2024年新高考突破 检测5 解析几何（附答案解析）

检测五解析几何

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.（2021新高考〃,3）抛物线y2=2px（p>0）的焦点到直线>=尤+1的距离为企，则p=（）

C.2V2D.4

2.（2023北京八一中学模拟）已知从点（-5,3）发出的光线，经无轴反射后,反射光线恰好平分圆/+k办-

2y-3=0的圆周，则反射光线所在的直线方程为（）

A.2x-3y+l=0B.2x-3y-l=0

C.3尤-2y+l=0D.3尤-2y-l=0

2

3.（2023山东济宁一模）若过点P（0,-l）的直线/与圆⑶-百）+廿=1有公共点，则直线/的倾斜角的最大

值为（）

A，7B.7D.§

6433

4.（2023湖南常德一模）已知抛物线的方程为/=4%过其焦点尸的直线与抛物线交于MN两点，且

\MF\=5,0为坐标原点，则的面积与△NOF的面积之比为（）

11

A怖B.；C.5D.4

54

5.（2023全国甲，理8）已知双曲线谆一，=13>0,6>0）的离心率为迷。的一条渐近线与圆（尤-2）2+”

3）2=1交于48两点，则|AB|=（）

V5„2V53V5八4百

A5。55

6.（2023广东佛山二模）已知方程A^+Bk+Cxy+Qx+Ey+J^O淇中现有四位同

学对该方程进行了判断，提出了四个命题：

甲:可以是圆的方程;乙:可以是抛物线的方程;丙:可以是椭圆的标准方程;丁:可以是双曲线的标准方

程.

其中，真命题有（）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

7.（2023山东德州一模）由点P（-3,0）射出的两条光线与。。曲+1）2+尸=1分别相切于点A,B,称两射线

PAPB上切点右侧部分的射线和优弧A8右侧所夹的平面区域为。。1的“背面”.若OQ：（X-1）2+S-

。2=1处于ooi的，，背面，，，则实数/的取值范围为（）

A.[-2V3,2V3]

8.（2023湖南长郡中学一模）已知。为坐标原点，双曲线C:，—，=1（°>0/>0）的左、右焦点分别是

尸也,离心率为苧,尸（孙力）是C的右支上异于顶点的一点，过点巳作巳的平分线的垂线,垂足是

若双曲线C上一点7满足第•取=5,则点T到双曲线C的两条渐近线的距离之和为

（）

A.2V2B.2V3C.2V5D.2V6

二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得5分,部分选对的得2分.有选错的得0分.

9.（2023福建泉州三模）已知48为圆CM+y2=4的直径且不与>轴重合，直线Uy=kx+\与y轴交于点

加,则（）

A.I与C恒有公共点

B.ZXABM是钝角三角形

C.AABM的面积的最大值为1

DJ被C截得的弦的长度的最小值为2次

10.已知抛物线C：F=4X的焦点为尺斜率为1的直线I交抛物线于A.B两点，则（）

A.抛物线C的准线方程为尤=1

B.线段AB的中点在直线y=2上

C.若|AB|=8,则△OA8的面积为2企

D.以线段A尸为直径的圆一定与y轴相切

11.（2023河北邯郸一模）已知双曲线信-，=1（°>0,6>0）的左、右焦点分别是品,尸2,过尸1作圆

x2+y2=a2的切线/,切点为加,且直线双曲线C的左、右两支分别交于4,8两点，则下列结论正确

的是（）

A.若。=3/=4,贝!IIBQI+IB&UZG

B.若则双曲线C的渐近线方程为产出2尤

C.若阿8|=2阿西|,则双曲线C的离心率是g

D.若M是的中点，则双曲线C的离心率是愿

12.（2023山东蒲泽二模）法国数学家加斯帕尔・蒙日发现:与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的

轨迹是以椭圆中心为圆心的圆我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C5+产=1外尸2分

别为椭圆的左、右焦点，直线I的方程为x+V2y-3=0,M为椭圆C的蒙日圆上一动点,MA,MB分别与

椭圆相切于两点,。为坐标原点，下列说法正确的是（）

A.椭圆C的蒙日圆方程为V+y2=3

B.记点A到直线/的距离为d,则d-|AB|的最小值为手

C.一矩形四条边与椭圆C相切，则此矩形面积的最大值为6

D.AAOB的面积的最小值为|,最大值为苧

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.（2023福建厦门二模）写出与直线尤=l,y=l和圆f+y2=l都相切的一个圆的方

程:.

