山西省太原市2024届高三年级下册第二次月考数学试题（含答案与解析）

太原师院附中师苑中学校2024届准高三第二次月考

数学试题

（考试时间：120分钟；满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分.）

1.等差数列｛斯｝中，已知。2=2,。5=8,则〃9=（）

A.8B.12C.16D.24

2.已知等比数列｛q｝的前〃项和为S“，公比q=；,若q=；,则臬的值是（）

,113163

A.—B.—C.—D.—

64323264

3.已知某质点运动的位移y（单位；cm）与时间/（单位；s）之间的关系为y（7）=ln（2f+l）,则该质点

在f=2s时的瞬时速度为（）

12

A.-B.-C.2D.4

55

-3-

4.过曲线）=%2-2%+3上一点尸作曲线的切线，若切点。的横坐标的取值范围是L],则切线的倾斜

角的取值范围是（）

AH；B.C.[0,K)D.*

5.若数列｛斯｝为等差数列，&为数列｛斯｝的前〃项和，已知Sio=2O,530=90,则S20的值为（)

A.40B.50C.60D.70

In2,ln3_ln4

6.已知。~2^2,-2?3，C，则（）

A.b>a>cB.c>b>a

C.a>c>bD.c>a>b

7.已知正项等比数列｛%,｝中，%，3%，%成等差数列・若数列｛4｝中存在两项％”，4,使得伍；为它们

14

等比中项，则一+一的最小值为（）

mn

A.3B.4C.6D.9

8.以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联

系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.该定理如下：若函数

"%）在闭区间［a,b］上的图象不间断，在开区间（a,内可导，则在区间（a,内至少存在一个点

、e（a,b）,使得/㈤一/⑷=/'（4）（〃一称为函数y=/（x）在闭区间［a,可上的中值点.那么函

数〃x）=l—29在区间［―上的中值点的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分.）

9.下列求导正确的是（）

A.（In10）=白B.（炉―=2X+3

10IxJx~

C.（xe）=（x+l）evD.（cos3x）'=-sin3x

io.如图所示是y=/（x）的导数y=/'（%）的图象，下列结论中正确的有（）.

A.”司的单调递增区间是（一1,2儿（4,+8）

B.x=—1是"％）的极小值点

C."%）在区间（2,4）上单调递减，在区间（-1,2）上单调递增

D.x=2是〃％）的极小值点

11.已知数列｛4｝是等比数列，以下结论正确的是（）

A.｛4｝是等比数列

B.若。3=2,%=32,贝1j%=±8

C.若％<。2<%，则数列｛«„｝是递增数列

n

D.若数列｛an｝的前n项和S,=3+r,贝殊=—1

12.已知5“是等差数列｛4｝的前几项和，且用(0,%+60)°，则下列选项正确的是()

A.数列｛4｝为递减数列B.%<0

c.S"的最大值为S7D.515>0

三、填空题(共4小题，每小题5分，共20分.)

13已知数列｛%｝满足：％=1,------=l(w>2,«e^+),则氏021=.

anan-i

14.若函数/(%)在R上可导，/(x)=2V'(e)+lnx,则/，(e)=.

(3-。)无一6,尤<10,、,、,、

15.已知函数/(%)=1m，若数列｛4｝满足为=/(〃)，且｛4｝是递增数列，则实数°

a1)x〉iu

的取值范围是.

16.对于三次函数/(%)=加+陵2+5+〃(。/0),给出定义：设/''(%)是函数y=/(x)的导数，

/"(£)是/'(x)的导数，若方程/"(%)=0有实数解与,则称点(%,/(%))为函数丁=/(%)的“拐

点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐

点”就是对称中心.

若/(x)=%3-gf+Sx-.,请你根据这一发现，求：

(1)函数一,/+3苫-9对称中心为______；

v73212

⑵计算［++/［也［=.

UoilJU011)^2011)UoilJU011)---------

四、解答题(共6小题，共70分.)

17.已知函数/(x)=(x—2)e”.

(1)求函数/(%)单调区间；

(2)求/(x)在［-1,2］上的值域.

18.已知两曲线/(x)=x3+融和8⑴=f+〃x+c都经过点P(l,2),且在点尸处有公切线.

(1)求名4c的值；

(2)设抛物线g(x)=/+以+c上一动点M到直线y=3x-2的距离为d,求d的最小值.

19.已知等比数列｛4｝的公比"=2,且%+1是与，%的等差中项•

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)设2=2(.-3)4,求数列也｝的前〃项和7“.

