2023-2024学年九年级上开学考试数学试卷及答案解析

2023-2024学年九年级上入学考试数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.

1.下列式子中，属于最简二次根式的是（）

B.Vo?TC.V18D.V13

2.在△ABC中a,b,c分别是/A、NB,NC的对边，下列条件中，不能判断△ABC是直

角三角形的是（）

A.a：b-.c=0.5：1.2：1.3B.a：b-.c=1：V2：3

C.ZA：ZB：ZC=5：7：12D.ZA+ZB=ZC

3.某校规定八年级学生的体育期末综合成绩由平时成绩和期末测试成绩两部分组成，并按

照4：6的比例确定体育期末综合成绩.若小佳的平时成绩为90分，期末测试成绩为85

分，则小佳的体育期末综合成绩为（）

A.85分B.86分C.87分D.90分

4.一次函数y=-2x+6的图象向下平移3个单位长度后，恰好经过点A（2,-3）,则6的

值为（）

A.4B.-4C.2D.-2

5.若。＜0,则化简后-—2"的结果为（）

A.2B._2C.2-2aD.2。-2

6.如图，在Rt^ABC中，/B=90°,AB=6,AC=10,以边8C为直径作一个半圆，则

半圆（阴影部分）的面积为（）

c

A.4TTB.8TTC.12itD.16TT

7.一次函数＞=履+匕的图象如图所示，则一次函数6的图象大致是（）

8.如图，在口ABC。中，对角线AC,8。相交于点O,AC±BC,AB=10,BC=8,贝！J

的长为（）

A.V73B.6C.7D.V58

9.有一块直角三角形空地（△ABC）,政府为了加强生态文明建设，计划把这块空地规划成

绿化带，已知NB=90°,NC=30°,AC—20m,V3~1.7,若每平方米绿化带的费用为

200元，则整块空地规划成绿化带共需费用（）

A.17000元B.17500元C.34000元D.36000元

10.如图1,在菱形ABC。中，/。=60°,点E在边CZ）上,连接AE,动点P从点A出

发，在菱形的边上沿A-B-C的路径，以1cm/s的速度匀速运动至点C停止.在此过程

中，△B4E的面积y（c济）随运动时间x（s）变化的函数图象如图2所示，则当x=9

时，y的值为（）

D.12V3

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.若式子丁丁有意义,则x的取值范围是--------.

12.请写出一个过点A（-1,yi）和点B（5,>2）且函数值满足y\>yi的一次函数解析

式:

13.某学校开展“齐诵满江红，传承报国志”诵读比赛，八年级准备从小乐和小涵两位同学

中选拔一位同学参加决赛，如图是小乐和小涵两位同学参加5次选拔赛的测试成绩折线

统计图，若选择一位成绩优异且稳定的同学参赛，推选参加决赛的同学是（填

小乐

小涵

14.如图，正方形的边长为a,对角线AC,BD交于点0,正方形GMN。（OG>OB）

从初始位置（边ON与。A重合时），绕点。顺时针旋转a°（0<a<90）,边GO,NO

分别与正方形ABC。的边交于点E,F（点、E,尸不与正方形ABC。的顶点重合）.有

下列三个结论：①OE=OF；②△AE。与△CF。的面积和是-a?；③四边形E0F8周长

4

的最小值为2a.以上结论正确的为（填序号）.

DC

15.如图，在口ABC。中，以点8为圆心，以任意长为半径画弧，分别与边AB,CB交于点

1一

M,N分别以点M,N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G,作射线8G

交边AD于点E,若点P为射线BE上一动点，连接CP,直线CP交边于点R取线

段斯的中点。，连接P。,若NCPB=90°,尸。=3,A£>=20,则边AB的长为.

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

16.（10分）计算：

(1)V2XV6+V27-6(2)(V3-V5)X(V3+V5)-(V5-V3)2.