14.（2023天津,12）过原点的一条直线与圆C:（尤+2>+y2=3相切,交曲线丁=2/9>0）于点P,若［0尸|=8,

则p的值为__________.

15.（2022全国甲，文15）记双曲线谆-真=13>0,6>0）的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C

无公共点”的e的一个值________1

16.（2023河北石家庄一模）已知为尸2分别是椭圆瑶+、=l（a>b>0）的左、右焦点,3是C的上顶点,

过Fi的直线交C于尸。两点,0为坐标原点,与△PQF2的周长比为孚，则椭圆的离心率

为;如果|26|=应，且2尸」尸。,则△「。尸2的面积为.

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22_

17.（10分）已知双曲线a-4=13>0力>0）过点432）,且离心率e=V5.

⑴求该双曲线的标准务程；

（2）如果氏C为双曲线上的动点，直线AB与直线AC的斜率互为相反数，证明直线BC的斜率为定值，

并求出该定值.

18.（12分）（2023河北唐山二模）已知抛物线。:产=2。工（/?>0）的焦点为为C上一点,8为准线/上一

^JF=2FA,\AB\=9.

⑴求C的方程；

（2）M,N,E（xo,-2）是C上的二点，若AEM+AEN=1,求点E到直线A7N距曷的最大值.

19.(12分X2021全国甲，理20)抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上，直线l:x=\交C于P,。两

点，且已知点M(2,0),且OM与/相切.

⑴求COM的方程；

⑵设44A是C上的三个点，直线A1A2AA3均与相切.判断直线与。/的位置关系，并说

明理由.

20.(12分X2023江苏海安高级中学一模)某城市决定在夹角为30°的两条道路石民跖之间建造一个

半椭圆形状的主题公园，如图所示,43=2千米，。为AB的中点0。为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域

内再建造一个游乐区域三角形OMN,其中在椭圆上，且的倾斜角为45°,交OD于点G.

主

干

道

(1)若OE=3千米，为了不破坏道路ER求椭圆长半轴长的最大值；

(2)若椭圆的离心率为与，当线段OG长为何值时，游乐区域三角形OMN的面积最大?

21.(12分)(2023山东青岛一模)已知。为坐标原点椭圆C:：+\=1(“泌＞0)的左、右焦点分别为

尸2人为椭圆C的上顶点,△4尸1巳为等腰直角三角形，其面积为1.

(1)求椭圆C的标准方程.

(2)直线/交椭圆C于两点，点W在过原点且与/平行的直线上,记直线WP,WQ的斜率分别为

kx,k^WPQ的面积为S从下面三个条件。②③中选择两个条件，证明另一个条件成立.

6=今软曲=3(W为原点Q

注:若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

22.(12分)(2023浙江湖州、衢州、丽水二模)已知双曲线C：v-y2=l,A是双曲线C的左顶点，点尸坐标

为(4,0).

(1)过点尸作C的两条渐近线的平行线分别交双曲线C于氏S两点,求直线RS的方程.

⑵过点尸作直线/与椭圆9+y2=l交于点直线ARAE与双曲线C的另一个交点分别是点M,N.

试问:直线MN是否过定点?若过定点,请求出该定点坐标;若不过定点,请说明理由.

检测五解析几何

„l2-O+llL

1.B解析抛物线的焦点坐标为(*0),其到直线x-j+l=0的距离d=^=-=VX解得p=2(p=-6

舍去).