20.S”为数列｛%｝前〃项和.已知/〉0,4+24=457+3.

(1)求｛%,｝的通项公式；

,1,,1

(2)设么=-----,求证：数列｛〃｝的前几项和<<一.

anan+l6

21.设/(工)=3^2

—(tz+l)x+lnx,awR.

(1)当。=2时，求〃力的极值;

⑵讨论函数〃力的单调性.

22.已知函数=x(lnx-a).

(1)若"％)在(1,+8)上单调递增，求。的取值范围;

X25

(2)若a=l,证明：/(%)>---

八/ex-12

参考答案

一、单选题(共8小题，每小题5分，共40分.)

1.等差数列｛诙｝中，己知。2=2,(15=8,则。9=()

A.8B.12C.16D.24

【答案】C

【解析】

a.+d=2,

【分析】由已知条件可得《

A,0求出q/，从而可求出与

6+4d=8,

【详解】设等差数列｛〃〃｝的首项为m,公差为d,

4+d=2,

则由〃2=2,“5=8,得〈

q+4d=8,

解得。i=0,d=2,所以〃9=〃i+8d=16.

故选：C.

2.己知等比数列｛%｝的前〃项和为S",公比q=g,若q=g,则$6的值是（）

11316：

A.—B.—C.—D.—

6432326乙

【答案】D

【解析】

【分析】直接利用等比数列求和公式求解即可.

63

【详解】由等比数列求和公式得§6=

64

故选：D

3.已知某质点运动的位移y（单位；cm）与时间/（单位；s）之间的关系为y（7）=ln（2f+l）,则该质点

在f=2s时的瞬时速度为（）

12

A.-B.-C.2D.4

55

【答案】B

【解析】

2

【分析】对y（f）=ln（2t+l）求导得y'（/）=五］，从而可求质点在/=2s时的瞬时速度y'（2）.

2

【详解】因为y1）=ln（2f+l）,所以=5节，

22

所以该质点在/=2s时的瞬时速度为y（2）=----------=—.

2x2+15

故选：B.

'3'

4.过曲线y=f-2x+3上一点尸作曲线的切线，若切点尸的横坐标的取值范围是L］，则切线的倾斜

角的取值范围是（）

八兀1c兀3

A.0,—B.0,iC.[0,7T)D.—71,71

4

【答案】B

【解析】

【分析】求导函数，根据切点尸的横坐标的取值范围，确定切线斜率的取值范围，从而可得切线的倾斜角

的取值范围.

【详解】解：求导函数可得，y'=2x—2,

3

・・,切点尸的横坐标的取值范围是1,-,.-.2x-2e[0,l],

设切线的倾斜角为贝!Jtana6[0,1],

*.*aG[0,7i),aG

故选：B.

【点睛】此题考查导数的几何意义的应用，考查倾斜角与斜率的关系，属于基础题

5.若数列｛斯｝为等差数列，S"为数列｛如｝的前〃项和,已知Sio=2O,530=90,则S20的值为()

A40B.50C.60D.70

【答案】B

【解析】

【分析】根据等差数列的求和公式求出首项和公差，再根据等差数列的求和公式可求出结果.

【详解】设等差数列｛诙｝的公差为d，VSio=2O,fto=9O,

10q+上上d=20d=—

1

•.302x29，解得1"0r

30^+JU9J=90a,=—

〔”2I120

「“20x19,“

,・S?o~20qH------d=50.

故选：B.

In2,ln3ln4

6-已知电力=访'°=彳'贝1J()

A.b>a>cB.c>b>a

C.a>c>bD.c>a>b

【答案】B

【解析】

InVInv

【分析】通过构造函数y=——，利用y=—的单调性即可比较出的大小关系.

xx

・、工5.AInx—,1-lnx

【详解】令'=——，则丁=———，

xx

所以尤w（0,e）时，y>0,X£（e,+oo）时，y<0,

InY

即y=——在区间（0,e）上单调递增，在区间（e,+8）上单调递减，

X

h力ln2ln07ln3In君ln4ln22ln2

因为〃=--产=---^―，u---产—---^―，C=--=----=---

2V2V22V3V3442

又因为&<6<2<e，丁=—在区间（。建）上单调递增,

X

所以Q<Z?<C,

故选：B.