17.（9分）2023年4月15日是第8个全民国家安全教育日，为普及国家安全知识，某校开

展了“树立防范意识，维护国家安全”的国安知识学习活动，并从七、八年级中各随机

抽取20名学生进行测试（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析下面给出

了部分信息：

a.八年级20名学生测试成绩的频数分布表：

成绩X（分）60<x^7070VxW8080<x^9090VxW100

频数258m

b.八年级测试成绩在80<xW90这一组的数据如下（单位：分）:

81,82,85,86,88,88,89,90

c.七、八年级测试成绩的平均数、中位数、众数如表：

平均数中位数众数

七年级858382

八年级83n80

根据以上信息，回答下列问题：

（1）表格中的m=,n=；

（2）若小红同学的成绩为84分，在她所属的年级排前10名，根据表中数据判断小红同

学是年级的学生（填“七”或"八”）；

（3）请对该校七、八年级学生掌握国家安全知识的情况进行合理的评价.

18.（9分）如图，四边形4BCD是平行四边形，对角线AC,2。相交于点0,点E,尸在

直线AC上，若,则8E〃。冗

在①OE=OF；②BE=DF；③AF=CE这三个条件中，请选择一个合适的条件补充在上

面横线上（选择一个即可），使结论成立并给出证明过程.

1

19.（9分）已知一次函数、=分+2分别与x轴、y轴交于点A,8,点C在直线上，其

纵坐标为5.

（1）填空：点B的坐标为，点C的坐标为；

（2）在x轴上找一点P,连接PB,PC,使P2+PC的值最小，并求出点尸的坐标；

（3）在（2）的条件下，求出△BC尸的面积.

20.(9分)在矩形A2CD中，AB=5,AD=4,以点A为圆心，42长为半径画弧，交CD

于点E.

(1)求CE的长；

(2)在3c上求作一点F使AF平分(不写作法，保留作图痕迹)，并求CF的

长.

21.(9分)如图，在菱形ABC。中，对角线AC,2。相交于点。，点E是AB的中点，连

接OE,过点8作8尸〃AC交。£的延长线于点凡连接4R

(1)求证：四边形为矩形；

(2)若。E=2%,BD=2AC,求菱形4BCD的面积.

AD

F

E0

BC

22.（10分）河南信阳毛尖是中国十大名茶之一，因其成品紧密如尖故名毛尖.某公司采购

员到信阳茶叶市场购买某品牌毛尖茶，商家推出了两种购买方式:

会员卡费用（元/张）茶叶价格（元/依）

方式一：金卡会员5001600

方式二：银卡会员2001800

设该公司此次购买茶叶xkg,按方式一购买茶叶的总费用为元，按方式二购买茶叶的

总费用为”元.

（1）请直接写出yi,"关于x的函数解析式；

（2）若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该公司此次购

买茶叶的质量；

（3）若该公司此次购买茶叶的总预算为6500元，则按哪种方式购买可以获得更多的茶

叶？

23.（10分）如图，在平面直角坐标系中，正方形O4CB的边A。，2。分别在x轴、y轴上，

点C的坐标为（-6,6）,在平面内移动一个以点G为直角顶点的三角板（两直角边足

够长），设三角板两直角边GE,GF分别与x轴、y轴交于点P,Q.

（1）观察猜想：

如图1,当点G与点C重合时，GP与GQ的数量关系是，/GPO与/GQO

的关系是;

（2）思考探究：

如图2,当点G在对角线OC上移动时，（1）中的GP与G。的数量关系是否仍然成立？

若成立，请结合图2给予证明；若不成立，请写出正确结论；

（3）拓展应用：

如图3,若三角板的直角顶点G在直线OC上移动,且直角边GE始终经过点A,当CG2

=32时，请直接写出点。的坐标.

\c

Q\G

>F

嗔:

乜F

图1图2图3

2023-2024学年九年级上入学考试数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.

1.下列式子中，属于最简二次根式的是（）

A.J|B.V01C.V18D.V13

解：A.工=浮，不是最简二次根式，不符合题意；

B.而口=店=钾，不是最简二次根式，不符合题意；

C.V18=3V2,是最简二次根式，不符合题意；

D.同是最简二次根式，符合题意.