2.A解析由圆的方程得圆心为(1,1),

•••反射光线恰好平分圆d+y2_2r2y一3=0的圆周，

，反射光线经过点(1,1).

•；(-5,3)关于x轴对称的点为(-5,-3),.•.反射光线所在直线经过点(-5,-3),.•.反射光线所在直线方程

为啥=宏，即2x-3y+l=0.

-0-1-J-1

2

3.C解析直线的倾斜角最大时，直线与圆相切,此时斜率存在，圆(x-g)+y2=l的圆心为

C(g,0),半径r=l.

设直线/的方程为y=kx-l,SP丘-y-l=0,直线到圆心的距离为"=善3=1,

出+1

解得左=8或左=0,当左时,倾斜角最大为

4.D解析由解析式可知，焦点*0,1),准线方程为y=-l,

设M(xi,yi),N(X2,y2)/MN：y=/a:+l,则|AfF|=yi+l=5,得％=4m=±4.

由抛物线的对称性，不妨设点M在第一象限内，则M(4,4).

联立｛:y+1'得”-4"-4=0'％2=-4,

C

即M=-l,所以1=鲁=4.

、AN0F\x2\

5.D解析由6=£=芯,得°=遥&,所以6=后次=2。所以双曲线C的渐近线的方程为

a

y=±-x=±2x.

由题,知,双曲线。的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=l交于A乃两点，所以满足条件的渐近线为

b.

y=-x=2x

又圆心(2,3)到渐近线2x-y=0的距离d==2圆的半径r=l,所以

M+(一1)25

\AB\=2y/r2-d2=2Jl-|=^^故选D.

6.C解析因为方程Ar2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=O,^：中ANB2C*NE》F,

所以当A=3=l?C=D=E=0与P=-l时,方程为d+Fl=0,即f+y2=i,故方程可以是圆的方程；

当A=1^B=C=D=O^E=-1^F=-2时,方程为V-y-ZR,即"d-2,故方程可以是抛物线的方程；

当A=223=l2C=D=E=0三/=-1时,方程为Zd+V-IR,即_/+半=1,故方程可以是椭圆的标准

2

方程；

若方程为双曲线的标准方程，则有A3<0,C=0=E=0,尸<0,这与矛盾,故方程

不可以是双曲线的标准方程.

所以真命题有3个.

7.D解析设过点P的切线方程为y=k(x+3),

二^|^=上理，

Q3_

不妨令直线AP的方程为y=f(x+3),即x-V3y+3=0,

直线尸8的方程为y=-弓(x+3),即x+\^y+3=0.

22

,/OO2:(x-l)+(y-t)=l处于。Oi的“背面”,

..•。。2与网相切时,取最小值,由/篙=1,解得-言或-2仃,结合图形可得,的最小值为

-苧，同理。。2与PA相切时可得力的最大值为U苧,竽WfW苧.

8.A解析设半焦距为c,延长F2M交PR于点N,如图.因为是/产iP尸2的平分线，/2MLPM

所以ANP尸2是等腰三角形，所以|PN|=|P产2|,且“是的中点.

Fd0\>2友

根据双曲线的定义可知|尸产1|-|尸码=2a,即|NFi|=2a因为。是FIF2的中点，所以MO是△NFi£的

中位线，所以\MO\=^\NFi|=a=V2.

又双曲线的离心率为苧，所以c=B力=1,所以双曲线C的方程为.所以FI(-V3,0),F2(V3,0),

双曲线C的渐近线方程为x土。=0.一

设“〃/),点T到两渐近线的距离之和为s,则S=R鬻+嗜a由亭•哥=(公

8)(〃+遮)+丫2=〃2+丫2_3=5,得I/2+V2=8.

又点T在］-y2=l上，则］-丫2=1,即〃2_2V2=2,解得r=6/2=2.由|训>的训，故$=碧=2段.