7.已知正项等比数列｛4｝中，%，3%，％成等差数歹!J•若数列｛qJ中存在两项金，％，使得岛为它们的

14

等比中项，则一+一的最小值为（）

mn

A.3B.4C.6D.9

【答案】A

【解析】

14

【分析】由已知条件求出等比数列的公比2,得到根+〃=3,利用基本不等式求一+一的最小值.

mn

【详解】设正项等比数列｛%｝的公比为4，由〃4，3%，%成等差数列，

有6。3=%+。5，即6。3=+//，得q2+g_6=0,由4>。，解得4=2,

若数列｛%｝中存在两项〃机，3,使得夜a1为它们的等比中项，

贝！=am,an,即2。：=。]U一1.q/T,得2根+〃一2=2，则加+〃=3,

141f14V>.1（n4m八1f[n―4—）.

—I—二——I—\\m+n\=-1H---1----1-4>—5+2.-----=3,

mn3\mn）3\mn731、mn

n4H7

当且仅当一二—,即根=1,〃=2时等号成立，

mn

14

所以1—的最小值为3.

mn

故选：A

8.以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理''反映了函数与导数之间的重要联

系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.该定理如下：若函数

“X)在闭区间［a,b］上的图象不间断，在开区间(a,内可导，则在区间(。,。)内至少存在一个点

、e(a,b),使得〃〃)一/(。)=/'(4)(〃一称为函数y=/(x)在闭区间［a,可上的中值点.那么函

数〃x)=l—29在区间［―上的中值点的个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】计算/⑴―/(—l)=T"'(/=—6$，得到T=—12铲,解得答案.

【详解】因为〃x)=l—1』，所以/(—1)=3"⑴=—l,/'(x)=—6/，

所以/⑴―〃T)=T/'⑷=一6己

由拉格朗日中值定理得—4=—12铲，解得4=土#.

因为一日，¥8-1』，所以函数—2》3在区间［―1』上的中值点有2个.

故选：C

二、多选题(共4小题，每小题5分，共20分.)

9.下列求导正确的是()

A.(inlO)'/B..J=2x+5

C.(xe*)=(x+l)e*D.(cos3x)'=-sin3x

【答案】BC

【解析】

【分析】由基本初等函数的导数与导数的运算法则计算即可.

2=2%+4，

【详解】（lnlO）'=O,x_l

Xx

(xe')=e*+xe*=(x+l)e*,(cos3%)=-3sin3x.

故选：BC.

10.如图所示是y=/（x）的导数y=/'（x）的图象，下列结论中正确的有（）.

A.f（x）的单调递增区间是（T2儿（4,”）

B.x=-1是〃大）的极小值点

c."%）在区间（2,4）上单调递减，在区间（-1,2）上单调递增

D.x=2是"％）的极小值点

【答案】BC

【解析】

【分析】利用导数的正负与函数的单调性的关系，结合函数的极值与极值点的定义即可求解.

【详解】由导函数的图象可知，当—3<x<—1或2Vx<4时，_f（x）<0；当—l<x<2或x>4时,

f\x）>0；

所以了（%）的单调递增区间为（-L2）和（4,+8）,单调递减区间为（—3,—1）和（2,4）.故A错误，C正确;

所以无=-1或x=4是的极小值点；故B正确；

所以x=2是/（九）取得极大值点；故D错误.

故选：BC.

11.已知数列｛4｝是等比数列，以下结论正确的是（）

A.｛片｝是等比数列

B.若。3=2,%=32,贝1j%=±8

C.若％<。2<%，则数列｛«„｝是递增数列

n

D.若数列｛an｝的前n项和S,=3+r,贝殊=—1

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据给定条件，利用等比数列定义、性质逐项分析判断作答.

【详解】令等比数列｛4｝的公比为4,则%

对于A,9=(44)2=/,且片20,则｛4｝是等比数列，A正确;

对于B,%=2〉0,贝|。5=。3才>0，B错误;

q(q—l)>0q>Q

对于C,由4<。2<。3知，〈则广a〃+「%=q"T，％(q_i)〉0，

a^q^q-X)>0［囚①-1)>0

即X//eN*，«„+i>a„,数列｛4｝是递增数列，C正确;

对于D,显然qwl,则于二%(1—4“)=卫•0'—而S〃=3"+r,

1-qq-1q-1

因此q=3,上匕=1,厂=--&=-1,D正确.

q-1q-1

故选：ACD

12.已知S“是等差数列｛4｝的前几项和，且用(0,%+60)°，则下列选项正确的是()

A.数列｛4｝为递减数列B.%<0

c.Sn的最大值为SiD.工5>0

【答案】AC

【解析】

【分析】根据等差数列的性质得出%〉°，从而可判断数列的单调性，再结合等差数列的前九项和公式判断

各选项.