故选：D.

2.在△ABC中a,b,c分别是/A、ZB,NC的对边，下列条件中，不能判断△ABC是直

角三角形的是（）

A.a：b：c=0.5：1.2：1.3B.a：b：c=1：3

C.ZA：ZB：NC=5：7：12D.ZA+ZB^ZC

解：A.设a=0.5hb=1.2k,c—\.3k,

,：（0.5A）2+（1.2左）2=（1.3%）2,

.,./+必=02,故△ABC是直角三角形；

B.设a=A,b—42k,c—3k,

,:必+（同）V（3k）2,

J.cr+b1^^,故△ABC不是直角三角形；

C.VZA：ZB：ZC=5：7：12,

AZA+ZB=ZC=90°,

：.AABC是直角三角形；

B.VZA+ZB^ZC,ZA+ZB+ZC=180°,

.,.ZC=90°,故△ABC是直角三角形；

故选：B.

3.某校规定八年级学生的体育期末综合成绩由平时成绩和期末测试成绩两部分组成，并按

照4：6的比例确定体育期末综合成绩.若小佳的平时成绩为90分，期末测试成绩为85

分，则小佳的体育期末综合成绩为（

A.85分B.86分C.87分D.90分

90x4+85x6

解：小佳的体育期末综合成绩为一——=87（分）.

4+6

故选：C.

4.一次函数y=-2%+b的图象向下平移3个单位长度后，恰好经过点A（2,-3）,贝|〃的

值为（）

B.-4D.-2

解：・・•一次函数的图象向下平移3个单位，

；・y=-2x+b-3,

把（2,-3）代入得：-3=-2X2+Z?-3,

解得：b=4.

故选：A.

5.若。<0,则化简必一一2尸的结果为（）

A.2B.-2C.2-2aD.2a-2

解：Va<0,

・\原式=-a-（a-2）

=~a-。+2

=2-2〃，

故选：C.

6.如图，在中，ZB=90°,AB=6fAC=10,以边5。为直径作一个半圆，则

半圆（阴影部分）的面积为（）

A.4JTC.12nD.161r

解：VZB=90°，AB=6,AC=10,

：.BC=yjAC2-AB2=V102-62=8,

阴影部分的面积=1XirX42=8n.

故选：B.

7.一次函数y=fci+b的图象如图所示，则一次函数丁=3-6的图象大致是（）

X4-VI

Xz.^rv^

A./°IB.KC.D

解：由一次函数y=fcv+b的图象可知，k<0,b>0,

，F>0,-b<0,

...一次函数y=-云+左的图象经过一、三、四象限.

故选：C.

8.如图，在口A8CD中，对角线AC,8。相交于点O,ACLBC,AB=10,BC=8,贝！］OO

的长为（）

A.V73B.6C.7D.V58

解：VAC±BC,AB^10,2C=8,

；.AC=7AB2-BC2=6,

•/四边形ABCD是平行四边形，

1

：.AD=BC=8.04=0。=尹C=3,AD//BC,

VACXBC,

：.ADLAC,

・•・0D=yjAD2+OA2=V82+32=V73,

故选：A.

9.有一块直角三角形空地（△ABC）,政府为了加强生态文明建设，计划把这块空地规划成

绿化带，已知NB=90°,ZC=30°,AC=20/77,V3«1.7,若每平方米绿化带的费用为

200元，则整块空地规划成绿化带共需费用（）

A.17000元B.17500元C.34000元D.36000元

解：VZB=90°,ZC=30°，AC=20m,

：.AABC是直角三角形，

1

.,.AB=AC'sin30°=20x1=10（机），

2C=AC・cos30°=20x^=10V3（m）,

.,.S^ABC=jBCMB=ixl0V3X1O=5OV3（m）,

•••每平方米绿化带的费用为200元，

整块空地规划成绿化带共需费用：200X50旧=1000遮=17000（元），

故选：A.