9.ABD解析‘直线hy=kx+l与y轴交于点M

...”(0,1),点加在圆。:/+丁=4内部,；./与C恒有公共点，故A正确；

•.•点/在圆。:/+9=4内部,ZAMB为钝角，

二△A3M是钝角三角形，故B正确；

•.•点/到A8的最大距离，即到圆心的距离，为1,

1

，SAABM〈5X4X1=2,故C错误；

当/被C截得的弦的长度最小时，圆心到直线/的距离最大，且此距离为点M到圆心的距离，为1,

此时弦长为2义用于=2百,故D正确.

故选ABD.

10.BCD解析对于A,抛物线C的准线方程为x=-l,故A错误；

对于B,设点4苞,丫1),8(陶助),设线段A3的中点为"(砥⑹,则［四一：如两式作差得

加3+为=48汨),可得念=畿勺,

所以丁1+以=4,故丁0=名1及=2,故B正确；

对于C,设直线AB的方程为y=x+b,联立｛，2"可得f+(2b-4)x+Z?2=0/=4S-2)2-4/?2>0,解得

b<l,

贝Ixi+x2=4-2b,xiX2=b2,\AB\=V2•J(%i+^2)2~^xix2=鱼乂4"-5=8,解得b=-l,点O到直线l的

距离为d=j=—条故5AAOB=1|AB|-6/=1X8X^=2V2,^C正确；

V2LL22

对于D,设线段Ab的中点为N(X3J3),则X3=",

由抛物线的定义可得|AF|=X1+1=2X竽，即|4尸|等于点N到y轴的距离的两倍，

故以线段A/为直径的圆一定与y轴相切，故D正确.

11.ABD解析如图所示，对于A,由a=3,6=4,得c=5,所以|OK|=5,QM=3,|MK|=4.

设底尸2|=心,则|3川=〃叶6,在△3吊巳中油余弦定理可得cosN防％=士解得

”zx6l加U(m+：6了)5

m二10,

则由巳|=10,|3尸11=16,从而|8川+|3尸2|=26,故A正确；

对于B,由3凡，即k得〃即/2,因为。为尸田的中点，所以M为3K的中点，由题意可知

|OM|=a,|MPi|=6,贝1][8/2|=2。,|8产i|=26,由双曲线的定义可得|8尸1卜|8%|=262。=2。,即6=2°,则双

曲线C的渐近线方程为y=±2x,故B正确；

对于C,由|M3|=2|MB|,得|8/1|=36,则|B&|=3bQ,在/2中，由余弦定理可得cosZ

RFF=(3b)2+(2c)2_(3儿2a)2=b

12-2x3bx2c,

整理得2=|测e=J(-f+1=半，故C错误；

aL\\aJz

对于D,因为MO分别是3户1,6仍的中点，所以OM〃/2,所以1361=24,13-1=26.

由双曲线的定义可得IBRITB产2l=26-2a=2a,即6=2°,贝[]e=J(\)+1=而,故D正确.

故选ABD.

12.ACD解析对于A,当直线M4,M3中一条斜率为0,另一条斜率不存在时，则M(土

当直线M4,MB斜率均存在时，设根血加)，切线方程为y=k(x-xo)+yo,

'y=k(x-x0)+y0,

由

万+y2=1,

222

得(1+2^)x-4^(Axo-jo),x+2(/cxo-y0)-2=0,

由/=0整理可得(瞪-2)F-2xoyoA+y]-l=O,

v2-]丫2_]

MA.LMB,**•%o+据=3,；.点M的轨迹为f+y2=3.经检

验,M(土企，土1)满足f+9=3,・・・蒙日圆的方程为f+产=3,故A正确.

对于B,，.•A为椭圆C上的点,，|AFi|+\AF2\=2a=2y/2,

：.d-\AF21=d-（2鱼-I）=d+|AFI|-2A/2.

•.,d+|AR|的最小值为点Fi到直线/的距离，

A.4、反

又Fi（-1,0）,（J+\AFi|）min=-^===

.,.（4/-|AF2|）min=^-2V2>B错误.