【详解】｛。“｝是等差数列，则%+。8=。5+。10〉0，又/<。，，％〉0,

所以｛4｝是递减数歹！J，

从而S“中邑最大，几二15(4；阳)=15%<0,

故选：AC.

三、填空题(共4小题，每小题5分，共20分.)

13.已知数列｛4｝满足：4=1,---—=l(n>2,raeA^),则

anan-\+

【答案】

2021

【解析】

【分析】根据已知条件，利用等差数列的定义判定数列,工为首项为1，公差为1的等差数列，写出通

项公式，进而得到数列｛4｝的通项公式，从而得解.

【详解】•••4=1,•••工=1，又——-=l(«>2,«e7V+),

«1an-

，数列\—为首项为1,公差为1的等差数列,

即%二一，・・%021-，

n2021

故答案为：•

2021

14.若函数/(%)在R上可导，/(x)=2^r(e)+lnx,则广⑻二

【答案】T

【解析】

【分析】求出函数的导函数，再把％=€代入计算可得.

【详解】因为y(x)=2于(e)+lnx,所以/⑴=2/'(e)+L

X

把％=e代入得/'(e)=2r(e)+工，解得r(e)=--.

ee

故答案为：—.

e

(3-4Z)X-6,X<10,、/、，、

15.已知函数/(%)=.91八，若数列｛4｝满足为=/(〃)，且｛4｝是递增数列，则实数〃

CL•X〉1U

的取值范围是.

【答案】(2,3)

【解析】

【分析】由分段函数的解析式可得，函数AM在每一段都是单调递增，且a”>。]。，列出不等关系，求解

即可.

(3-tz)x-6,x<10/、

【详解】因为函数/(%)=]9S，数列｛4｝满足为=/(九)，且｛%｝是递增数列，

〃，%>10

则函数/(X)在每一段都是单调递增，且卬1>。10,即/(ll)〉/。。)，

3—a〉0

所以〃〉1,解得2vav3,

«11-9>10(3-a)-6

所以实数”的取值范围是(2,3).

故答案为：(2,3).

16.对于三次函数/(%)=加+加+cx+d(awO),给出定义：设/>'(%)是函数y=/(x)的导数,

/"(1)是/'(九)的导数，若方程/"(尤)=。有实数解与，则称点(%,/(/))为函数y=/(x)的“拐

点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐

点”就是对称中心.

若〃到=；彳3一(尤2+3彳一',请你根据这一发现，求：

(1)函数〃元)=工丁-；X2+3无一\对称中心；

⑵计算V+d四〔=.

UOHJI2011JUonJUOHJI2011)-----------

【答案】①.gj##(O.5,l)(2).2010

【解析】

【分析】⑴解方程/"(%)=0,可求得函数“X)的对称中心坐标；

⑵由已知可得/(x)+/(l-x)=2,利用倒序相加法可求得所求代数式的值.

【详解】⑴因为〃x)=gx3—gx2+3x—4,则:(x)=x2-x+3,广(x)=2x—1,

由/"(x)=0,可得x=工，且/1-]=—x----x—F3X------=1,

2UJ3824212

所以，函数/•(同=白3_1尤2+3；1-]1的对称中心为[，11；

(2)由(1)可知对任意的xeR,f(x)+f(l-x)=2,

=2010x2,

故答案为：(1)(2)2010.

四、解答题(共6小题，共70分.)

17.己知函数/(x)=(x—2)e1

(1)求函数/(x)的单调区间;

(2)求/(%)在[T2]上的值域.

【答案】⑴函数八%)在(L+8)上单调递增，在(-8,1)上单调递减;

(2)[-e,0]

【解析】

【分析】(1)根据导数的正负得出其单调性；

(2)根据第一问的函数单调性得出其值域.

【小问1详解】

函数/(x)=(x—2)e*,则/,(x)=(%-l)e',

当x〉l时，当％<1,/(力<0,

故函数“X)在(L+8)上单调递增，在(f,I)上单调递减;

【小问2详解】

由(1)可得函数/(%)在。,2］上单调递增，在［-1,1)上单调递减，

且=-3「=—±,"2)=0,

e

则“X)在［—1,2］上的最大值〃力5=〃2)=。最小值"X)1nhi=/(l)=Y，

故/⑺在［-1,2］上的值域为［—e,0］.