10.如图1,在菱形A8C。中，/。=60°,点E在边C。上，连接AE,动点P从点A出

发，在菱形的边上沿A-B-C的路径，以l0"/s的速度匀速运动至点C停止.在此过程

中，△加E的面积y（cm2）随运动时间无（s）变化的函数图象如图2所示，则当尤=9

时，y的值为（）

解：设菱形的边长为过点4作AfUOC于凡如图所示:

VZD=60°，

：.AF=芽AD=苧a,

由图可知，当点尸在点8时(ABAE)的面积最大,

此时，y=*ax字〃=98，

解得a=6或〃=-6(舍去)，

：.AB=BC=CD=DA=6fA尸=3后

11

当点尸到达点C时，y=+CE，AF=冢EX3g=6百，

・・・CE=4,

:・DE=2,

・・•点尸的速度为lcm/s,

，当冗=9时，点尸到达边8。的中点，如图所示：

•・•在菱形A8CD中，/。=60°,

：.AP±BC,AP=AF=3y/3,

•'•y=S菱形ABCQ-SAADE-SAECP-S^ABP

1ii1

=DC9AF-%DE・AF-4xBP・AP-^EC-xAF

2222

1—11113V3

=6X373-4x2X373-4x4x6X373-4x4——

22222

=18V3-3V3-1V3-3V3

=苧后

故选：B.

二、填空题（每小题3分，共15分）

Vx—3

11.若式子有意义，则工的取值范围是x>3.

x-3------------

解：由题意得：x-3^0,且X-3W0,

解得：%>3,

故答案为：x>3.

12.请写出一个过点A(-1,yi)和点B(5,J2)且函数值满足yi>y2的一次函数解析式：

y=-2x+l(答案不唯一).

解：设一次函数的解析式为>=丘+6,

:点A(-1,yi)和点B(5,y2)且函数值满足yi>”，

.♦.yi=-k+b,y2—5k+b,

-k+b>5k+b

"VO,

；.y=-2x+l(答案不唯一).

13.某学校开展“齐诵满江红，传承报国志”诵读比赛，八年级准备从小乐和小涵两位同学

中选拔一位同学参加决赛，如图是小乐和小涵两位同学参加5次选拔赛的测试成绩折线

统计图，若选择一位成绩优异且稳定的同学参赛，推选参加决赛的同学是小涵(填

“小乐”或“小涵”).

小乐

小涵

+(90-79)2]=144,

____80+80+90+85+90

x小涵=-----------g-------------=8o5r,

2222

s小■涵=1[(80-85)2+(80-85)2+(90_85)+(85-85)+(90-90)]=20,

*小涵小乐，$2小涵■小乐,

小涵成绩优异且稳定，

故答案位：小涵.

14.如图，正方形A8CZ)的边长为a,对角线AC,8。交于点。，正方形GMNO(OG>OB)

从初始位置（边ON与。4重合时），绕点。顺时针旋转a°（0<a<90）,边GO,NO

分别与正方形ABCD的边AB,BC交于点E,河点E,F不与正方形ABCD的顶点重合）.有

下列三个结论：®OE=OF-,②△AE。与△CFO的面积和是-c?；③四边形EOFB周长

4

的最小值为2〃以上结论正确的为①②③（填序号）.

DC

解：•・•四边形A8C。、四边形GMNO是正方形，

：.OA=OB,/AOB=/GON=96°,ZBAO=ZCBO=45°,

・•・NAOE+/BOE=NBOF+/BOE,

：.ZAOE=ZBOF,

：.AAOE^^BOF（ASA）,

/.OE=OF,AE=BF,故①正确；

,**SAAOE=SABOF,

S^AOE+S/\CFO^S^BOF+S^CFO^S^BOC--^a2,故②正确；

四边形EOFB-IK=OE+OF+BF+BE^2OE+AE+BE^2OE+AB=2OE+a,

...当且仅当旋转角a°=45°时，OE的值最小，即四边形E。"周长最小，

1

此时，。£=2小

...四边形EOFB周长的最小值=2x^a+a—2a,故③正确；

故答案为：①②③.