对于C,：矩形四条边均与C相切，，该矩形为蒙日圆的内接矩形.

2

设矩形的长为m,宽为〃，蒙日圆的半径r=V3,-*•m2+zt2=（2V3）,

：・nrnWm7=6（当且仅当根=〃二①时,等号成立），

・,•此矩形面积的最大值为6,故C正确.

对于D,设点A（xi,力）位于椭圆上半部分，即产

二・椭圆。在点A处的切线斜率左1=-―11•二切线方程为y-yi二-^Yx-xi）,即

r2—1」当

2产三

xix+2”y=x1+2y/=2,.,.在点A处的切线方程为等+yiy=l.

同理可得，当点4（刘力）位于椭圆下半部分，即产一｛1一三时,切线方程为号+y产1.

•••椭圆C在点A处的切线方程为当+yiy=l,同理可知，椭圆C在点3处的切线方程为等+y2y=1.

+yi7o=1,xx

设Mx。）。）,则/,可知点A,B的坐标满足方程W+yoy=l,

号+y2yo=i,2

即切点弦A3所在直线方程为等+yoy=L

当班=0时,"（上国,0）,此时所在直线方程为x=±^,：.\AB\=2x

2V32V32

---X----=一；

333'

(等+y()y=1,

当y(#0时，由〈丫2得(2秃+诏)炉-4%*+4-4犬=0,

〔万+,i

由A知就+yo=3,(6-%O)-X2-4XOX+4XQ-8=0,

设A(xi,yD,3(X2,y2),贝!)为+%2=^^,%1%2=?0

O_XQO-%0

.448-3)(其-4)

A\AB\=-4x—V=

6%

又原点。到直线的距离d=1

16(xg-3)(xg-4)1

S^AOB=^\AB\-d=4(4-说)21

(6*)2羽―、2+

(6曷)(6曷)

令点=/「••福6［。,3）,；.6-de（3,6］,则te［林）；曲线尸2/+近段）为开口方向向下,对称轴

为直线的抛物线，

4

，+7=(S/vlOB)max=2XH1=YV2，(S"O5)min=2X1_2

•-ymax=-2xQ)+；=ijmin=-2xQ)

o9Alo8L29-3,

综上所述,“03的面积的最小值为|,最大值为弓，故D正确.

故选ACD.-

13.(x-2)2+y2=l(答案不唯一)解析设圆的方程为(『a)2+(y/)2=R2,和直线相切可以得R=\a-

1|=|6-1|,和圆相切得'a?+《2=R+I或+租=欣-1],若取〃=2力=0,则R=l,此时圆的方程为(x-

2)2+y2=l.

14.6“解析易知切线的斜率存在，设其方程为产质，导0,则由题意，得圆C的圆心为(-2,0),半径

r=V3.由平组=百,解得k=±y[3.由圆与抛物线的对称性，不妨取直线产Bx.直线y=y[3x与曲

k2+l

,=警，得咨).因为[0罚=8,所以$产+(*>=64,解得

线交于点P,则由

y=V3x,3333

p=6.

15.2(答案不唯一，只要l<e<遍即可)解析由题意知,双曲线C的渐近线方程为y=壬%,要使直

线y=2x与双曲线C无公共点，只需2・2即可.

a

由2・2,得¥忘4,所以e2<5,故l<eW返.

aaL

16.yI解析设尸画=2c油题意,MQW的周长为

IPQI+IPBI+IQ尸2|=|PR|+|PF2|+|QR|+|QF2|=4a因为〃="+廿,所以△。台品的周长为a+b+c^

22222

以=l+i,整理得b=V2a-c9b=2a-2y/2ac+c9a-2V2ac+2c=0^2e2-2V^e+l=0,解得

4a4

_V2

方.

因为|母7=/,所以。=鱼,所以6=c=l,即椭圆的方程为^+>2=1,

焦点R(-1,O)，/2(1,0),所以直线8R的斜率为1."

