【解析】

试题分析：

(1)连结产。，由题意可得产。，4瓦石。，河,则43，平面尸。及AB±PE;

(2)法一：结合几何关系做出二面角的平面角，计算可得其正切值为故二面角的A-PB-E大小为60。；

法二：以。为原点建立空间直角坐标系，计算可得平面P5E的法向量4=(3,2,石).平面协8的法向量为

n2=(0,1,0).据此计算可得二面角的A—PB—石大小为60。.

试题解析：

(1)连结尸。，\PA=PB,PDAB.■：DEIIBC,BCAB,DEAB.

又；PDcDE=D,AB平面PDE,PEu平面PDE,

：.ABPE.

(2)法一：

PAB平面ABC,平面如夕'平面A3C=AB,PDAB,PD平面43c.

则OEPD,又EDAB,平面A5=Z>,DE平面JR48,

过。做O尸垂直P5与尸，连接EF,则EFPB,4FE为所求二面角的平面角，

3n

则：DE=~,DF=g,则均=D—E=,/—3,故二面角的A—M—石大小为60°

22DF

法二：

一平面协3平面ABC,PAB',ABC=AB,PDAB,PD平面43c.

如图，以。为原点建立空间直角坐标系，

L3

B(l,0,0),P(0,0,、R),E(0,0),

.PB=(1>0，—A/3)，PE=(Q，~，—y/3)•

设平面PBE的法向量4=(x,y,z),

x-A/3Z=0,

\3L令Z=6，得々=(3,2,6).

|y-^=0,7、)

平面BIB,...平面艮LB的法向量为叼=(0,1,0)

....../阿•叼1

设二面角的A—PB—石大小为〃，由图知，cosO=cos=~门—>=—

同,恒2

所以6=60°,即二面角的A—依—石大小为60。.

20、(1)证明见解析

【解析】

(1)利用线段长度得到AM与间的垂直关系，再根据线面垂直的判定定理完成证明；

(2)以AD、40、AB为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦

值的绝对值等于线面角的正弦值，计算出结果.

【详解】

(1)VAB=AM=AD=2,MB=MD=2⑤,

•*-AM2+AD2=MD2^AM2+AB2=MB~

：.AM±AD,AM±AB

VABr>AD=A,AZ)u平面ABC。，

AM,平面ABC。

(2)由(1)知ABLAD,AM±AD,AM±AB

又A为坐标原点，分别以A。、AM、AB为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则A（0,0,0）,M（0,2,0）,0（2,0,0）,B（0,0,2）,C（2,0,l）,BO=（2,0,-2）,DM=（-2,2,0）,

,."=2Efi，CE=]2,g,-j

设〃=(x,y,z)是平面BDM的一个法向量

n-BD=02x-2z=0

则即,取X=1得"=（1,1,1）

n-DM=0—2x+2y—0

\n-CE\-2+"叵

，cos〈%CE）\二------L

11\n\ACE\

0与"

直线EC与平面BDM所成的正弦值为把亘

53

【点睛】

本题考查线面垂