15.如图，在口中，以点8为圆心，以任意长为半径画弧，分别与边AB,CB交于点

1一

M,N分别以点M,N为圆心，大于aMN的长为半径画弧，两弧交于点G,作射线BG

交边AD于点、E,若点P为射线8E上一动点，连接CP,直线“交边于点尸，取线

段跖的中点。，连接尸。，若/CPB=90°,PQ=3,AD=20,则边A3的长为13.

设AB=x,

由作图得：BE平分NABC,

・•・ZABE=/EBC,

在平行四边形ABC。中，AD//BC,BC=AD=20f

；・NAEB=NEBC,ZBCM=ZAFM,

：.ZABE=NAEB,

：.AB=AE,

9：ZCPB=90°,Q平分EF,

；・EF=2PQ=6,

•；BP=BP.ZBPM=ZBPC=90°,

:•△BPM"ABPC(ASA),

：.NM=BC=20fZBMF=ZBCM,

：.AF=x-6,AM=20-x,NBMC=/AFM,

：.AM=AFf即：20-x=x-6,

解得：x=13,

AB=13,

故答案为：13.

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

16.（10分）计算：

（1）V2xV6+V27-6J|；

（2）（V3-V5）X（V3+V5）-（V5-V3）2.

解：（1）原式=g+3-^36x|

=V12+3-V12

=3；

（2）原式=3-5-（5-2V15+3）

=-2-5+2V15-3

=2V15-10.

17.（9分）2023年4月15日是第8个全民国家安全教育日，为普及国家安全知识，某校开

展了“树立防范意识，维护国家安全”的国安知识学习活动，并从七、八年级中各随机

抽取20名学生进行测试（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析下面给出

了部分信息：

a.八年级20名学生测试成绩的频数分布表：

成绩x（分）60V%W7070〈％W8080VxW9090<x^l00

频数258m

b.八年级测试成绩在80〈尤W90这一组的数据如下（单位：分）:

81,82,85,86,88,88,89,90

c.七、八年级测试成绩的平均数、中位数、众数如表:

平均数中位数众数

七年级858382

八年级83n80

根据以上信息，回答下列问题：

（1）表格中的m=5,n—85.5；

（2）若小红同学的成绩为84分，在她所属的年级排前10名，根据表中数据判断小红同

学是七年级的学生（填“七”或"八”）；

（3）请对该校七、八年级学生掌握国家安全知识的情况进行合理的评价.

解：（1）由题可知，2+5+8+切=20,故相=5,

由表格可知八年级工共有20人，其中位数为第10位与第11位和的平均数，

85+86ou

B即nn=————=85.5；

故答案为：5.85.5.

（2）由题可知，八年级测试成绩在80cxW90这一组的数据有：81,82,85,86,88,

88,89,90,其中没有数据84,

故小红同学是七年级的学生.

故答案为：七.

（3）由表格可以看出，八年级中位数是85.5分，平均分83分，七年级平均分是85分,

中位数83分，说明八年级学生高分的学生多于七年级，所以八年级学生掌握国家安全知

识比七年级要好.

18.（9分）如图，四边形42CD是平行四边形，对角线AC,8。相交于点。，点E,歹在

直线AC上，若①，则

在①OE=。尸；②BE=DF；③AF=CE这三个条件中，请选择一个合适的条件补充在上

面横线上（选择一个即可），使结论成立并给出证明过程.

解：选①，

,/四边形ABCD是平行四边形,

：.OB=OD.

•：OE=OF,

四边形EBFD是平行四边形,

：.BE//DF.

故答案为：①.

19.（9分）已知一次函数尸条+2分别与无轴、y轴交于点A,8,点C在直线上，其

纵坐标为5.