因为所以直线PQ的斜率为-1,即直线PQ的方程为y=-x-l.

(Y2

联立万+f=i，得3f+4x=0,即x=0或%=-1.

ly

不妨令尸工)，

所以APQB的面积为gx2xg+l)=g.

94

=1,

葭-访a2—8,

解由题意

17.(1)——2解得2

c1+^=V5,b=32,

,a

故双曲线的方程为^--^T=l.

05Z

(2)证明设点B(xi,yi),C(X2,y^i

设直线AB的方程为y-2=k(x+3),

代入双曲线方程，得(41濡-2-3%+2诉(3左+2)2-32=0,

22

6/C+4/C3/C+4/C+12_2廿+2轨+8.(3/C2+4/C+122/C2+24/C+8)

/.-3+%i=-

4-k2=47彳了'4了

同理c(3-2-41+122/-2轨+8)

4-/'4-/c2

-7_4佻_(

•・kBc=-^~=S

8k

18.解⑴如图,因为市=2瓦?,

所以|A7nW|AB|=3.

由前二2同,加=-*%产*可得XA=P.

由抛物线的定义可知,四|二〃+畀3,解得p=2.

则。的方程为y2=4x

⑵因为点后(沏,-2)在抛物线C上，所以必=1.

设直线MN的方程为％=(y+〃,M(xi,yi),N(%2,y2),yi,y2齐2,

将x=ty+n代入/=4羽得y2_4/y-4〃=0,贝1)1+,2=4彳,％,2=-4几

依M=红?=当工=吃,同理kEN=~^.

X1-1光71-2y2-2

不j

774,44(y.+y)-1616t-161超4日/

kEM^kEN---H-----=-----——?-—777=―工77=1灌理1m侍〃=-61+c5,

y「2y2-2丫1丫2-2(丫1+丫2)+4-4n-8t+4

则直线MN的方程为无=。6+5,所以直线MN过定点7(5,6).

当E7UMN时，点£到直线跖V的距离最大,且最大距离为|E7]=(5-1)2+(6+2产=4逐,经检验

符合题意.

19.解⑴由题意设抛物线的标准方程为丁=2/印＞0,当x=l时,y2=2.y=土

因为OPLOQ,所以四=1,即2〃=1,

故抛物线的标准方您为/=x

0M的方程为(x-2)2+y2=i.

(2)由题意可知直线A1A2,A1A3,A2A3均不平行于X轴.

设点Ai(xi,yi),A2(X2,y2),A3(%3,y3),直线44的方程为x-%二加(yw),直线A14的方程为x-为二加2。-

yi),根4根2.

AixiyA1A2x-nny+m\y\-yl=0,4

因为点在抛物线。上，所以二工所以直线的方程可化为线AIA3的

方程可化为x-moy+miyx-yl=0.

M,OM(2,0),r=1,

因为直线AIA2,AIA3与。相切的圆心坐标为半径

|2+四71-*|=]|2+m2ylMI

所以

1+m^14-7712

皿'加2为方程与言等’的根，

所以

即如四2为方程加2(y)l)+皿4y1-2资)+yf-4弁+3=0的根.

又机停机2,所以所以如+加2=号£^,如加2二匕胃卢.由久丁/+恤％-资=0,消去x,得产

7—X,

W+加iyi-y1=0,所以％+经二加1,即y2=mi-yi.

同理,第=加2-%.

)*"'得y2-ky-b=0,^以a+”二42y3二也所以

设直线A2A3的方程为x=@+b,由

k=y2+y3=mi+m2-2yi=第,-6=p2丁3=(如-y)02-%)=加闭2平(的+m2)+yi=^77.

Yl-1YI-1

妊+1

=驾土=1=八故直线A2A3与。航相

必+1

而

20.解(1)以。为坐标原点,0。所在直线为x轴,。4所在直线为y轴建立平面直角坐标系，图略，由

题意A(0,l),E(0,3).