18.已知两曲线/(xQx,+ax和g(x)=x2+Z;x+c都经过点P(l,2),且在点P处有公切线.

(1)求的值；

(2)设抛物线g(x)=%2+b%+。上一动点M到直线y=31-2的距离为"，求d的最小值.

【答案】(1)々=1,b=2,c=—l

力3M

40

【解析】

【分析】(1)求出函数的导数，根据题意可得关于仇c的方程，解方程，即可求得答案；

(2)利用导数几何意义求出点M的坐标，再根据点到直线的距离公式，即可求得答案.

【小问1详解】

根据题意可知，将P(L2)分别代入两曲线方程得到2=l+a,2=l+b+c.

两个函数的导函数分别是/'(x)=3d+a,g'(x)=2x+b,

又/'⑴=3+a,g'(l)=2+b,则3+a=2+b,

解得。=1,b=2,c=—1-

【小问2详解】

要使抛物线g(x)=*+2x—1上的点M到直线y=3x—2的距离最短，

则抛物线在点M处的切线斜率应该与直线y=3x-2相同，贝。g'(x)=2x+2=3,

解得x=!，又因为点M在抛物线上，解得出［［，!］.

2124J

fy=3x-2

所以最短距离即d的最小值为点M到直线y=3x-2的距离，

3_2_1

代入点到直线的距离公式得d=[4=h叵.

历由40

即最短距离为上叵

40

19.已知等比数列｛%｝的公比4=2,且%+1是劣，%的等差中项.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)设2=2(〃—3)%,求数列出｝的前〃项和7“.

【答案】(1)a“=2"T

(2)7；=(八—4)-2"+1+8.

【解析】

【分析】(1)根据等差中项的含义列式即可求解(2)利用错位相减法求和

【小问1详解】

由题意可得2(4+1)=。2+。4，

即2(4%+1)=2q+8tZ|,解得q=1.

1

因此数列｛%｝的通项公式an=Q/T=1x2-1=2"-.

【小问2详解】

由⑴得〃=2(九—3).=(九一3>2”,

^7；=(-2)x2'+(-l)x22+0x23+.+(«-3)-2n

27；=(-2)X22+(-1)X23+.+(〃—3>2用

23nn+1

两式相减，M-TI=^+2+2+.+2-(«-3)-2

4(1—2"叫

=7+二-----M〃_3)-2"+I

1-217

=T+4(2，T_1)_(“_3).2"+I

=—8+("")•2"M

即1=(〃_4>2”+1+8.

20.S”为数列｛%｝前几项和.已知怎〉0,a；+2an=4Sn+3.

(1)求｛4｝的通项公式；

,1，、1

(2)设2=-------,求证：数歹!)｛〃｝的前几项和？；<一.

anan+\6

【答案】(1)%,=2〃+1;

⑵证明见解析.

【解析】

【分析】(1)已知数列｛4｝与用的等量关系，再写一项作差，即可求出｛4｝的递推关系，在条件中代入

〃=1求出4,依据递推关系可求出通项公式；

(2)求出〃"=-----,利用裂项相消法即可求数列｛〃｝的前九项和，再与一进行比较可证.

anan+\6

【小问1详解】

由a；+24=4S“+3,可知aj+2%=4S„+1+3,

两式相减得-a：+2(an+1-an)=4an+1,

即2a+i+an)=a；/-a；=(%+%)(4+1-%),

v«„>0):.an+1-an=2,

+2q=4〃]+3,/.q=—1(舍)或％=3,

则｛%｝是首项为3,公差d=2的等差数列，

...{4}的通项公式a.=3+2(n-l)=2n+l；

【小问2详解】

1J]1________

Q4=2〃+1,/.bn=-----(2n+1)(2〃+3)2(2〃+12〃+3J

%A+i

，数列｛〃｝的前"项和

11111

H-----------------<——

2n+l2n+364〃+66

>0,所以<—,

47?+6-----------64/1+66

21.设/(X)=；双2一(々+1)*+],

1ra£R.

(1)当a=2时，求/(%)的极值;

(2)讨论函数/(%)的单调性.

【答案】(1)7s大值(x)=-]-ln2,/极小值(x)=-2；

(2)答案见解析.

【解析】

【分析】(1)利用导数求出极值即可;

(2)求出了'(x),分a=0、a<0、a>l、a=l、。<.<1讨论，可得答案;

【小问1详解】

f(x)