(1)填空：点B的坐标为(0,2),点C的坐标为(6,5)；

(2)在x轴上找一点P,连接尸8,PC,使PB+PC的值最小，并求出点尸的坐标;

(3)在(2)的条件下，求出△BCP的面积.

1

解：(1)一次函数》=尹+2分别与无轴、y轴交于点A,B,

当x=0时，y—2,

：.B(0,2),

当y=0时,x=-4,

：.A(-4,0),

:点C在直线AB上，其纵坐标为5,

即当y=5,尤=6,

故答案为：(0,2),(6,5)；

(2)过点8作。点关于点。对称，连接CQ,交x轴于点P,此时PB+PC最小,

D(0,-2),C(6,5),

设CD所在直线解析式为y—kx+b,

._7.

••y—小工2,

19

当y=0时，x=7,

12

P亍°）；

/c、cc1八八/1八八1八21/121c2460

(3)S/\BCD~SABDP=y9BD*6-y9BD9OP—x4X6—x4x=12—亍—

乙乙乙乙///

60

...△BCP的面积为：—

20.（9分）在矩形A2CD中，AB=5,AD=4,以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD

于点£

(1)求CE的长;

(2)在BC上求作一点凡使A尸平分/BAE（不写作法，保留作图痕迹），并求CF的

解：（1）由作法得AE=AB=5,

设CE=x,

:四边形ABC。为矩形,

：.CD=AB=5,ND=90°,

DE=CD-CE=5-x,

在RtAADE中，(5-x)2+42=52,

解得xi=2,尤2=8(舍去)，

的长为2；

(2)如图，点/为所作；

连接£尸，

尸平分

/BAF=ZEAF,

在△ABE和△AEF中，

AB=AE

Z.BAF=Z.EAF,

.AF=AF

：.AABF^^AEF(SAS),

:.EF=BF,

:四边形ABC。为矩形，

：.BC=AD=4,ZC=90°,

设CF=t,贝IBF=EF=4-t,

在Rtz\C£尸中，?+22=(4-f)2

解得t=I，

21.（9分）如图，在菱形ABC。中，对角线AC,2。相交于点。，点E是A2的中点，连

接0E,过点2作BP〃AC交的延长线于点R连接A?

（1）求证：四边形AO8F为矩形；

（2）若0E=2亚,BD=2AC,求菱形ABC。的面积.

(1)证明：'JBF//AC,

；./BFE=NAOE,£是A8的中点,

：.AE=BE,

在△AOE和48庄1中，

Z-AOE=Z.BFE

Z.OEA=乙FEB,

AE=BE

：.AAOE^ABFE(44S),

:.EO=EF,

...四边形A08F是平行四边形，

:四边形ABC。是菱形，

：.AC±BD,

ZAOB=90°，

，平行四边形A。*为矩形；

（2）解：•••四边形ABC。是菱形，

：.OA=OC=^AC,OB=OD=^BD,AC±BD,

.•./AO8=90°,点E是AB的中点，

：.AB=2OE=4V5,

\'BD^2AC,

：.OB=2OA,

'：OA2+OB2^AB2,

：.OA2+（2OA）2=（4V5）2,

解得：OA=4（负值已舍去），

；.AC=2OA=8,BD=2AC=16,

11

；・S菱形A3CO=qAC・BD=x8X16=64.

22.（10分）河南信阳毛尖是中国十大名茶之一，因其成品紧密如尖故名毛尖.某公司采购

员到信阳茶叶市场购买某品牌毛尖茶，商家推出了两种购买方式:

会员卡费用（元/张）茶叶价格（元/依）

方式一：金卡会员5001600

方式二：银卡会员2001800

设该公司此次购买茶叶xkg,按方式一购买茶叶的总费用为yi元，按方式二购买茶叶的

总费用为”元.

（1）请直接写出yi,”关于尤的函数解析式；

（2）若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该公司此次购

买茶叶的质量；

（3）若该公司此次购买茶叶的总预算为6500元，则按哪种方式购买可以