因为NO防=30°,所以|0川=|OE|tan30°=V3,

所以F(百,0),g=-遮，

所以直线E厂的方程为y=-V3x+3.

设|0。|=4必>0,则D(a,0),

俨2

所以椭圆的方程为马+/1，当。最大时直线所与椭圆相切加卜+、=1，

22

整理可得(1+3“2)^-6B〃¥+8〃2=。，

4=(6次〃2)2.4(1+3々2).8〃2=0,解得〃=苧(负值舍去).

所以椭圆的长半轴长的最大值为竿.

(2)因为e=^=亨力=1,〃2=52+。2,所以。2=4,

所以椭圆的方程为++y2=l.

设|OG|=r,0<W2,则GQ,O),直线MN的方程为y=x-t.

ry=x-t,

联立2,整理可得Sd-StC+dP/R,

匕+y=1，

设M(xi,yD,N(X2j2),则尤I+X2=£,XIM=^A

22

\yi-yiI=l^i-%21=J(%i+%2)-4%1%2=[野=|•V5-t,

SAOMN=：|OG|.|yi-y2|=：d,V5-C2=|V5t2-t4=|2+

要保证MN与半椭圆有交点，当点N位于点3位置时片1,所以1W/W2,当，总即t=当时,SAOMN

有最大值，最大值为1.

综上所述，当|OG|=当时,三角形OMN的面积最大.

21.ft?⑴记|尸1囿=2c,由题意知|二|4尸2|二。,2c=/a,

S

LAFrF2—12=1,解得<2=V2,.\b=l,c=l,

.♦•椭圆c的标准方程为S+y2=l.

(2)(/)选②③为条件:设尸(沏加),。。2,”).

当直线/的斜率不存在时,根据椭圆的对称性不妨设点P在第一象限，则由左次2=3,可得由=¥，此

时直线WP的方程为产技与S+y2=l联立，解得尸(1号,.一考.

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为广质+/,“

则后%2=之"=1,即xiX2+2yiy2=0.

%i%2，

将y=kx+tKAy+^2=1W-(l+2^2)x2+4to+2/2-2=0,Xi+X2=-~,

y-2_oE.2y-2_nE.2

^•yiy2=(kx[+t)(kx2+t)=I^X[X2+kt(x\+x2)+t2=---------------?+2------2=°，即1+2F=2，.

l+2k1+2/c1+2/c

__________I]+2上2_12

22x2_2

|PQI=V1+/ckl-%21=V1+fc•J(l+%2)4X1%2=2A/2•V1+/c-71+2后.

S=1--^=-2s/2-V14-/C2•」"2k?2=

\t\V2

•・,点。到直线/的距离d=2~2,

l+/c22后一/

综上，①成立.

（方）选①③为条件:设P（X1,%）,Q（元2/2）.

当直线/的斜率不存在时，根据椭圆的对称性不妨设点尸在第一象限,

则由5=芋，可得S=|xi-2_yi=xiyi=y.

又]+比=1,解得Pd,y),2d,-y),

・・k\k2~-~-

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y="+。

将y=Ax+/代入/+y2=l#(1+2^)x2+4to+2?-2=0,%i+%2=-4kt2t22

1+2/C2'X1Q-I+2/C2'

|尸Q|=V1+k2\x\-x2\=V1+/c2•](%1+%2)2-4%1%2=2a•V1+fc2•J1+2k2t.

N1rZ/c

・・♦点O到直线l的距离d=^=,

JM2

：.S=g--^=-2^2-V1+/c2-冬3叶守4

l+/c2

t2-2k2

•・b1>2=(履1+。("2+，)二炉工lX2+k(Xl+X2)+/2=

1+2/'

t2-2k2

.7r_y^2_1+2/_t2-2kz_1-t2_1

,,12-有-宝工--亦5-泰工一下

l+2k2

综上，②成立.

（iii）选①②为条件:设P（xi,yi）,Q（X2,y2）,W（xo,yo）.